Đoàn Vương Nguyên CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI KIỂU I TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN I.. iii Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại I sau khi đặt ẩn phụ.
Trang 1ThS Đoàn Vương Nguyên
CHUYÊN ĐỀ
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI (KIỂU) I
TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
I Hệ đối xứng loại (kiểu) I có dạng tổng quát:
f(x, y) = 0 g(x, y) = 0
ìïï íï
f(x, y) = f(y, x) g(x, y) = g(y, x)
ìïï íï ïî
Phương pháp giải chung:
i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)
ii) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và S2 ³ 4P
iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P rồi dùng Vi–et đảo tìm x, y
Chú ý:
i) Cần nhớ: x2 + y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP
ii) Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv
iii) Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại I sau khi đặt ẩn phụ
Ví dụ 1 Giải hệ phương trình
x y xy 30
ïí
GIẢI
Đặt S= +x y, P =xy, điều kiện S2 ³ 4P Hệ phương trình trở thành:
2
2
30 P
90
S
ìïï =
ïî
Ví dụ 2 Giải hệ phương trình xy(x3 3y) 2
-ïï
íï - =
GIẢI
Đặt t= - y, S= +x t, P =xt, điều kiện S2 ³ 4P Hệ phương trình trở thành:
xt(x t) 2 SP 2
Ví dụ 3 Giải hệ phương trình
1 1
x y
ìïï + + + = ïïï
íï
ïïïî
GIẢI
Trang 2Điều kiện x¹ 0,y¹ 0.
Hệ phương trình tương đương với: 2 2
ïç + ÷+ç + ÷=
ïç ÷÷ ç ÷÷
ïí
ïç + ÷÷+ç + ÷÷=
ïçè ÷ø çè ÷ø ïî
Đặt S x 1 y 1 ,P x 1 y 1 ,S2 4P
=çç + ÷÷÷+çç + ÷÷÷ =çç + ÷÷÷çç + ÷÷÷ ³
2
ïç + ÷+ç + ÷= ï
ïî
1
x
y
ìïï + = ì
ïïïî
Ví dụ 4 Giải hệ phương trình
x y 2xy 8 2 (1)
x y 4 (2)
ïïí
GIẢI
Điều kiện x,y³ 0 Đặt t= xy ³ 0, ta có:
2
xy = và (2)t Þ x+ =y 16 2t- Thế vào (1), ta được:
2
t - 32t+128= -8 t Û t =4 Suy ra:
II Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) I có nghiệm
Phương pháp giải chung:
i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)
ii) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và S2 ³ 4P (*)
iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ điều kiện (*) tìm m
Chú ý:
Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác điều kiện u, v
Ví dụ 1 (trích đề thi ĐH khối D – 2004) Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:
x x y y 1 3m
ïïí
GIẢI
Trang 3ThS Đoàn Vương Nguyên
Điều kiện x,y³ 0 ta có:
Đặt S= x+ y ³ 0,P = xy ³ 0, S2 ³ 4P Hệ phương trình trở thành:
2
Từ điều kiện S³ 0,P ³ 0,S2 ³ 4P ta có 0 m 1
4
Ví dụ 2 Tìm điều kiện m để hệ phương trình x2 y xy2 m
ïï
GIẢI
xy(x y) 3m 9
Đặt S = x + y, P = xy, S2³ 4P Hệ phương trình trở thành: S P m
ì + = ïï
íï =
Suy ra S và P là nghiệm của phương trình t2- mt+3m 9- =0
Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm
2 2
-ê
Ví dụ 3 Tìm điều kiện m để hệ phương trình x 4 y 1 4
ïí
ï + =
GIẢI
Đặt u= x- 4³ 0,v= y 1- ³ 0 hệ trở thành:
21 3m
2
ì + = ï
Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của t2 4t 21 3m 0
2
Hệ có nghiệm Û (*) có 2 nghiệm không âm
0 13 2
ì
-ï D ³ ï
ï
Trang 4
Ví dụ 4 Tìm điều kiện m để hệ phương trình
xy(x 4)(y 4) m
ïí
GIẢI
(x 4x) (y 4y) 10
xy(x 4)(y 4) m (x 4x)(y 4y) m
ì
Đặt u =(x+2)2 ³ 0,v=(y+2)2 ³ 0 Hệ phương trình trở thành:
Điều kiện
2
S 4P
ìï ³
ïïï ³ Û - £ £
íï
ï ³
ïïî
BÀI TẬP
Giải các hệ phương trình sau
1 x2 y2 xy 5
ïï
íï + + =
2
ïí
3 x3 y 3 2xy 2
ïï
íï + =
4
xy(x y) 2
ìï - =
ïí
ïî Đáp số:
ï = - ï =
5 x2 y2 2xy 5
ïï
íï + + =
ì = ì =
6
2 2
1 (x y)(1 ) 5
xy 1 (x y )(1 ) 49
x y
ïïï
íï
ïïïî
Đáp số:
Trang 5
ThS Đoàn Vương Nguyên
7 x y y x 30
x x y y 35
ïïí
8
x xy y xy 78
ïï
íï
ïïî
(chú ý điều kiện x, y > 0) Đáp số: x 4 x 9
2(x y) 3 x y xy
ïïí
10 Cho x, y, z là nghiệm của hệ phương trình
xy yz zx 4
ïí
8 x,y,z 8
HƯỚNG DẪN GIẢI
Hệ phương trình
xy z(x y) 4 xy z(x y) 4
(x y) 2[4 z(x y)] 8 z
xy z(x y) 4
-ï
ïî
(x y) 2z(x y) (z 16) 0
xy z(x y) 4
ï
ïî
xy (z 2) xy (z 2)
Do x, y, z là nghiệm của hệ nên:
2
-ê
Đổi vai trò x, y, z ta được 8 8
x,y,z
11
ìï æ ö æ ö
ïç ÷ ç ÷
ïç ÷+ç ÷=
ïç ÷÷ ç ÷÷
í è ø è ø
ïï + =
ïïî
Đáp số:
1 x 2 1 y 2
ìïï = ïï íï
ï = ïïî
12
sin (x y)
2(x y ) 1
p +
ïí
ïî
HƯỚNG DẪN GIẢI Cách 1:
sin (x y)
sin (x y) 0 x y (1)
2(x y ) 1 2(x y ) 1 (2) 2(x y ) 1
p +
î
Z
2
2
1
y
ì
(1)
é + =
ê
Þ ê + = ±ê thế vào (2) để giải
Trang 6Cách 2:
Đặt S = x + y, P = xy Hệ trở thành:
sinS
2 2
S
2(S 2P) 1
p
î
Z
Từ điều kiện S2 ³ 4P ta suy ra kết quả tương tự
Hệ có 4 nghiệm phân biệt
Tìm điều kiện của m để các hệ phương trình thỏa yêu cầu
1 Tìm m để hệ phương trình
2x xy 2y m
ïí
ïî có nghiệm thực duy nhất.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Hệ có nghiệm duy nhất suy ra x = y, hệ trở thành:
m 21
+ m = – 3:
+ m = 21:
2x xy 2y 21 2(x y) xy 21
Vậy m = 21
2 Tìm m để hệ phương trình: x2 xy 2y m 1
x y xy m
ïï
ïî có nghiệm thực x > 0, y > 0.
HƯỚNG DẪN GIẢI
xy(x y) m
x y xy m
î
ì >
ïï
Û íï ³ïî Ú ³ Û < £ Ú ³ .
4
< £ Ú ³
Trang 7ThS Đoàn Vương Nguyên
3 Tìm m để hệ phương trình x y m
ïïí
ïïî có nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
3
ìï
Suy ra x, y là nghiệm (không âm) của phương trình 2 m2 m
3
Hệ có nghiệm Û (*) có 2 nghiệm không âm
2
ì
Vậy m= Ú £0 1 m£ 4
4 Tìm m để hệ phương trình
2
(x y) 4
ïí
ïî có đúng 2 nghiệm thực phân biệt.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Hệ có đúng 2 nghiệm thực phân biệt khi ( )2
5 Cho x, y là nghiệm của hệ phương trình x2 y 2 2m 12
-ïï
-ïî Tìm m để P = xy nhỏ nhất.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt S= +x y, P =xy, điều kiện S2 ³ 4P
S 2m 1
S 2m 1
3
2
-ï
ï
Xét hàm số f(m) 3m2 3m 2, 4 2 m 4 2