Bài toán thác triển đối với hàm chính quy suy rộng nhận giá trị trong đại số CLIFFORD

Lời mở đầuTrong nhiều năm qua, lý thuyết hàm chỉnh hình một biến trong đại số phức đã đạt được tính hoàn chỉnh và cấu trúc đẹp đẽ, có nhiều ứng dụng trong lýthuyết cũng như kỹ thuật.. Do

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc tới GS.TSKH Lê Hùng Sơn, người đã tận tình hướng dẫn để tôi cóthể hoàn thành khóa luận này và mở ra một chân trời mới về toán học

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáotrong khoa Viện Toán - Tin ứng dụng, trường Đại học Bách Khoa Hà Nội vàcác thầy cô trong Viện Sau đại học, Đại học Bách Khoa Hà Nội, đã tạo điềukiện và cơ hội học tập cho tôi suốt hai năm cao học

Cuối cùng tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè lớpCao học Toán 2011B đã cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình họctập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp

Hà Nội, ngày 02 tháng 09 năm 2013

Học viên

Nguyễn Đức Mạnh

Mục lục

1 Hàm chính quy suy rộng nhận giá trị trong đại số Clifford 7

1.1 Một số kiến thức chung 7

1.1.1 Đại số Quaternion 7

1.1.2 Đại số Clifford 11

1.1.3 Hàm chỉnh hình trong đại số phức 15

1.2 Hàm chính quy 22

1.3 Công thức tích phân 24

1.3.1 Công thức tích phân Borel - Pompeiu 24

1.3.2 Công thức tích phân Cauchy 26

1.3.3 Định lý duy nhất 27

2 Định lý thác triển kiểu Hartogs cho hàm chính quy suy rộng 28 2.1 Định lý Hartogs cổ điển 28

2.1.1 Định lý Hartogs 1 28

2.1.2 Định lý Hartogs 2 29

2.2 Định lý Hartogs cho hàm nhiều biến phức 30

2.3 Định lý kiểu Hartogs cho hàm chứa tham số 31

2.4 Định lý kiểu Hartogs cho hàm chính quy 36

2.5 Định lý kiểu Hartogs cho hàm đa chính quy 40

2.6 Lược đồ Hormander 42

3 Một số bài toán thác triển 45 3.1 Hệ song-Riez nhiều biến 45

3.1.1 Sử dụng công thức tích phân 46

3.1.2 Sử dụng lược đồ Hormander 47

3.2 Một số ví dụ khác 52

3.2.1 Ví dụ 1 52

3.2.2 Ví dụ 2 52

Bảng ký hiệu

H Đại số Quaternion

A Đại số Clifford

Rn Không gian thực n chiều

C1(Ω) Không gian các hàm liên tục trên miền Ω

Ck(Ω) Không gian các hàm liên tục khả vi cấp k trên miền Ω

C∞(Ω) Không gian các hàm liên tục khả vi vô hạn cấp trên miền Ω

C0(Ω) Không gian các hàm liên tục có giá compact trên miền Ω

Lời mở đầu

Trong nhiều năm qua, lý thuyết hàm chỉnh hình một biến trong đại số phức

đã đạt được tính hoàn chỉnh và cấu trúc đẹp đẽ, có nhiều ứng dụng trong lýthuyết cũng như kỹ thuật Do ngày càng nhiều bài toán mới nảy sinh từ thực

tế nên đã có nhiều đội ngũ khoa học nghiên cứu cách mở rộng lý thuyết nàysang đại số nhiều chiều hơn, điển hình là đại số Quaternion và đại số Clifford.Luận án này tập trung vào nghiên cứu bài toán thác triển trong điều kiện nhưvậy, tinh thần của bài toán là: khi biết tính chất của hàm trên một địa phươngnào đó thì có thể biết được tính chất của hàm trên toàn cục Giải quyết đượcbài toán thác triển này cho phép dự đoán được các tính chất quan trọng củacác hiện tượng khi biết thể hiện của nó trong một địa phương nhất định Bàitoán này thực sự thu hút được sự chú ý khi lý thuyết về hàm phức nhiều biến

ra đời Một kết quả nổi bật của nó là định lý thác triển Hartogs đối với hàmchỉnh hình nhiều biến phức Định lý này thể hiện một số tính chất khác biệt

về bản chất của hàm chỉnh hình nhiều biến phức so với hàm chỉnh hình mộtbiến phức Luận án này xuất phát từ ý tưởng mở rộng định lý thác triển Hartogs

