Ôn thi vào 10 Rút gọn biểu thức

- Rút gọn biểu thức chứa chữ.. Sử dụng kết quả rút gọn để: + Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến; + Giải phương trình, bất phương trình so sánh biểu thức với một số;

- Rút gọn biểu thức chứa chữ Sử dụng kết quả rút gọn để:

+ Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến;

+ Giải phương trình, bất phương trình ( so sánh biểu thức với một số);

+ Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức;

+ Tìm giá trị nguyên của biểu thức ứng với các giá trị nguyên của biến

B BÀI TẬP

I.RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC SỐ

+ Luôn chú ý tới dấu hiệu chia hết để thuận tiện cho việc phân tích

+ Triệt để sử dụng các phép biến đổi căn thức như: Nhân chia hai căn thức bậc hai, đưa thừa số vào trong hay ra ngoài dấu căn, khử mẫu của căn thức, trục căn thức ở mẫu…

) 7 3 2

= ( 2 − 3 ) 5 + ( 9 + 6 ) 2 = 15 2 − 5

b/ ( 28−2 3+ 7 ) 7 + 84

2 2

302302

4 9

Giải Khi

4 9

x=thỏa mãn ĐKXĐ

x

 

1 2 2 1

2

1 2 2

a

− ĐK a≥0;a≠1Tớnh giỏ trị của A khi a=19−8 3

• Những sai lầm hay mắc của học sinh:

- Khi thay giỏ trị x cần tớnh khụng đối chiếu điều kiện đầu bài (TMĐK)

- Sau khi tớnh giỏ trị biểu thức mẫu cũn chứa căn thức, khụng trục căn thức ở mẫu (Ví dụ2,3)

Dạng 2 Bài toán tìm x để biểu thức P(x) = m (m là hằng

số)

Bớc 1 Sử dụng tính chất

c b d a d

c b

a

=

⇔

=

để làm mất mẫu củaphơng trình

Bớc 2 Giải phơng trình vừa thu đợc để tìm đợc x

Bớc 3 Đối chiếu điều kiện và chọn nghiệm hợp lí

Ví dụ1 :Cho A = x−1

x

(với x ≥ 0 và x ≠ 1) Tìm các giá trịcủa x để:

Vậy không có giá trị nào của x để A = 3

1 1

x x

a Tim giá trị của x để A = 3

1

HƯỚNG DẪN GIẢI:

a) Điều kiện 0< ≠x 1

Với điều kiện đó, ta có:

• Những sai lầm hay mắc của học sinh:

- Một số học sinh sau khi tìm được giá trị của x xong không kết hợp với điều kiện đề bài đã kết luận

- Một số học sinh dùng dấu ‘’ = ’’ khi biến đổi

Bµi 1: Cho biÓu thøc

b)TÝnh gi¸ trÞ cña A khi x=3-2 2

Bµi gi¶i: a) §KX§ x≥0;x 1≠

1 1

x x

b Tim giá trị của x để A = 3

1

HƯỚNG DẪN GIẢI:

a) Điều kiện 0< ≠x 1

Với điều kiện đó, ta có:

So sánh P với

2 1

Bài 3: M =

2

x x

−

(ĐK: x >0) Chứng minh M <1

Bài 4: M = x+2

x

(ĐK: x≥0)

So sánh M với 1

Bài 5: B =

1 3

x x

+ + (ĐK: x >0)

+

(ĐK: x>0; x≠

1) Chứng minh P>

x x

+ +

(ĐK: x>0; x≠

9) Chứng minh B>

Bài 11:

M=

1 2

x x

+ +

2

x ChoB

So sánh P với

2 1

x

+

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M

Bài 2: Cho biểu thức:

2

0 1

x x

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P

Bài 3: Cho biểu thức:

1

0 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A

Bài 4: Cho biểu thức:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B

Bài 5: Cho biểu thức:

16

0 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C

Bài 6: Cho biểu thức:

( 0; 1)1

Khi P có nghĩa, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P

Bài 7: Cho biểu thức:

1,

M ≤ ∀x

TMĐK Vậy

Dấu “=” xảy ra

25 3

TMĐK TMĐ

x

K

x x

Chứng minh M < 1

x x

+ + Chứng minh B >

Bài 6: A = 1

x

x+ x+

Chứng minh A <

∀ >x 0và x≠1Vậy A- B >0 ⇒ >A B với ∀ >x 0và x≠1

* Những sai lầm học sinh hay mắc lỗi:

- Khi xét hiệu không được dùng dấu “⇔

”

- Một số bài HS chưa biết biến đổi tử số, hoặc mẫu số về dạng HĐT

- Lập luận để đưa biểu thức về dạng

A B

>0 hoặc

A B

x x

,

Rút gọn : A =

1

) 1 ).(

1 ( 1 1

1 1

= +

x x

x x

x x

1 )

1 ).(

1 (

) 1 (

1

1 1

−

= +

=

x

x x

x

x x x

x x A

b) x = 4

9

thì A = 3 c) A < 1 ⇒0≤x<1

Ví dụ 2 : Cho biểu thức : M = a

a a

= +

1 1

2

1 2

1 2

1

a

a a

a a

a a

1

a a M

b/ So sánh giá trị của M với 1.

1

1 1

a a

( ) ( ) ( ( )( )( ) ) a

a a

a a

a a a

a a

a

11

11

1

1

=+

x x x

x x

x

P

2

22

22

1

31

a/ Biểu thức P có nghĩa khi và chỉ khi :

02

010

x

x x

321

0

x x x

x x x

x x

x

P

2

2 2

2 2

1

3 1

−

−

− +

=

x x

x x

x x

x x

x x x

x

x x

2

2 2

2 2

1 2

1

2 1 3

1 1

x x

x

x

x x

=

2

2 2

2

1

2 1 3

1 1

x x

x

x

x x

−

− +

=

2

2 3

2 1 3

1 1

x

x x

x x x

1 2 2 1

2

1 2 2 1

2

1 2 2

13

x x

x

A

với x ≠ ±3 a/ Rút gọn biểu thức A

33

33

9

3

33

11333

623

3

113313

2

33

1133

13

29

1133

13

2

2

2 2

2

−

=

−+

+

−++++

−

=

−+

−

−+++

−

=

−+

−

−

−

+++

x

x x x

x

x x

x x

x x

x x x x x

x

x x

x x

x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

, A < 2 tức là

(*)03

60

3

62

3

03

32

30

23

32

x

x

x

x x

x

x x

x

Dễ thấy x + 6 > x – 3 vì vậy Bất phương trình (*) có nghiệm khi 



<

−

>+03

06

x x

⇔ −6 < x < 3 Vậy với −6< x < 3

thì A < 2

c/ Ta có

)9(33

93

933

3

U x

x x

∈

−+

x

x x

x

B

1

1 1 1

x x

x

B

1

1 1 1

1

1

2 1 1

1

1 2

1

1 1

1

1

1 1

+

−

+ +

=

+

− + +

−

+

− +

+

−

+ +

+

−

−

− +

=

x x

x x x

x x

x x x

x x

x x x

x x

x x x x

x x

x x x

b/ Ta có B = x − 1

và B = 3, tức là x −1=3⇔ x = 4⇔ x=16

( t/m đkxđ) Vậy với x = 16 thì B = 3

* Ví dụ 7 : Cho biểu thứ

3 3

3 3

:112

.11

xy y

x

y y x x y x y x y x y x

A

+

++

b/ Biết xy = 16 Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó

Giải: Đkxđ : x > 0 , y > 0

a/

3 3

3 3

: 1 1 2

1 1

xy y

x

y y x x y x y x y x y x

A

+

+ +

xy x y x xy

y x y x xy

y x

+

++

y x

y x

xy xy

0

2

≥

−+

16 2 2

y x A

*Một số chú ý khi giải các bài toán rút gọn tổng hợp

(Đây là dạng toán cơ bản và có tính tổng hợp cao)

Bước 1: Điều kiện để biểu thức có nghĩa (căn thức xác định, mẫu khác không… nếu bài toán chưa cho)

Bước 2: Phân tích các mẫu thành nhân tử (áp dụng thành thạo các phép biến đổi căn thức)

+ Áp dụng quy tắc đổi dấu một cách hợp lý để làm xuất hiện nhân tử chung.

+ Thường xuyên để ý xem mẫu này có là bội hoặc ước của mẫu khác không Bước 3: Tiến hành quy đồng rút gọn, kết hợp với điều kiện của đề bài để kết luận.

Bước 4: Làm các câu hỏi phụ theo yêu cầu của bài toán

+ Tuân thủ nghiêm ngặt các phép biến đổi phương trình, bất phương trình.

+ Kết hợp chặt chẽ với điều kiện của bài toán để nhận nghiệm, loại nghiệm và kết luận.

a P

x x

11 3 3

1 3

2

a, Rút gọn biểu thức A

b, Tìm giá trị của M khi x =

3 2 4

c, Tìm các giá trị của x∈

N để giá trị của M là số tự nhiên

Bài 4: Cho biểu thức :

1

x x

x x

x P

x

nhận các giátri nguyên

Bài 5: Cho biểu thức: P =  − 1+ − 1 : − 1−1

1

x

x x

x x

1 1

Bài7: Cho biểu thức D =

−

+

ab

b a ab

b a

1 1

: − 

+ + +

ab

ab b a

1

2 1

a) Tìm điều kiện của x để D xác định Rút gọn D

b) Tính giá trị của D với a = 2 3

b, Tính giá trị của A tại x = 9

c, Tìm các giá trị của x thỏa mãn: x.A 6= x+3

Bài 9: Cho biểu thức:

b, Tìm x để

1 8

x P

+

3 HD giải và đáp số 1 số bài tự luyện

Bài 1: Cho biểu thức :

a P

b) a = 36 ⇒ a =6 ⇒ P = 11

1

c) P <

100 0

Bài 3: Cho biểu thức: M = x

x x

x x

11 3 3

1 3

3

− +

1

x x

x x

x P

a) ĐKXĐ : x > 0 vµ x ≠1

b) Rút gọn : P = x

x 1−

c) P > 0 ⇔ x

x 1− > 0 ( x > 0 và x ≠1 )

⇔ ( x −1

) ∈ (2) ⇔ ( x −1

x x

a) ĐKXĐ : x ≥ 0 ; x ≠ 1

1 2

1 2 1

1 2

≥ +

−

= +

+

=

x x

x

P

nên minP = 1 khi x = 0

Bài 6 : Cho biểu thức : A = ( 1)( 2)

3 :

1 1

b)a= 7+ 4 3 ⇒ a= 2+ 3 ⇒ A=

) 3 2 ( 3

3

+ = 3

3 3

1

( Với a> 0; a≠1; a≠4) ⇒ a> 16

Bài 8: Cho biểu thức: D =

−

+

ab

b a ab

b a

1 1

: − 

+ + +

ab

ab b a

1

2 1

ab b a

- Rút gọn D = 1

2

+

a a

b) a =

1 3 )

1 3 ( 1

3 2 ( 2 3

2 3 2 1 3 2

2

3 2 2

−

−

= + +

c) Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si ta có

1 1

.Vậy max D = 1

Bài 8: