SKKN bất ĐẲNG THỨC cô SI và các kĩ THUẬT sử DỤNG

Tuy nhiên, trong khuôn khổ bài viết này, tôi xin phép không chứng minh lại mà áp dụng luôn bất đẳng thức này và một số bất đẳng thức được nói trong bài viết này.. CÁC KĨ THUẬT KHI SỬ DỤN

B BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI VÀ CÁC KĨ THUẬT SỬ DỤNG

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

Bất đẳng thức AM – GM là viết tắt của “arithmetic and geometric means”, nghĩa là trung bình cộng và trung bình nhân Cách chứng minh hay nhất của nó là sử dụng phương pháp quy nạp kiểu Cô si (Cauchy) nên nhiều người lầm tưởng rằng Cô si phát hiện ra bất đẳng thức này, và hay gọi bất đẳng thức này là bất đẳng thức Cauchy (Cô si)

1 Bất đẳng thức Cauchy tổng quát : Cho n số thực không âm



Dấu “=” xảy ra khi

và chỉ khi a1 a2  a n

* Thông thường trong chương trình THCS ta thường áp dụng bất đẳng thức

Cô si cho hai hoặc ba số (tức là n = 2 hoặc n = 3) Cách chứng minh hai trường hợp cụ thể này rất đơn giản

Một vài hệ quả quan trọng:

+ Biểu thức cần tìm giá trị nhỏ nhất là căn bậc hai nên ta nghĩ đến bất đẳng thức AM – GM cho hai số

+ Dựa vào giải thiết, kết hợp với dầu “=” xảy ra tại đó, ta có được :

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1

Ví dụ 2 Chứng minh rằng với mọi a, b, c dương ta luôn có:

abc a

c c b b

3 1

1 1

1 1

1

Giải: Ta có:

3 1

1 1

1 1

1 1

3 1

1 1

1 1

1

a c

abc c

b

abc b

a

abc abc

a c c b

1 1 1

1 1

1 1

1 1

1

1

b

c b b a

a b

a

c ab a b

a

b a abc b

a

abc

Tương tự với 2 số hạng còn lại, suy ra BĐT đã cho tương đương với:

6 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1

3 1 1

1 1

1 1 1

1 1

1 1 1

1 1

1

c

a c a c

c b

c b c b

b a

b a b

a

a

a

b a a c

c c

a c c b

b b

c b b

a

a

Hoàn toàn chứng minh được BĐT cuối luôn đúng do áp dụng BĐT Cô-si cho

Ví dụ 3 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a+ b + c = 3 Tìm giá trị

+ Do đó, để sử dụng được giả thiết, một suy nghĩ tự nhiên là bình phương hai

vế của M lên trước khi dùng bất đẳng thức AM – GM

Vậy maxM = 3 khi và chỉ khi a = b =c =1

Ví dụ 4 Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn 2 a b c a2 b2 6

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi t = 2 hay a b c.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 8

3 khi a b c.

Ví dụ 5 Cho a, b, c là các số thục không âm thỏa mãn a + b + c = 3 Tìm giá

trị lớn nhất của

a b c b c a c a b A

* Phân tích:

- Dự đoán dầu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

- Ta không áp dụng bất đẳng thức AM – GM trên tử được vì bậc của chúng

5 Trong khuôn khổ chương trình cấp 2, để vận dụng bất đẳng thức Cô – si

hay những bất đẳng thức khác chúng ta phải chứng minh bất đẳng thức tổng quát rồi mới áp dụng Tuy nhiên, trong khuôn khổ bài viết này, tôi xin phép không chứng minh lại mà áp dụng luôn bất đẳng thức này và một số bất đẳng thức được nói trong bài viết này

II CÁC KĨ THUẬT KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI VÀO CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM CỰC TRỊ ĐẠI SỐ

- Kỹ thuật tách ghép bộ số

- Kỹ thuật đổi biến số

- Phương pháp chọn điểm rơi

- Kỹ thuật nhân thêm hệ số

Ví dụ 1 Cho 3 số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:

abc a

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

abc ac

bc ab a

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

1 2

1 2

1 2

1

.

d c

d c b a

b a d

c

d b a

b d

c

c b a a

d c

d b a

b d

c

c b a a d

Ví dụ 3 Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa

c b

c a

Chứng minh rằng:

ab c

b c c a c

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

1 1

2

1 1

2 1

2

1 2

1

.

b

c a

c a

c b

c

b

c b a

c a

c a b c

b

c b a

c a

c a b c ab

c b c c

a

c

ab c

b c c

2 2

2

2 4 2

4 4 4

4

Ví dụ 5 Cho 2 số thực dương a, b Chứng minh rằng: a b 1

a

b b

a ab

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

2 2 2

2 2

b b

a a

b ab b

a ab a

2 2

2

2 2

2

a

b b

a a

b ab b

a ab

(đpcm)

1.2 Kỹ thuật tách nghịch đảo

Ví dụ 1 Chứng minh rằng với mọi x > 1, ta có 3

1

1 5 4

x

thức (dấu bằng) xảy ra khi nào ?

Gợi ý: Trong bài toán này có chứa hai số hạng dạng nghịch đảo Vì đã có số

hạng

1

1

x

nên phần còn lại phải biểu diễn thành thừa số của x - 1 Vậy ta

1

1 ) 1 ( 4 1

1 5 4

x

x x

1 ).

1 ( 4 2 1 1

1 ) 1 ( 4 1

x x

x

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

2

3 1

1 ) 1 (

2

3

2

2 2

2 3

2

3

b c

c

b c

2

2 2

2 1

1 1 2

1

1 1 1

1 1 1

2

2 2

2 2

2 2

a

a a

a a

2 2

2

a a

a a

A

Giải:

2 2 2 2 1

1 1 2 2 2 1

1 1

2

1

1 1 1

1

1 1 1

1

2 2 1

2 2

2 2

2 2

2 2 2

2 2

2

a

a a

a

a a

a

a

a a

a

a a a

A

Cauchy

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

2 2

1

1 1

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

3 1 2

1 2

1

1

2

1 2

1

4

1 2

1 2

1 1 2

1 2

1 1

4

4 2

b b b a

b b

b a

b b b a

b b

b a b

a c c b b a c b a

2

2 2

2

Phép nhân:

ca bc ab c b a

c b a ca

bc ab abc

2 2 2

0 , , ,

Ví dụ 1 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa abc 1 Chứng minh rằng

c b a c

b a b

a c a

c b

Giải:

3 3

2

2 2

2

2 2

2 2

3

c b a c b a c

b a

c b a c b a c b a

a

bc c

ab c

ab b

ca b

ca a bc

a

bc c

ab c

ab b

ca b

ca a

bc

c

ab b

ca a

bc c

ab b

ca a

bc c

b a b

a c a

c

b

Ví dụ 2 Cho

2 ,

, ,

,AB c BC a CA b p a b c

abc c

p b

p

a

p

8 1

abc a

c p c b p b a p

a p c p c p b p b p a p

a p c p c p b p b p a p c

p b

2 2

2 2 2

2

2

2

Ví dụ 3 Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng :

2

2 2

2

c b a b a

c a

a c

4

2 2

Tương tự , cho các số hạng còn lại, cộng ba BĐT này lại với nhau ta được điều phải chứng minh

Nhận xét :* Phương pháp mà chúng ta làm ở trong bài toán trên người ta thường gọi là phương pháp tách gép cặp trong BĐT Côsi Vì sao chúng ta lại

ghép

4

c b c

b

a

? Mục đích của việc làm này là làm mất các biến ở mẫu do

vế phải của BĐT là một biểu thức không có biến ở mẫu Vì sao ta lại ghép

… điều này xuất phát từ điều kiện để đẳng thức xảy ra Vì BĐT đã cho là một BĐT đối xứng (Tức là khi đổi vị trí hai biến bất kì cho nhau thì BĐT không thay đổi) nên đẳng thức thường xảy

ra khi các biến bằng nhau và khi đó

2

2

a c b

a

nên ta phải ghép với

4

c b

* Nếu abc = 1 thì ta có : a b c 3 nên :

2 3

2 2

2

a b

c c a

b c b

1 1

2 1 2

x x

x x x

x

n n

Chứng minh bất đẳng thức trên : Ta có với x1,x2, , x n 0 thì

2

2 1 2

1 2

1 2

1

1

1

1 1

x x x n x x x n x x

x x x

n

n

n n

n

3 2 1 3 2 1

x x x x x x

Ví dụ 1 Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn: a + b + c = 3

9 z

1 y

1 x

1 9 xyz

3 xyz 3 z

1 y

1 x

1 ) z y

3 3

3 3

a c c b b a

9 a

c

1 c

b

1 b

a

1 P

Ví dụ 2 Cho ba số thực dương a, b, c CMR: 6

c

b a b

a c a

c b

6 3 9 3 1 1 1

3

3 1

1 1

c b a c b a

c

b a c b

a c b a

c b a

c

b a b

a c a

c b c

b a b

2

c b a a c

b c b

a b a c

a c

b b c b

a a b a

c c a c

b c b

a b

a

c b a a c

b b

c b

a a

c

b a c b c b

a c b a b

b c b

a b a

c c

b

a c

b c b

a b a

c c b a

Ta có

2

3 3 2 9

3 1 1

1 2

1

3 1 1

1

3

3 1

1 1

b a a c c b b a a c c b

b a a c c b c b a

b a

b a c a c

a c b c b

c b a

b a

c a

c

b c

b

a b

a

c a

3

2 2

2

c b a c

b a a c

b c b

a b

a

c

(đpcm)

2 Kỹ thuật đổi biến số

Có những bài toán về mặt biểu thức toán học tương đối cồng kềnh, khó nhận biết được phương hướng giải Bằng cách đổi biến số, ta có thể đưa bài toán về dạng đơn giản và dễ nhận biết hơn

Ví dụ 1 Cho các số thực dương x, y, z Chứng minh rằng :

1

2 2

2

z y

x

Giải: Đặt

z y x

x

z y x

y

z y x

z

8 8

2

ab c

c ca

b

b bc

a a

a bc

a

a

3 ) 8 ( 8

8

2 2

2

a bc a a bc

a

a

3 ) 8 ( 8

Mặt khác ta lại có :

abc c

b a a c c b b a c b a c

b

(

Nhận xét : BĐT trên có nhiều cách chứng minh, ngoài cách chứng minh trên

còn có những cách chứng minh khác cũng dùng BĐT Côsi

2 2

z

xy c y

xz b x

Từ đó ta giải được như sau:

Nhận xét : Nhìn vào biểu thức P trông rất phức tạp nhưng nỗi lên rõ biến đó

về bài toán mới Mặt khác với suy nghĩ đổi biến như vậy thì chúng ta cần

Ta có bài giải như sau:

3 Phương phỏp chọn điểm rơi

Đõy là kĩ năng kiờn quyết được ưu tiờn hàng đầu trong bất đẳng thức Cụ si ở những bài toỏn cực trị hoặc bất đẳng thức khú và đặc biệt ở bài toỏn cực trị hay bất đẳng thức cú điều kiện Đặc biệt trong bài toỏn cực trị, phải chỉ được dấu “=” xảy ra và điểm rơi chớnh là ở đõy

Đây là ph-ơng pháp rất lôi cuốn học sinh, bằng cách thêm các số hạng phù hợp và sử dụng khéo léo bất đẳng thức Côsi ta có thể đạt những kết quả

không ngờ!

Trong cỏc bất đẳng thức dấu “ ” thường xảy ra ở cỏc trường hợp sau:

+ Các biến có giá trị bằng nhau Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại tâm Khi các biến có giá trị tại biên ( 1 biến bằng 0) Khi đó ta gọi bài toán

có cực trị đạt được tại biên

+ Ngoài ra , củng có một số trường hợp ngoại lệ là 3 biến lệch nhau hoàn toàn Không có một “thuật toán” nào có thể giúp chúng ta dự đoán được dấu bằng bằng tay cả Nếu dùng máy tính thì chúng ta có thuật toán Fermat- Lagrange để làm điều này Nhưng chúng ta củng có thể có một vài cách tư duy để dự đoán được dấu bằng Trường hợp tầm thường nhất đó là dấu đẳng thức xảy ra tại tâm 3 biến bằng nhau Điều này thường xảy ra đối với các bài toán đối xứng 3 biến ( vai trò a,b,c như nhau ) Trường hợp, hay gặp thứ 2 là

có một biến bằng 0 Trong trường hợp này, gần như BĐT AM-GM không làm

gì được và nó trở nên không đủ sức công phá các bài dạng này Ta sẽ nói ở sau về dạng bài này Trong một số bài toán có điều kiện kiểu như 3 biến a,b,c thuộc một đoạn đóng nào đó kiểu a;b thì rất có thể đẳng thức sẽ xảy ra tại 2 điểm đầu và cuối , và biến còn lại chúng ta có thể hoàn toàn tìm ra được bằng cách thử trực tiếp

“ Kiểm tra điều kiện xảy ra dấu bằng, chọn điểm rơi và cân bằng hệ số!”

b a b

a

b a

Vậy minP = 4

2

1

b a

Vậy không tồn tại M in ? ?P

2

b a

3 8 2

3 1 2

4 2

4

2 2

b a b

a P

Dấu “=” xảy ra

1 2 1

Nguyên nhân sai lầm:

Dấu “=” bất đẳng thức không xảy ra

Lời giải đúng: Do P là biểu thức đối xứng với a b, , ta dự đoán M i n P đạt tại

1 , 2

1 , 1

và nếu vậy:

Nguyên nhân sai lầm: Cả hai lời giải trên đều đã biết hướng “đích” song chưa

biết chọn điểm rơi

2 2

1 0

( ) 2

nên tách các số 2 x x x ra cho dấu bằng xảy ra

Ở sai lầm 1: Học sinh quên tính chất cơ bản của bất đẳng thức:

Ví dụ 6 Cho x y z, , thoả mãn 2 2 2

Phân tích và tìm lời giải:

Do vai trò bình đẳng của x, y nên có thể dự đoán giá trị lớn nhất đạt được khi

x y và các thao tác đối với x và y là “giống nhau” Ta tách

k my

xz mk z

k mx

xy m y

m x

m

2 2

2 2

) 1 ( 2 } ) 1 ( ) 1 (

2 2

2 2

2 2

Để xuất hiện biểu thức S x y y z z x ta cần chọn m sao cho

Phân tích và tìm lời giải:

Do vai trò bình đẳng của x, y nên có thể dự đoán giá trị lớn nhất đạt được khi

x y và các thao tác đối với x và y là “giống nhau” Ta tách:

2 2

Phân tích và tìm lời giải:

a).Do vai trò bình đẳng của x, z nên có thể dự đoán giá trị lớn nhất đạt được khi x và z và các thao tác đối với x và z là “giống nhau” Để xuất hiện biểu thức:S x y y z k x z thì khi ta áp dụng BĐT Cô si

2 2

Phân tich và tìm lời giải:

a).Do vai trò bình đẳng của x, y nên có thể dự đoán giá trị lớn nhất đạt được khi x y và các thao tác đối với

b).Tương tự để xuất hiện biểu thức Q a x y z ta chọn các số , sao cho

b).Ta áp dụng cho trường hợp: n 2 , M 1 8 vµ a 2

Ví dụ 10 Cho x y z, , thoả mãn x y y z z x M (M là số không âm cho trước)

Phân tích và tìm lời giải:

Do vai trò bình đẳng của x, y nên có thể dự đoán giá trị lớn nhất đạt được khi

x y và các thao tác đối với x và y là “giống nhau”.” Ta tách

2 2

4 Kỹ thuật nhân thêm hệ số

Ví dụ 1 Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a b c 1 Tìm GTLN của:

a c c b b

a

A

Phân tích: Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của

A đạt tại

3 2 3 2 3 2

3 1

a c

c b

b a

c b a

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

(3) (2) (1)

2

3 2

2

3

2

3 2

2

3

2 3 2

2

3 3

2 2

3

a c a

c

c b c

b

b a b

a b

a

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

6 2

3

2 3 2

2

3 a b c

a c c b b

a

A

Dấu “=” xảy ra

3 1

3 2 3 2 3 2

c b a

a c

c b

b a

3

1

c b a

Lưu ý: Trong bài toán sử dụng kỹ thuật nhân thêm hệ số, ta sẽ sử dụng kỹ thuật chọn điểm rơi để tìm hệ số cho phù hợp

Ví dụ 2 Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a b c 3 Chứng minh rằng:

3 3

3

3

3 3 2 2

a

Phân tích: Do biểu thức đã cho là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự

đoán dấu “=” xảy ra khi:

3 2

3 2

3 2

a c

c b

b a c

b a

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

(3) (2)

(1)

9

3

2 6

2

9

3

2 6

2

9 3

2 6

3

3 3 2 9

1 3 3 2 9

1

2

3 3

3 3

3 3

3 3

3

a c a

c

c b c

b

b a b

a b

a b

a

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

3 3

3 3

3

3 3 9

3

3 18 2 2

Ví dụ 3 Cho a, b, c 2 ; 2 thỏa a b c 3 Chứng minh rằng:

3 3 4

4

Phân tích: Do biểu thức đã cho là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự

đoán dấu “=” xảy ra khi:

3 4

3 4

3 4

2 2 2

c b

a c

b a

Giải : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

(3) (2)

(1)

3 2

7

4

3 2

7

4

3 2

7 2

3 4

3

1 3 4 3

1

4

2 2

2 2

2 2

2 2

c c

b b

a a

a a

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

3 2

21 4

4

4

2 2 2 2

2

c b

a

Mà theo bất đẳng thức Bunyakovski ta có

1 1 1

2 2

2

2

2 2 2 2

c b a c

b

a

c b a c

b

a

nên 3 3

3 2 3 21

4 4

c b a c

b

5 Kỹ thuật hạ bậc

Ví dụ 1 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a b c 1 (*)

c b a A

c b

c b

áp dụng cho bao nhiêu số và là những số nào? Căn cứ vào bậc của các biến số

a, b, c trong các biểu thức trên (số bậc giảm 2 lần) thì ta cần áp dụng bất đẳng

a

3

2 9

1 2

1

2

a a

3

2 9

2 3

2 3

b a c

Ví dụ 1.1 Cho các số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện a3 b3 1(*) Tìm

Phân tích: Căn cứ vào bậc của các biến số a, b trong các biểu thức trên (số

a và 3

a, b dương và có vai trò như nhau nên ta dự đoán A đạt giá trị lớn nhất khi

b

xảy ra khi chỉ khi các số tham gia bằng nhau Khi đó ta có lời giải như sau:

2

1 6 2

1

3 3

2

1 2

1

a a

2

1 6 2

1 6 2

1 5

6

5 3

1 6 5 1 2

1 6

Vậy giá trị lớn nhất của A là 6 5

Ví dụ 1.2 Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa ab bc ca 3 Chứng minh rằng

a b

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

3 3 3 2

3 3 2

3 3

a

ca bc ab c

5 1 1 5

2

5 2

5 2

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

3 5 6 3

5 6 3

5 5

5

3 3 3 5

5

5

c b

a

c b a c

b

a

3

5 5

3 3

7

7

7 1 7 1

3

7 1 3

7 1 3

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

3 7 3 6

7 3 6

7 7

7

3 3 3 3 3 3 7

7

7

c b

a

a c c b b a c

b

a

3

7 7

a2 4 2 2 4 4 (1); b2 4 4b (2) ; a2 b2 2ab (3)

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

ab b a b

Ví dụ 1.6 Cho 3 số thực dương a, b, c Chứng minh rằng

ab c ca b bc a c

b

6

ab c ca b bc a c

b

Ví dụ 1.7 Cho các số thực dương a, b, c, m, n Chứng minh rằng

n m n m n m n m n

m

n

m

a c c b b a c

m m n m m n n n

m

n

m

b a n m b

a n m nb

c b n m nc

a c n m na

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

n m n m n m n

m n m n

m

a c c b b a n m c

b a

n

m

n m n m n m n m n

m

n

m

a c c b b a c

1 1

1

3 3 3

3 3

3

a c c

b b

a

a c c b b a c

b a

1

1 1

1

2 2 2

2 3

3

2 2 3

3

3 2 2 2 2 2 3

3

3

abc c

b a

c abc

a b b a

abc a

b b a b

a

a b b a

b

a

a a b b a a a a b b a a

b

a

Tương tự:

c b a

a c

b a

1 1

1 1

1

3 3 3

3 3

3

c b a

c b a a

c c

c a

c

2 8 2

2

c b

c

2 8 2 2

ab b

a b

4 1 4 4

10

10 a2 b2 c2 ab bc ca

Dấu “=” xảy ra

3 4 3 1

2 2

2 8

2 8

2 2

2 2

2 2

c

b a

b a

c b

c a

Đây là một lời giải ngắn gọn nhưng có vẻ hơi thiếu tự nhiên Chúng ta sẽ thắc

liệu có giải được không? Tất nhiên mọi cách tách khác đều không dẫn đến kết

việc tách 10 8 2 ở bài toán trên

ac

c a

c

2 2

2

2 2 2

2

2 2 2

2 2 2

2

ab b

a b

Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên, ta có:

ab bc

ac c

8 0

200 41

2 4

80 400 2

2

20

Khi đó ta có lời giải bài toán như trên

Ví dụ 3 Cho các số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện a3 b3 1 Tìm giá