Dưới sự hướng dẫn của GS TSKH Lê Hùng Sơn, tôi đã tiến hành nghiêncứu bài toán thác triển sau đây:

Cho hàm u(x, y) với x ∈ Ω 1 (x) ⊂Rn, y ∈ Ω 2 (y) ⊂Rn, Ω = Ω 1 × Ω 2 và lân cận mở

Σ của ∂Ω Giả thiết u có dạng u = (u1(x, y), , un(x, y)) và là nghiệm của hệ sau

Luận văn được chia làm ba chương:

• Chương 1: Trình bày các kiến thức cơ bản về đại số phức, đại số Quaternion,đại số Clifford cùng với kiến thức về hàm chỉnh hình, hàm chính quy trongđó

• Chương 2: Trình bày các định lý thác triển Hartogs và định lý thác triểnkiểu Hartogs từ cơ bản đến mở rộng hơn

• Chương 3: Trình bày một số bài toán thác triển ứng dụng cụ thể

Do luận văn được hoàn thành trong điều kiện hạn chế về kiến thức và thờigian nên không thể tránh khỏi những thiếu sót, vì vậy tôi mong nhận đượcnhững nhận xét và đóng góp từ các thầy cô và các bạn Tôi hi vọng có cơ hội đểnghiên cứu sâu hơn bài toán này cho các dạng hàm chính quy suy rộng khác,đặc biệt là hàm chính quy suy rộng theo nghĩa Vekua

Định nghĩa 1.1.1 Xét H := {x|x = (x0, x1, x2, x3), xk ∈R, k = 0, 1, 2, 3} là tậpcủa bộ bốn số thực có thứ tự Các số x0, x1, x2, x3 gọi là tọa độ của x Ta địnhnghĩa một phép nhân có các tính chất sau:

• e0ej = eje0 = ej với j = 1, 2, 3

• eiej = −ejei với 16i < j 63

• e2j = −1 với j = 1, 2, 3

• e1e2 =: e3

• Tính chất kết hợp: (ab)c = a(bc) = abc với a, b, c ∈H

Khi đó từ R3 có thể tạo nên được một đại số kết hợp không giao hoán H Các

cơ sở của H lần lượt là:

• Sc(xyz) = Sc(yzx) = Sc(zxy)

• Sc(xyz) = x · (yz) gọi là tích hỗn hợp vô hướng của x, y, z

Tính chất 1.1.4 Xét các phần tử x, y ∈H Khi đó:

• x · y = −Sc(xy) = −(xy+yx)2

• x × y = V ec(xy) = (xy−yx)2

• Từ x2= y2 không nhất thiết suy ra x = ±

• Phần tử x là thực khi và chỉ khi với mọi phần tử y ta có yx = xy

Tính chất 1.1.5 Đối với một quaternion:

• Đối với quaternion x thì luôn tồn tại vector a 6= 0 sao cho xa là vector

• Quaternion bất kỳ luôn có thể biểu diễn thành tích hai vector

• Mỗi quaternion a có thể có ít nhất một gốc x ∈H sao cho x2 = a

• Mọi quaternion e với |e| = 1 đều có thể biểu diễn dưới dạng:

Định nghĩa 1.1.4 Xét không gian Rn+1 với cơ sở {e0, , en} Khi đó ta địnhnghĩa một phép nhân có các tính chất sau:

a(bc) = (ab)c = abc

Với phép nhân đó thì từ Rn+1 có thể tạo nên được đại số không giao hoán kếthợp A =: Clp,q gọi là đại số Clifford

