Phân tích tính vững của mô hình sinh thái ngẫu nhiên có sự phân vùng bảo tồn

Bộ Giáo Dục và Đào tạoTrường Đại Học VinhNguyễn Thị Hoài Thu Phân tích tính vững của mô hình sinh thái ngẫu nhiên có sự phân vùng bảo tồn Luận văn thạc sĩ toán học Nghệ An - 2015... 9 2

Bộ Giáo Dục và Đào tạoTrường Đại Học Vinh

Nguyễn Thị Hoài Thu

Phân tích tính vững của mô hình sinh thái ngẫu nhiên

có sự phân vùng bảo tồn

Luận văn thạc sĩ toán học

Nghệ An - 2015

Bộ Giáo Dục và Đào tạoTrường Đại Học Vinh

Nguyễn Thị Hoài Thu

Phân tích tính vững của mô hình sinh thái ngẫu nhiên

Mục lục

1.1 Tích phân ngẫu nhiên và công thức Itô 3

1.2 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 8

1.3 Định lý so sánh đối với quá trình Itô một chiều 9

2 Tính vững của hệ sinh thái ngẫu nhiên có sự phân vùng bảo tồn 11 2.1 Tính chất tồn tại duy nhất nghiệm dương của hệ phương trình 11

2.2 Dáng điệu theo thời gian của mật độ của quần thể trong tự nhiên 16 2.3 Dáng điệu theo thời gian của mật độ của quần thể trong vùng được bảo tồn 21

2.4 Ví dụ số 24

Kết luận 28

Tài liệu tham khảo 29

Mở đầuTrong thực tế hiện nay, sự phát triển mạnh mẽ của nền kinh tế dẫn đến ônhiễm môi trường và phá vỡ hệ sinh thái là một vấn đề nhức nhối của toàn xãhội Rất nhiều nguồn tài nguyên bị khai thác vượt quá mức cho phép Rất nhiềuloài động vật bị chết và một số loài khác bị diệt vong Hậu quả sẽ không lườnghết nếu chúng ta không đưa ra được tác động tích cực từ ngày hôm nay Do đó,ngăn chặn tác động xấu đến hệ sinh thái và bảo vệ môi trường là việc làm đã và

đang được quan tâm Để hạn chế sự tàn phá môi trường sinh thái và tái tạo nguồntài nguyên, người ta thường phân vùng để bảo tồn các loài sinh vật và nguồn tàinguyên thiên nhiên

Giả sử Ω là môi trường sống của loài nào đó trong hệ sinh thái, nó đượcchia thành 2 vùngΩ1 vàΩ2, Ω1 là môi trường tự nhiên,Ω2 là vùng được bảo tồn

Do đó, có sự khác nhau về mật độ quần thể ở 2 vùngΩ1 và Ω2 và có sự di cư giữavùng hai vùng,với hệ số tỉ lệ di cư dựa trên hiệu số mật độ giữa hai vùng và được

ký hiệu làD(D > 0) Giả sử mật độ quần thể trên các vùng Ω1 và Ω2 lần lượt là

x(t) và y(t) ; sức chứa của vùng Ω1 là H, của vùng Ω2 là h D(x(t) − y(t)) làlượng cá thể di cư từ vùng Ω1 sang vùng Ω2 Nếu chúng ta xem mô hình không

có yếu tố ngẫu nhiên tác động vào thì tốc độ biến động của mật độ của một loài

ta xét đến trong từng vùng được mô hình hóa như sau:

(0.1)

trong đó a

b là tỉ lệ về sức chứa trong các môi trường sống của loài và E là hệ sốtác động bất lợi đến loài trong môi trường tự nhiên Mô hình này đã được nghiêncứu bởi nhiều nhà toán học (xem: [1, 2, ])

Tuy nhiên, trong thực tế các loài sống trong môi trường hệ sinh thái luôn

bị tác động của các yếu tố ngẫu nhiên bên ngoài Do đó, thay vì nghiên cứu cácmô hình tất định người ta đi nghiên cứu mô hình sinh thái có tác động của yếu

tố ngẫu nhiên Đi theo hướng này trong các bài báo [3, 4, ] đã xét hệ phươngtrình vi phân ngẫu nhiên It^o sau là mô hình hóa toán học của mô hình sinh thái

được phân vùng bảo tồn có tác động của yếu tố ngẫu nhiên

h(x(t) − y(t)) dt + αy(t)dB(t)

(0.2)

Trong luận văn này chúng tôi tập trung nghiên cứu tính chất của nghiệmcủa hệ phương trình (0.2) từ đó đưa ra dự báo cho tác động của việc phân vùngbảo tồn đến sự tồn tại của một loài nào đó trong hệ sinh thái Dựa trên ý tưởng

đó chúng tôi chọn đề tài "Phân tích tính vững của mô hình sinh thái ngẫu nhiên

có sự phân vùng bảo tồn"

Nội dung của luận văn được chia làm 2 chương

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này luận văn tậptrung trình bày các kết quả cơ bản của quá trình ngẫu nhiên và phương trình viphân ngẫu nhiên làm cơ sở cho việc trình bày các kết quả của chương sau

Chương 2 Tính vững của hệ sinh thái ngẫu nhiên có sự phân vùngbảo tồn Trong chương này luận văn trình bày về điều kiện tồn tại nghiệm dươngcủa hệ phương trình(0.2) và xét một số tính chất theo quỹ đạo của nghiệm đó làcác điều kiện tồn tại hay diệt vong của một loài

Luận văn được hoàn thành là nhờ sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của

TS Nguyễn Thanh Diệu Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành nhất đếnthầy Qua đây cũng xin cảm ơn các thầy cô trong khoa Sư phạm Toán học trường

Đại Học Vinh, đặc biệt là các thầy cô trong chuyên ngành Lý thuyết Xác suất vàThống kê Toán học Mặc dù có nhiều cố gắng song chắc chắn sẽ còn nhiều thiếusót, rất mong được sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc

Nghệ An, tháng 10 năm 2015

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Tích phân ngẫu nhiên và công thức Itô

Lấy (Ω, F , P) là không gian xác suất với lọc là {Ft}t>0 thỏa mãn điềukiện thông thường (tức{Ft}t>0 là họ tăng cácσ-đại số con của F thỏa mãn điềukiện: Ft = T

s>tFs với mọi t > 0 và F0 chứa mọi tập có xác suất 0) Lấy

W = {Wt}t>0 là quá trình chuyển động Brown xác định trên không gian xácsuất phù hợp với lọc{Ft}t>0

Định nghĩa 1.1.1 Lấy 0 6 a 6 b < ∞ Ký hiệu M2

([a, b]; R) là không giancác quá trình f = {f(t)}t>0 nhận giá trị thực, (Ft)-phù hợp sao cho

kf k2a,b = E

Z b a

f (t) = lim sup

h↓0

1h

Z t t−h

b

f (s)ds

Khi đó, f là quá trình ngẫu nhiên khả đoán và f = f Do đó, không mất tínhtổng quát chúng ta có thể giả thiếtf ∈ M2([a, b]; R)là quá trình ngẫu nhiên khả

Bổ đề 1.1.3 Nếu g ∈ M0([a, b]; R), thì

E

Z b a

E

Z b a

g(t)dBt

2

= E

Z b a

|f (t) − gn(t)|2dt = 0 (1.5)

Định nghĩa 1.1.5 Giả sử g là một quá trình ngẫu nhiên đơn giản xác định bởi(1.2) trong M0([a, b]; R) Khi đó tích phân ngẫu nhiên của g đối với quá trìnhchuyển động Brown {Wt} được xác định như sau:

Với mỗi f ∈ M2([a, b]; R), theo Bổ đề 1.1.4, tồn tại dãy quá trình đơngiản {gn} sao cho

lim

n→∞E

Z b a

gm(t)dWt

2

= E

Z b a

([a, b]; R), tích phân ngẫu nhiên của quá trình

f theo quá trình chuyển động Brown {Wt}trên [a, b], ký hiệu là Rb

a f (t)dWt và

được xác định bởi

Z b a

f (t)dWt = L2 − lim

n→∞

Z b a

|f (t) − gn(t)|2dt = 0 (1.8)

Định nghĩa trên không phụ thuộc vào cách chọn dãy {gn}

Các tính chất sau đây của tích phân ngẫu nhiên được trình bày chứng minhchi tiết trong [6]

f (t)dWt +

Z c b

f (t)dWt =

Z c a

Z t 0

f (s)dWs

2#

6 4E

Z T 0

f (s)ds +

Z t 0

trong đó f ∈ L1

(R+; R) và g ∈ L2(R+; R) Khi đó chúng ta nói x(t) có viphân ngẫu nhiên dx(t) và viết là:

NếuV ∈ C2,1(R ì R+; R), thì Vx = ∂V∂x; Vxx = ∂∂x2V2.

Định lý 1.1.11 (Công thức Itô một chiều) Giả sử {x(t)}t>0 là quá trình Itô với

vi phân ngẫu nhiên

dx(t) = f (t)dt + g(t)dBt,trong đó f ∈ L1

+Vx(x(t), t)g(t)dBt (1.13)

Định lý 1.1.12 (Công thức Itô nhiều chiều) Giả sử {x(t)}t>0 là quá trình Itôvới vi phân ngẫu nhiên

dx(t) = f (t)dt + g(t)dBt,trong đó f ∈ L1

(R+; Rd) và g ∈ L2

(R+; Rdìm) Lấy V ∈ C2,1

(Rd ì R+; R).Khi đó V (x(t), t) cũng là quá trình ngẫu nhiên Itô với vi phân ngẫu nhiên đượcxác định bởi:

dV (x(t), t) =Vt(x(t), t)+Vx(x(t), t)f (t)+1

2trace g

T(t)Vxx(x(t), t)g(t)
dt+ Vx(x(t), t)g(t)dBt (1.14)

1.2 Phương trình vi phân ngẫu nhiên

Lấy (Ω, F , P) là không gian xác suất đầy đủ, với lọc {Ft}t>0 thỏa mãncác điều kiện thông thường Ký hiệu B(t) = (B1(t), ã ã ã , Bm(t))T, t > 0 làquá trình chuyển động Brown m-chiều xác định trên không gian xác suất Lấy

0 6 t0 < T < ∞, ký hiệu x0 là một biến ngẫu nhiên Rd-giá trị, Ft0-đo được,sao choE|x0|2 < ∞ Lấy f : Rdì [t0, T ] → Rd và g : Rdì [t0, T ] → Rdìm làhai hàm Borel Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô dạng:

(iii) Phương trình (1.16) sau được thỏa mãn với mọi t ∈ [t0, T ] với xác suất 1

Phương trình (1.15) được gọi là có duy nhất nghiệm trên [t0, T ] nếu khi

X(t) và X(t) là 2 nghiệm của phương trình thì:

P {X(t) = X(t), ∀ t ∈ [t0, T ]} = 1

Bây giờ chúng ta chỉ ra điều kiện đảm bảo cho sự tồn tại duy nhất nghiệm củaphương trình (1.15)

Định lý 1.2.2 Giả sử tồn tại hai hằng số K1 và K2 sao cho

(i) (Điều kiện Lipschitz) Với mọi x, y ∈ Rd và t ∈ [t0, T ]

|f (x, t) − f (y, t)|2 ∨ |g(x, t) − g(y, t)|2 6 K1|x − y|2 (1.17)(ii) (Điều kiện tăng tuyến tính) Với mọi (x, t) ∈ Rdì [t0, T ]

|f (x, t)|2 ∨ |g(x, t)|2 6 K2(1 + |x|2) (1.18)Khi đó tồn tại duy nhất nghiệm x(t) của phương trình (1.15) vàx(ã) ∈ M2([t0, T ]; Rd)

1.3 Định lý so sánh đối với quá trình Itô một chiều

Định lý 1.3.1 (Định lý so sánh) Giả sử hai quá trình ngẫu nhiên x1(t)và x2(t)

là hai quá trình ngẫu nhiên Ft−phù hợp và các điều kiện sau được thỏa mãn:

xi(t) = xi(0) +

Z t 0

σi(τ, xi(τ ))dB(τ ) +

Z t 0

βi(τ )dτ, i = 1, 2 (1.19)

x1(0) 6 x2(0), β1(t) 6 b1(t, x1(t)), β2(t) > b2(t, x1(t)) ∀t > 0, (1.20)

Khi đó, với xác suất 1 ta có:

x1(t) 6 x2(t) , ∀ t > 0 (1.21)Hơn nữa, nếu các phương trình sau tồn tại duy nhất nghiệm

dX(t) = σ(t, X(t))dB(t) + bi(t, X(t))dt, i = 1, 2 (1.22)thì bất đẳng thức (1.21) vẫn đúng khi điều kiện sau đây được thỏa mãn

b1(t, x) 6 b2(t, x) ∀t > 0, x ∈ R (1.23)

Chương 2

Tính vững của hệ sinh thái

ngẫu nhiên có sự phân vùng bảo tồn

2.1 Tính chất tồn tại duy nhất nghiệm dương của

này vào phương trình (2.1), ta có được hệ phương trình:







dx(t) = [x(t)(a − bx(t)) − D∗(x(t) − y(t)) − Ex(t)] dt + αx(t)dB(t),

dy(t) = [y(t)(a − by(t)) + D∗β(x(t) − y(t))] dt + αy(t)dB(t)

(2.2)

Nghiệm (x(t), y(t)) của hệ phương trình (2.2) là mật độ quần thể trên vùng Ω1

và Ω2 tại thời điểm t nên chúng không âm Do vậy chúng ta chỉ xét không giantrạng thái của nghiệm là:

R2+ = {(x, y)|x > 0, y > 0}

Bổ đề 2.1.1 Miền R2

+ là miền dương bất biến đối với hệ (2.2) hầu chắc chắnvới điều kiện ban đầu x(0) > 0, y(0) > 0 Có nghĩa là với điều kiện ban đầux(0) > 0, y(0) > 0, thì nghiệm x(t) > 0, y(t) > 0 hầu chắc chắn với mọi

t > 0

Chứng minh Xét phương trình:

dˆx(t) = ˆx(t) [a − D∗ − E − bˆx(t))] dt + αˆx(t)dB(t), ˆx(0) = x0 > 0 (2.3)Khi đó phương trình (2.3) có nghiệm là:

ˆ

(a−D∗−E− α2

2 )t+αB(t) 1

x 0 + bR0te(a−D∗−E−α22 )s+αB(s)ds

Dễ thấy rằng ˆx(t) > 0 , ∀ t > 0 Mặt khác theo định lý so sánh, suy ra

x(t) > ˆx(t) với mọi t > 0 khi x(0) = ˆx(0) > 0 Do đó x(t) > 0 với mọi t > 0.Tương tự ta chứng minh được y(t) > 0 với mọi t > 0

Bổ đề 2.1.2 Tồn tại duy nhất nghiệm dương địa phương x(t), y(t) với t ∈ [0; τe)của hệ (2.2) với điều kiện ban đầu x0 > 0, y0 > 0, với τe là thời điểm nổ

Chứng minh Cho u(t) = lnx; v(t) = lny bằng công thức Itô ta có :

nổ Khi đó dễ dàng xem x(t) = eu(t); y(t) = ev(t) là nghiệm địa phương duynhất của hệ (2.2) với điều kiện ban đầu x0 > 0; y0 > 0

Định lý 2.1.3 Tồn tại duy nhất nghiệm dương x(t), y(t) với t > 0 của hệ (2.2)với điều kiện ban đầu x0 = y0 > 0, và nghiệm (x(t), y(t)) ∈ R2

+ h.c.c

Chứng minh Để chứng minh nghiệm không nổ tại thời điểm hữu hạn ta chứngminh τe = +∞, h.c.c Lấy k0 đủ lớn sao cho x0 và y0 nằm trong khoảng[k1

0; k0] Với mọi số nguyên k > k0, xác định thời điểm dừng

τk = inf{t ∈ [0; τe) : x(t) 6∈ (1

k; k) hoặc y(t) 6∈ (1

k; k)}. (2.6)Trong chứng minh này chúng ta quy ước infimum của tập rỗng bằng ∞ (inf ∅ =+∞) Rõ ràng {τk} là dãy tăng Đặt limk→∞τk = τ∞, ta có τ∞ 6 τe h.c.c

Do đó, nếu chúng ta chứng minh được τ∞ = ∞ h.c.c thì τe = ∞ h.c.c Giả sử

τ∞ < ∞ thì tồn tại T > 0 và ε ∈ (0; 1) sao cho P(τ∞ 6 T ) > ε

Ký hiệu Ωk = {τk 6 T }, tồn tại k1 > k0 sao cho:

P(Ωk) > ε, với mọi k > k1 (2.7)Xét hàm V : R2

+ → R+ xác định bởi

V (x, y) = x − 1 − ln x + y − 1 − ln y

[K1V (x(s), y(s)) + K2]ds+

Z τk∧T 0

V (x(s), y(s))ds

Z T

áp dụng bất đẳng thức Gronwall ta có:

[V (x(0), y(0)) + K2T ] eK1 T

> E [IΩkV (x(τk, ω), y(τk, ω))]

> ε{[k − 1 − ln k] ∧ [1

k − 1 + ln k]}.Cho k → ∞ suy ra điều mâu thuẫn sau:

+∞ > [V (x(0), y(0)) + K2T ] eK1 T = +∞

Do vậy τ∞ = ∞, h.c.c Suy ra τe = ∞,h.c.c Ta có điều phải chứng minh

Bổ đề 2.1.4 Nghiệm x(t), y(t) với t > 0 của hệ (2.2) với điều kiện ban đầu

x0 = y0 > 0 thỏa mãn y(t) > x(t), ∀t > 0

Chứng minh Ta có:

dx(t) = [x(t)(a − bx(t)) − D∗(x(t) − y(t)) − Ex(t)] dt + αx(t)dB(t)

dy(t) = [y(t)(a − by(t)) + D∗β(x(t) − y(t))] dt + αy(t)dB(t),

Gọi ˜x(t) là nghiệm của phương trình:

Để xét dáng điệu nghiệm của phương trình (2.12), trước hết chúng ta xétmô hình quần thể không có các yếu tố bất lợi đến quần thể, được mô tả bởi phươngtrình Logistic sau:

Z t 0

Suy ra víi mäi ε > 0 tån t¹i T sao cho:

e(a−α22 )s+αB(s)

ds +

Z t T

ln ϕ(t) = ln ϕ0 +

Z t 0

(a − bϕ(s) − α

2

2 )ds +

Z t 0

αdB(s)

Z t 0

ϕ(s)ds + lim

t→∞

αB(t)t

Z t 0

Z t 0

Z t 0

(−bϕ(s))ds + αB(t)

t .Do

Z t 0

(−bϕ(s))ds + lim

t→∞

αB(t)

t 6 0.Hay

Định nghĩa 2.2.2 Một loài được gọi là tồn tại bền vững (persistent) theo trungbình nếu mật độ quần thể x(t) thỏa mãn:

lim inf

t→∞

1t

Z t 0

Z t 0

2 Bằng công thức Itô chúng ta có thể thấy :

(a−E−α22 )t+αB(t) 1

X 0 + bR0te(a−E−α22 )s+αB(s)ds (2.20)

là nghiệm của phương trình (2.12) với giá trị ban đầu X0 , khi đó:

2 ®iÒu nµy suy ra

§Þnh lý 2.3.1 NÕu a > D∗β + α22 th× c¸c c¸ thÓ cña loµi trong vïng b¶o tån

Ω2 tån t¹i bÒn v÷ng theo trung b×nh vµ tháa m·n:

a − D∗β − α22

t→∞

1t

Z t 0

y0 + bR0te(a−D ∗ β−α22 )s+αB(s)ds

lµ nghiÖm duy nhÊt cña (2.22) vµ

(a− α2

2 )t+αB(t) 1

ψ(s)ds 6 lim inf

t→∞

1t

Z t 0

y(s)ds 6 lim

t→∞

1t

Z t 0

Z t 0

Z t 0

Z t 0

2 th× c¸c c¸ thÓ cña loµi trong vïng tù nhiªn Ω1

tån t¹i bÒn v÷ng theo trung b×nh vµ tháa m·n

lim inf

t→∞

1t

Z t 0

Víi x(t) > φ(t), ∀t > 0 h.c.c

e(a−E−α22 )t+αB(t)

là nghiệm duy nhất của phương trình sau :

Z t 0

Z t 0

x(s)ds > lim

t→∞

1t

Z t 0

Do y(t) > x(t), ∀t > 0 nên ta chỉ cần chứng minh limt→∞y(t) = 0

Ta có: dy(t) = [y(t)(a − by(t)) + D∗β(x(t) − y(t))] dt + αy(t)dB(t)

nên dy(t) 6 ay(t)dt + αy(t)dB(t)

Với a < α

2 suy ra a − α

2 < 0 Do đó tồn tại ε > 0 sao cho a − α

2 + αε < 0.Mặt khác, áp dụng Định lý luật mạnh số lớn ta có:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

t

X(t)

Hình 2.1: Qũy đạo X(t) với x0 = 1, b = 1, α = 1, a = 0, 9; E = 0, 3

Với bộ tham số x0 = 1, b = 1, α = 1, a = 0, 9; E = 1 Khi đó, a − E <

α 2

2 , theo Định lý 2.2.3 dẫn đến loài sẽ bị tuyệt chủng Mật độ của loài được thểhiện ở Hình 2.2

0 5 10 15 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

X(t)

Hình 2.2: Qũy đạo X(t) với x0 = 1, b = 1, α = 1, a = 0, 9; E = 1

Ví dụ 2.4.2 Trong ví dụ này chúng tôi mô tả mật độ của loài trong trường hợp

được phân vùng bảo tồn bằng cách mô tả nghiệm số của phương trình (2.1).Xét phương trình (2.1) với bộ số x0 = 1, y0 = 1, b = 1, α = 1, a = 0, 9; D =

1, h = 4, H = 10, E = 0, 3 Khi đó, a > D∗β + α22, áp dụng Định lí 2.3.1 ta

có mật độ của loài trong vùng bảo tồn tồn tại bền vững Trong trường hợp này,

a − E > α22 nên mật độ của loài trong môi trường tự nhiên cũng tồn tại bềnvững Mật độ của cả hai vùng được mô tả bởi Hình 2.3

loài trong vùng bảo tồn tồn tại bền vững Mật độ của cả hai vùng được mô tảbởi Hình 2.4.

t

y(t)

Hình 2.4: Qũy đạo X(t), Y (t) với E = 1

Ví dụ 2.4.3 Trong ví dụ này chúng tôi xét mô hình với cường độ di cư giữa 2vùng khác nhau Kết quả nghiệm số sẽ cho chúng ta thấy cường độ di cư cànglớn thì chênh lệch mật độ càng ít Xét bộ tham số x0 = 0, 5; y0 = 0, 5; b =

1, α = 1, a = 0, 9; E = 1, h = 4, H = 10, D = 1 (D = 3, 5) Mật độ của cácvùng được mô phỏng trong Hình 2.5

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

t

x(t) khi D=3.5 y(t) khi D=3.5

Hình 2.5: Qũy đạo X(t), Y (t) với D = 1 và D = 3, 5

Ví dụ 2.4.4 Ví dụ sau đây chúng tôi xét ảnh hưởng của diện tích bảo tồn Kết

Xét hệ (2.1) với bộ tham số x0 = 0, 5; y0 = 0, 5, b = 1, α = 1, a = 1, E =

1, H = 20, D = 1, h = 2 (h = 8) tương ứng Khi đó mật độ của các vùng ứngvới các giá trị của h được mô tả trong Hình 2.6

t

y(t) khi h=2

Hình 2.6: Qũy đạo X(t), Y (t) với h = 2 và h = 8

Ví dụ 2.4.5 Ví dụ tiếp theo chúng tôi muốn chỉ ra rằng y(t) > x(t) > X(t).Trong đó y(t), x(t) là nghiệm của hệ (2.2) và X(t) là nghiệm của phương trình(2.12) Xét 2 hệ phương trình trên với bộ tham số x0 = 0, 5; y0 = 0, 5; b =

1, α = 1, a = 2, E = 1, H = 10, D = 1, h = 4 Khi đó ta có, a − E > α 2

2 Theo Định lí 2.2.3 các cá thể tồn tại bền vững Mật độ của loài được mô tả bởiHình 2.7

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

t

y(t) X(t)

Hình 2.7: Qũy đạo y(t), x(t), X(t)

Chương 2

Tính vững hệ sinh thái< /h2>

ngẫu nhiên có phân vùng bảo tồn< /h2>

2.1 Tính chất tồn nghiệm dương của< /h3>