Tính đạo hàm của các hàm số 2.. Xác định a để hàm số đồng biến... Xác định m để hàm số có CĐ và CT... Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.Gọi các giá trị cực đại, cực tiểu là yCĐ, yCT..
Trang 1Vấn đề 1: Txđ của hàm số
Tìm tập xác định của các hàm số (Bài 1-7):
−
−
=
1
2
→ D = [-2; -1) ∪ (1; 2]
2)
4
2 5
2 2
−
−
−
=
x x
x
3) 4 log (log 1) 2 3 2 7 6
2
x x
y
→ D = [6; 8]
6) y= x+ 3 + 2 x+ 2 + 2 −x2 + 2 1 −x2 → D = [-1; 1]
7) y= 9x − 5 3x + 4 → D = (-∞ ; 0] ∪ [log34; +∞ )
Tìm m để các hàm số sau có TXĐ là R
8) y= (m+ 1 )x2 − 2 (m− 1 )x+ 3m− 3 → m ∈ [1; +∞ )
+ +
y
→ m ∈ (1; +∞) 10) y= lg( 4x +m 2x+ 1 −m) → m ∈ (-1; 0]
Vấn đề 2: Tgt của hàm số
Tìm tập giá trị của các hàm số sau:
1)
2 cos sin
cos 2
− +
+
=
x x
x
2
19 5
; 2
19 5
2)
4
1 2
2 + +
−
=
x x
x
15
19 2 4
; 15
19 2 4
(Sử dụng đạo hàm: t = sinx)
(y’ có nghiệm x = 1/2)
(Sd đạo hàm hoặc BĐT )
9)
1 2
1 2
+
−
= x x
−
=
2
2 2
Vấn đề 3: đạo hàm và đạo hàm cấp cao
1 Cho hàm số f(x) = x(x - 1)(x - 2)…(x - 2006) Tính f’(0)
Trang 2Tính đạo hàm của các hàm số
2 y = logsinx(cosx + 1)
3 a) y= ln(x+ x2 +a2), a > 0 → 1/ x2 +a2
b) y= lnx+ x2 −a2 , a > 0 → 1/ x2 −a2
4.y =x( 2x)4x
5 Cho hàm số y = cosx Chứng minh )
2 cos(
)
6.[ĐHGT_97] Cho hàm số y = sin25x Tính y(n)(x)
2
) 1 ( 10 sin 2
x
n
7.[ĐHGT_96] Cho hàm số y = ln(2x + 1) Tính y(n)
n n
x
n
) 1 2 (
2 )!.
1 ( ) 1
+
−
8.[ĐH Nông Nghiệp I_96] Tính đạo hàm cấp n của hàm số
4
1
2 −
=
x y
+
−
−
) 2 (
1 )
2 (
1
! ) 1 ( 4
1
n n
n
x x
n
9 Cho hàm số 22+3 3+2
+
=
x x
x y
a. Tìm a, b sao cho 1+ +2
+
=
x
b x
a y
10.[ĐH Luật HN_00] Tính đạo hàm cấp n (Không chứng minh)
1 2
2 3
2
2
− +
+
−
=
x x
x x y
→ y(n) = − − + − + +
−
1 1
1
) 1 (
2 )
1 2 (
2
! ) 1
n n
x x
Vấn đề 4: tính đơn điệu của hàm số
1 Tìm m để hàm số luôn đồng biến( đồng biến trên R)
y =
3
1
x3 – 2x2 + (m + 1)x – 1 → m ≥ 3
2 Tìm m để hàm số nghịch biến trên R
y = 1−3mx3 – 2(2 - m)x2 + 2(2 - m)x + 5 → 2 ≤ m ≤ 3
3 Xác định m để hàm số đồng biến trên MXĐ
1
1
2
−
− +
=
x
mx x
4 Xác định m để hàm số đồng biến trên MXĐ
m x
m m mx x
m y
−
+
−
−
− +
5 Với giá trị nào của m thì hàm số y = x + m.cosx luôn tăng
→ -1 ≤ m ≤ 1 6.[ĐHHH_00] Cho hàm số y =
-3
1
x3 + (a - 1)x2 + (a + 3)x – 4 Xác định a để hàm số đồng biến
Trang 37.[ĐHTL_95] Cho hàm số y =
3
3
ax - (a - 1)x2 + 3(a - 2)x +
3
1
Tìm a để hàm số đồng biến trên
8.[ĐHSP Quy Nhơn_99] Cho hàm số
1
2 ) 1 ( 2
2 +
+ + +
=
x
x m x
y Tìm m để hàm số đồng biến trên (0; +∞) → m ≥ 0
9.[ĐHKT_95] Cho hàm số
m x
m x
m x
y
−
+ +
− +
= 2 2 (1 ) 1 Tìm m để h/s đồng biến trên (1; +∞) → m
≤ 3 - 2 2
10.[ĐHKTQD_00] Xác định khoảng tăng, giảm, các điểm CĐ, CT : y = x.e-3x
→ đb/(-∞; 1/3 ), nb/(1/3; +∞), yCĐ = y(1/3) = 1/3e
vấn đề 5: cực trị của hàm bậc ba
1 Xác định m để hàm số có CĐ và CT : y = x3 + mx2 + 3mx + 5
→ m < 0, m > 9
2 [ĐH Huế D_97Với giá trị nào của m thì hàm số y = -(m2 + 5m)x3 + 6mx2 + 6x – 6 đạt CĐ tại
3 Tìm m để hàm số y = x3 – (m + 3)x2 + mx + m + 5 đạt cực tiểu tại x = 2
→ m = 0
4 [ĐHBK_00]Tìm m để hàm số không có cực trị y = mx3 + 3mx2 – (m - 1)x – 1
→ 0 ≤ m ≤ 1/4
5 [ĐHQG TPHCM A_01] Tìm m để đồ thị hàm số có CĐ và CT Lập PT đờng thẳng đi qua CĐ
và CT của đồ thị hàm số y = 2x3 + 3(m - 3)x2 + 11 – 3m
→ m ≠ 3, y = -(m - 3)2x + 11 – 3m
6 Cho hàm số y = mx3 – 3mx2 + (2m + 1)x + 3 – m Xác định m để hàm số có CĐ và CT CMR khi đó đờng thẳng nối CĐ, CT luôn đi qua một điểm cố định
→ m < 0, m > 1; y = −32(m - 1)x + 31 (10 - m) Điểm cố định A(-1/2; 3)
7 [ĐH Huế A_01] Xác định m để hàm số y = x3-
2
3
mx2 +
2
1
m3 có các điểm CĐ, CT đối xứng nhau qua đờng thẳng y = x → m ≠ 0 (có CĐ, CT), m = ± 2
8 Cho hàm số y = 2x3 – 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1 Tìm m để đồ thị có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đờng thẳng y = x + 2
→ m = -1, m = −1±4 17
9 Cho hàm số y = 4x3 – mx2 – 3x + m CMR ∀ m hàm số luôn có CĐ, CT đồng hoành độ các
điểm CĐ, CT luôn trái dấu → xCĐ.xCT = -1/4 < 0
10 Cho hàm số y = 2x3 + 3(m - 1)x2 + 6(m - 2)x – 1 Tìm m để hàm số đạt CĐ, CT tại x1, x2 và
2
2
1 +x =
1 Xác định m để hàm số y = -x4 + 2mx2 có ba cực trị → m > 0
2 Xác định m để hàm số y = (1 - m)x4 – mx2 + 2m – 1 có đúng một cực trị
Trang 4→ m ≤ 0 hoặc m ≥ 1 3.[HVQHQT_97] Xác định m để hàm số y = x4 – 2mx2 + 2m + m4 có các điểm cực đại, cực tiểu
4 Cho
1
2 3 ) 2 (
2
+
+ + + +
=
x
m x m x
y Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.Gọi các giá trị cực đại, cực tiểu là yCĐ, yCT CMR yCĐ2 + yCT2 >1/2 → m > -1/2 → m > -1/2
5.[ĐHSPHN I_01] Cho hàm số
1
2 2
2 +
+ +
=
x
mx x
y Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu
và khoảng cách từ hai điểm đó đến đờng thẳng x + y + 2 = 0 bằng nhau
6.[ĐHTL A_98] Cho hàm số
1
2
−
+
−
=
x
m mx x
y CMR hàm số có cực trị với mọi m và khoảng cách
7.[ĐHANA_99]Cho
1
8
2
−
+
− +
=
x
m mx x
y Xác định m để điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số ở
về hai phía đờng thẳng 9x – 7y – 1 = 0 → -3 < m < 9/7
8.[ĐHQG D_99] Cho hàm số
1
2 +
+ +
=
x
m x x
y Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu và hai điểm
9 Cho hàm số
1
2
2
+
−
− + +
=
m x
m mx
x
y Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ nhỏ
10.Cho hàm số
m x
m x m x y
−
− + +
−
= 2 ( 1) 2 1.Tìm m để hàm số có các cực trị luôn nằm trong góc phần
Vấn đề 7: GTLN và GTNN
1.[HVNH_98] Tìm min, max của hàm số y = - sin3x – 3sin3x → maxy = 2, tại sinx = -1
miny = -2, tại sinx = 1
2 Tìm min, max y= x− 1 + 3 −x → maxy = 2, miny = 2
3.[ĐHCSND_01] Tìm max y = 5cosx – cos5x trên [-π/4; π/4] → maxy = 3 3khi x = ±π/6
2
1 ) 4 cos 2 sin 1 (
→ maxy = 5,miny = 1(t = sin2x) 5.[ĐHSPHNI_01] Tìm min, max
x x
x x
2 4
cos 4 sin 3
sin 4 cos 3
+
+
= → maxy = 8/5, khi sin2x = 1/3
miny = 4/3 khi sin2x = 1 6*.[ĐHNT_01] Giả sử x, y thay đổi thỏa mãn x> 0, y > 0 và x + y = 1 Hãy tìm min của
y
y x
x
P
−
+
−
=
1
ĐS: miny = 2khi x = y=1/2 7.[ĐHKTQD_97] Tìm max y=x3 + 3x2 − 72x+ 90 trên [-5; 5]
→ maxy = y(-5) = 400 8.[ĐHGT_97] Tìm min, max y = sinx – cos2x + 1/2 → maxy = 3/2, miny = -3/4
Trang 59.[HVNH_98] Tìm min y x x
cos
1 sin
1 +
= với x ∈ (0; π/2) → C1: sd BĐT Côsi
C2: t = sinx +cosx,miny= 2 2
10 Tìm min, max
3 cos 2 sin
cos sin
+ +
−
=
x x
x x
Vấn đề 8: Tính lồi lõm và điểm uốn
1.[ĐHY_01] Tìm khoảng lồi lõm và điểm uốn 2
1 2
2 + −
−
=
x x e
y → I1(0; 1/ e), I2(2; 1/ e)
2 CMR các hàm số sau có phần lồi, lõm nhng không có điểm uốn
a)
2
1 2
+
−
=
x
x
y b)
x
x
2 +
= 3.CMR hàm số
1
1 2
2 + +
+
=
x x
x
y có ba điểm uốn và ba điểm uốn đó cùng nằm trên một đờng thẳng
→ I1(1;1),I2(-2; -1)I3(-1/2;0), y = (2/3)x + 1/3
4.[ĐHY_99] CMR hàm số
1
1
2 +
+
=
x
x
y có ba điểm uốn thẳng hàng, viết phơng trình đờng thẳng đi
qua các điểm uốn → I1 − − −4
3 1
; 3 2
, I2(1; 1), I3 − + +4
3 1
; 3 2
5 CMR các điểm uốn của đồ thị hàm số y = sinx/x nằm trên đờng cong (C) có phơng trình y2(4 + x2) = 4
6.[HVCTQG TPHCM_99]
Cho hàm số y = mx3 + 3mx2 + 4 (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm) có điểm uốn M(-1; 2)
→ m = -1
Sử dụng tính chất hàm lồi
7.[Đ78] CMR ∀ x ∈ [0; π/2) ta có 2sinx + 2tgx ≥ 2x+1 → SD t/c hàm lồi sau đó xét → xét hàm f(x) = sinx + tgx –2x 8*.[ĐHNT TPHCM_96]CMR với mọi tam giác ABC, ta đều có
1 2
2 2 2
2 2
2
3 2
2 2
−
≥
+
+
tg B
tg A
tg → Xét hàm f(x) = (tgx)2 2
9 Cho tam giác ABC CMR
2
3 3 2
cos 2
cos 2 cos A+ B+ C ≤ 10.Cho tam giác ABC có ba góc nhọn CMR
2
2 2 2
tg B tg A
Vấn đề 9: tcận_đồ thị của hàm số chứa dấu gttđ
1.[ĐHSPHNII_01] Tìm các đờng tiệm cận của đồ thị hàm số
1
3
2 +
+
=
x
x y
→ y =1 là TCN bên phải
y = -1 là TCN trái 2.[HVKTQS_99] Tìm các đờng tiệm cận y=x+ x2 +x+ 1→ y = -1/2 là TCN trái
Trang 6y = 2x + 1/2 là TCX phải 3.[ĐHQG_99] Tìm các tiệm cận
4
1
2 −
+
=
x
x
y = ±1 là TCN phải, trái 4.[ĐHYHN_01] Cho hàm số
1
1
2
−
− +
=
x
mx x
y Tìm m để TCX của đồ thị cắt các trục toạ độ tại hai
điểm A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 18
→ m = 5, m = -7 5.[Đ23] Cho hàm số
m mx
m x x m y
+
+ +
−
−
=( 1)( 2 2 ) 4, m ≠-1/4, m ≠ 0 CMR đồ thị hàm số có TCX và
m
m
6.[HVHCQG_01] Từ đồ thị hàm số y = x3 – 6x2 + 9x (C) suy ra đồ thị hàm số
y x3 6x2 9x
+
−
7.[ĐHGT_98] Từ đồ thị hàm số
2
3 3
2
−
+
−
=
x
x x
y suy ra = 2 −−32+3
x
x x y
8.[ĐHCĐ_99] Từ đồ thị hàm số
1
1 2
2 +
+
−
=
x
x x
2 +
− +
=
x
x x y
9 Từ đồ thị hàm số y = x3 – x2 + 2 suy ra y =x3 −x2 + 2
10.Từ đồ thị hàm số
2
2 3
+
+
=
x
x
2
2 3
+
+
=
x
x y
Vấn đề 10: tiếp tuyến của đồ thị hàm số(1)
1.[ĐHAN_A00] Cho hàm số y = x3 + mx2 – m – 1.Viết PTTT tại các điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua,∀m → A1(1; 0), y= (2m + 3)( x - 1)
A2(-1;-2), y = (-2m + 3)(x + 1) – 2
2.[ĐHAN_A01] Cho hàm số
1
2
2
−
+ +
=
x
x x
y Tìm trên đồ thị các điểm A để tiếp tuyến với đồ thị tại
A vuông góc với đờng thẳng đi qua A và tâm đối xứng của đồ thị
→ A1(1 + 4 8 ; 3 + 2 4 2 + 4 8), A2(1 − 4 8 ; 3 − 2 4 2 − 4 8)
3.[HVCNBCVT_01] Cho hàm số y = x3 – 3x (C)
a) CMR khi m thay đổi, đờng thẳng (d): y = m(x + 1) + 2 luôn cắt (C) tại một điểm A cố định
→ A(-1; 2) b) Xác định m để (d) cắt (C) tại ba điểm A, B, C phân biệt sao cho tiếp tuyến tại B và C vuông
4 Cho hàm số y = -x4 + 2mx2–2m+1 Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại A(1;0) và B(-1;0)
5.[ĐHBKHN_95] Tiếp tuyến với đờng cong y = x + 1/x (C) cắt Ox tại x =a,cắt Oy tại y=b
Viết PTTT ấy biết a.b = 8 → y = -x ± 2 2
6.[ĐHTCKT_00] Tìm trên đồ thị hàm số
1
2 2
2 +
+ +
=
x
x x
y các điểm sao cho tiếp tuyến tại đó vuông
7.[HVQY_01] CMR tại một điểm bất kì của đồ thị hàm số
2
5
2 2 +
+
=
x
x x
y tiếp tuyến luôn cắt hai tiệm cận tạo thành một tam giác có diện tích không đổi → S = 4
Trang 78 Cho y = x3 + 3x2 + 3x + 5 (C) CMR trên đồ thị (C) không tồn tại hai điểm sao cho tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc
9 Cho hàm số
x
x x
2 − +
= Tìm trên đờng thẳng x = 1 những điểm M sao cho từ M kẻ đợc hai
10 Cho hàm số
1
1 2
+ + +
=
x x
y (C) Tìm nhừng điểm A thuộc Ox sao cho từ A kẻ đợc hai tiếp
Vấn đề 11: tiếp tuyến của đồ thị hàm số(2)
1.[ĐHAN_D98] Cho hàm số y = x3 – 3x Viết PTTT kẻ từ A(-1; 2) → y = 2,y = (-9/4)x – 1/4
2.[Đ95] Cho hàm số
2
3 3
2 +
+ +
=
x
x x
y Viết PTTT biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng (∆): x –
3.[ĐH Kinh Tế_01] Tìm giao điểm của tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
1
−
+
=
x
x
y với Ox biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng y = x + 2001 → y = -x + 8, A(8; 0)
4.[ĐHNT_A98] Cho hàm số y = x3 + 3x2 – 9x + 5 Trong các tiếp tuyến với đồ thị, hãy tìm tiếp tuyến với hệ số góc nhỏ nhất → y = -12x + 4(t2 tại điểm uốn)
5.[HVNH TPHCM_99] Cho hàm số y = x3 – 3x Tìm những điểm trên đờng thẳng y = 2 mà từ
đó kẻ đợc ba tiếp tuyến → A(a; 2), a >2 hoặc –1≠a<-2/3 6.[Đ66] Cho hàm số
2 2
4 3
2
−
+
−
=
x
x x
y M là một điểm tuỳ ý thuộc đồ thị Tiếp tuyến của đồ thị tại M cắt TCĐ và TCX tại A và B Chứng tỏ rằng là trung điểm của AB và ∆IAB, với I là giao điểm hai tiệm cận có diện tích không phụ thuộc vào M (S = 2)
7.[ĐH Thái Nguyên_D97] CMR trên đồ thị hàm số
1
2 3
−
+
=
x
x
y không tồn tại điểm nào mà tiếp tuyến tại đó đi qua giao điểm hai tiệm cận
8.[HVQHQT_A96] CMR mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2
4 2
2
−
+
−
=
x
x x
y đều không đi qua giao
điểm hai tiệm cận
9.[ĐHSP Hải Phòng_01] Tìm điểm M trên đờng thẳng x = 2 để từ M kẻ đợc ba tiếp tuyến đến đồ thị hàm số y= -x3+ 3x2 – 2 → M(2; a), 2 < a < 3
10.[ĐHBK_96] Cho hàm số
1
1
+ +
=
x x
y CMR qua A(1; -1) kẻ đợc hai tiếp tuyến vuông góc đến
đồ thị hàm số
Vấn đề 12: các bài toán về khoảng cách
1.[ĐH Đà Nẵng_B98] Cho hàm số y =
1
1 2
+
+
x
x
Tìm trên đồ thị những điểm có tổng khoảng cách
2.[ĐHAN_97] Cho hàm số y =
3
1 2
−
+
x
x
Tìm trên đồ thị những điểm có tổng khoảng cách đến hai
Trang 83.[ĐHNT_99] Cho hàm số y = x + x1−1 Tìm hai điểm A, B trên hai nhánh khác nhau của đồ thị sao cho khoảng cách AB ngắn nhất → A,B ± ± ± 4
4
1 2 1
; 2
1 1
4.[ĐHSP TPHCM_D00] Cho y =
1
3 3
2 +
+ +
x
x
x Tìm hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác nhau để khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất →A,B − ± ± ± 4
4
1 2 2
; 2
1
5.[ĐHQG_B98] Cho y =
1
2 2
2 +
+ +
x
x x
Tìm những điểm thuộc đồ thị sao cho khoảng cách từ đó đến trục hoành bằng hai lần khoảng cách từ đó đến trục tung
→ A( 2 , 2 2), B(− 2 , − 2 2) 6.[ĐHNT_A01] Cho y =
1
2 2
2
−
− +
x
x x
Tìm những điểm thuộc đồ thị sao cho khoảng cách từ đó đến giao điểm hai tiệm cận nhỏ nhất → x = 1 ± 1 / 4 2, d = 2 + 2 2
7.[HVKTQS_00] Cho y =
2
5 4
2 +
+ +
x
x x
Tìm những điểm thuộc đồ thị sao cho khoảng cách từ điểm
đó đến đờng thẳng y + 3x + 6 = 0 nhỏ nhất
→A(-3/2;5/2),B(-5/2;5/2),d=4/ 10
8 Cho y =
2
5
2
−
− +
x
x x
CMR tích khoảng cách từ một điểm M bất kì thuộc đồ thị đến các đờng tiệm cận là một hằng số
9.[ĐHDL Hải Phòng_00] Cho y = x x−−12 Tìm những điểm trên đồ thị cách đều hai điểm O(0;0), B(2; 2)
10 Cho y =
1
1
+
−
x
x
.CMR tích khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đồ thị hàm số đến các đờng tiệm cận là một hằng số