Như vậy một cơ sở của A là:

e0, e1, , en, e1e2, , en−1en, e1e2e3, , e1e2 en

với e 0 là đơn vị cơ sở

Mỗi phần tử a ∈ A có thể biểu diễn dưới dạng:

Định nghĩa 1.1.7 Xét hai số tùy ý x, y ∈ A Nếu các điều kiện sau thỏa mãn

• InvM (xy) = InvM (x)InvM (y)

• InvM (ei) = −ei (i = 1, , n)

thì InvM được gọi là đối hợp Thông thường chúng ta hay viết InvM (x) =: ˜ x

Định nghĩa 1.1.8 Xét hai số tùy ý x, y ∈ A Nếu các điều kiện sau thỏa mãn

Định nghĩa 1.1.10 Với số x ∈ A chúng ta ký hiệu module hay giá trị tuyệt đốinhư sau

Định nghĩa 1.1.11 Hàm w = f (z) gọi là chỉnh hình (hay giải tích) trong miền

mở G ⊂C nếu hàm có f0(z) tại mọi điểm trong G

Hàm w = f (z) gọi là chỉnh hình tại z nếu nó chỉnh hình trong một lân cận nào

Tính chất 1.1.7 Xét hàm f liên tục trong miền D ⊂Cn theo tập hợp các biến

và tại mỗi điểm z0 ∈ D, chỉnh hình theo mỗi tọa độ Nếu hàm f thỏa mãn điềukiện

trong đóΓlà khung của đa tròn, tức là tích các vòng tròn biênγν = {|ζν− aν| = rν}.Tính chất 1.1.8 Nếu hàm f thỏa mãn điều kiện

ck = 1(2πi) n

Z

Γ

f (ζ)dζ (ζ − a) k+1

trong đó k = (k1, , kn)là vector số nguyên (kν >0) và(z −a)k = (z1−a1)k1 (zn−

an)kn

Tính chất 1.1.9 Nếu chuỗi lũy thừa (1.1.3) hội tụ tại điểm z ∈Cn nào đó thìtrên tập tùy ý K ⊆ {z : |zν − aν| < |ζν− aν|} chuỗi này hội tụ tuyệt đối và đều.Tính chất 1.1.10 Nếu hàm f thỏa mãn điều kiện

∂f

∂z ν

= 0 (ν = 1, , n)

trong đa tròn đóng U = {z ∈Cn : |z ν − a ν |6 r ν } thì tại mỗi điểm z ∈ U nó có

các đạo hàm riêng mọi cấp liên tục theo tập hợp biến

Tính chất 1.1.11 Nếu hàm f chỉnh hình tại điểm a, được triển khai thành

chuỗi lũy thừa (1.1.3) thì các hệ số của chuỗi này được xác định theo công thức

z=a

= 1k!

∂|k|f

∂z k

z=a

trong đó k! = k1! kn!

Tính chất 1.1.12 Nếu hàmf chỉnh hình trong đa tròn đóng U = {z ∈Cn : |zν− aν|6rν}

và |f |6 M trên khung Γ của nó thì các hệ số trong khai triển Taylor của f tại

f = const trong D

Định lý 1.1.3 Nếu hàm f chỉnh hình trong Cn và giới nội thì nó là hằng số

Định lý 1.1.4 Giả sử dãy hàm fµ ∈H(D) hội tụ đều đến hàm f trên mỗi tập

con compact của D, khi đó f ∈H(D) và với k = (k 1 , , k n ) tùy ý

Định lý 1.1.5 Giả sửa f chỉnh hình trong lân cận U nào đó của điểm a ∈ Cn

và f (a) = 0 nhưng f (0a, zn) 6= 0, khi đó trong lân cận V nào đó của điểm này

f (z) =(zn − an)k+ c1(0z)(zn− an)k−1+ + ck(0z) ϕ(z)

trong đó k > 1 là cấp của không điểm của f (0a, z n ) tại điểm z n = a n, các hàm

cν chỉnh hình trong 0V, cν(0a) = 0, còn ϕ chỉnh hình trong V và không triệt tiêutrong đó

Bổ đề 1.1.1 Giả sử Lµ : ζµ = ζµ(l) là đường cong đo được trong mặt phẳng

ζµ (µ = 1, , m), L = L1× × Lm và D là miền trong Cm; giả sửa ζ = (ζ1, , ζm)

và z = (z1, , zn) Nếu hàm g(ζ, z) liên tục trên L × D, chỉnh hình theo z trong

D với ζ ∈ L tùy ý và có đạo hàm riêng liên tục ∂g

|ϕ(z)6M r |z − z0|

(vớir = M = 1 và z0= 0 ta nhận được phát biểu thông thường) Để chứng minh

ta chọn ánh xạ phân tuyến tính Ur lên vòng tròn đơn vị U:

λ : z → r z − z0

r 2 − z0z

Ký hiệu qua λ−1 ánh xạ ngược U → Ur và xét hàm ψ = M1ϕoλ−1 Nó thỏa mãn

những điều kiện của bổ đề Svácxơ thông thường, và theo bổ đề đó ψ(z) 6|z| khắp nơi trong U Thay vào đây z bởi λ(z) ta nhận được bất đẳng thức (1.1.4).

Bổ đề 1.1.2 Nếu hàm f chỉnh hình theo mỗi biến zν trong đa tròn U = U (a, r)

và giới nội trong U thì nó liên tục tại mỗi điểm của U theo tập hợp biến

Chứng minh Giả sử z0, z ∈ U là các điểm tùy ý, ta viết tách gia số f như tổngcác gia số theo các tọa độ riêng biệt:

0 U đối với zn ∈ Un tùy ý và liên tục theo zn trong Un đối với 0z ∈0U tùy ý thì tồntại đa tròn W =0W × Un trong U, trong đó f giới nội

Chứng minh Đối với 0z ∈0U cố định, ta ký hiệu

M (0z) = max

z n ∈U n

|f (0z, zn)|

và xét các tập ε m = 0z ∈0U : M (0z)6m Các tập này đóng vì nếu 0 z(µ) ∈

εm (µ = 1, 2, ) và 0z(µ) →0 z thì 0z ∈ εm (thực vậy, f (0z(µ), zn) 6 m với zn ∈ Un

tùy ý, vì tính liên tục của f theo 0z, khi đó |f (0z, zn)|6m đối với zn ∈ Un tùy ý,tức là M (0z)6 m) Rõ ràng ε m lập thành dãy tăng và điểm 0z ∈0U tùy ý thuộcmọi εm từ m nào đó

Tồn tại εm chứa miền 0G ⊂0 U nào đó Thực vậy, trong trường hợp ngược lại,mọiε m là không đâu trù mật, nhưng khi đó trong 0U tồn tại hình cầuB 1 ⊂Cn−1

không chứa các điểm củaε1, trong B1 tồn tại hình cầu B 2 không chứa các điểmcủa ε2 và v.v ; ta xây dựng được dãy các hình cầu B k ⊂ Cn−1, chúng có điểmchung 0z0 ∈ 0 U và điểm này không thuộc ε m nào

Như vậy, tồn tại miền0G, trong đó|f (0z, zn)|6M đối vớizn ∈ Un tùy ý Còn phảichọn trong 0G đa tròn 0W =0z : |zν− z 0

ν | < r , và khi đó trong W =0 W × Un sẽ

có |f |6M

Bổ đề 1.1.4 Nếu hàm f (0z, zn) chỉnh hình theo 0z trong 0 V với zn ∈ Un tùy ý vàchỉnh hình theo z trong W thì nó chỉnh hình trong toàn đa tròn V

Chứng minh Không hạn chế tổng quát, xem 0a =0 0 Đối với z n ∈ U n cố định tùy

ý và 0z ∈0 V tùy ý, hàm f biểu diễn được (do chỉnh hình theo 0z) bởi chuỗi lũythừa hội tụ:

chỉnh hình trong hình trongU n vì là đạo hàm của hàm chỉnh hình theo z n (điểm

(00, zn) ∈ W) Vì thế các hàm 1

|k|ln |ck(zn)| điều hòa dưới trong Un.

