Mô hình thú mồi ngẫu nhiên và tính egodic

19 2.4 Tính chất Ergodic của nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên... Lời nói đầuGiải tích ngẫu nhiên, hay giải tích trong môi trường ngẫu nhiên, là một hướng nghiên cứu rất quan trọng

-Vũ Tiến Đức

MÔ HÌNH THÚ MỒI NGẪU NHIÊN

VÀ TÍNH ERGODIC

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC

Mã số: 60460106

Người hướng dẫn khoa học GS.TS NGUYỄN HỮU DƯ

HÀ NỘI- Năm 2014

Mục lục

1 Một số khái niệm mở đầu 6

1.1 Quá trình ngẫu nhiên 6

1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên 6

1.1.2 Quá trình thích nghi với một bộ lọc 7

1.1.3 Quá trình Wiener 7

1.2 Tích phân ngẫu nhiên Itô 8

1.2.1 Tích phân Itô của hàm bậc thang 10

1.2.2 Tích phân Itô của hàm ngẫu nhiên bị chặn 11

1.3 Vi phân ngẫu nhiên Công thức Itô 13

1.3.1 Vi phân ngẫu nhiên 13

1.3.2 Công thức Itô tổng quát 14

1.4 Tích phân Itô nhiều chiều 14

1.4.1 Quá trình Wiener n- chiều 14

1.4.2 Tích phân Itô nhiều chiều 15

1.4.3 Công thức Itô nhiều chiều 15

2 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 17 2.1 Khái niệm về phương trình vi phân ngẫu nhiên 17

2.2 Định lý sự tồn tại và duy nhất nghiệm 18

2.3 Điều kiện cho tính chính quy của nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên 19 2.4 Tính chất Ergodic của nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên 21

2.4.1 Quá trình hồi quy đối với một miền 21

2.4.2 Hồi quy và không hồi quy 22

2.4.3 Hồi quy dương và hồi quy không 23

2.4.4 Sự tồn tại phân phối dừng 24

3 Mô hình thú mồi ngẫu nhiên và tính ergodic 26 3.1 Cạnh tranh loài, tính ergodic và các elip 28

3.2 So sánh với các kết quả khác 39

3.3 Thảo luận 44

Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học tự nhiên- Đại học quốc gia Hà Nội, dưới sự hướng dẫn tận tình và chu đáo của thầy giáo GS.TS Nguyễn Hữu Dư Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến người thầy, người đã chỉ dạy những kiến thức và kinh nghiệm trong học tập cũng như trong nghiên cứu khoa học

Nhân dịp này, tác giả bảy tỏ lởi cảm ơn chân thành thành tới Ban chủ nhiệm khoa Toán- Cơ-Tin học, phòng Sau đại học trường Đại học Khoa học tự nhiên-Đại học Quốc gia Hà Nội

Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy, cô giáo trong bộ môn Lý thuyết xác suất và thống kê toán học, khoa Toán - Cơ - Tin học đã nhiệt tình giảng dạy trong suốt quá trình học tập Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, các bạn trong lớp Cao học toán khóa học 2011-2013, đã thường xuyên quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn

Mặc dù có nhiều cố gắng, song vì năng lực còn hạn chế nên chắc chắn luận văn vẫn còn nhiều thiếu sót Tác giả rất mong nhận được những lời chỉ bảo quý báu của các thầy giáo, cô giáo, các góp ý của bạn đọc để luận văn ngày càng hoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 11 năm 2014

Tác giả

Lời nói đầu

Giải tích ngẫu nhiên, hay giải tích trong môi trường ngẫu nhiên, là một hướng nghiên cứu rất quan trọng trong lý thuyết xác suất, đồng thời cũng được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác bên ngoài toán học như Vật lý (lý thuyết chuyển động hỗn loạn, lý thuyết trường bảo giác ), Sinh học (động lực học quần thể ), Công nghệ ( lý thuyết lọc, ổn định và điều khiển hệ động lực ngẫu nhiên ) và đặc biệt trong kinh tế và tài chính (định giá quyền lựa chọn trong thị trường chứng khoán )

Ngày nay, phép tích tích phân ngẫu nhiên, phương trình vi phân ngẫu nhiên đã trở thành công cụ toán học có hiệu lực cho nhiều vấn đề của vật lý, cơ học, sinh học và kinh tế (kể cả thị trường chứng khoán)

Trong luận văn này, chúng tôi xin trình bày tính ergodic của nghiệm của phương trình thú mồi ngẫu nhiên chịu nhiễu ồn trắng Gauss

Luận văn được chia làm 3 chương:

Chương 1 Trong chương này, ta nhắc lại một số kiến thức cơ bản của giải tích ngẫu nhiên bao gồm quá trình ngẫu nhiên, quá trình đo được và các tính chất của quá trình ngẫu nhiên quan trọng- quá trình Wiener, đồng thời ta cũng tìm hiểu khái niệm, sự tồn tại của tích phân ngâu nhiên Itô đối với hàm ngẫu nhiên

bị chặn và khái niệm vi phân ngẫu nhiên Itô (xem xét đồng thời trường hợp một chiều và nhiều chiều)

Chương 2 Ở chương này ta nhắc lại khái niệm phương trình vi phân ngẫu nhiên và điều kiện sự tồn tại duy nhất nghiệm Trong chương này ta cũng đi tìm hiểu một số khái niệm gắn liền với quá trình ngẫu nhiên (tính chính quy, hồi

quy, hồi quy dương) và đặc biệt ta đi nghiên cứu tính chất ergodic của nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên

Chương 3 Chúng ta đi xét mô hình cạnh tranh loài ngẫu nhiên với tốc độ tăng trưởng chịu nhiễu tiếng ồn trắng Gauss Ta sẽ chứng tỏ rằng nếu cường độ tiếng

ồn không qua lớn, khi đó nghiệm của phương trình ngẫu nhiên có tính ergodic Một mối liên hệ hiển giữa cường độ tiếng ồn và các tham số của các loài cạnh tranh ban đầu cho ta điều kiện đủ cho tính chất ergodic Bên cạnh đó ta cũng đi thảo luận và so sánh điều kiện đủ cho tính ergodic mà chúng ta nhận được với những kết quả thu được trong bài báo của Rudnicki[20], đồng thời cũng đề cập đến tính ergodic của nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên Stratonovich

Chương 1

Một số khái niệm mở đầu

Cho (Ω, F ,P) là một không gian xác suất, tức là một bộ ba gồm

• Ωlà một tập hợp cơ sở bất kỳ nào đó mà mỗi phần tử ω ∈ Ω đại diện cho một yếu tố ngẫu nhiên Mỗi tập con của Ω gồm một số yếu tố ngẫu nhiên nào đó

• F là một họ nào đó các tập con của Ω, chứa Ωvà đóng đối với phép hợp đếm được và phép lấy phần bù; nói cách khác F là một σ- trường các tập con của Ω Mỗi tập A ∈ F sẽ được gọi là một biến cố ngẫu nhiên

• P là một độ đo xác suất xác định trên không gian đo (Ω, F )

1.1 Quá trình ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.1 a) Cho (Ω, F ,P) là không gian xác suất và T là một tập nào

đó Một ánh xạ X : T × Ω → R sao cho với mỗi t ∈ T, ánh xạ ω 7→ X(t, ω) là đo được, được gọi là một hàm ngẫu nhiên trên T và ta viết X = {X(t), t ∈ T } Như vậy, một hàm ngẫu nhiên trên T chẳng qua là một họ các biến ngẫu nhiên

X = {X(t), t ∈ T } được chỉ số hóa bởi tập tham số T

•Nếu T =N là tập các số tự nhiên thì ta gọi X = {X(n), n ∈N} là dãy các biến ngẫu nhiên

• Nếu T là một khoảng của đường thẳng thực thì ta gọi X = {X(t), t ∈ T } là một quá trình ngẫu nhiên Trong trường hợp này tham số t đóng vai trò biến thời gian

• Nếu T là một tập con của Rd thì ta gọi X = {X(t), t ∈ T } là một trường ngẫu nhiên

Nếu quá trình ngẫu nhiên X = {X(t), t ∈ T } lấy giá trị trong Rn thì ta có một quá trình ngẫu nhiên n− chiều

Giả sử X = {X(t), t ∈ T } là quá trình ngẫu nhiên, ký hiệu

L2(Ω) =

n

X(t) : E

Z

Ω

|X(t)|2dP (ω)



< ∞

o

.

