Chuyên đề tích phân hàm lượng giác

- Sử dụng các công thức biến đổi tích thành tổng a... sin cos sin cos sin cos Bài tập giải mẫu: Bài 1: Tìm nguyên hàm 5sin... Dạng quen thuộc giải được Bài tập giải mẫu: 3sin 2 sin co

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI SỐ TRONG TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

Dạng 1: Tính tích phân dạng I f cos sin x  x dx





 đặt t cos x dt  sindx

Bài tập giải mẫu:

2

2 0

sin cos 1 cos

x

t t

sin cos 1 cos sin cos 1 2 cos cos cos 2 cos cos cos

cos 2 cos cos 17

Trang 2

os 3

t x

Trang 3

Khi đó  

1 2

cossin sin 1 cos 2 1 cos 1 cos

2 1 cos x 1 cos x d x 2 1 cos x d x 2 1 cosx d x

os o

Ta có: sin 2 x sin x sin x 2 cos x1

x

t t

Trang 4

2 2

3 1

1 3cos3

x b x a

cos

sin2

sin

Trang 5

Đổi cận 2 1

20

t x

2 2

Chú ý: d cos x d 1 cos x và ta có thể đặt t cosx

Tổng quát: sin 2 cos

 ta đặt t b c   cosx hoặc t cosx

Bài 4: (Đề 68 IVa) Tính tích phân sau

3 2 0

4 sin 4 sin cos 4 sin 2 sin 2

1 cos 1 cos 1 cos sin

Trang 6

Đổi cận 2 1

20

t x

2

1cos

1

dt dx

t t

Trang 7

cos cos 1 sin cos

1 sin 1 sin 1 sin

3sin tan ln 2

Trang 8

Ta có 2 2 3 2  2 

sin 4 cos 1

2 0

sin

12

sin 3 x sin 3 x sin 3 1 sin 3 x  x sin 3 cos 3x x và đặt t  1 cos 3x

Bài 8: (ĐHDB – 2004) Tính tích phân sau:

2 cos 0

Sử dụng công thức nhân đôi sin 2 x 2 sin cosx x và đặt t cosx

Bài 9: (ĐHDB – 2005) Tính tích phân sau:  

1 4

Tách ra thành tổng hai tích phân đơn giản

Bài 10: (ĐH – D 2005) Tính tích phân sau: 2 sin 

Tách ra thành tổng hai tích phân đơn giản

Bài 11: (TN – 2005) Tính tích phân sau:

Trang 9

Bài 12: Tính tích phân sau:

Đặt t 6 cos x2 hoặc t  6 cos x 2

Bài 13: (HVKTQS – 1996) Tính tích phân sau: 4 3 4 2 

Phân tích 1 cos  2 x 2 sin 2 x từ đó đặt t sinx

Bài 15: Tính tích phân sau

2

2 0

và đặt t  3 cos 2x hoặc t cos 2x

Dạng 2: Tính tích phân dạng sin cos

b a

 ta đổi biến bằng cách đặt t  c d  cosx

Bài 1: (ĐH – B 2003) Tính tích phân sau

2 4

Trang 10

Đổi cận 4 2

10

t x

Hoặc đặt t sin x cosx

Bài 2: Tính tích phân sau  

3

0

2

2cos2cos



dx x

x I

Giải:

Đặt t sin x dt cosxdx

Đổi cận

00

3

t x

0 2

2 3

0 23

0 2

2

32

12

32

cos2

cos

t

dt t

dt

dx x

x I

Trang 11

x  u thì bài toán sẽ nhanh hơn

Bài 3: Tính tích phân sau cos 3

x

t t

Bài tập tự giải và có hướng dẫn

Bài 1: (Bộ đề 96) Tính tích phân sau

2 0

Ta có 2 cos 2  x  3 2 sin2x và đặt t sinx

Bài 2: (CĐ Kĩ thuật Cao Thắng – 2006) Tính tích phân sau

Trang 12

 

