Một số tập lồi đặc biệt trong rn

Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Một số tập lồi đặc biệt trong Rn” là kết quả của việc nghiên cứu,học tập và nỗ lực của bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả củacác đề tài khá

KHOA TOÁN

———————————————

NGUYỄN THỊ PHƯỢNG

MỘT SỐ TẬP LỒI ĐẶC BIỆT TRONG Rn

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Chuyên nghành: Hình học

Hà Nội – Năm 2017

KHOA TOÁN

———————————————

NGUYỄN THỊ PHƯỢNG

MỘT SỐ TẬP LỒI ĐẶC BIỆT TRONG Rn

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Chuyên nghành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học: Th.s Trần Văn Nghị

Hà Nội – Năm 2017

Lời cảm ơn

Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp với đề tài “Một số tập lồi đặcbiệt trong Rn”, trước hết em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đếncác thầy cô giáo trong tổ Hình học, các thầy cô giáo khoa Toán TrườngĐại học sư phạm Hà Nội 2 cũng như các thầy cô tham gia giảng dạy đãtận tình truyền đạt những tri thức quý báu và tạo điều kiện thuận lợi

để em hoàn thành tốt nhiệm vụ khóa học và khóa luận

Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thạc sĩ Trần VănNghị – Giảng viên khoa Toán - Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2,người trực tiếp hướng dẫn em, luôn tận tâm chỉ bảo và định hướng cho

em trong suốt quá trình làm khóa luận để em có được kết quả như ngàyhôm nay

Mặc dù em đã có rất nhiều cố gắng, song thời gian và kinh nghiệmbản thân còn nhiều hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi nhữngthiếu sót, em rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo,các bạn sinh viên và bạn đọc

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5, năm 2017

Sinh viên

Nguyễn Thị Phượng

Lời cam đoan

Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân em dưới sự hướngdẫn tận tình của thầy giáo Thạc sĩ Trần Văn Nghị Trong khi nghiêncứu hoàn thành đề tài nghiên cứu này em đã tham khảo một số tài liệu

đã ghi trong phần tài liệu tham khảo Em xin khẳng định kết quả của

đề tài “Một số tập lồi đặc biệt trong Rn” là kết quả của việc nghiên cứu,học tập và nỗ lực của bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả củacác đề tài khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 5, năm 2017

Sinh viên

Nguyễn Thị Phượng

Lời cảm ơn i

Lời cam đoan ii

Mục lục iii

Lời nói đầu 1

Chương 1 Tập lồi 2

Chương 2 Một số tập lồi đặc biệt trong Rn 6

2.1 Tập affine 6

2.2 Nón lồi 13

2.3 Nón lùi xa 15

2.4 Nón nửa xác định dương 24

2.5 Tập lồi đa diện 29

2.6 Tập xác định bởi các hàm toàn phương lồi 30

2.7 Cung lồi 34

2.8 Tập con lồi cực đại 38

2.9 Đồ thị lồi 40

Kết luận 44

Tài liệu tham khảo 45

Lời nói đầu

1 Lý do chọn đề tài

Tập lồi là một trong những đối tượng cơ bản của giải tích lồi, hình họclồi và tối ưu lồi Ngoài ra tập lồi còn có nhiều ứng dụng trong thực tế.Việc nghiên cứu về tập lồi đặc biệt có một ý nghĩa quan trọng Có thểnói nghiên cứu về tập lồi là một đề tài thú vị, nhận được sự quan tâmcủa các nhà khoa học Với mong muốn nghiên cứu sâu hơn về hình học

và bổ sung kiến thức cho bản thân em đã chọn đề tài: “Một số tập lồiđặc biệt trong Rn” để làm đề tài khóa luận

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về tập lồi và hệ thống một số tập lồi đặc biệt trong Rn

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức về tập lồi

- Phạm vi nghiên cứu: Tập lồi và một số tập lồi đặc biệt trong Rn

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày tập lồi và một số tập lồi đặc biệt trong Rn

