SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỪA THIÊN HUẾTRƯỜNG THPT PHÚ LỘC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI : ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VECTƠ,TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀO VIỆC GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC, PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠ
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỪA THIÊN HUẾ
TRƯỜNG THPT PHÚ LỘC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI : ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VECTƠ,TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀO VIỆC GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC, PHƯƠNG TRÌNH,
BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Lĩnh vực : TOÁN HỌC
Giáo viên : Trần Minh Cường
Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn
Phú Lộc, tháng 3 năm 2015
Trang 2MỤC LỤC :
TT Nội dung Trang
ĐỀ TÀI 01
MỤC LỤC 02
PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ 03
I.LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI 03
II.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 04
III.NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 04
IV.ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 04
V.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 04
PHẦN II : GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 05
I CƠ SỞ LÍ LUẬN 05
II CƠ SỞ THỰC TIỄN 06
III NỘI DUNG CỤ THỂ 06
Vấn đề 1 : Dạng toán chứng minh bất đẳng thức 06 – 09 Vấn đề 2 : Dạng toán giải phương trình, bất phương trình, 09 – 14 hệ phương trình Vấn đề 3 : Bài toán cực trị 14
PHẦN III: KẾT LUẬN 15
NHẬN XÉT VÀ ĐÁNH GIÁ 16
PHIẾU CHẤM ĐIỂM, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 17
Trang 3I PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ
I.LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong các đề thi đại học, đề thi học sinh giỏi lớp 12 của tỉnh, các bài toán giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình v.v … Đa số học sinh còn lúng túng khi giải toán Có nhiều phương pháp để giải Học sinh phải biết phối hợp một cách khéo léo các phương pháp : phương pháp đại số, phương pháp hình học, phương pháp tọa độ vectơ và tọa độ điểm v.v…để giải
Sau đây Tôi xin trình bày phương pháp tọa độ vectơ và tọa độ điểm vào việc giải một số bài toán : Chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình trong chương trình cấp trung học phổ thông hiện hành
- Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình
- Giải các bài toán chứa tham số
- Giải các bài toán về bất đẳng thức
- Giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất v.v…
Đề tài này giúp học sinh nắm được phương pháp, có được kĩ năng ứng
dụng công cụ phương pháp tọa độ để giải quyết vấn đề
Ví dụ : (A – 2014 ) Giải Hệ Phương trình
2 3
x y y x
Ví dụ : Cho a,b,c > 0 và ab + bc + ca = abc Chứng minh rằng
a2 2b2 b2 2c2 c2 2a2 3
Trang 4II.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.
- Giúp học sinh hiểu sâu hơn về phương pháp tọa độ
- Giúp học sinh thấy được tầm quan trọng của lý thuyết Véctơ và phương pháp tọa độ
- Giúp học sinh hứng thú hơn trong việc tiệm cận với môn học hình học giải tích
III.NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU.
- Giúp học sinh rèn luyện các kĩ năng ứng dụng được về phương pháp vecto
và phương pháp tọa đô vào giải toán
IV.ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU.
1 Đối tượng nghiên cứu.
- Học sinh lớp 12, học sinh dự thi vào các trường Đại học và Cao đẳng
- Kiến thức về phương pháp vecto và phương pháp tọa đô ở cấp học lớp10
và cấp học lớp 12 phổ thông trung học
2 Phạm vị nghiên cứu :
- Hình học lớp 10 và lớp 12 phổ thông trung học
- Sách giáo khoa và tài liệu tham khảo luyện thi đại học, tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi và các đề thi vào các trường Đại học và Cao đẳng
V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
- Phương pháp nghiên cứu lí luận
- Phương pháp nghiên cứu thông qua thực tiễn giảng dạy
\
Trang 5PHẦN II : GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I CƠ SỞ LÍ LUẬN.
1 Khái niệm vecto
2 Các phép toán về vecto
3 Tọa độ điểm và tọa độ vecto
4 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
5 Phương pháp tọa độ trong không gian
TÍNH CHẤT 1 :
BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC.
Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh BC, CA, AB tương ứng là a,b,c Ta luôn có :
+ b c a b c hay AC AB BCAC AB
( B A) ( B A)
AB x x y y
Như vậy ta chọn A,B,C có tọa độ thích hợp để giải bài toán
TÍNH CHẤT 2 :
BẤT ĐẲNG THỨC VECTƠ.
Cho u ( ; ),a b v ( ; ), w ( ; ).x y m n
Ta có + u v u v u v
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi u, v cùng phương ax = by
+ u v w u v w
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi u, v , w
cùng phương
a b
y x
m n
y x
Trang 6+ u v u v.
, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi u, v cùng hướng
Chú ý : Tính chất này có thể mở rộng trong không gian.
II CƠ SỞ THỰC TIỄN
1.Thông qua dạy học, thông qua tình huống có vấn đề, một số bài toán khi giải bằng công cụ phương pháp vecto và phương pháp tọa đô thì khéo léo hơn
2 Thông qua các dạng toán cơ bản thường gặp ở lớp học 12, các đề thi đại học
III NỘI DUNG CỤ THỂ.
ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VECTƠ & TỌA ĐỘ ĐIỂM
VÀO VIỆC GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC, PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH,
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Vấn đề 1 : Dạng toán chứng minh bất đẳng thức.
BÀI 1 : Chứng minh rằng : a2 2a 5 a2 2a 5 2 5 (1)
Cách giải :
(a 1) 2 (a 1) 2 2 5
Đặt a (1 a; 2),b (a 1; 2) a b (2;4)
Ta có : (a 1) 2 2 2 (a 1) 2 2 2 ab a b 2 5 (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : a b ; cùng hướng 1-a = a+1 a = 0
, , ,
x xy y y yz z z zx x x y z R (1)
Cách giải :
Ta có
;
x xy y y x y yz z y z
ay x b y z a b x z
Trang 72 2
x z x z
Do a b a b
nên x2 xy y 2 y2 yz z 2 z2 zx x 2 , x y z R, , ( đpcm ) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : a b ; cùng hướng
0
0
x z
a b a b x y x x y x
xy yz zx
0
1
x z
k
x kz y z k
k
BÀI 3 : Cho a,b,c > 0 và ab + bc + ca = abc Chứng minh rằng
a2 2b2 b2 2c2 c2 2a2 3
Cách giải :
Chọn u 1; 2 ;v 1; 2 ; w 1; 2 u v w 1 1 1; 2 2 2
Ta có
a2 2b2 b2 2c2 c2 2a2 3
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : a = b = c = 3
5
x y z x y z x y z
Cách giải :
Xét hai vectơ : u 1;1;1 và v 5x 2; 5y 2; 5z 2
Ta có u 3,v 5(x y z ) 6 6
Trang 8u v 5x 2 5y 2 5z 2
Áp dụng bất đẳng thức u v u v . ta có 5 2 5 2 5 2 6 3, , , 2
5
x y z x y z
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : u1;1;1 , v 5x 2; 5y 2; 5z 2 cùng hướng
2
y
x y z
BÀI 5 : Chứng minh sinx 2 sin +sin 2x x 2 sin 2x 3, x
Cách giải :
Xét hai vectơ : usin ;1; 2 sinx 2 x và v1; 2 sin 2x;sinx
Áp dụng bất đẳng thức u v u v . ta có
s inx 2 s in +sinx x 2 sin x sin x 1 2 sin x 1 2 sin x sin x 2 3, x
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : 2
sin ;1; 2 sin
u x x và 2
1; 2 sin ;sin
v x x
cùng hướng
2
2 2
sin 1
x
x x
x
BÀI 6 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A x y x y x y
Cách giải :
Xét hai vectơ : u (x 1; ; 2),y v ( ;x y 1;1) u v (1; 1;3)
Do a b a b
ta có : A (x 1) 2 y2 4 x2 (y 1) 2 1 11 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : u (x 1; ; 2),y v ( ;x y 1;1) cùng hướng
x y
x y
Trang 9Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 11 khi 1, 2
x y
BÀI 7 : Chứng minh
(x 1) (y 1) (z 1) (x 1) (y 1) (z 1) 2 2, x y z, ,
Cách giải :
Trong không gian Oxyz, lấy các điểm A(1;1;-1), B(-1;1;1),M(x;y;z) Khi đó
2 2
AB
và MA (x 1) 2 (y 1) 2 (z 1) , 2 MB (x 1) 2 (y 1) 2 (z 1) 2
Từ bất dẳng thức MA MB AB , ta suy ra
(x 1) (y 1) (z 1) (x 1) (y 1) (z 1) 2 2, x y z, ,
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : M nằm giữa AB AM t AB t, 0;1
1 2
1 2
x t
Vấn đề 2 : Dạng toán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình.