2

3 2 0

15sin 2 1 sin

sin 2 1 sin x  x 2sin 1 sin x  x cosx và đặt t sinx

cos 2

ln 3

2 0

ln 9





Trang 13

sin 2 cos

b a

sin 2cos

2

2 0

x

t t

2

2sin 2

Trang 14

x

t t

Trang 15

Đổi cận 2 4

10

t x

1 sin 4 sin 1 3sin

sin coscos

Trang 16

Nếu b 2 c 2 b   thì c

2 0

t a x

Khi đó

2 2

b b

a a

Trang 17

Bài 1: (ĐHNT – 2001) Tính tích phân sau

4

6 6 0

ln 23sin cos

1 sin 24

4 sin 2

dx I

4

0 1 tan

dx I

Trang 18

Đổi cận

0

014

x

t t

4 2 4

sincos tan 2 tan 5

x

t t x

Trang 19

1 cos

x

t t

Trang 20

Đặt

2

1 cos

x

t t

x

t t

Trang 21

11

tan 2 tan 1 tan 2 tan 1

dx

x I

t x

Bài tập tự giải có hướng dẫn:

Bài 1: Tính tích phân sau 4 2

2 0

3cos

2

0

sintan 1 cos

Trang 22

1 tancos 2

1 tan

x x

tan cos 2

1 tancos 2

1 tan

x x

tan

5 3cos 1 cos

1sin 2 cos

Trang 23

Bài 8: (ĐH Y HN – 1999) Tính tích phân sau

4 3

ln 3 sin

x d

d x x

cos 2 sin 2 cos 2

Phân tích cos 2 12 cos 2  sin 2  2 cos 2  sin 2 

Bài 1: (KTQS – 1997) Tính tích phân sau:

3 2

3

sin sin

cot sin

Trang 24

t x

Trang 25

Đổi cận

3

13

32

u t

2 4 4

4 3sin

2

2 4

3cot 1 sin

HD: Đặt t  3cot x hoặc 1 t 3cot x1

4 2 6

1sin cot

Trang 26

3

1 sin 9 cos

sin x 9 cos x  9 cot x 1 sin x và đặt t cotx

cot 2 2 4

1sin

    đặt u sin x cos x du sin x cosx dx

4

3 0

cos 2sin cos 2

Trang 27

Đặt t cos x sin x 2 dt cos x sinx dx

Đổi cận

0 2

2 24

2

3 3

sin cossin cos

Trang 28

Bài 2: (ĐHTCKT – 1999) Tính tích phân sau

Phân tích 3 sin 2  x 4 sin x cosx2 và đặt t sin x cosx

2

4

sin cos 1

ln 22

sin cos cos sin cos sin

1 sin 2 cos 2 1 sin 2 cos 2

sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos

sin cos cos sin

1 sin 2  x cos 2 x  1 2 sin cos x x 2 cos x  1 2 cos sin x x cosx

Bài 5: (ĐH – B 2008) Tính tích phân sau

sin 2 2 1 sin cos sin 2 1 2 sin cos 1

cos 2 1

32sin cos 3

Trang 29

HD:

1 sin 2  x  sin x cos x sin x cosx

PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ĐỐI VỚI HÀM LƯỢNG GIÁC VÀ

NHỮNG HÀM LIÊN QUAN TỚI LƯỢNG GIÁC Một số dạng thường gặp

x u

Trang 30

Đặt  

 

lnsin cos

cos

1 sin

dx I

x dx I

1 cossincos

n n

x u

x dx x

dx x

Trang 31

sin cos

3 1ln

1

3 cosln

Giải:

Trang 32

3 sin lnx dx x.sin lnx coslnx dx 0 I I

e e e

Trang 33

Khi đó (sin1 cos1) 1

Bài 1: (CĐSP Vĩnh Phúc – 2007) Tính tích phân sau  

3 2

4

2 1

1sin

2ln

Trang 34

Bài 4: (ĐHDB – D 2007) Tính tích phân sau

2 2

2 0

2 1sin

3 2sin 3

1tan tan1 ln cos1

2

b (ĐHBKHN – 1994)

2 2

2 0

1cos

2 0

(sin cos 1)(1 cos )

