Bài toán dưới thác triển đối với lớp e

LỜI CẢM ƠN Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp này tôi xin cám ơn thầy về sự hướng dẫn hiệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

- -

NGUYỄN THỊ SEN

BÀI TOÁN DƯỚI THÁC TRIỂN

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PGS.TS Phạm Hiến Bằng

THÁI NGUYÊN-2017

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các tài liệu trong luận văn là trung thực Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ công trình nào

Tác giả

Nguyễn Thị Sen

LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp này tôi xin cám ơn thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và

tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học

Xin chân thành cảm ơn Trường THCS Phú Lâm- Bắc Ninh cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này

Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên

để luận văn này được hoàn chỉnh hơn

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Tháng 04 năm 2017

Tác giả

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2

3 Phương pháp nghiên cứu 2

1.1 Hàm đa điều hòa dưới 4 1.2 Hàm đa điều hòa dưới cực đại 7 1.3 Hàm cực trị tương đối 10 1.4 Toán tử Monge-Ampère phức 14 1.5 Nguyên lý so sánh Bedford-Taylor 16

Chương 2 BÀI TOÁN DƯỚI THÁC TRIỂN TRONG LỚP Ey( )

W WÐ % và u Î F( )W thì tồn tại u%Î F( )W% sao cho u% £ u trên W và (dd u c )n (dd u c ) n

có dưới thác triển toàn cục tới Cnvới cấp tăng logarithm tại vô cùng Đối với lớp

E Wp( ),p > 0, bài toán dưới thác triển được nghiên cứu bởi P.H.Hiệp [13] Tác giả đã chứng minh rằng nếu WÌ WÌ C% n là các miền siêu lồi và

c W

E Bài toán dưới thác triển liên quan tới các giá trị biên được quan tâm trong những năm gần đây Năm 2008,R Czyz và L Hed trong [8] đã chỉ ra rằng nếu

W1 và W2 là hai miền siêu lồi bị chặn sao cho W Ì W Ì1 2 Cn,n ³ 1 và F

Î (W1)

u với các giá trị biên F Î E(W1) có thác triển v Î F (W2)với các giá trị biênG Î E ( W2) I MPSH( W2), trong đó MPSH W là lớp các hàm đa điều ( )hòa dưới cực đại trên W Năm 2006, J.Wiklund [15] đã chứng minh rằng bài toán dưới thác triển không thể thực hiện trong lớp ( )E W Cụ thể là, với một miền siêu lồi W tùy ý, tác giả đã xây dựng một hàm u trong E W( ) không có dưới thác triển tới một miền rộng hơn Gần đây, dựa trên ý tưởng của J.Wiklund [15], L Hed đã cho ví dụ chỉ ra rằng bài toán dưới thác triển không thực hiện được trong lớp con hẹp hơn N( )W của E W( ) (xem ví dụ 5.2 trong [10]) Như vậy, bài toán dưới thác triển luôn thực hiện được trong ( ), ( )

p

W p W

và Ec( )W, nhưng không phải lúc nào cũng thực hiện được trong E W( ) Theo

hướng nghiên cứu này chúng tôi chọn “Bài toán dưới thác triển trong lớp y

E ”

làm đề tài nghiên cứu của mình

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

2.1 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu bài toán dưới thác triển trong lớp F ( )W và bài toán dưới thác triển trong lớp y

E

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:

+ Trình bày một số tính chất và kết quả cơ sở trong lý thuyết đa thế vị + Trình bày một số kết quả về bài toán dưới thác triển trong các lớp ( )W

F và y

E

3 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức

4 Bố cục của luận văn

Nội dung luận văn gồm 42 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, được viết chủ yếu dựa vào các tài liệu [1], [7] và [12]

Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh Bedford và Taylor

Chương 2: Là nội dung chính của luận văn trình bày một số kết quả

về các lớp Cegrell, bài toán dưới thác triển trong lớp F( )W, bài toán dưới thác triển trong lớp y