Chọn số ρ < R tùy ý, vì rằng với z n ∈ U n tùy ý

ck(z n )(0z)k hội tụ đều trong đa tròn tùy ý

U (0, σ0), σ0< σ nhưng các từ của chuỗi này liên tục theo z nên cả tổng f của nócũng liên tục, và do đó, giới nội trong U (0, σ0) Đa tròn này có thể xem gần V

tùy ý, và vì rằng V từ đầu có thể tăng lên một ít nên f giới nội, nghĩa là chỉnhhình trong V theo bổ đề (1.1.2)

Chỉ cần chứng minh tính chỉnh hình của f tại điểm z0 ∈ D tùy ý, đồng thờikhông hạn chế tổng quát, có thể xem z0 = 0 Như vậy, giả sử f chỉnh hình theomỗi biến trong đa tròn U (0, R), đòi hỏi chứng minh nó chỉnh hình trong đa tròn

nào đó tâm 0.

Ta sẽ chứng minh quy nạp theo số biến Đối với một biến, điều đó là tầm thường;giả thiết rằng, nó đúng với các hàm(n − 1) biến và kí hiệu 0U = U 00,R3
Từ giảthiết suy ra rằng hàmf (0z, z n )liên tục theo 0z trong 0 U đối vớiz n ∈ U n = |z n |6R

tùy ý và theo zn trong Un đối với 0z ∈0U tùy ý Theo bổ đề (1.1.3) thìf giới nội,nghĩa là chỉnh hình trong đa trong nào đóW =0W × Un, trong đó0W (0a, r) ⊂0 U.Bây giờ ta xét đa trònV =0V ×U n, trong đó0V = U 0a,2R3
Rõ ràngV ⊂ U (0, R),

do đó f chỉnh hình theo 0z trong 0 V đối với zn ∈ Un tùy ý, mà theo điều vừachứng minh, nó chỉnh hình theoz trongW Theo bổ đề (1.1.4), từ đó suy ra rằng

nó chỉnh hình theo z trong đa tròn V chứa điểm z = 0 Như vậy, khẳng định đãđược chứng minh với hàm n biến

Xét A là đại số Clifford với cơ sở e0, e1, , en, e1e2, , en−1en, e1e2e3, , e1e2 en.Giả sử Ω là miền đóng trong Rn Hàm f xác định trong Ω và nhận giá trị trongđại số A được biểu diễn bởi:

Định nghĩa 1.2.3 Hàm f ∈ C1(Ω, A) gọi là hàm chính quy (trái) trong Ω nếu

f thỏa mãn:

Df = 0 hoặc ∂f = 0

Ngược lại nếu

f D = 0hocf ∂ = 0

thì f gọi là hàm chính quy phải

Ví dụ 1.2.1 Cho hàm u = u0+u1e1+u2e2+u12e12 xác định trong miền Ω ∈R3(x)

Hàm f như trên là hàm chính quy trái

Ví dụ 1.2.2 Hàm u(x) = −x 0 e 1 + x 2 e 12 là hàm chính quy trái nhưng khôngchính quy phải

Ví dụ 1.2.3 Hàm u(x) = x1e1− x2e2 là hàm chính quy trái và phải

Định nghĩa 1.2.4 Cho tập mở Ω ⊂ Rm =Rm1 × ×Rm n và hàm f xác địnhtrong Ω Khi đó f gọi là hàm đa chính quy nếu thỏa mãn hệ sau:

∂jf = 0 hoặc Djf = 0 (j = 1, , n)

1.3.1 Công thức tích phân Borel - Pompeiu

Định nghĩa 1.3.1 HàmEn(x) định nghĩa như sau gọi là nhân Cauchy xác địnhtrong Rn+1 \{0}:

Chứng minh tương tự cho trường hợp chỉnh hình phải.