(4 x x) 2 7 2 x 85 57 x 13x x (1)
Cách giải :
(1) (4 x) x 2 7 2 x (5 x x)( 8x 17)
2
x x x x x x
Xét a4 x;1 , b x 2; 7 2 x a b (4 x) x 2 7 2 x
a x b x x x
x
a b a b c a b
(4 x) (7 2 ) 2 x x 2 x 3
Trang 10Vậy phương trình có nghiệm x = 3.
BÀI 2 : (A – 2014 ) Giải Hệ Phương trình
2 3
x y y x
Cách giải :
Điều kiện : 2 y 12, x 2 3
Xét ax; (12 x2 ) , b 12 y; y khi đó phương trình (1) có dạng
a b a b a b , cùng hướng
nên (1) x y (12 x2 ) 12 y y 12 x x2 , 0 thay vào phương trình (2)
Ta có : x3 8x 1 2 10 x2 x3 8x 3 2( 10 x2 1)
2 2
2
2(9 ) ( 3)( 3 1)
x
x x x
x
2
2
2( 3)
x
x x x
x
2
2
3
2( 3)
x
x
x
x= 3 suy ra y = 3
Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (3;3)
BÀI 3 : Giải hệ phương trình :
1
x y z
x y z
Cách giải :
Gọi ( ; ; )x y z0 0 0 là một nghiệm tùy ý của hệ nếu có Xét hai vectơ sau trong không gian :
Trang 112 2 2
( ; ; ), (1;1; 2)
u x y z v khi đó
u x y z v , ta có 2 2 2
u v x y z
Mặt khác : cos( , )u v u v u v.. 76 1
Vậy hệ đã cho vô nghiệm
BÀI 4 : Giải hệ phương trình :
2
2
x y y x z
x x y yz
x y xy yz x z
Cách giải :
Hệ phương trình đã cho viết lại :
x x y y y z
x x y z
x y y z x z
Xét các véctơ trong một hê trục nào đó
( ; ), ( ; ), w ( 1; 2 1)
u x y v x y y z x z
Khi đó hệ viết lại :
u v u
Chỉ có hai khả năng xảy ra :
Khả năng 1: Nếu u 0 ta có x = y = 0 0 1
2
u z
Ta có nghiệm 0;0; 1
2
Khả năng 2: u 0
TH1 :
1 0
2 1 0
0 0
x z v
x y
y z
vô lý
Trang 12TH2 : Nếu v , w cùng khác 0, do (4) và (5) thì v , w là hai vectơ cộng tuyến , do (6)
ta có
w 2v
hoặc w 2v
+ Nếu w 2v
1
2
x
x x y
z y z y
2
z
+ Nếu w 2v
1 3
4
x y
x x y
z
Thay vào (1) ta có : 2 (1 3 )2 1 3 7 2
x x x
x x x
Phương trình này vô nghiệm
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm : 0;0; 1 , 0; ;1 1
BÀI 5 : Giải hệ phương trình : 2 2 2
1 1 1
x y z
x y z
x y z
Cách giải :
( ; ; ); ( ; ; )
u x y z v x y z trong đó ( ; ; )x y z0 0 0 là nghiệm của hệ
u v x y z
u x y z
4 4 4 2 2 22 2 2 2 2 2 2
v x y z x y z x y y z z x
2 2 2 2 2 2
Vậy u v 1 (2)
Trang 13Dấu bằng trong (2) xảy ra
0
0
x y
x y y z z x y z
z x
Vì u v u v.
Nên từ (1) và (2) suy ra điều kiện cần là : u v 1
Nên ta có
0 0
0 0
0 0
0 0 0 1
x y
y z
z x
x y z
suy ra phải có trong ba số x y z0 ; ; 0 0 có hai số bằng 0, một số bằng 1
Thử vào hệ thỏa mãn
Vậy hệ đã cho có ba nghiệm sau (1;0;0), (0;1;0),(0;0;1)
BÀI 6 : Giải phương trình : x2 2x 5 x2 2x 10 29 (1)
Cách giải :
Tập xác định D = R
(1) (x 1) 2 (x 1) 3 29
Đặt u (x 1; 2) u (x 1) 2 2 2
v x v x
Suy ra u v ( 2;5) u v 29
Như vậy ( 1 ) u v u v u v,
5
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 1
5
x
BÀI 7: Giải bất phương trình : 2
2(x 3) 2x 2 x 1 x 3 (1)
Cách giải :
Trang 14Điều kiện : x 1
(1) 2 (x 3) ( x 1) x 1 x 3
Đặt u (x 3; x 1) u (x 3) 2 ( x 1) 2
, v (1;1) v 2
Suy ra u v x 1 x 3 và u v 2 (x 3) 2 ( x 1) 2
u v x x u v u v u v
cùng hướng
Vấn đề 3 : Bài toán cực trị.
BÀI 1: Cho hai điểm A(1;1;0), B(3;-1;4) và đường thẳng (d) : 1 1 2
x y z
Tìm điểm M trên đường thẳng (d) sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Cách giải :
Do điểm M trên đường thẳng (d), ta có : M(-1+t; 1-t; -2+2t)
Khi đó : MA (2 t) 2 t2 (2 2 ) t 2 6t2 12t 8
MB (4 t) 2 (t 2) 2 (6 2 ) t 2 6t2 36t 56
Khi đó
Xét hai vectơ 1; 1 , 3 ; 1
ut v t
Ta có MA MB 6 uv 6 u v 4 2
Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi 1; 1 , 3 ; 1
ut v t
cùng hướng
1
3
t
t
Trang 15Vậy điểm M cần tìm là : M(1; 1;2)
PHẦN III : KẾT LUẬN :
Giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình là một bài toán khó Muốn giải các bài toán đó, trước hết học sinh phải có các kiến thức cơ bản, các phương pháp cơ bản về giải phương trình và hệ phương trình Có rất nhiều
phương pháp giải phương trình và hệ phương trình Việc sử dụng phương pháp vecto và phương pháp tọa độ thường được áp dụng để giải các bài toán trong đề thi đại học và thi học sinh giỏi Qua chuyên đề này, học sinh sẻ có nhiều kĩ năng
và kinh nghiệm trong việc giải phương trình và hệ phương trình nói riêng và giải toán nói chung
Phú Lộc, tháng 3 năm 2015
Người viết
Trần Minh Cường
Trang 16NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI
CỦA TỔ CHUYÊN MÔN
NHẬN XÉT:………
………
………
………
………
ĐIỂM:………
XẾP LOẠI: ……….
TỔ TRƯỞNG
Phú Lộc, ngày 12 tháng 3 năm 2015 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác. Trần Minh Cường NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KH-SK CỦA ĐƠN VỊ NHẬN XÉT:………
………
………
………
………
ĐIỂM:………
XẾP LOẠI: ……….
CHỦ TỊCH HĐ KH-SK CỦA ĐƠN VỊ NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KH-SK NGÀNH GD&ĐT NHẬN XÉT:………
………
………
………
………
ĐIỂM:………
XẾP LOẠI: ……….
CHỦ TỊCH HĐ KH-SK NGÀNH GD&ĐT
Trang 17SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHIẾU CHẤM ĐIỂM, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1 Họ và tên tác giả: Trần Minh Cường
2 Chức vụ (nhiệm vụ đảm nhiệm) : Tổ trưởng Tổ Toán
3 Đơn vị công tác : Trường THPT Phú Lộc
4 Tên đề tài (SKKN): Ứng dụng phương pháp tọa độ vectơ và điểm vào việc giải bất đẳng thức, phương trình, bất phương trình và hệ phương trình.
5 Lĩnh vực (SKKN): Toán học.
đa
Điểm GK thống nhất
đổi mới của đề tài…)
10
a) Hoàn toàn mới, được áp dụng lần đầu tiên 21-25
b) Có cải tiến so với phương pháp trước đây với mức độ tốt 16-20
c) Có cải tiến so với phương pháp trước đây với mức độ khá 11-15
d) Có cải tiến so với phương pháp trước đây với mức độ TB 6-10
e) Có cải tiến so với phương pháp trước đây với mức độ thấp 1-5
a) Có khả năng áp dụng và nhân rộng ở mức độ tốt 21-25
b) Có khả năng áp dụng và nhân rộng ở mức độ khá 16-20
c) Có khả năng áp dụng và nhân rộng ở mức độ TB 11-15
d) Ít có khả năng áp dụng và nhân rộng 1-10
a) Có hiệu quả và phạm vi áp dụng ở mức độ tốt 26-30
b) Có hiệu quả và phạm vi áp dụng ở mức độ khá 16-25
c) Có hiệu quả và phạm vi áp dụng ở mức độ TB 11-15
phong, thể thức văn bản…….)
10 TỔNG ĐIỂM:
Xếp loại:
Nhận xét chung:
Trang 18Giám khảo 1 Giám khảo 2 Chủ tịch Hội đồng