Trang 35

e xdx I

sin

ln tan cos

Đặt tan x t sau đó sử dụng tích phân từng phần

Bài 17: (NN I – B 1998) Tính tích phân sau: 2  

2 0

3 2sin 3

2.sin cos

2 0

3 4sin 2 cos

Trang 36

u x

x dv

2 0

PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN LIÊN KẾT ĐỐI VỚI HÀM LƯỢNG GIÁC

Bài 1: (ĐHH – 2000) Tính tích phân sau

6 2

6 6 0

sin sin cos

t x

Trang 37

3 2

3 3 0

sin sin cos

t x

cos sin cos sinsin cos

sinsin cos

t x

sin

4sin cos

Trang 38

2 0

1 s inx

ln 1+cosx

t x

Trang 39

       

sin sin cos sin sin cos

PHƯƠNG PHÁP CẬN TRUNG GIAN ĐỐI VỚI TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

Bài 1: (ĐHTL – 1997) Tính tích phân sau

Trang 40

   

3 4

- Nếu m n  là các số nguyên chẵn thì ta đặt t tanx hoặc t cotx

- Nếu m, n chẵn & âm, đặt t tan x

Các trường hợp đặc biệt

+ R sin , cos x x  R sin , cosx x tức là R lẻ đối với sinx ta đặt t cosx

+ R sin , cos x  x  R sin , cosx x tức là R lẻ đối với cosx ta đặt t sinx

+ R sin , cos x  x R sin , cosx x tức là R lẻ đối với sinx và cosx ta đặt t tan x

Bài 1: Tính tích phân

2

4 2 0

Trang 41

t x

cos sin

Trang 42

Nhận xét:  

3 2

cossin , cos

x

t t x

2sin sin

x

t t

x

t t

1sin cos

sin cos

Nhận xét: Bậc của sin và cos là m 2, n  và 6 m n  4 ( m n ta chọn hướng ưu tiên đặt t tanx)

Trang 43

Phân tích 2 2 2  2 

t x

6

cos sin

x dx x

t x

1 1 3

2 2 1

Trang 44

Đặt t sin x dt cosxdx

00

t x

cos 3 3cos 1 cos 2

2

2sin



dx x

x I

Giải:

Nhận xét:

sin 2 2sin cos 2 sin ( cos )

Từ nhận xét đó giúp ta định hướng được phép biến đổi

Đặt t sinx, khi đó dt cos xdx

Trang 45

Đổi cận

0

012

x

t t

3 3 30

1sin cos

Trang 46

4 4

3 4

Trang 47

sin ; cos sin cos

R x x  x x là lẻ đối với sin, ta đặt t = cosx và thực hiện đổi cận ta có tích phân

Bài 1: (HVKTMM – 1999) Tính tích phân sau

3 4 6

sin cos

dx I

Trang 48

Bài 2: (ĐHQGHN – B 1998) Tính tích phân sau

3 4 2 0

sin cos

2cos sin

2 12

1cos

đưa về tích phân hàm hữu tỷ

Bài tập giải mẫu :

Bài 1: (ĐHLN – 2000) Tính tích phân sau

t x

Trang 49

x

t t

4 sin 3cos 5 4sin 3cos 5 4 sin 3cos 5

Trang 50

- Sử dụng các công thức biến đổi tích thành tổng

a cos cos 1 cos   cos 

Bài 1: (ĐHBKHN – 1999) Tìm nguyên hàm sau I sin sin 2 cos 5x x xdx

3



Dạng 4: Tìm nguyên hàm của các hàm lượng giác bằng cách sử dụng các công thức lượng giác và các phép

biến đổi lượng giác

Trang 51

c sin cos 1 sin   sin 

2

x y   x y   x y  d cos sin 1 sin   sin 

2

x y   x y   x y 

- Công thức nhân đôi

a sin 2 x 2 sin cosx x

1

1 cot sin x   x e

2 2

sin x cos x 1

Bài 1: (ĐHNT – 1997) Tìm nguyên hàm sau sin 3 sin 4

3sin 4 sin 6 3sin 2 3 sin 4 sin 2 sin 6 6 cos 3 sin 2sin 3 cos 3

2 cos 3 3sin sin 3 2 cos 3 4 sin

Trang 52

Bài 3: (HVQHQT – 1997) Tìm nguyên hàm sau  4 4  6 6 

Bài tập có hướng dẫn giải:

Bài 1: (ĐHAN 1997) Tìm nguyên hàm:

Trang 53

Bài 4: (ĐHHĐ – A 2000) Tìm nguyên hàm: I cos cos 5 3x x dx

cos 5 cos 3 2 cos 3 cos 2 sin 3 sin

cos 4 cos 3 2 cos 1 2 sin 3 4 sin cos cos 16 cos 20 cos 5

Trang 54

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

cos( ) cos( ) cos( )

Trang 55

Giải:

Cách 1: Ta có

coscos

44

2cos

sin

2 sinsin cos cos

Bài tập tự giải có hướng dẫn :

3

dx I

Trang 57

ln 6

Bài 1: Tìm nguyên hàm tan tan

Trang 58

sin sin cos cos sin sin cos

4 cos cos cos cos cos cos

Trang 59

Sử dụng công thức: sin cos 2 2 sin( ) 2 2 2 sin cos

x d

Trang 60

Sử dụng đồng nhất thức: a 1 sin x b  1 cos x  A a  2 sin x b  2 cos x B a  2 cos x b  2sinx

Để ý: a 2 sin x b  2 cos x  a 2 2 b 22sin( x )

Kết hợp dạng 3-4 để giải

Bài 1: Tìm nguyên hàm sau 8 cos

2 3 sin 2 cos 2 1 3 sin 2 (1 cos 2 ) 3sin 2 3 sin cos cos

Trang 61

sin cos sin cos

.sin cos ' os '.sin

'.sin '.cos '.sin '.cos

Trang 62

2.sin 3.cos (sin 2 cos ) (cos 2sin )

8

5 2.sin 3.cos (sin 2 cos ) (cos 2sin )

Trang 63

2sin

1tan

cos

1

t x

Biến đổi: a 1 sin x b  1 cos x c  1  A a  2 sin x b  2 cos x c  2 B a  2 cos x b  2sinx c

Sau đó đưa về dạng quen thuộc để giải

sin cos sin cos sin cos

Bài 1: Tìm nguyên hàm 5sin

Trang 64

5sin 2 cos sin 2

22sin cos 1 2 sin cos 1 2 sin cos 1

x

x t

2 ln 2 sin cos 1 ln

tan 22

sin3cos45

cos3sin4

6cos7sin

C x

x

x x

B A x

x

x x

sin 7 cos 6 4 cos 3sin 1

Trang 65

    

1 sin 1 cos sin 1 cos sin cos 2 sin 2cos sin cos

a x b  x x c  x  A x B  x a x b  x c x  x

Đưa về dạng quen thuộc để giải

( sin cos )( 3 sin cos ) (sin cos )

( 3 ) sin ( 3) sin cos ( ) cos

3 sin cos 3 cos sin

3 sin cos 3 sin cos

Trang 66

Dạng quen thuộc giải được

3sin 2 sin cos cos

dx I

Trang 67

Bài 1: Tìm nguyên hàm sin cos 2 2

Trang 69

2 sin cos 1

dx I

Trang 70

1sin cos

3 4 sin 3 2 1 cos 2 3 2 2 sin 2

Trang 71

x dx I

sin 1 (sin cos ) (sin cos )

1 5

A B

Trang 72

PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ĐỐI VỚI HÀM LƯỢNG GIÁC VÀ NHỮNG

HÀM LIÊN QUAN TỚI LƯỢNG GIÁC

Dạng 4: ……… Trang 49 → trang 53

MỘT SÔ DẠNG ĐẶC BIỆT CỦA TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

……….Trang 53 → trang 71

Học ) các môn TOÁN – ANH – VĂN – LÝ – HÓA – SINH mới nhất,nhanh nhất từ các trường THPT và trung tâm luyện thi đại học trong nước.Chúng tôi luôn cập nhật đề thi thử mỗi ngày vậy nên các bạn yên,luôn có các đề thi thử mới nhất để các bạn tham khảo

học tập : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan

nhiều hơn qua Facebook: http://facebook.com/dethithu.net

Định dạng
Số trang	72
Dung lượng	3,71 MB