1.1.2 Quá trình thích nghi với một bộ lọc

Định nghĩa 1.2 a) Một họ các σ- trường con {F t } t≥0 củaF, F t ⊂ F được gọi

là một bộ lọc thỏa mãn các điều kiện thông thường nếu:

i) Đó là một họ tăng, tức F s ⊂ F t nếus < t

ii) Đó là một họ liên tục phải, tức Ft = T

ε>0

Ft+ε iii) Mọi tập P- bỏ qua được A ∈ F đều được chứa trong F0, tức là

A ∈ F và P(A) = 0 thì A ∈ F 0

b) Cho một quá trình ngẫu nhiên X = {X(t), t ≥ 0} Ta xét họ các σ- trường

{F X

t }t≥0 sinh bởi tất cả các biến ngẫu nhiên X(s) với s ≤ t, tức F X

t = σ(Xs, 0 ≤

s ≤ t) σ- trường này chứa đựng mọi thông tin về diễn biến quá khứ của quá trình X cho đến thời điểm t Người ta gọi đó là bộ lọc tự nhiên của quá trình

X, hay là lịch sử của X, hay cũng còn gọi là trường thông tin về X

c) Một không gian xác suất (Ω, F ,P) trên đó ta gắn thêm một bộ lọc {Ft}t≥0, được gọi là một không gian xác suất lọc và ký hiệu là (Ω, F , (F t ),P)

c) Cho một bộ lọc bất kì,{Ft}t≥0 Quá trình X = {X(t), t ≥ 0} được gọi là thích nghi với bộ lọc {Ft}t≥0, nếu với mỗi t ≥ 0 thì Xt là Ft- đo được

Định nghĩa 1.3 Choσ > 0 Quá trình ngẫu nhiên W = {W (t), t ≥ 0} được gọi

là quá trình Wiener (hay chuyển động Brown) với tham sốσ2 nếu nó thỏa mãn

các điều kiện sau

i) W (0) = 0 hầu chắc chắn

ii) W có gia số độc lập, tức là với 0 < t1 < t2 < < tn thì các biến ngẫu

nhiên

W (t1), W (t2) − W (t1), , W (tn) − W (tn−1),

là độc lập

iii) Với 0 ≤ s < t thì W (t) − W (s) là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn

W (t) − W (s) ∼ N (0; σ2(t − s)).

Trong trường hợpσ2= 1 thì quá trình được gọi là quá trình Wiener tiêu chuẩn

Một số tính chất của quá trình Wiener

Cho quá trình ngẫu nhiên Wiener W = {W (t), t ≥ 0}

a)W (t) là martingale đối với bộ lọc tự nhiên {F W

t }t≥0 của quá trình WienerW, tức là

E(Wt |FsW) = W s , ∀s < t.

b) P{ω :quĩ đạo t 7→ W (t, ω) là khả vi} = 0

c) P{ω :quĩ đạo t 7→ W (t, ω)có biến phân bị chặn trên một khoảng hữu hạn bất kỳ } =

0

d) W tuân theo luật lôgarit- lặp như sau:

P

n

ω : lim sup

t→∞

W (t)

√ 2t ln ln t = 1

o

= 1.

1.2 Tích phân ngẫu nhiên Itô

Định nghĩa 1.4 Cho quá trình ngẫu nhiên Wiener W = {W (t), t ≥ 0} trên

không gian xác suất (Ω, F ,P)

a) Với mỗi t ≥ 0, ký hiệu Ht = FtW là σ- trường sinh bởi họ {W (s), 0 ≤ s ≤ t}

Khi đó Ht được gọi là σ- trường đại số chứa các thông tin về lịch sử của hàm

ngẫu nhiên W cho tới thời điểm t

b) Ký hiệu H+t là σ- trường sinh bởi họ {W (u) − W (t), u ≥ t} Khi đó H+t được gọi là σ- trường đại số chứa các thông tin về tương lai của hàm ngẫu nhiên W

sau thời điểm t

c) Một họ {Ft}t≥0 các σ- trường con của F được gọi là họ lọc đối với quá trình Wiener W nếu

• Fs ⊂ Ft nếu s < t

• H t ⊂ F t với mọi t ≥ 0

• Ft độc lập với H+t với mọi t ≥ 0

Định nghĩa 1.5 Giả sử f (t, ω), t ≥ 0 là một quá trình ngẫu nhiên nào đó a) Ta nói rằngf (t, ω)là phù hợp đối với họ lọc{F t } t≥0 nếu với mỗit ≥ 0, ánh xạ

ω 7→ f (t, ω) là Ft- đo được Điều này có nghĩa là tại mỗi thời điểm t, biến ngẫu nhiên f (t, ω) chỉ phụ thuộc vào các thông tin trong σ- trường Ft

b) Ta nói rằng f (t, ω) là đo được lũy tiến đối với lọc {F t } t≥0 nếu với mỗi t ≥ 0, hàm (t, ω) 7→ f (t, ω) xác định trên [0, t] × Ω là Bt × Ft đo được, ở đây Bt là σ -trường Borel của [0, t]

Rõ ràng nếu f (t, ω) là đo được lũy tiến đối với lọc {F t } t≥0 thì nó phù hợp với lọc {Ft}t≥0

c) Ký hiệu N2(0, T ) là tập hợp các hàm ngẫu nhiên f (t, ω) đo được lũy tiến và

E



T

Z

0

f2(t, ω)dt< ∞.

Ta có N2(0, T ) là không gian Banach với chuẩn

||f || =

v u u u tE



T

Z

0

f 2 (t, ω)dt.

d) Ký hiệu N1(0, T ) là tập hợp các hàm ngẫu nhiên f (t, ω) đo được lũy tiến và

E



T

Z

0

|f (t, ω)|dt< ∞.

Tài liệu tham khảo

[1] Trần Hùng Thao (2000), Tích phân ngẫu nhiên và phương trình vi phân ngẫu nhiên, Nhà xuất bản Khoa học và kỹ thuật

[2] Đặng Hùng Thắng (2009), Mở đầu về lý thuyết xác suất và ứng dụng, Nhà xuất bản Giáo dục

[3] Đặng Hùng Thắng (2013), Xác suất nâng cao, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội

[4] Nguyễn Duy Tiến (2005), Các mô hình xác suất và ứng dụng, phần III: Giải tích ngẫu nhiên, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội

[5] Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến (2004), Cơ sở lý thuyết xác suất, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội

[6] Bhattacharya, R.N (1978), "Criteria for recurrence and existence of invari-ant measure for multidimensional diffusions", Ann.Prob, 6, pp.541-553 [7] Chen, Z., Kulperger, R (2003), "A stochastic prey predator process and damping" In preparation

[8] Chessa, S., Fujita Y.H (2002), "The stochastic equation of predator-prey population dynamics", Boll Unione Mat Ital Sez B.Artic Ric Mat, 5, pp.789-804 (in Italian)

[9] Friedman, A (1973), "Wandering out to infinity of diffusion processes", Trans Am Math Soc., 184, pp.185-203

[10] Gard, T.C (2000), "Transient effects of stochastic multi-population mod-els", in Electron J Differential Equat., Conf 05 (Proc Conf Nonlinear Differential Equations, Coral Gables, FL, 1999), eds S.Cantrell and C Cos-ner, Texas State University, pp.81-90

[11] Gard, T., Kannan, D (1976), "On a stochastic differential equation model-ing of prey-predator evolution", J Appl Prob, 13, pp.429-433

[12] Karlin, S., Taylor, H (1981), A Second Course in Stochastic Processes, Aca-demic Pree, New York

[13] Khasminskii, R.Z., Klebaner, F.C (2001), "Long term behavior of solu-tions of the Lotka-Volterra system under small random perturbasolu-tions", Ann.Appl.Prob, 11, pp 952-963

[14] King, A et al (1996), "Weakly dissipative predator-prey systems", Bull Math Biology, 58, pp.835-859

[15] Mangel, M., Ludwig, D (1977), "Probability of extinction in a stochastic competition", SIAM J Appl Math, 33, pp.256-266

[16] Manthey, R., Maslowski, B (2002) "A random continous model for two interacting populations", Apll Math Optimization, 45, pp.213-236

[17] Mao, X., Marion, G., Renshaw, E (2002), "Evironmental Brownian noise suppresses explosions in population dynamics", Stoch Process Appl, 97, pp.95-110

[18] Rafail Khasminskii (2012), Stochastic Stability of Differiential Equations, Spinger

[19] Renshaw, E (1991), Modelling Biological Populations in Space and Time, Cambridge University Press

[20] Rudnicki, R (2003), " Long-time behavior of a stochastic prey-predator models", Stoch, Process Appl, 108, pp.93-107