Định lý 1.3.1 (Công thức tích phân Borel - Pompeiu)

Xét miền Ω ⊂Rn+1 có biên trơn Với f ∈ C1(Ω) thì:

gọi là toán tử Teodorescu

Chú ý 1.3.1 Công thức Borel - Pompeiu có thể được viết dưới dạng:

(DxE = ∆N với N là nghiệm cơ bản của phương trình Laplace)

Chú ý 1.3.2 Như vậy toán tử Teodorescu là toán tử ngược của toán tử Diractrên miền Ω

1.3.2 Công thức tích phân Cauchy

Công thức tích phân Cauchy là trường hợp đặc biệt của công thức tích phânBorel - Pompeiu khi mà hàm f là hàm chính quy trái (hoặc phải)

Định lý 1.3.3 Xét miền Ω ⊂Rn+1 với biên trơn, hàm f ∈ C1(Ω) là hàm chínhquy trái Khi đó:

u n (ξ) =

Z

|x−x 0 |=R

E(x, ξ)dσ ∗ u n

Định lý 1.3.6 (Định lý duy nhất cho hàm chính quy)

Xét Ω là miền mở trong Rn và tập mở σ ⊂ Ω, σ 6=∅ Giả sử u ˜ và u là các hàmchính quy trong Ω Khi đó nếu u = u ˜ trong σ thì u ≡ u ˜ trong Ω

Định lý 1.3.7 (Định lý duy nhất cho nghiệm của hệ phương trình đạo hàmriêng elliptic)

(số phương trình nhiều hơn số ẩn)

Khi đó nếu u = u ˜ trong σ thì u ≡ u ˜ trong Ω

tức là f chỉnh hình đối với z 2 khi z1 cố định Suy ra chỉnh hình đối với z 2 ∈ Ω 2

khi z1 ∈ Ω1 cố định Theo định lý cơ bản của Hartogs thì ˜chỉnh hình theo cảhai biến z1, z2 Mặt khác, khi z2 đủ gần ∂Ω2, z1 ∈ Ω1 thì (z1, z2) ∈ Σ Theo côngthức tích phân Cauchy cho hàm chỉnh hình phức một biến z 1 thì:

Tức là với z 1 , z 2 như vậy thìf = f˜

Tồn tại tập mở khác rỗng σ ⊂ Σ sao cho f = f˜ trên σ

Áp dụng định lý duy nhất đối với hàm chỉnh hình nhiều biến phức ta có f = f˜

⇒ ˜ f chỉnh hình đối với z1∈ Ω1 khi cố định z2 ∈ Ω2.

Theo định lý cơ bản của Hartogs thì ˜chỉnh hình theo cả hai biến z1, z2

Mặt khác, khi z 1 đủ gần K, z 2 ∈ Ω 2 thì (z 1 , z 2 ) ∈ Σ Theo công thức tích phânCauchy cho hàm chỉnh hình phức một biến z2 thì:

f := 12πi

Tức là với z1, z2 như vậy thìf = f˜

Tồn tại miền mở khác rỗng σ ⊂ Σ sao cho f = f˜ trên σ

Áp dụng định lý duy nhất đối với hàm nhiều biến phức ta có f = f˜ trên Σ.Như vậy ˜là thác triển cần tìm của f trong miền Ω

Định lý 2.2.1 Giả sử cho các miền 0D ⊂Cn−1(0z) và Dn ⊂C(zn), hàm f tùy ýchỉnh hình trong lân cận (theo nghĩa Cn của tập

Σ = (0D × ∂Dn) ∪ (z0 × Dn)

trong đó 0z0∈0 D, thác triển chỉnh hình được vào toàn miền D =0 D × Dn.Chứng minh Không giảm tổng quát, ta coi Dn giới nội bởi một số hữu hạnđường cong trơn Hàm

Hàm f hàm quy trái

Ví dụ 1.2.2 Hàm u(x) = −x e + x e 12 hàm quy trái khơngchính quy phải

Ví dụ 1.2.3 Hàm u(x) = x1e1−... en.Giả sử Ω miền đóng Rn Hàm f xác định Ω nhận giá trị trong? ?ại số A biểu diễn bởi: