Định lý thác triển đối với nghiệm của hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp một

Định lý thác triển đối với nghiệm của hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp một.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Trang 1

Mục lục

1.1 Hàm chỉnh hình một biến phức 3

1.1.1 Hàm khả vi 3

1.1.2 Hàm chỉnh hình 5

1.1.3 Công thức tích phân Cauchy 5

1.1.4 Thác triển giải tích 5

1.1.5 Hàm điều hòa 6

1.2 Hàm chỉnh hình nhiều biến phức 6

1.2.1 Không gian Cn 6

1.2.2 Hàm chỉnh hình nhiều biến phức 7

1.2.3 Một số tính chất của hàm chỉnh hình 8

1.2.4 Hàm đa điều hòa 9

1.3 Định lý thác triển Hartogs 11

1.3.1 Định lý 1 11

1.3.2 Định lý 2 12

2 Các tiêu chuẩn ma trận đối với thác triển nghiệm của hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp một 14 2.1 Tiêu chuẩn ma trận đối với hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp một hệ số hằng 14

2.1.1 Hệ phương trình elliptic hệ số hằng 14

2.1.2 Các tiêu chuẩn ma trận 15

2.1.3 Ví dụ áp dụng 24

Trang 2

MỤC LỤC

2.2 Tiêu chuẩn ma trận đối với hệ phương trình elliptic tuyến

tính cấp một hệ số hàm 262.2.1 Hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp một hệ số hàm 262.2.2 Một số tiêu chuẩn ma trận đối với hệ phương trình

2.1’ 272.2.3 Một số ví dụ áp dụng 36

3 Định lý thác triển đối với một số hệ phương trình 44

Trang 3

Lời cảm ơn

Luận văn “ Định lý thác triển đối với nghiệm của hệ phương trìnhelliptic tuyến tính cấp một ” được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tìnhcủa thầy Lê Hùng Sơn Qua đây em xin gửi lời cảm ơn trân trọng nhấtđến thầy Em cũng xin được cảm ơn các thầy, cô trong Viện Toán – Tinứng dụng – Đại học Bách Khoa Hà Nội đã tạo điều kiện và cơ hội học tậpcho em trong suốt hai năm cao học

Mặc dù có nhiều cố gắng trong quá trình thực hiện nhưng chắc chắnkhông tránh khỏi thiếu sót Vì vậy em mong nhận được những góp ý củacác thầy cô để nội dung của luận văn hoàn thiện hơn

Cuối cùng em xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã động viên vàgiúp đỡ em rất nhiều trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn tốtnghiệp

Hà Nội, ngày 19 tháng 9 năm 2014

Nguyễn Thị Vân Anh

Trang 4

Lời mở đầu

Định lý thác triển Hartogs là một kết quả nổi bật, nó thể hiện tính chấtkhác biệt về bản chất của hàm chỉnh hình nhiều biến phức so với hàmchỉnh hình một biến phức Nội dung của bài toán thác triển kiểu Hartogs

là tìm các tiêu chuẩn để mọi nghiệm của hệ phương trình đạo hàm riêngelliptic trên một miền cho trước có thể thác triển được lên một miền lớnhơn

Mục đích của luận văn là đưa ra tiêu chuẩn ma trận để nghiệm của các

hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp một (2.1) và (2.1’) có tính chấtthác triển Hartogs Đồng thời trình bày kết quả đối với một số hệ phươngtrình mà nghiệm có thể thác triển được ra một miền lớn hơn khi ta bổsung điều kiện thích hợp Nội dung chính của luận văn được trình bàytrong ba chương:

• Chương 1: Định lý thác triển Hartogs Chương này giới thiệu các kiếnthức cơ bản về hàm chỉnh hình một biến và nhiều biến phức Thêmvào đó là định lý thác triển Hartogs đối với hàm chỉnh hình nhiềubiến phức

• Chương 2: Các tiêu chuẩn ma trận đối với thác triển nghiệm của hệphương trình elliptic tuyến tính cấp một Mục đích chương 2 là đưa

ra các tiêu chuẩn ma trận đối với hệ elliptic tuyến tính cấp một hệ sốhằng và hàm, tiếp đó là ví dụ áp dụng

• Chương 3: Định lý thác triển đối với một số hệ phương trình Dựa vàotiêu chuẩn ma trận được trình bày trong chương 2 đối với hệ phươngtrình elliptic tuyến tính cấp một hệ số hằng tìm ra các điều kiện thíchhợp để một số hệ phương trình có tất cả các nghiệm thác triển được

ra một miền lớn hơn, tức là có định lý thác triển Hartogs

Trang 5

1.1 Hàm chỉnh hình một biến phức

1.1.1 Hàm khả vi

Hàm R - khả vi

Giả sử D ⊂ R2 và f (x, y) là hàm giá trị thực hoặc phức xác định trong

D, z0 = x0+ iy0 ∈ D Hàm f được gọi là R - khả vi tại điểm (x0, y0 ∈ D)

nếu tồn tại hàm tuyến tính Ah + Bk của các biến thực h và k sao cho với

h và k đủ bé số gia của f thỏa mãn hệ thức

f (x0 + h, y0 + k) − f (x0, y0) = Ah + Bk + ε(h, k)ρ,

trong đó A, B thực hoặc phức, ρ = √

h2 + k2 và ε(h, k) → 0 khi ρ → 0.Nếu f là hàm R - khả vi tại điểm thì các hằng số A và B (thực hoặcphức) được xác định duy nhất và tương ứng bằng

A = ∂f

∂x(x0, y0),

B = ∂f

∂y(x0, y0)

Trang 6

Chương 1 Định lý thác triển Hartogs

f (z0 + h) − f (z0)

Hệ Cauchy - Riemann

Trang 7

Giả sử hàm f (z) = u(x, y) + iv(x, y) là C - khả vi tại điểm z = x + iy.Khi đó tại điểm (x, y) hàm u(x, y) và v(x, y) có các đạo hàm riêng theobiến x và y thỏa mãn

Hệ phương trình trên được gọi là hệ Cauchy – Riemann

Mối liên hệ giữa C - khả vi và R2 - khả vi

Hàm f R2 - khả vi trong miền D là hàm C - khả vi trong miền đó khi

và chỉ khi nó thỏa mãn điều kiện

1.1.3 Công thức tích phân Cauchy

Giả sử f ∈ H(D) và G ⊂ D một cách compact được giới hạn bằng một

số hữu hạn các đường cong (liên tục) Khi đó tại điểm z ∈ G bất kỳ hàm

f biểu diễn dưới dạng

Trang 8

Hàm thực lớp C2 được gọi là hàm điều hòa trong miền D ⊂ C nếu khắp

nơi trong D nó thỏa mãn phương trình Laplace

• Mọi hàm chỉnh hình đều là hàm điều hòa

• Phần thực và phần ảo của hàm chỉnh hình là các hàm điều hòa.Định lý 1.1.1 (Định lý duy nhất) Nếu hai hàm u1 và u2 điều hòa ở trongmiền D là trùng nhau trên tập hợp E ⊂ D có ít nhất một điểm trong thì

u1 ≡ u2 trong D

1.2 Hàm chỉnh hình nhiều biến phức

1.2.1 Không gian Cn

Xét không gian Ơclit số chiều chẵn R2, các điểm của nó là các bộ có thứ

tự 2n số thực (x1, x2, , xn) Ta đưa vào trong đó caaus trúc phức bằngcách đặt zv = xv + ixn+v, (v = 1, 2, , n) Kí hiệu lại xn+v = yv nên

zv = xv+ iyv, (v = 1, 2, , n) Không gian mà điểm là những bộn số phức(hữu hạn) z = (z1, z2, , zn) = {zv}

Được gọi là không gian phức n chiều, kí hiệu Cn

Có thể xem với n tùy ý, không gian Cn là tích của n mặt phẳng phức:

C = C×C× ×C

n

Trang 9

Ta có thể viết lại một cách hình thức dưới dạng:

Định nghĩa 1.2.1 Hàmf xác định trong lân cận nào đó của điểmz ∈ Cn

được gọi là khả vi tại điểm đó theo nghĩa giải tích phức(Cn - khả vi), nếu

nó R2n - khả vi tại điểm đó và tại điểm này:

∂f

∂zv = 0, (v = 1, , n),

Trang 10

Điều kiện khả vi phức 1.2 chứa 2n phương trình thực (u = Ref và

v = Imf) Với n > 1 hệ phương trình đó là xác định thừa số phương trìnhtrong đó lớn hơn số hàm đang xét

Định nghĩa 1.2.2 Hàm Cn - khả vi tại mỗi điểm của lân cận nào đó củađiểm z ∈ Cn, được gọi là hàm chỉnh hình tại điểm đó.Hàm chỉnh hình tạimỗi điểm của tập mở nào đó Ω ⊂ Cn được gọi là chỉnh hình trên tập Ω.Tổng và tích hai hàm khả vi (Cn - khả vi ) tại điểm z nào đó cũng khả

vi tại điểm này, do đó các hàm khả vi tại một điểm lập thành một vành.Đặc biệt các hàm chỉnh hình trong miền D ⊂ Cn lập thành một vành, kýhiệu là H(D)

1.2.3 Một số tính chất của hàm chỉnh hình

(A) Hàm f liên tục trong miền D ⊂ Cn theo tập hợp các biến và tại mỗiđiểm z ∈ D chỉnh hình theo mỗi tọa độ

• Nếu hàm f thỏa mãn điều kiện (A) trong đa tròn đóng

U = {z ∈ Cn : |zv − av| ≤ rv} thì tại mỗi điểm z ∈ U nó được biểudiễn bởi tích phân bội Cauchy

Trong đó Γ là khung của đa tròn tức là tích các vòng tròn biên

γv = {|ζv − av| = rv}

Với z0 ∈ U0 tùy ý , trong đó z0 và U0 ký hiệu hình chiếu của z và U

trong không gian Cn−1(z1, , zn−1) , hàm

f = f (z0, zn)

chỉnh hình theo zn trong hình tròn

{|zn − an| ≤ r}

Trang 11

do đó theo công thức tích phân Cauchy

Định lý 1.2.1 (Định lý Hartogs) Nếu hàm fchỉnh hình tại mọi điểm củamiền D ⊂ Cn theo mỗi biến zv thì nó chỉnh hình trong D

Định lý 1.2.2 (Định lý duy nhất) Nếu f ∈ H(D) cùng với mọi đạo hàmriêng triệt tiêu tại điểm z0 nào đó của miền D ⊂ Cn thì f ≡ 0 trong D

1.2.4 Hàm đa điều hòa

Nếu hàm f = u + iv chỉnh hình tại điểm z ∈ Cn thì trong lân cận điểmđó

∂f

∂zv = 0(v = 1, , n), do đó hàm f = u − iv là R2n - khả vi tại lân cận trên, và

ở đó, đối với v = 1, , n tùy ý

∂f

∂zv =

12

Trang 12

Những hàm f như vậy sẽ gọi là phản chỉnh hình tại điểmz

Giả sử f chỉnh hình tại điểm z ∈ Cn khi đó đối với phần thực

Hàmu(x, y)lớp C2 trong miềnD ⊂ R2n thỏa mãn tại mỗi điểm(x, y) ∈ D

các phương trình 1.5 được gọi là đa điều hòa trong miền đó

• Phần thực và phần ảo của hàm f chỉnh hình trong miền D ⊂ Cn là

đa điều hòa trong miền đó

• Đối với hàm u tùy ý ,đa điều hòa trong lân cậnU của điểm (x0, y0) ∈

R2n, tồn tại hàm f chỉnh hình tại điểm z0 = x0 + iy0 có phần thực (hay phần ảo ) bằng u

Trang 13

1.3 Định lý thác triển Hartogs

Định lý thác triển Hartogs thể hiện tính chất khác biệt về bản chất củahàm chỉnh hình nhiều biến phức so với hàm chỉnh hình một biến phức

1.3.1 Định lý 1

Định lý 1.3.1 Cho các miền D0 ⊂Cn−1(z0) và Dn ⊂ C(zn), hàm f tùy

ý chỉnh hình trong lân cận P (theo nghĩa Cn ) của tập M = ∂D0 × ∂Dn,thác triển chỉnh hình được vào toàn miền D = D0 × Dn

z0 ∈ D0 thì hàm f chỉnh hình đối với zn ∈ Dn Vậy f chỉnh hình với

Ta thấy f (z) = f (z) trong δ Theo định lý duy nhất f = f khắp nơi

mà f chỉnh hình Mà f ∈ H (D) nên f là thác triển giải tích của f

Định lý 1.3.2 Giả sử cho các miền D0 ⊂ Cn−1(z0) và Dn ⊂ C(zn) ,hàm

f tùy ý chỉnh hình trong lân cận P

(theo nghĩa Cn ) của tập

Trang 14

Không giảm tính tổng quát ta coiDn giới nội bởi một số hữu hạn đườngcong trơn Hàm

Mặt khác với z0 ∈ D0 hàm f chỉnh hình đối với zn ∈ Dn

Với z0 rất gần z0, ξn ∈ ∂Dn sao cho (z0, ξn) ∈ P

Định lý 1.3.3 Giả sử cho các miền D0 ⊂ Cn−1(z0) và Dn ⊂ C(zn), hàm

f tùy ý chỉnh hình trong lân cận (theo nghĩa) của tập

M = (D0× ∂Dn) ∪ z0 × Dn

Trong đó z0 ∈ D0, thác triển chỉnh hình được vào toàn miền

D = D0 × Dn

Trang 15

Trang 16

Chương 2

Các tiêu chuẩn ma trận đối với thác triển nghiệm của hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp một

Chương này đưa ra một số tiêu chuẩn để xét xem nghiệm của hệ elliptictuyến tính cấp một (hệ số hằng và hệ số hàm) ở lân cận biên có thác triểnđược ra toàn bộ miền xác định hay không

2.1 Tiêu chuẩn ma trận đối với hệ phương trình

Trang 17

Chương 2 Các tiêu chuẩn ma trận đối với thác triển nghiệm của hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp một

của hệ đó trong miền G với G ⊆ G ⊆ Rn Khi đó ue được gọi là tháctriển liên tục của u nếu eu = u trong G

Định lý 2.1.1 (Định lý duy nhất) Cho u = (u1(x), u2(x), , um(x)) làmột nghiệm (giải tích thực) của hệ 3.1 trong miền G, hơn nữa cho σ làtập con mở khác rỗng của G Nếu u = 0 với x = σ thì u ≡ 0 với x ∈ G

Hệ elliptic thoả mãn định lý duy nhất

A(l) là ma trận cỡ m × n và −→

λi là véc tơ L - chiều Nếu véc tơ −→

λi đượcchọn trước thì ta định nghĩa ma trận cỡ m × n như sau:

(i) Rank Di = 1 với ∀i = 1, 2, , m,

(ii) Rank B = m,

(iii) Rank C = m

Trang 18

Khi đó mỗi nghiệm giải tích (thực ) u của hệ 3.1 trong P

có thể tháctriển liên tục được thành một nghiệm của hệ đó trong toàn G ⊂ Rn (P

là lân cận mở của ∂G )

Chứng minh

Trong phần chứng minh sẽ chỉ ra tồn tại các ánh xạ A biến x thành ξ

và A1 biến u thành u0 thỏa mãn ∂u01

∂ξ1 = 0, ,

∂u0m

∂ξm = 0

trong đó ξ = (ξ1, , ξn) ∈ G0 là một miền trong Rn và G0 = A (G) ),

u0 = (u01, , u0m) được cho trong P0 là giải tích (thực) theo ξ1, , ξm (

a11

= αn1

Trang 19

Dkj(i) = aikαji, i = 2, , m (2.16)

Từ 2.14, 2.16 và giả thiết (ii) của định lý 2.1.2 ta có

Trang 20

trong đó 1 ≤ jl ≤ m, l = 1, , L

Do 2.17 ta có

αj11αj22αjmm×

Trang 22

Theo đó u01(ξ), , u0m(ξ) được cho trong P0

e

u = A−11 (ue0) (2.33)

Trang 23

trong đó eu0 = (ue01, ,uf0

m) Dễ dàng chỉ ra rằng các hàm uei xác định trongtoàn G và giải tích thực theo x1, , xn

Mặt khác ta có

e

ui = ui, trongX (2.34)Khi u = (u1, , um) là nghiệm của 3.1 trong P, theo đó

L(l)(u) = Le (l)(u) = 0, trongX, l = 1, , L (2.35)

Lại có L(l)(eu) giải tích thực theo x1, , xn Từ Định lý duy nhất và 2.35,

ta thấy trong toàn G

L(l)(eu) = 0, l = 1, , L (2.36)Điều kiện 2.35 có nghĩa là u = (e eu1, ,uem) là một nghiệm của hệ 3.1trong toàn G Do đó ue là thác triển của u trong toàn G

Nếu m, n bất kỳ ta có:

Định lý 2.1.3 Giả sử tại m véc tơ −→

λ1, ,−→

λm sao cho ma trận phụ thuộc

Di, B, Cthỏa mãn các giả thiết sau:

(i) RankDi = 1, với i = 1, , m,

Bằng lập luận tương tự như đã sử dụng đối với chứng minh của định

lý 2.1.2 ta sẽ tìm các ánh xạ tuyến tính đơn ánh ξ = A (x) và u0 = A1(u)

sao cho hệ 3.1 kéo theo các điều kiện

∂u0i

∂ξ1 = 0, i = 1, , m (2.37)

Trang 24

Lấy u1, , um là các hàm giải tích thực cho trước trong P, khi đó các hàm

u01(x), , u0m(x) xác định trong P0

và giải tích thực theo ξ1, , ξn

Từ 2.37 thấy rằng u01(x), , u0m(x) không phụ thuộc vào ξ1

Do đó u0i(x), i = 1, , m có thể thác triển thành các hàm giải tích thựctrong toàn bộ G0

Kí hiệu các hàm thác triển của u01(x), , u0m(x) bởi eu01(x), ,uf0

m(x) Cũng theo cách chứng minh của định lý 2.1.2 ta chỉ ra rằng u = Ae −11 (ue0)

là thác triển của u trong toàn G

Từ giả thiết (i) của định lý 2.1.3 ta có sự tồn tại của a11, , a1n và

Trang 25

Trong đó i, l = 1, , m , γ(i,l) là các hằng số Ta được

a0ilαki0 = γ(i,l)a1lαk1 (2.42)với i, l = 1, , m, k = 1, , n Kí hiệu

a11 am1+ + +

a1m amm

6= 0

Ta có thể thêm vào các số vừa tìm được ở trên (n2 − n) số αjk, j =

2, , n, k = 1, , n sao cho

... class="page_container" data-page="20">

Chương Các tiêu chuẩn ma trận thác triển nghiệm hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp một< /small>

trong ≤ jl ≤ m, l = 1, , L

Do... class="page_container" data-page="21">

Do

Trang... class="page_container" data-page="22">

Theo u01(ξ), , u0m(ξ)

Định dạng
Số trang	58
Dung lượng	339,57 KB