E Cụ thể là trong mục 2.1, trình bày một vài lớp các hàm đa điều hòa dưới đã được giới thiệu và nghiên cứu bởi Cegrell cùng với lớp Ey( )W Bài toán dưới thác triển trong lớp F ( )W, được trình bày trong mục 2.2 Trong mục 2.3, chúng tôi trình bày một số kết quả về lớp ( )

y

W

E và bài toán dưới thác triển trong lớp y

E Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được

Chương 1

CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Hàm đa điều hoà dưới

Định nghĩa 1.1.1 Cho W là một tập con mở của £n và u :W® - ¥ ¥é , )

Kí hiệu PSH W là lớp tất cả các hàm đa điều hoà dưới trong ( ) W

Sau đây là một vài tính chất của hàm đa điều hoà dưới:

Mệnh đề 1.1.2 Nếu , u v Î PSH( )W và u = v hầu khắp nơi trong W, thì

Mệnh đề 1.1.3 Hàm đa điều hoà dưới thoả mãn nguyên lý cực trị trong miền

bị chặn, tức là nếu W là một tập con mở liên thông bị chặn của £n và

( )

u Î PSH W , thì hoặc u là hằng hoặc với mỗi z Î W,

( ) sup lim sup ( )

y y

ax{ , } t rong \

m u v

w w

w

ìïï

= íï

Wïî

là hàm đa điều hoà dưới trên W

Chứng minh Rõ ràng w là nửa liên tục trên trên W Chỉ cần chứng tỏ nếu

Chứng minh tương tự cho trường hợp a Î W\ wW, ở đó wW W là bao đóng của

w lấy trong W Chỉ cần xét trường hợp a Î wWÇ W Khi đó ( )w a = u a( )

ii Cho u Î PSH( )W , v Î PSH( )W , và v > 0trong W Nếu f : ¡ ® ¡ là lồi

và tăng dần, thì v f ( / )u v là đa điều hoà dưới trong W

là một tập con đóng của Wở đây v Î PSH( )W Nếu u Î PSH( \W F)là bị chặn trên, thì hàm u xác định bởi

( ) ( \ )( ) lim sup ( ) ( )

ïïï

ïïïïî

là đa điều hoà dưới trong W

1.2 Hàm đa điều hoà dưới cực đại

Định nghĩa 1.2.1 Cho WÌ £n là tập mở và u Î PSH( )W Ta nói u là hàm

đa điều hòa dưới cực đại trên W và viết u Î MPSH( )W nếu với mọi tập con

mở, compact tương đối G ÐW và mọi hàm v nửa liên tục trên trên G ,

)

i Với mọi tập con mở compact tương đối G Ð Wvà mọi hàm v Î PSH( )W ,

nếu lim inf( ( ) ( )) 0,

v z + h Vậy E Ì K và do đó E là tập compact trong W Tồn tại tập mở,

compact tương đối G Ì W chứa E Trên G¶ ta có lim inf( ( )) 0

(iii) Þ ( )iv Giả sử v Î PSH( )W và G Ð sao cho W lim inf( ( ) ( )) 0

G W, ta có thể coi u là liên tục trên G và v £ u trên G¶ Thật vậy

nếu trái lại ta xét họ u e = u *c eÎ C¥ (W Çe) PSH(We) với W Ée G Nếu ta

chứng tỏ trên G, v £ u e thì v £ u trên G vì trên G ta có

0

lim u e u

e® = Từ giả thiết v £ u trên

Cho n ® ¥ ta có ( )u x £ max( ( ), ( ))u x v x + h = u( )x + h < u( )x và gặp mâu thuẫn Vậy từ giả thiết u ³ % trên u G và chứng minh ( )iv Þ ( )v hoàn thành