5 Các phương pháp nghiên cứu

- Thiết lập nghiên cứu và tổng hợp các tài liệu liên quan, đặc biệt là cácbài báo và các cuốn sách viết về vấn đề mà khóa luận đề cập tới

6 Cấu trúc của khóa luận

Khóa luận bao gồm 2 chương:

Chương 1: Tập lồi

Chương 2: Một số tập lồi đặc biệt trong Rn

Chú ý: Theo định nghĩa trên, tập ∅ được xem là tập lồi.

Định nghĩa 1.2 Đoạn thẳng nối x1, x2 là tập hợp có dạng

[x, y] := {x ∈ A : x = λx1 + (1 − λ) x2, 0 ≤ λ ≤ 1}

Nhận xét 1.1 Cho tập A là lồi, nếu ∀x1, x2 ∈ A, ta có [x1, x2] ⊆ A

Định nghĩa 1.3 Tập C ∈ Rn được gọi là tập affine nếu

(1 − λ) x + λy ∈ C ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ R,

nghĩa là, nếu x, y ∈ C thì đường thẳng đi qua x, y cũng nằm trong C

Ví dụ 1.1 Các nửa không gian là các tập lồi Các tam giác và hình tròntrong mặt phẳng các tập lồi Hình cầu đơn vị trong không gian Banach

Định lý 1.2 Cho X ⊂ Rn, khi đó convX là tập lồi nhỏ nhất chứa X.

Chứng minh Các phần tử của X thuộc trong convX, vì vậy mọi tổ hợpcủa chúng đều thuộc convX ( Định lý 1.2) Mặt khác, cho 2 tổ hợp lồi

Hệ quả 1.2 Bao lồi của hữu hạn các tập con {b0, , bm} ∈ Rn gồmtất cả các vectơ có dạng λ0b0+ · · · + λmbm, với λ0 ≥ 0, , λm ≥ 0, λ0+

· · · + λm = 1

Chứng minh Mọi tổ hợp lồi của phần tử lấy từ {b0, b1, , bm}có thểbiểu thị như tổ hợp lồi của b0, b1, , bm bởi qui nạp không cần thiết véc

tơ bi với hệ số 0

Định lý 1.3 ([5, Theorem 2.4]) Chiều của tập lồi C là số lớn nhất của

số chiều của các đơn hình chứa trong C

Chứng minh Bao nón của tập con bất kì của C là chứa trong C Số chiềulớn nhất của đơn hình khác nhau trong C là m thỏa mãn C chứa tập độclập affine của (m + 1) phần tử Đặt {b0, b1, , bm} là tập thỏa mãn với

m lớn nhất, và đặt M là bao affine Khi đó dimM = m, M ⊂affC Ngoài

ra C ⊂ M , nếu C\M chứa phần tử b, tập (m + 2) phần tử b0, b1, , bm, btrong C sẽ độc lập affine, trái lại với tính tối đại của m Vì vậy aff C làtập affine nhỏ nhất chứa C, aff C = m và do vậy dimC = m

Định nghĩa 1.5 Một tập C được gọi là nón nếu ∀x ∈ C, ∀λ > 0 ⇒

là một nón nhưng không lồi

Một nón được gọi là nón nhọn nếu nó không chứa đường thẳng Khi

đó, ta nói 0 là đỉnh của nón Một nón được gọi là nón lồi nếu nó đồngthời là một tập lồi

Chương 2

2.1 Tập affine

Ta kí hiệu hệ thống số thực là R và không gian véc tơ thực n-chiều là

Rn x = (ξ1, ξ2, , ξn) Mọi điểm đều lấy trong Rn trừ khi có định nghĩakhác Tích vô hướng của hai véc tơ x và x∗ trong Rn được biểu thị bởi

Trong biểu tượng biểu thị là véc tơ ∗ không có ý nghĩa định hướng toán

tử, tất cả các véc tơ được xem xét là các véc tơ cột trong phép nhân matrận Cho x, y là hai điểm trong Rn Đường thẳng đi qua a và b là tậptất cả các điểm có dạng

(1 − λ) x + λy = x + λ (y − x) , λ ∈ R

Tập M ⊆ Rn gọi là tập affine nếu (1 − λ)x+ λy ∈ M với mọi x ∈ M ,

y ∈ M và λ ∈ R Tập affine được sử dụng bởi các tên gọi khác nhau như

là “đa tạp affine”, “đa dạng affine”, “đa tạp tuyến tính”, hoặc là “phẳng”.Tập rỗng ∅ và không gian Rn là các ví dụ của tập affine Từ định nghĩa

M bao gồm duy nhất một điểm cũng là tập affine Nói chung tập affine

có chứa bao gồm 2 điểm bất kì khác nhau, toàn bộ đường thẳng đi quahai điểm đó Dạng hình học của tập affine có thể xuất hiện từ các định

lý của đại số tuyến tính về không gian con Rn Sự tương ứng giữa tậpaffine và không gian con được mô tả trong các lý sau

Định lý 2.1 ([5, Theorem 1.1]) Không gian con của Rn là một tậpaffine chứa gốc

Chứng minh Với mọi không gian con chứa 0 và đóng kín với phép cộng

và phép nhân với một vô hướng là tập affine

Ngược lại giả sử M là tập affine chứa 0 Với mỗi x ∈ M và λ ∈ R ta có

λx = (1 − λ) 0 + λx ∈ M

dẫn đến M là đóng kín với phép nhân với một vô hướng Khi đó, với

Vậy M là đóng kín với phép cộng và phép nhân với một vô hướng nên

là không gian con

Cho M ⊂ Rn là tập affine và a ∈ Rn khi đó dịch chuyển của M bởi

a được định nghĩa là tập M + a = (x + a : x ∈ M )

Dễ dàng kiểm tra được rằng, chuyển dịch của tập affine là tập affine.Tập M 6= ∅ gọi là song song với tập affine L nếu M = L + a với một vàigiá trị a Hiển nhiên “M song song với L” là quan hệ tương đương trêntập hợp của tập con affine trong Rn

Định lý 2.2 ([5, Theorem 1.2]) Mỗi tập affine không rỗng M là songsong với không gian con L Không gian con L được xác định một cáchduy nhất Khi đó L được cho bởi

L = M − M = {x − y : x ∈ M, y ∈ M }

Chứng minh Giả sử trước hết chúng ta chứng tỏ rằng M không thể songsong với hai không gian khác nhau Không gian con L1 và L2 song songvới M sẽ song song với nhau Vì vậy L2 = L1 + a, với một vài giá trịcủa a Từ 0 ∈ L2 chúng ta có −a ∈ L1 và do đó a ∈ L1 Nhưng khi

đó L2 ⊃ L1 + a = L2, tương tự đối số L1 ⊃ L2 vì vậy L1 = L2 Điềunày được thành lập một cách duy nhất Bây giờ quan sát rằng, với mỗi

y ∈ M bất kì, M − y = M + (−y) là tịnh tiến của M chứa 0 Theo Định

lý 2.1 và điều chúng ta chứng minh trước Tập affine M xác định duynhất một không gian con L song song với nó Từ L = M − y không thựcchất với y ∈ M là lựa chọn, ta có L = M − M

Số chiều của tập affine khác rỗng là số chiều của không gian con songsong với nó (Ta qui ước số chiều của tập ∅ là −1) Một cách tự nhiêntương ứng với các tập affine có số chiều là 0; 1 và 2 tương ứng ta gọi làđiểm; đường thẳng và mặt phẳng Trong không gian Rn, tập affine có sốchiều là (n − 1) chiều được gọi siêu phẳng Siêu phẳng rất quan trọngbởi chúng đóng vai trò kép của điểm trong hình học n-chiều Siêu phẳng

và tập affine khác được trình bày bởi hàm số bậc nhất và phương trìnhtuyến tính Nó rất dễ dàng để suy ra điều này từ các lí thuyết trực giaotrong Rn Nhắc lại rằng, bằng định nghĩa

x ⊥ y ⇔ hx, yi = 0

Cho không gian con L trong Rn tập các véctơ x sao cho x ⊥ L Nghĩa là:

x ⊥ L với mọi y ∈ L gọi là phần bù trực giao của L kí hiệu là L⊥ Tấtnhiên nó là không gian con và

dimL + dimL⊥ = n

Phần bù trực giao L⊥
⊥ của L⊥ là L Nếu b1, b2, , bm là cơ sở của

L Khi đó x⊥L là tương đương với điều kiện là x⊥b1, x⊥b2, , x⊥bm.Đặc biệt không gian véc tơ con (n − 1) chiều của Rn là phần bù trựcgiao của không gian con 1-chiều, không gian con L được nói đến có cơ

sở bao gồm một véc tơ b khác rỗng (duy nhất lên đến nhân với một vô

hướng khác 0) Do đó không gian con (n − 1) chiều là tập các công thức(x : x ⊥ b), b 6= 0 Siêu phẳng là phép tịnh tiến của tập này Nhưng

R3 Chú ý rằng mặt phẳng trong R4 không có “hai phía” như đườngthẳng trong R3 Định lí tiếp theo mô tả tập con của của tập affine trong

Rn như là tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tương ứng trong

=(1 − λ)x+λy ta có

Bz = (1 − λ) Bx + λBy = (1 − λ) b + λb = b;

vì vậy z ∈ M Do đó tập M đã cho là tập affine

Mặt khác bắt đầu với tập affine M khác rỗng tùy ý khác trong Rn vàochính nó, cho L là không gian con song song của M , đặt b1, b2, , bm là

cơ sở của L⊥ Khi đó

L = L⊥
⊥ = {x : x ⊥ b1, x ⊥ b2, , x ⊥ bm}

= {x : hx, bii = 0, i = 1, 2, , n} = {x : Bx = 0},

trong đó B là ma trận cấp m × n có các dãy là b1, b2, , bm Từ M làsong song với L, tồn tại a ∈ Rn sao cho

M = L + a = {x : B (x − a) = 0} = {x : Bx = b}

trong đó b = Ba (Tập affine Rn và ∅ được biểu diễn theo trong côngthức trong định lí nói trên có ma trận B là ma trận 0 cấp m × n với b = 0trong trường hợp của Rn và b 6= 0 trong trường hợp của tập ∅.)

Định lý 2.5 ([5, Theorem 1.5]) Ánh xạ

T : Rn −→ Rm

x 7→ T x = Ax + a

trong đó A là biến đổi tuyến tính, a ∈ Rm Khi đó, T là ánh xạ affine

Chứng minh Nếu T là ánh xạ affine, đặt a = T 0 và Ax = T x−a Khi đó

A là ánh xạ affine với A0 = 0 Một đối số đơn giản tương tự trong Định

lí 2.1 chứng tỏ rằng A là tuyến tính thực sự Ngược lại nếu T x = Ax + akhi đó A là tuyến tính, ta có

Chứng minh Nếu cần thiết chúng ta mở rộng cho tập độc lập affine,

ta có thể giảm câu hỏi trong trường hợp m = n Sau đó, như ta đãbiết trong đại số tuyến tính, tồn tại duy nhất biến đổi tuyến tính A

là biến đổi tuyến tính 1 − 1 của không gian Rn vào chính nó có cơ sở

b1− b0, , bn− b0 vào cơ sở b01− b00, , b0n− b00 Biến đổi afin mong muốnsau đó được đưa ra bởi T x = Ax + a, trong đó a = b00 − Ab0

Hệ quả 2.1 Cho M1, M2 là hai tập affine bất kì trong Rn của khônggian n-chiều Khi đó tồn tại duy nhất ánh xạ affine 1 − 1

T : Rn −→ Rn

M1 7→ T M1 = M2

Chứng minh Bất kì các tập affine m-chiều có thể được biểu thị dưới

dạng các bao affine của tập m + 1 điểm độc lập affine, và bao affineđược bảo toàn qua phép biến đổi affine.

Chứng minh Suy ra trực tiếp từ tính chất của nón lồi

Hệ quả 2.2 Giả sử bi ∈ Rn, i ∈ I, trong đó I là các tập chỉ số tùy ý.Khi đó

K = {x ∈ Rn : hx, bii ≤ 0, i ∈ I}

là nón lồi

Định lý 2.8 ([5, Theorem 2.6]) Tập con của Rn là nón lồi nếu và chỉnếu nó đóng kín với phép cộng và phép nhân với một vô hướng dương.Chứng minh Giả sử K là nón Giả sử x ∈ K, y ∈ K Nếu K là lồi véc

tơ z = 12(x + y) thuộc K và do đó x + y = 2z ∈ K Nếu K là đóng kínvới phép cộng và nếu 0 < λ < 1 véc tơ (1 − λ)x và λy thuộc K, và do

đó (1 − λ)x + λy ∈ K Vậy K là lồi khi và chỉ khi K đóng kín đối vớiphép cộng

Hệ quả 2.3 Tập con trong Rn là nón lồi nếu và chỉ nếu nó chứa tất

cả tổ hợp tuyến tính dương của mọi phần tử trong nó (nghĩa là tổ hợptuyến tính λ1x1+λ2x2+ · · · +λmxm với các hệ số dương)

Hệ quả 2.4 Giả sử S là tập con tùy ý trong Rn và giả sử K là tập tất

cả tổ hợp tuyến tính dương của S Khi đó K là tập nón lồi nhỏ nhấtchứa S

Chứng minh Rõ ràng K là đóng kín với phép cộng và phép nhân vớimột vô hướng dương và K ⊃ S Mọi nón lồi chứa trong S phải chứatrong K

Hệ quả 2.5 Giả sử C là tập lồi và K = {λx : λ > 0, x ∈ C} Khi đó

K là nón lồi nhỏ nhất chứa C

Chứng minh Ta có mọi tổ hợp tuyến tính dương của các phần tử trong

C là đại lượng vô hướng dương của tổ hợp lồi của phần tử trong C và

do vậy là phần tử của K

Định lý 2.9 ([5, Theorem 2.7]) Giả sử K là nón lồi chứa 0 Khi đó, cómột không gian con nhỏ nhất chứa K Nghĩa là

K − K = {x − y : x ∈ K, y ∈ K} = aff (K)

và có một không gian lớn nhất chứa trong K

Chứng minh Theo Định lí 2.8, K là đóng kín với phép cộng và phépnhân với một vô hướng Để trở thành không gian con, một tập phảichứa thêm 0 và đóng kín với phép nhân bằng −1 Rõ ràng K − K làtập nhỏ nhất như vậy có chứa K, và (−K) ∪ K là tập lớn nhất như vậy

chứa trong K Vấn đề trước đó phải trùng với aff K, từ bao affine củamột tập chứa 0 là không gian con theo Định lí 2.1.

2.3 Nón lùi xa

Bây giờ giả sử X là không gian tuyến tính

Định nghĩa 2.2 Giả sử A ⊂ X lồi, khác ∅ Ta nói tập A lùi xa theophương y 6= 0, nếu A + λy ⊂ A, (∀λ ≥ 0), hay

Ta chứng minh 0+C là lồi.

Lấy y1, y2 ∈ 0+C, 0 ≤ λ ≤ 1 Do C là lồi nên ta có

(1 − λ) y1 + λy2 + C = (1 − λ) (y1 + C) + λ (y2 + C)

⊂ (1 − λ) C + λC = C

Do đó, (1 − λ) y1 + λy2 ∈ 0+C Vậy 0+C là lồi

Ví dụ nón lùi xa của tập lồi trong R2

C1 = {(ξ1, ξ2) : ξ1 > 0, ξ2 ≥ 1

ξ1};

Định lý 2.11 ([5, Theorem 8.3]) Cho C là tập lồi đóng khác rỗng và

y 6= 0 Nếu tồn tại x sao cho nửa đường thẳng

{x + λy : λ ≥ 0}

chứa trong C, khi đó điều này là đúng với mọi x ∈ C, nghĩa là có một

y ∈ 0+C Hơn nữa, khi {x + λy : λ ≥ 0} là thực sự chứa trong riC mỗimột x ∈ riC, bởi thế y ∈0+(riC)

Chứng minh Giả sử {x + λy : λ ≥ 0} là thực sự chứa trong C Khi đó y

là giới hạn của dãy λ1x1, λ2x2, , trong đó λk = k1 và xk = x + ky ∈ C

Do đó y ∈ 0+C Khẳng định của định lí là trực tiếp từ việc mỗi đườngthẳng trong C mà giao riC phải có điểm nằm trong riC

Hệ quả 2.6 Đối với tập lồi C bất kì khác ∅, ta có 0+(riC)=0+(clC),với x ∈ riC bất kì cho trước ta có y ∈ 0+(riC) nếu và chỉ nếu

x + λy ∈ C, ∀λ > 0

Hệ quả 2.7 Nếu C là tập lồi đóng chứa gốc, thì

0+C = {y : ε−1y ∈ C, ∀ε > 0} = ∩ε>0εC

Hệ quả 2.8 Nếu {Ci : i ∈ C} là tập tùy ý của tập lồi đóng trong Rn

mà giao của nó là không rỗng, thì

0+(∩i∈ICi) = ∩i∈I0+Ci

Chứng minh Giả sử x là điểm bất kì trong tập lồi đóng C = ∩i∈ICi.Chiều của các véc tơ y cho trước là chiều của phương lùi C khi và chỉkhi nửa đường thẳng {x + λy : λ ≥ 0} chứa mọi điểm trong Ci Nhưngthấy rằng mọi điểm Ci lùi trong phương của y

Hệ quả 2.9 Giả sử A là ánh xạ tuyến tính

A : Rn −→ Rm

và C là tập lồi đóng trong Rm thỏa mãn A−1C 6= 0 Khi đó

0+ A−1C
= A−1 0+C

Định lý 2.12 ([5, Theorem 8.4]) Tập C là tập lồi đóng, C 6= ∅ trong

Rn là bị chặn nếu và chỉ nếu nón lùi 0+C chứa duy nhất véc tơ không.Chứng minh Nếu C là bị chặn, nó chắc chắn không chứa nửa đườngthẳng, vì vậy 0+C ={0} Nếu C không bị chặn, mặt khác, nó chứadãy các véc tơ khác véc tơ không x1, x2, , với chuẩn Euclide |xi| tăngkhông có cận Véc tơ λixi trong đó λi = |x1

i |, tất cả thuộc hình cầu đơn

vị S = {x : |x| = 1} Từ S là tập giới hạn con đóng của Rn, dãy con của

λ1x1,λ2x2, , hội tụ đến điểm đã biết y ∈ S Ở đây y là véc tơ khácvéc tơ không của 0+C

Hệ quả 2.10 Giả sử C là tập lồi đóng, và giả sử M là tập affine thỏamãn M ∩ C là tập không rỗng và bị chặn Khi đó M0∩ C là bị chặn vớimọi tập affine M0 song song với M

Chứng minh Ta có 0+M0 = 0+M bởi theo định nghĩa “song song” Giảthiết M0∩ C là không rỗng, chúng ta có

0+(M0∩ C) = 0+M0 ∩ 0+C = 0+M ∩ 0+C = 0+(M ∩ C)

từ qui tắc lấy giao

Từ M ∩ C là giới hạn nó kéo theo 0+(M0 ∩ C) = 0 và do vậy M0∩ C là

bị chặn

Nếu C là tập lồi khác rỗng, tập (−0+C) ∩ 0+C gọi là không gian tuyếntính của C Nó chứa véc tơ không và tất cả các véc tơ khác véc tơ không

y thỏa mãn, với mọi x thuộc C, đường thẳng x trong chiều của y chứatrong C Chiều của véc tơ y trong không gian tuyến tính gọi là chiềutrong C và là tuyến tính Hiển nhiên nếu C là đóng và chứa đường thẳng

M , khi đó tất cả đường thẳng song song với M bao gồm điểm của C làchứa trong C Không gian tuyến tính như là tập các véc tơ y thỏa mãn

C + y = C; chứng minh được xem như là bài tập cho các độc giả

Không gian tuyến tính của C là không gian con, nó là không gian conlớn nhất chứa trong nón lồi 0+C Chiều của nó gọi là tuyến tính của C.Xét ví dụ sau

C = {(ξ1, ξ2, ξ3) : ξ1 > 0, ξ12 + ξ22 ≤ 1} ⊂ R3

Không gian tuyến tính của C là trục ξ3, vì vậy C có phần tử tuyếntính 1 Do đó C là tổng trực tiếp của đường thẳng và hình tròn Trongtrường hợp tổng quát, nếu C là tập lồi khác rỗng với không gian tuyếntính không tầm thường L, hiển nhiên có thể biểu diễn C như là tổngtrực tiếp

C = L + C ∩ L⊥

trong đó L⊥ là phần tử trực giao của L Tính tuyến tính của tập C ∩ L⊥trong đây được biểu thị là 0 Chiều của C ∩ L⊥ gọi là hạng của C, nó làđơn vị đo của phi tuyến tính của C

Tập lồi có hạng 0 là tập affine Hạng của tập lồi đóng trùng với chiềucủa nó nếu và chỉ nếu không chứa đường thẳng Trong trường hợp này

C = {x : hx, bii ≥ βi, ∀i ∈ I}, không gian tuyến tính L của C là cho bởi

hệ phương trình

L = {x : hx, bii = 0, ∀i ∈ I}

Giả sử f là hàm lồi trên Rn không đồng nhất +∞ Đồ thị trên f của fnhư là tập lồi không rỗng trong Rn+1 có nón lùi xa 0+(epif ) Bởi địnhnghĩa (y, ν) ∈ 0+(epif ) nếu và chỉ nếu

(x, µ) + λ (y, ν) = (x + λy, µ + λν) ∈ eipf

với mọi (x, µ) ∈ eipf, λ ≥ 0 Điều này nghĩa là

f (x + λy) ≤ f (x) + λµ

với mọi x và với mọi λ ≥ 0 Thực tế theo Định lí 2.10 bất đẳng thứctrên đúng với mọi x và với mọi λ ≥ 0 nếu nó đúng với mọi x với λ = 1.Trong tất cả các trường hợp, y là giá trị cho trước, giá trị của ν mà

(y, ν) ∈ 0+(eipf )

sẽ có dạng là khoảng đóng của R biên trên, hoặc khoảng không

Do đó, 0+(eipf ) là đồ thị trên hàm đã biết Ta gọi đó là hàm hàm lùi

xa của f , định nghĩa nó là f 0+ Khi đó

eipf 0+
= 0+(eipf )

Định lý 2.13 ([5, Theorem 8.5]) Giả sử f là hàm lồi chính thường.Hàm lùi f 0+ của f là hàm lồi chính thường dương thuần nhất Với mọi