Đồ thị nhìn thấy và các vấn đề liên quan

Đồ thị nhìn thấy củamột tập hữu hạn các điểm trong mặt phẳng gồm các điểm được gọi là các đỉnh và các đoạn thẳng nối giữa hai đỉnh là các cạnh sao cho nếu đoạn thẳng nối giữahai đỉnh của

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

KHOA TOÁN - TIN

ĐỖ THỊ TUẤN MINH

ĐỒ THỊ NHÌN THẤY VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ toán học Chuyên ngành: Hình học và tô pô

Mã số: 60.46.01.05

Hà Nội - 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

KHOA TOÁN - TIN

ĐỖ THỊ TUẤN MINH

ĐỒ THỊ NHÌN THẤY VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ toán học Chuyên ngành: Hình học và tô pô

Cán bộ hướng dẫn: TS Phạm Hoàng Hà

Hà Nội - 2017

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn

sâu sắc tới TS Phạm Hoàng Hà người đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ bảo

tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, và gửi lời kính chúc sức khỏeđến toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán - Tin, trường Đại học sư phạm

Hà Nội− đã dạy bảo tôi tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, ngườithân, bạn bè đã luôn ở bên, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trìnhhọc tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp

Hà Nội, ngày 15 tháng 03 năm 2017

Học viên

Đỗ Thị Tuấn Minh

Mục lục

1.1 Các khái niệm cơ bản 7

1.2 Một số kết quả 9

1.3 Đồ thị k-liên thông 12

2 Tính liên thông của đồ thị nhìn thấy 17 2.1 Cạnh liên thông 19

2.2 Bổ đề cơ bản 24

2.3 Đỉnh liên thông 28

2.4 Đỉnh liên thông với giới hạn cộng tuyến 31

3 Một số vấn đề liên quan đến đồ thị nhìn thấy 39 3.1 Giả thuyết Dirac 39

3.2 Định lý Beck 43

LỜI MỞ ĐẦU

Hình học tổ hợp nghiên cứu sự phân bố, sắp xếp giữa các đối tượng hữu hạncủa hình học như sắp xếp các điểm, các đường thẳng, các siêu phẳng trongkhông gian Euclid Hình học tổ hợp có liên quan mật thiết đến các vấn đề khácnhư các bài toán tô màu, các bài toán tối ưu Để nghiên cứu hình học tổ hợp,chúng ta cần nắm rõ các kiến thức cơ bản về tôpô, lý thuyết đồ thị, lý thuyết số

và các ngành khác Một trong các nội dung nghiên cứu của hình học tổ hợp là lýthuyết đồ thị, một trường hợp đặc biệt là đồ thị nhìn thấy, nó có rất nhiều ứngdụng trong lĩnh vực hình học tổ hợp và hình học rời rạc Đồ thị nhìn thấy củamột tập hữu hạn các điểm trong mặt phẳng gồm các điểm được gọi là các đỉnh

và các đoạn thẳng nối giữa hai đỉnh là các cạnh sao cho nếu đoạn thẳng nối giữahai đỉnh của đồ thị không chứa các đỉnh khác Gần đây với việc nhiên cứu đồ thịnhìn thấy, David R Wood và các đồng sự đã đưa ra được rất nhiều kết quả có giátrị như một khẳng định cho giả thuyết Dirac yếu, các bài toán tô màu

Với mục đích tìm hiểu sâu sắc hơn về đồ thị nhìn thấy, tôi chọn đề tài: " Đồ

thị nhìn thấy và các vấn đề liên quan" Luận văn trình bày chi tiết các kết quảnghiên cứu gần đây về đồ thị nhìn thấy và một số ứng dụng của nó trong một sốbài toán hình học tổ hợp

Nội dung chính của luận văn bao gồm:

Chương 1: Đồ thị nhìn thấy

Trong chương này, tôi trình bày những kiến thức cơ sở lý thuyết đồ thị và đồthị nhìn thấy như: Các khái niệm về đỉnh, cạnh, bậc của đỉnh, đồ thị vô hướng,

có hướng, tính liên thông và các phép toán về đồ thị

Chương 2: Tính liên thông của đồ thị nhìn thấy

Trong chương này, tôi trình bày chi tiết các kết quả nghiên cứu gần đây vềtính liên thông của đồ thị nhìn thấy như: đỉnh- và cạnh- liên thông, giới hạn tốtnhất có thể của đỉnh- và cạnh-liên thông

Chương 3: Một số vấn đề liên quan đến đồ thị nhìn thấy.

Trong chương này, tôi trình bày chi tiết các kết quả nghiên cứu gần đây về giảthuyết Dirac và định lý Beck

Mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng do thời gian thực hiện luận văn khôngnhiều nên trong luận văn không thể tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Tôirất mong nhận được những góp ý và sự chỉ bảo của các thầy giáo, cô giáo cũngnhư các anh chị nghiên cứu sinh, các anh chị và các bạn học viên

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 15 tháng 03 năm 2017

Học viên

Đỗ Thị Tuấn Minh

Chương 1

Đồ thị nhìn thấy

Trong chương này trình bày hệ thống các kiến thức cơ bản và quan trọngnhất cần sử dụng trong nội dung chính của luận văn như: Các khái niệm vềđỉnh, cạnh, bậc của đỉnh, đồ thị vô hướng, có hướng, tính liên thông và các phéptoán về đồ thị và đồ thị nhìn thấy nói riêng

1.1 Các khái niệm cơ bản

Chúng ta bắt đầu bằng việc định nghĩa một số khái niệm sẽ được sử dụngtrong toàn luận văn:

+ Mặt phẳng đề cập tới là mặt phẳng Euclid trongR2

+ Tập hợp hữu hạn các điểm trong mặt phẳng được ký hiệu làP

+ Một đường thẳng được gọi là xác định bởiP nếu nó chứa hai điểm thuộcP

+ Tập các điểm được gọi là thẳng hàng nếu nó thuộc cùng một đường thẳng, ngược lại ta nói chúng không thẳng hàng.

Ta cũng giới thiệu một số kiến thức cơ sở về lý thuyết đồ thị

Định nghĩa 1.1. Đồ thị G= (V, E)bao gồm V là một tập hữu hạn các đỉnh cùng với

E là tập hợp gồm 2 phần tử của V gọi là cạnh.

Định nghĩa 1.2 Hai đỉnh được gọi là kề nhau nếu chúng được nối bởi một cạnh.

Định nghĩa 1.3 Đồ thị được gọi là phẳng nếu trong hình vẽ của nó không có hai cạnh

nào cắt nhau (trừ các cạnh chung đỉnh).

Định nghĩa 1.4 ChoP là tập hợp hữu hạn điểm Hai điểm phân biệt v và w là nhìn

thấy trongP nếu không có điểm nào thuộcP nằm trong khoảng mở vw Đồ thị nhìn

thấy củaP có tập hợp đỉnh làP, 2 đỉnh lúc đó là kề nhau nếu và chỉ nếu nó nhìn thấy trongP.

Hình 1.1là đồ thị nhìn thấy của tập các đỉnhP = {A; B; C; D; E; F}và các cặpđỉnh kề nhau là{(A, B);(A, D);(A, E);(A, C);(F, B);(F, D);(F, E);

(F, C);(A, F);(B, D);(D, E);(E, C)}

Định nghĩa 1.5 Đồ thị G(V, E)được gọi là đơn đồ thị nếu giữa 2 đỉnh phân biệt u,

v của V có nhiều nhất một cạnh trong E nối u và v Đồ thị G(V, E)được gọi là đa đồ

thị nếu giữa 2 đỉnh phân biệt u, v của V có thể có nhiều hơn một cạnh trong E nối u và

v (ở đây ta thừa nhận đa đồ thị có thể có vòng).

Định nghĩa 1.6 Hai đồ thị G, G’ được gọi là đẳng cấu nếu có một song ánh ϕ : V(G)

−→ V(G’) sao cho xy ∈ E(G) nếu và chỉ nếu ϕ(x)ϕ(y) ∈ E(G0) Một đồ thị H là đồ thị con của G, ký hiệu H ⊂ G, nếu có một đồ thị H’ đẳng cấu với H sao cho V(H’)⊂

V(G) và E(H’)⊂E(G).

Định nghĩa 1.7 Cho G = (V, E), v ∈ V, ta đặt: N(V) = {w ∈ V : vw ∈ E}là tập tất cả các đỉnh kề với v (không kể v) Khi đó d(v)=|N(v)| là bậc của v Ký hiệu δ(G)là

∆

Định nghĩa 1.8 Đồ thị G được gọi là liên thông nếu giữa hai đỉnh phân biệt bất kỳ

của đồ thị luôn có một đường nối 2 đỉnh ấy Thành phần liên thông của G là đồ thị con liên thông lớn nhất trong G chứa thành phần ấy.

Định nghĩa 1.9 Dưới đây ta nêu ra một số loại đồ thị thường gặp:

• Đường của đồ thị Pn có dạng , Pn có n cạnh và n+1 đỉnh; ta gọi n

là độ dài của đường.

• Chu trình Cn là đồ thị có dạng Đồ thị Cn có n cạnh và n đỉnh Bậc của mỗi đỉnh đều bằng 2 Ta gọi n là độ dài của chu trình.

• Đồ thị đầy đủ Kn là đồ thị có n đỉnh, tất cả các đỉnh đều là đỉnh kề của nhau Kn

có(n2)cạnh Ví dụ K4 là

• Đồ thị hai phần (bipartite) nếu có một sự phân chia V(G) = X∪Y sao cho với

mỗi cạnh của G có một đỉnh trong X và một đỉnh trong Y; chúng ta gọi sự phân chia đó là sự phân chia hai phần (bipartition).

• Đồ thị hai phần đầy đủ Ks,t là đồ thị có V(Ks,t)=X∪ Y Với |X|=s, |Y|=t, sao cho mỗi đỉnh trong X đều kề với tất cả các đỉnh của Y Không có cạnh nằm trong

X hoặc Y Ks,t có st cạnh Ví dụ K2,3là

1.2 Một số kết quả

Trong phần này, chúng tôi sẽ chứng minh một số kết quả cơ bản về đồ thị

Mệnh đề 1.10 Trong bất kỳ đồ thị nào ta đều có∑v∈V(G)d(v) = 2|E(G)|

Chứng minh. Chúng ta đếm số cặp (v, e) ∈ V(G) ×E(G) sao cho v ∈ e Khi

đó, một đỉnh v cho ta d(v) cặp như trên Nên tổng số cặp trong đồ thị G là

∑v∈V(G)d(v) Mặt khác, mỗi cạnh cho chúng ta 2 cặp(v, e)như trên Do vậy sốcặp tính theo số cạnh bằng 2|E(G)| Vậy∑v∈V(G)d(v) = 2|E(G)|

Mệnh đề 1.11 Một đồ thị G với bậc nhỏ nhất δ(G) > 2 chứa một đường có độ dài ít

nhất bằng δ(G)và một chu trình có độ dài ít nhất bằng δ(G) +1.

Chứng minh. Lấy v1v2 vk là đường lớn nhất trong G, theo nghĩa: đường nàykhông thể mở rộng thêm Khi đó tất cả các đỉnh kề với v1 đều phải nằm trênđường này, nếu không thì chúng ta có thể mở rộng nó Từ v1có ít nhất δ(G)đỉnh

kề, nên tập{v2, v3, , vk}chứa ít nhất δ(G)thành phần Do đó k > δ(G) +1 Vì

vậy đường trên có độ dài ít nhất bằng δ(G)

Làm tương tự với cách chứng minh trên với chu trình Đỉnh kề với v1, đỉnh

mà xa nhất thuộc đường phải là vi với i > δ(G) +1 Như vậy v1v2 viv1 là chu

Có nhiều nhất |V(G)| các bước liên tiếp mà không có đỉnh nào bị di chuyển,

từ đó nếu không đỉnh nào có thể bị di chuyển, thì chúng ta đã hoàn thành Chúng

ta di chuyển một đỉnh từ phần này sang phần khác và làm tăng lên số cạnh giữa

X và Y (chú ý rằng một đỉnh có thể di chuyển trở lạị và ra giữa X và Y, nhưng vẫnlàm tăng tổng số cạnh giữa X và Y trong mỗi bước) Điều này chỉ ra rằng thuậttoán có tính dừng vì số cạnh trong đồ thị là hữu hạn Khi thuật toán dừng, mỗi

có ít nhất nửa số cạnh của nó tới X Như vậy, đồ thị H với V(H)=V(G) và E(H)=

{xy ∈E(G): x ∈ X, y ∈Y}có tính chất|E(H)| > |E(G)|/2

Mệnh đề 1.13 Một đồ thị là hai phần nếu và chỉ nếu nó không chứa chu trình lẻ (với

chu trình lẻ là chu trình có độ dài lẻ).

Chứng minh. Giả sử G là đồ thị hai phần với sự phân chia hai phần V(G) =

X∪Y, và v1 vkv1 là một chu trình của G, với v1 ∈ X Ta phải có vi ∈ X với tất

cả các i lẻ và vi ∈Y với tất cả các i chẵn Do vk kề với v1 nên nó phải thuộc Y, vìvậy k là số chắn và chu trình này là không lẻ

Giả sử rằng chúng ta có một đồ thị G liên thông, không có chu trình lẻ Chúng

ta có thể thiết lập được một sự phân chia hai phần bằng cách sử dụng thuật toánsau Bắt đầu với X, Y là các tập rỗng Đặt một đỉnh tùy ý x0 vào trong X Đặttất cả các đỉnh kề với x0 vào trong Y Với mỗi đỉnh y ∈ Y, đặt vào trong X tất cảnhững đỉnh kề với y, những đỉnh mà chưa đươc chỉ định Sau đó với mỗi x∈ X,đặt trong Y tất cả các đỉnh kề với nó (những đỉnh mà chưa được chỉ định) Lặplại điều này cho tới khi tất cả các đỉnh trong G đều được xác định nằm trong hoặc

X hoặc Y Thuật toán này là đúng đắn bởi vì không có đỉnh nào được chỉ địnhnhiều hơn một lần (vì trong thuật toán chỉ xem xét đối với những đỉnh chưa đượcchỉ định) Điều còn lại cần chỉ ra rằng thuật toán là dừng (nghĩa là nó không tiếnhành một cách vô tận), và kết quả thu được thực sự là sự phân chia hai phần của

V(G)

Thuật toán này có tính dừng vì G là liên thông (theo giả sử) Thậy vậy, điềunày có nghĩa rằng với mỗi y ∈ Y có một đường yv1 vkx0 tới x0 , và với mỗibước có ít nhất một đỉnh khác từ đường này phải được chỉ định

Tiếp theo, chúng ta chỉ ra rằng V(G) = X∪Y là một sự phân chia hai phần.Giả sử rằng có hai đỉnh x1, x2 ∈ X là liền kề Theo cách xây dựng, có một đường

P từ x1 tới x0 chỉ chứa các cạnh giữa X và Y, và tương tự, có một đường P0 từ x2tới x0; chú ý rằng các đường này có thể giao nhau, vì vậy hợp của chúng khôngphải một đường Lấy x3 là đỉnh đầu tiên mà P giao với P0 (có thể là x0) Sau đó

chúng ta lấy đường P” từ x1 qua x3 tới x2, đường này cũng có tính chất là tất cảcác cạnh của nó đều là cạnh giữa X và Y Từ đó, đường này đi từ X vào X chỉchứa các cạnh giữa X và Y, nó phải có số cạnh chẵn Như vậy, nếu ta phối hợpvới cạnh x1x2 chúng ta có một chu trình lẻ, điều này mâu thuẫn Tương tự, nếu

y1, y2 ∈ Y liền kề Điều này chỉ ra rằng tất cả các cạnh trong G đều là cạnh giữa

X và Y, vì vậy G là đồ thị hai phần

Chúng ta đã giả sử rằng G là liên thông Nếu G không liên thông, chúng ta cóthể áp dụng chứng minh trên cho từng thành phần liên thông của G, và kết hợptùy ý sự phân chia hai phần của các thành phần liên thông đó cho ta sự phânchia hai phần của G

1.3 Đồ thị k-liên thông

Trước khi nghiên cứu về đồ thi k- liên thông, chúng ta chứng minh một công

cụ quan trong, là chìa khóa cho các tính chất chung này Đó là định lý của Menger

Định nghĩa 1.14 Cho hai tập hợp điểm A,B⊂ V(G), chúng ta gọi một AB-đường nếu một đỉnh cuối của nó nằm trong A, đỉnh cuối còn lại nằm trong B, và không có đỉnh nào khác nằm trong A hoặc B Nếu x ∈ A∩B thì ta xem như bản thân x cũng là một

AB-đường Chúng ta gọi một tập S ⊂ V(G)sao cho mọi AB- đường đều giao với S là một AB- separator.

Định lý 1.15. (Menger) Cho G là một đồ thị và A, B ⊂ V(G) Số lượng tối đa của các AB-đường rời nhau bằng lực lượng nhỏ nhất của tập S⊂ V(G)sao cho mọi AB-đường chứa 1 đỉnh của S.

Chứng minh Gọi s là lực lượng nhỏ nhất của một AB-separator Với bất kỳ tập các AB-đường rời nhau chứa nhiều nhất s đường, vì nếu không thì một separator lực

lượng s không thể cắt tất cả các đường Chúng ta phải chỉ ra rằng tồn tại mộttập hợp gồm s AB-đường rời nhau Chúng ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo

|E(G)| Khi|E(G)| =0 thì AB-separator nhỏ nhất chỉ là bản thân A∩B, vì vậy, ta

có s= |A∩B|và s đỉnh trong A∩B là s AB-đường rời nhau

Giả sử rằng|E(G)| > 1 và lấy xy là cạnh bất kỳ trong E(G) Chúng ta khẳng

định rằng nếu G không có s AB-đường rời nhau thì G có một AB-separator lực

lượng s chứa cả x và y Đầu tiên chúng ta chứng minh định lý dựa vào khẳngđịnh này, sau đó chúng ta sẽ chứng minh khẳng định đó

Xét đồ thị G-xy, trong đó S là một AB-separator Xét một AS-separator R trong

G-xy Nhận thấy rằng, mọi AB-đường trong G chứa một AS-đường trong G-xy(điều này có thể sai nếu ta không có x, y ∈ S), do R cũng là một AB-separatortrong G, ngụ ý rằng|R| > s Nó cho thấy rằng lực lượng nhỏ nhất của một AS-

separatortrong G-xy ít nhất bằng s Bằng quy nạp, điều này chỉ ra rằng G-xy có

s AB-đường rời nhau Các AS-đường và SB-đường không giao nhau ngoài S, từ

đó ta nhận được một AB-đường tránh S Do |S|=s, ta có thể liên kết s AS-đườngvới s SB-đường được s AB-đường rời nhau

Việc còn lại là chứng minh khẳng định: Nếu G không có s AB-đường rời nhau

thì G có một AB-separator S lực lượng bằng s chứa cả x và y Ta liên kết xy để có

được đồ thị G-xy Điều này có nghĩa là chúng ta bỏ xy và định nghĩa x và y nhưmột đỉnh vxy Chính xác hơn, chúng ta loại bỏ x,y và tất cả các cạnh kề với nó,thêm vào đỉnh mới vxy, và ta liên kết vxy với tất cả các đỉnh trước đây kề với xhoặc y (hoặc cả hai) Sau đó ta đặt A’=(A\{x, y}) ∪ {vxy} Ta làm tương tự vớitập B để nhận được tập B’

Một A’B’-đường P trong G-xy tương ứng với một hoặc nhiều AB-đường trong

G Nếu vxykhông nằm trên P thì P là một AB-đường trong G; Nếu vxynằm trên Pthì có thể có nhiều hơn một cách sửa đổi P thành một AB-đường trong G Ngượclại, một AB-đường trong G tương ứng với một A’B’-đường trong G-xy Cũng chú

ý rằng các A’B’-đường rời nhau trong G-xy tương ứng với các AB-đường rời nhautrong G

Theo Giả thiết, G không có s AB-đường rời nhau, vì vậy G-xy cũng không

có s A’B’-đường rời nhau Bằng phương pháp quy nạp (cho cả định lý, khôngphải chỉ cho khẳng định trên) Điều này chỉ ra rằng lực lượng nhỏ nhất của một

A’B’-separator trong G-xy nhiều nhất bằng s-1, vì vậy G-xy có một A’B’-separator

S’ có lực lượng nhiều nhất bằng s-1 Ta phải có vxy ∈ S0, mặt khác S’ là một

AB-separator trong G mà nhỏ hơn AB-separator nhỏ nhất (do mỗi AB-đường trong G

cho tương ứng một A’B’-đường trong G-xy) Đặt S = (S0\{vxy}) ∪ {x, y}, S là

một AB-separator trong G lực lương bằng s và chứa x,y.

Hệ quả 1.16 Cho G là một đồ thị và x, y ∈ V(G) là 2 điểm phân biệt sao cho xy /∈

E(G) Số lượng lớn nhất các đường bên trong rời nhau từ x tới y bằng lực lượng nhỏ nhất của tập S⊂ V(G)\{x, y}thỏa mãn tính chất mọi đường từ x đến y chứa một đỉnh của S.

Chứng minh. Áp dụng định lý 1.15 với A=N(x), B=N(y) (với N(x), N(y) lần lượt

là tập tất cả các đỉnh kề với x,y) Chú ý rằng việc thêm đỉnh x,y vào AB-đườngcho ta một đường từ x tới y, nhưng việc loại bỏ x và y từ một đường giữa x và

y có thể không cho ta một AB-đường, bởi vì một đường giữa x và y có thể quanhiều hơn một đỉnh kề của x hoặc y Tuy nhiên, mỗi đường giữa x và y chứa mộtđường con là một AB-đường, vì vậy số lượng lớn nhất của các đường bên trongrời nhau từ x đến y bằng số AB-đường rời nhau Theo định lý 1.15, số lượng lớnnhất các đường bên trong rời nhau từ x tới y bằng lực lượng nhỏ nhất của tậphợp S ⊂ V(G) sao cho mọi AB-đường đều giao với S Bất kỳ tập S nào đều cótính chất mọi đường từ x tới y đều chứa một đỉnh của S Việc còn lại là chỉ rarằng tập bé nhất S này không chứa x hoặc y Giả sử S chứa x và mọi AB-đườngđều giao với S, khi đó ta cũng có điều tương tự với tập S\{x}, từ đó đường đi từ

B đến A qua x chứa một đường con từ B đến A không chứa x, và đường con nàyphải chứa một vài đỉnh khác của S

Cho đồ thị G, S ⊂ G, G−Slà đồ thị con của G có được bằng cách bỏ đi nhữngđỉnh thuộc S và tất cả các cạnh là kề với bất cứ đỉnh nào của S

Định nghĩa 1.17 Một đồ thị G được gọi là k-liên thông nếu|V(G)| ≥ k và với mỗi tập

S ⊂ V(G)mà|S| = k−1 thì G-S là liên thông.

Chú ý rằng đồ thi 1-liên thông là liên thông, trừ trường hợp|V(G)| = 1

Định lý 1.18 Một đồ thị G là k- liên thông nếu và chỉ nếu với bất kỳ hai đỉnh phân biết

x,y∈ V(G)có k đường liên kết nội bộ từ x đến y trong G.

Chứng minh. Nếu G có k đường liên kết nội bộ giữa hai đỉnh bất kỳ, thế thì taphải có|V(G)| ≥ k, và sau khi bỏ đi k-1 đỉnh, với hai đỉnh bất kỳ vẫn liên thôngbởi một trong k đường, vì vậy G là k-liên thông

Ngược lại, Giả sử G là k-liên thông và G chứa hai điểm x,y mà chúng khôngđược liên kết bởi k đường bên trong rời nhau Nếu xy /∈ E(G), theo hệ quả 1.16

có k-1 đỉnh, những đỉnh mà loại bỏ liên kết x với y, mâu thuẫn với định nghĩak-liên thông Như vậy chúng ta có thể giả sử rằng xy ∈ E(G)

Theo giả thiết, bất kỳ tập các đường bên trong rời nhau liên kết giữa x và y

có lực lượng nhiều nhất bằng k-1 Hơn nữa, bất kỳ tập lớn nhất nào như vậy đềuchứa đường xy, vì nếu không chúng ta có thể cộng thêm vào nó Như vậy G-xy cónhiều nhất k-2 đường bên trong rời nhau từ x tới y Theo hệ quả 1.16, có một tập

S ⊃ V(G)\{x, y}lực lượng bằng k-2 sao cho mọi đường từ x tới y đều giao với S.Chúng ta có|S∪ {x, y}| = kvà|V(G)| > k, vì vậy tồn tại một đỉnh z /∈ S∪ {x, y}.Trong G-xy, S phải tránh z tới hoặc x hoăc y, mặt khác có một đường từ x tới ytránh S Điều đó nói rằng S tránh z từ x; thì S∪ {y}là tập của nhiều nhất k-1 đỉnh

mà chúng tránh z từ x trong G, mâu thuẫn với tính k-liên thông của G

Định nghĩa 1.19 Đặc trưng liên thông conn(G) của một đồ thị G là số lớn nhất k sao

cho G là k-liên thông.

Chúng ta có conn(Cn)=2, conn(Kn)=n-1 với n >3, conn(GP)=3 với GPlà đồ thịPetersen (đồ thị có 10 đỉnh, 15 cạnh, mỗi cạnh có bậc bằng 3, đường kính bằng

2 và chu trình nhỏ nhất bằng 5) Chú ý rằng conn(G)6 δ(G), từ đó nếu x là một

đỉnh có d(x) = δ(G), thì N(x)là tập gồm δ(G)đỉnh sao cho G−N(x)là khôngliên thông.

Chương 2

Tính liên thông của đồ thị nhìn thấy

Trong chương này chúng tôi nghiên cứu về cạnh- và đỉnh-liên thông của đồthị nhìn thấy Đồ thị G với ít nhất k+1 đỉnh là k-đỉnh-liên thông (k-cạnh-liênthông) nếu G giữ nguyên tính liên thông mỗi khi ít hơn k đỉnh (cạnh) bị xóa đi.Như đã biết trong chương 1, định lý của Menger nói rằng điều này tương đươngvới sự tồn tại của k đường gồm các đỉnh-rời nhau (cạnh- rời nhau) giữa mỗi cặp

đỉnh Đặt κ(G) và λ(G) là đỉnh- và cạnh-liên thông của đồ thị G Với δ(G) là bậc nhỏ nhất của G, khi đó κ(G) 6 λ(G) 6 δ(G)

Nếu một đồ thị nhìn thấy G có n đỉnh, với nhiều nhất ` đỉnh thẳng hàng thì

đi ngắn nhất giữa hai đỉnh xa nhất của đồ thị), và được biết rằng đồ thị có đườngkính bằng 2 có cạnh-liên thông bằng bậc nhỏ nhất của chúng Chúng ta củng cốkết quả này để chỉ ra rằng nếu một đồ thị có đường kính bằng 2 thì với bất kỳ 2đỉnh v và w mà deg(v) 6deg(w), có deg(v)cạnh-rời nhau vw-đường với độ dàinhiều nhất bằng 4 (định lý 2.2) Chúng ta cũng mô tả cạnh cắt tối thiểu của đồthị nhìn thấy như tập các cạnh kề với một đỉnh có bậc nhỏ nhất (định lý 2.6)

Với việc quan tâm tới đỉnh-liên thông, kết quả chính của chúng ta là κ > δ

2 đốivới tất cả đồ thị nhìn thấy không cộng tuyến (định lý 2.11) Giới hạn này mạnh

hơn giới hạn κ > n−1`−1 Trong trường hợp đặc biệt có nhiều nhất 4 điểm thẳng

hàng chúng ta cải tiến giới hạn này tới κ > 2δ+13 (định lý 2.18) Chúng ta phỏng

đoán rằng κ > 2δ+13 đối với mọi đồ thị nhìn thấy Giới hạn này là tốt nhất có thể

vì với mỗi số nguyên k, có một đồ thị nhìn thấy với kích thước đỉnh cắt bằng2k+1, nhưng bậc nhỏ nhất bằng 3k+1 Bởi vậy đỉnh-liên thông nhiều nhất bằng2k+1=2δ+13 Hình 2.1 chỉ ra trong trường hợp k=4

Hình 2.1: Một đồ thị nhìn thấy với đỉnh-liên thông 2δ+13 Các đỉnh đen là tập

đỉnh bị cắt bỏ Bậc nhỏ nhất δ= 3k+1 là đạt được, với ví dụ này, tại tất cả các

đỉnh phía trên bên trái Không phải tất cả các cạnh được vẽ

Một công cụ quan trọng trong chương này, cái mà cũng được quan tâm độclập, là một loại đồ thị nhìn thấy hai phần Cho A và B là 2 tập hợp các điểm rờinhau trong mặt phẳng Đồ thị nhìn thấy hai phần B(A, B)của A và B có tập đỉnh

là A∪B, ở đây một đỉnh v ∈ A và w ∈ B được gọi là kề nhau nếu và chỉ nếuchúng là nhìn thấy trong mối quan hệ A∪B Quan sát dưới đây được sử dụng

vài lần trong chương này và nhấn mạnh tầm quan trong của đồ thị nhìn thấy haiphần.

Quan sát 2.1 Cho G là một đồ thị nhìn thấy Lấy {A, B, C} là một sự phân chia của V(G) sao cho C tách rời A và B Nếu B(A, B) gồm t cặp cạnh không giao nhau, thì

|C| >t bởi vì phải có một đỉnh riêng biệt trong C trên mỗi cạnh đó.

Cuối cùng, một bổ đề giữ vị trí đặc biệt được quan tâm độc lập Bổ đề 2.7 nóirằng với bất kỳ đồ thị hình học không có giao điểm với tính chất 2 màu chúngđược tách bởi một đường thẳng (trừ một vài trường hợp suy biến), tồn tại mộtcạnh ra nhập chúng sao cho sự hợp nhất này là đồ thị hình học không có giaođiểm được tô màu thực sự

2.1 Cạnh liên thông

Định lý 2.2 Cho G là đồ thị với đường kính bằng 2 Khi đó cạnh-liên thông của đồ

thị G bằng bậc nhỏ nhất của nó Hơn nữa, với 2 đỉnh phân biệt v và w trong G, nếu

d := min{deg(v), deg(w)}thì có d cạnh-rời nhau vw-đường có độ dài nhiều nhất bằng

4, bao gồm ít nhất một đường có chiều dài nhiều nhất bằng 2.

Chứng minh. Đầu tiên giả sử v, w là các đỉnh không liền kề Đặt C là tập các đỉnhchung kề với v và w Với mỗi đỉnh c ∈ C, lấy đường (v, c, w) Đặt A là tập gồm

d− |C| các đỉnh kề với v không nằm trong C Đặt B là tập gồm d− |C| đỉnh kềvới w không nằm trong C Đặt M1 là đồ thị con 2 phần lớn nhất tao ra bởi A và

B Gọi các đỉnh tương ứng của M1 từ A, B là A1 và B1 Với mỗi cạnh ab ∈ M1,lấy đường(v, a, b, w) Đặt A2, B2tương ứng là tập con của A, B chứa các đỉnh cònlại Đặt D := V(G)\(A2 ∪B2∪ {v, w}) Đặt M2 là cặp đỉnh tùy ý trong A2 và

B2 Với mỗi cặp ab ∈ M2, lấy đường(v, a, x, b, w), ở đây x là đỉnh kề chung của a

và b (điều này tồn tại vì G có đường kính bằng 2) Từ x liền kề với a, x 6= w, và

do tính lớn nhất của M1 nên x /∈ B2 Tương tự x 6= v và x /∈ A2, vì vậy x ∈ D

Như vậy có 3 loại đường (v, C, w),(v, A1, B1, w),(v, A2, D, B2, w) Các đường

trong mỗi loại có cạnh-rời nhau Mặc dù D chứa A1, B1, các cạnh giữa mỗi cậpcác tập từ {A1, B1, A2, B2, C, D,{v},{w}} xảy ra ở nhiều nhất một loại, và tất cảcác cạnh được tạo bởi các tập phân biệt của các tập hợp trên Tổng số đường là

|C| + |A1| + |A2| = d Điều này kết thúc chứng minh định lý trong trường hợp

v, w không liền kề Nếu G chứa cạnh vw thì làm lại như trên sau khi chúng taloại bỏ cạnh vw, ta tìm được d−1 đường

Chú ý rằng độ dài các đường tìm thấy trong định lý 2.2 không thể cải thiện

thêm, ví dụ sau sẽ chỉ ra điều đó Cho các số nguyên γ > 2 và δ > 3, lấy G là

đồ thị dạng 5-chu trình(v, w, x, y, z)và thay thế x bởi một tập X gồm δ−1 điểm,

thay thế y bởi một tập gồm γ điểm, thay thế z bởi một tập Z gồm δ−1 điểm.Thay thế các cạnh giữa các đỉnh đó bằng đồ thị con hai phận đầy đủ giữa các tậpđỉnh tương ứng Mỗi đỉnh trong X liền kề với w và mọi đỉnh trong Y, mỗi đỉnh

trong Z là liền kề với v và mọi định trong Y Như vậy G có bậc nhỏ nhất bằng δ

và đường kính bằng 2 Chú ý rằng deg(v) = deg(w) = δ Thực tế ta có thể chọn γ lớn để chỉ các đỉnh v, w có bậc bằng δ còn các đỉnh khác bậc đều lớn hơn δ Xét tập

Sgồm δ đường có các cạnh-rời nhau giữa v và w Một đường trong S là cạnh vw,

trong khi đó các đường còn lại có độ dài ít nhất bằng 4 Như vậy các đường đượctìm thấy trong định lý 2.2 là tốt nhất có thể Một ví dụ thêm nữa, trong trường

hợp v, w không liền kề, có thể được xây dựng bởi hai tập gồm (δ+1)-đỉnh rời

nhau và xác định một đỉnh trong mỗi tập Khi đó có δ−1 vw-đường có độ dài

bằng 4 và một đường có độ dài bằng 2 Cách khác, có thể lấy δ−2 vw-đường có

độ dài bằng 4 và 2 đường có độ dài bằng 3

Định lý 2.2 cho ta hệ quả sau đối với đồ thị nhìn thấy

Hệ quả 2.3 Cho G là đồ thị nhìn thấy với đường kính bằng 2 Khi đó cạnh-liên thông

của đồ thị G bằng bậc nhỏ nhất của nó Hơn nữa, với 2 đỉnh phân biệt v và w trong G, nếu d := min{deg(v), deg(w)}thì có d cạnh-rời nhau vw-đường có độ dài nhiều nhất bằng 4, bao gồm ít nhất một đường có chiều dài nhiều nhất bằng 2.

Định lý 2.4 Cho G là đồ thị nhìn thấy với n đỉnh, có nhiều nhất ` đỉnh trong số đó thẳng hàng Khi đó G có[n−1`−1] cạnh-liên thông, đó là kết quả tốt nhất có thể Hơn nữa, giữa mỗi cặp đỉnh, có[n−1`−1]đường 1-cong các cạnh-rời nhau.

Chứng minh. Lấy v và w là hai đỉnh phân biệt trong G Đặt V∗là tập các đỉnh của

G không nằm trên đường vw Đặt m := |V∗| Như vậy m>n− `

Đặt L là chùm các đường qua v và các đỉnh trong V∗ Đặt M là chùm cácđường qua w và các đỉnh trong V∗ Đặt H là đồ thị hai phần với tập các đỉnh là

L∪M, ở đây L ∈L là kề với M∈ M nếu và chỉ nếu L∩Mlà một đỉnh trong V∗.Như vậy H có m cạnh, và bậc lớn nhất nhiều nhất bằng` −1 Vì thế theo định

lý của K ¨onig[6], H là (` −1)-cạnh-có thể tô màu Như vậy H chứa sự hợp thànhcủa nhiều nhất `−1m cạnh Sự hợp thành này tương ứng với một tập S gồm ít nhất

m

`−1 đỉnh trong V∗, không có hai đỉnh nào trong chúng thẳng hàng với v hoặc w.Với mỗi đỉnh x ∈ Slấy đường trong đồ thị nhìn thấy từ v thẳng tới x và sau

đó thẳng tới w Những đường này có các cạnh rời nhau Thêm đường thẳng từ

vđến w, chúng ta nhận được ít nhất `−1m +1 đường, với độ dài ít nhất bằng n−1`−1

Hình 2.1chỉ ra rằng đó là giới hạn tốt nhất có thể

Hình 2.2: Nếu tia từ v qua V(G) chứa`đỉnh thì bậc của v là n−1`−1

Bây giờ chúng ta chứng minh rằng số lượng cạnh cắt đi nhỏ nhất trong đồthị nhìn thấy không-cộng tuyến chỉ được tìm thấy xung quanh một đỉnh Để làmđiều này, chúng ta không cần giữ lại đặc trưng của các đồ thị có đường kính bằng2.

Mệnh đề 2.5 Cho G là đồ thị với đường kính nhiều nhất bằng 2 và bậc nhỏ nhất δ >2.

Khi đó G có một cách cắt kích thước bằng δ sao cho nó không phải là tập các cạnh cùng liên thuộc với một đỉnh nếu và chỉ nếu V(G) có thể được phân chia thành A∪B∪C sao

cho:

• G[A] ∼=Kδ và |A∪B| > δ,

• Mỗi đỉnh trong A có duy nhất một đỉnh kề trong B và không có đỉnh kề trong C,

• Mối đỉnh trong B có ít nhất một đỉnh kề trong A, và

• Mỗi đỉnh trong B là liền kề với mỗi đỉnh trong C.

Chứng minh. Nếu G có các tính chất liệt kê ở trên thì các cạnh giữa A và B tao

thành một cách cắt kích thước δ mà không là tập các cạnh cùng liên thuộc với

một đỉnh

Ngược lại, giả sử một cách cắt kích thước δ tách các đỉnh của G vào hai tập X

và Y với|X| > 1 và|Y| > 1 Mỗi đỉnh của X là liên thuộc với ít nhất δ− (|X| −1)

cạnh bị cắt bỏ Nó cho thấy rằng δ > |X|(δ− (|X| −1)) Vậy thì|X|(|X| −1) >

δ(|X| −1) và như vậy |X| > δ Vì G có đường kính nhiều nhất bằng 2, không

có đỉnh nào x ∈ X và y ∈ Y sao cho tất cả các đỉnh kề với x là ở trong X, và tất

cả các đỉnh kề với y là ở trong Y Vì chỉ có δ cạnh giữa X và Y, |X| = δ và mỗiđỉnh trong X có chính xác một đỉnh kề trong Y Điều kiện bậc tối thiểu ngụ ýrằng tất cả các cạnh giữa X đều thỏa mãn Đặt A := X, B := S

x∈X{N(x)\X}và

C := V(G)\(A∪B) Mỗi đỉnh c ∈ Cphải được nối liền với tất cả các đỉnh trong

B, trái lại sẽ có một đỉnh trong A với khoảng cách lơn hơn 2 từ c

Bây giờ chúng ta chứng minh rằng những đồ thị đường kính bằng 2 như là

mô tả trong mệnh đề không thể là đồ thị nhìn thấy

Định lý 2.6 Mọi cách cắt cạnh tối thiểu trong đồ thị nhìn thấy không cộng tuyến là tập

các cạnh liên thuộc với một vài đỉnh.

Chứng minh. Cho G là đồ thị nhìn thấy không cộng tuyến Giả sử G có một cách

cắt cạnh kích thước δ(G)mà không là tập các cạnh liên thuộc với một đỉnh đơn

Từ G là không cộng tuyến, δ > 2 Theo Mệnh đề 2.1 , V(G) có thể tách thành

A∪B∪C với |A| = δ,|B∪C| > δ , và δ cạnh giữa A và B Hơn nữa, các đỉnh

trong A có thể nhìn cặp với mỗi một đỉnh khác và mỗi đỉnh trong A có đúng mộtđỉnh kề trong B

Chọn bất kỳ a ∈ Avà vẽ chùm δ tia từ a tới tất cả các đỉnh khác của đồ thị Tất

cả các tia trừ một có chứa một điểm trong A\{a} Ta nói rằng hai tia là kề nhau

nếu khu vực góc giới hạn giữa chúng nhỏ hơn π không chữa tia khác trong nó.

Nhận thấy rằng mọi tia đều có ít nhất một tia kề với nó

Hình 2.3: Trong mỗi trương hợp các đỉnh còn lại của B∪C phải nằm trên the

solid segmentscủa các tia

Đầu tiên giả sử a nằm trong vỏ lồi của V(G), như hình 2.3 a Khi đó mọi tia có

hai tia kề với nó, vì thế mỗi điểm trong B∪C có thể nhìn thấy ít nhất một điểm