( )v Þ ( )i Giả sử G Ð , W v Î PSH G( ) và lim inf( )( ) 0

- ³ kéo theo ( )u x ³ % tại mọi v( )x x Î ¶ G Từ đó suy ra

u ³ % trên u G, do đóu ³ v trên G W

1.3 Hàm cực trị tương đối

Định nghĩa 1.3.1 Giả sử W là một tập con mở của £n và E là tập con của W

Hàm cực trị tương đối đối với E trong W được định nghĩa là:

, ( ) sup ( ) : ( ), 1, 0

u Wz = v z v Î PSH W v £ - v £ (z Î W)

Hàm (u E,W)*là đa điều hoà dưới trong W

Sau đây là một vài tính chất cơ bản của các hàm cực trị tương đối

Mệnh đề 1.3.2 Nếu E1 Ì E2 Ì W Ì W thì1 2

1 , 1 2 , 1 2 , 2

u W ³ u W ³ u W

Định nghĩa 1.3.3 Miền bị chặn WÌ £ gọi là miềnsiêu lồi nếu tồn tại một n

hàm đa điều hoà dưới âm, liên tục : r W® - ¥( , 0)sao cho với " >c 0

{z Î W: ( )r z < - c}Ð W

Mệnh đề 1.3.4 Nếu W là miền siêu lồi và E là một tập con compact tương đối của W, thì tại điểm w Î ¶ W bất kỳ ta có

Chứng minh Nếu r < 0 là một hàm vét cạn đối với W, thì với số M > 0 nào

đó, M r < - 1 trên E Như vậy M r £ u E,W trong W Rõ ràng, lim ( ) 0

z z

w r

và như vậy chúng ta thu được kết quả cần tìm

Mệnh đề 1.3.5 Nếu WÌ £ là miền siêu lồi và K Ì W là một tập compactsao n cho *

, 1

K K

u W = - thì u K,Wlà hàm liên tục

Chứng minh Lấy u = u E,Wvà ký hiệu F Ì PSH( )W là họ các hàm u Giả sử

r là hàm xác định của W sao cho r < - 1 trên K Khi đó r £ u trong W Chỉ cần chứng minh rằng với mỗi e Î (0,1) tồn tại v Î C( )W ÇF Sao cho

u - e £ v £ u trong W Thật vậy, lấy e Î (0,1) Þ tồn tại h > 0 sao cho

u - e < r trong W W và K\ h Ì W , trong đó h

{z :dist z( , ) }

W = Î W ¶ W > Theo định lý xấp xỉ chính đối với các hàm đa điều hoà dưới và định lý Dini

có thể tìm được s > 0 sao cho u * cd - e < r trên ¶W và u*c d- e < - 1trên K Đặt

\

trong v

h e

Mệnh đề 1.3.6 Cho WÌ £ là tập mở liên thông, và E Ì W Khi đó các n điềukiện sau tương đương:

( )i u E*,Wº 0;

( )ii Tồn tại hàm v Î PSH( )W âmsao cho E Ì {z Î W: ( )v z = - ¥ }

Chứng minh ( )ii Þ ( )i là hiển nhiên Thật vậy, nếu v như ở trên ( )ii , thì

dương thích hợp, ta có thể giả thiết v aj( ) > - 2- j Khi đó

Mệnh đề 1.3.8 Cho W là tập con siêu lồi của £n và K là một tập con compact

của W Giả thiết rằng {Wj} là một dãy tăng những tập con mở của W sao cho

với dV là yếu tố thể tích trong n

C gọi là toán tử Monge-Ampere Toán tử này

có thể xem như độ đo Radon trên W, tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian các hàm liên tục với giá compact C W trên 0( ) W

W

W ' a ò Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu u là đa điều hoà dưới bị chặn địa phương trên W thì tồn tại dãy {u m}m>1 Ì PSH( )W ÇC¥ sao cho um ] u

và gọi là toán tử Monge-Ampe của u

Sau đây là một vài tính chất cơ bản của toán tử toán tử Monge-Ampe

Mệnh đề 1.4.2 Giả sử { }m là dãy các độ đo Radon trên tập mở j WÌ ¡ hội n

tụ yếu tới độ đo Radon m Khi đó

( ) ( ) lim j( ) lim sup j( )

( ) (int ) lim inf j(int ) lim inf j( )

1.5 Nguyên lý so sánh Bedford và Taylor

Định lý 1.5.1 Giả sử WÌ £ là miền bị chặn và , n u v Î PSH( )W ÇL¥ ( )W sao

cho lim inf( ( ) ( )) 0

e > tồn tại K Ð sao cho W " Î Wz \ K thì ( )u z - v z( )³ - Hơn nữa khi e

thay u bởi u + d d, > 0, thì {u + d< v}Z {u < v} khi d ] 0 Nếu bất đẳng

thức (1.1) đúng trên {u + d< v} thì cho d ] 0 suy ra (1.1) đúng trên

{u < v} Vì vậy có thể giả sử lim inf( ( ) ( )) 0

u z + e ³ v z + >d v z với z gần biên ¶W Vậy u e = u z( )+ e gần biên

¶W và ue ] v trên W¢ Theo công thức Stokes ta có

trên W Khi đó u ³ v trên W

Chứng minh Đặt y( )z = z 2 - M, với M được chọn đủ lớn sao cho y < 0trên W Giả sử {u < v}¹ Æ Khi đó có e > 0 sao cho {u < v + ey}¹ Æ

và do đó nó có độ đo Lebesgue dương Theo Định lí 1.5.1 ta có

và ta gặp phải mâu thuẫn Vậy u £ v trên W W

Hệ quả 1.5.3 Giả sử WÌ £ là miền bị chặn và , n u v Î PSH( )W ÇL¥ ( )W sao

cho lim inf( ( ) ( )) 0

Chứng minh Tương tự như trong Hệ quả 1.5.2 Giả sử {u < v}¹ Æ Khi đó

ý rằng do y < 0 nên {u < v+ ey}Ì {u < v} Khi đó như chứng minh của

Chương 2

BÀI TOÁN DƯỚI THÁC TRIỂN ĐỐI VỚI LỚP Ey

Nội dung của chương này trình bày bài toán dưới thác triển đối với lớp ( )W

F (xem Định lý 2.2.2), một vài kết quả về lớp y

E và nghiên cứu bài toán dưới thác triển đối với lớp y

E , trong đóy là hàm đa điều hòa dưới âm trong

miền siêu lồi bị chặn W Kết quả chính của chương này là chứng minh bài toán dưới thác triển thực hiện được trong lớp Ey( )W(xem Định lý 2.3.9)

2.1 Các lớp Cegrell

Ta nhắc lại một vài lớp các hàm đa điều hòa dưới trên đó toán tử Amper (dd c.)n được xác định Các lớp này được Cegrell giới thiệu và nghiên cứu (xem [3],[4])

Định nghĩa 2.1.2 Cho c : ¡ - ® ¡ - là một hàm tăng Ta định nghĩa

Chú ý 2.1.4 Trong Định nghĩa 2.1.3, ta có thể thay thế dãy{ }u j Ì E0,

{ }u j ] uthỏa mãn điều kiện

1

sup ( )( c )n ,

j

dd u y

³ W

³ W

Từ đó suy ra kết luận

Chú ý 2.1.5 Về mối liên hệ giữa các lớp Ec( )W và Ey( )W, ta có thể nói rằng

chúng hoàn toàn khác nhau Trước tiên ta thấy rằng định nghĩa của EX( )Wvà ( )

y

W

E là khác nhau Hơn nữa, trong chú ý 2.3.8 dưới đây, ta chỉ ra rằng tồn tại

một hàm đa điều hòa dưới y Î PSH- ( )W sao cho ( ) 0 p( )

gW Î F Wvới mọi miền siêu lồi WÎ C n

2.2 Dưới thác triển trong lớp F ( )W

Ta cần kết quả sau đây của U.Cegrell:

Bổ đề 2.2.1 Cho j Î F ( ) W Khi đó e0( )j (dd c j )n

W

= ò là hữu hạn và với

mỗi dãy (j j j) các hàm đa điều hòa dưới bị chặn, dần đến 0 tại biên sao

cho nếu j j ] j trên W, thì dãy độ đo Monge-Ampere ( c )n

Định lý 2.2.2 [7] (Định lý dưới thác triển)Cho WÍ WÍ % £n là hai miền siêu lồi

và j Î F ( ) W Khi đó tồn tại một hàm đa điều hòa dưới j Î% F % ( ) W sao cho

Bây giờ với mỗi j Î ¥ , đặt *

2.3 Dưới thác triển trong lớp Ey

Trước tiên ta sẽ trình bày một số kết quả về lớpEy đã được chứng minh trong [3]Ta cần các kết quả sau

Mệnh đề 2.3.1.Cho W là một miền siêu lồi và j Î PSH- ( )W Giả sử rằng

-= W

1 2 1

Do vậy, (2.1) đúng với m = 2 Giả sử (2.1) đúng với m nào đó Ta sẽ chứng

minh (2.1) đúng với m + 1 Giả sử u1, ,u m+1 Î F Khi đó u1 + + u m Î F

Mệnh đề 2.3.3.[3] Cho WÌ C là miền siêu lồi và n y Î PSH- ( ),W y ¹ 0 Khi đó:

Ì

E E và

* ,

K

h W

Ì

F E với mọi tập con compact K Ì W, trong đó h K*,W

là hàm cực trị tương đối của cặp ( , ) K W :

- < + ¥

Vìu Î E nên (dd u c j)n hội tụ yếu tới (dd u c )n Mặt khác, vì y- là nửa liên tục dưới nên

Chứng minh ) a i) Þ ii) vì u Î F( )W nên suy ra (dd u c )n

W

< ¥

ò Do đó ) )

ò

Đặt

1

k k

Mâu thuẫn này đã chứng minh iii xảy ra )

k

n z

g dd y

k n

ò với mọi u Î F Thật vậy, lấyu Î F Theo giả thiếtu Î Ey

.Do đó, theo Mệnh đề 2.3.5ta có y(dd u c )n

W

- < ¥

ò và ta suy ra kết luận Tiếp

theo ta phải chứng minh supy 0

{ }z k Ì W với ( )y z k ® 0 khi k ® ¥ Ta có thể giả sử ( ) 1

(2 ) 2

k n kn

z y

k j

E kết quả không còn đúng nữa Xét ví dụ sau:

Ví dụ 2.3.7 Tồn tại u Î E với y y Î PSH- ( )W sao cho |u ¶ W= 0 nhưng(dd u c )n

W

= + ¥

Thật vậy, ChoW= B = B(0,1)= {z Î Cn : z < 1}là hình cầu đơn vị trong

= W

= W

1 j

k

n j

-= W

= W

v Î E thì (dd v triệt tiêu trên mỗi tập đa cực Điều này chỉ ra rằng lớp c )n Ey

hoàn toàn khácvới các lớp F và Ep,p > 0

Bây giờ ta sẽ nghiên cứu dưới thác triển trong lớp Ey Như trong ví

dụ2.3.7, chú ý rằng lớp Ey khác với các lớp F và

p

E Từ đó, việc nghiên

cứu dưới thác triển trong lớp Ey là có thể thực hiện được Ta chứng minh Định lý sau:

Định lí 2.3.9 Cho WÌ WÐ C% n là các miền siêu lồi, y Î PSH-( ),W% y ¹ 0 và

E % sao cho m j = f dd j( c y j)n là độ đo Borel

trên W% Cho { }Wk k ³1là một dãy vét cạn tăng các tập con mở compact tương đối

của W, Wk Ð Wk +1 Ð , W k

k

W = W

U Với mỗi k ³ 1, đặt