Khoá luận tốt nghiệp toán học một số tập lồi đặc biệt và ứng dụng

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo khoa Toán, trường Dại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.. Nhân dịp này em

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới T H S T R Ầ N

V Ă N N G H Ị, người đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành tốt khóa luận này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo khoa Toán, trường Dại học Sư phạm Hà Nội

2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, dộng viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp

Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 05 tháng 5 năm 2015.Sinh viên

Bùi Thị Ngoan

LỜI CẢM

Khóa luận được hoàn thành sau quá trình tự tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân và sự hướng dẫn của Th.s T R Ầ N V Ă N N G H Ị

Trong khóa luận em có tham khảo các kết quả nghiên cứu của các nhà khoa học trong và ngoài nước Em xin cam đoan kết quả của khóa luận này là không sao chép từ bất cứ khóa luận nào Em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về lời cam đoan của mình

Hà Nội, ngày 05 tháng 5 năm 2015 Sinh viên

Bùi Thị Ngoan

Mục lục

LỜI CAM

3

• Tìm hiểu sâu hơn các kiến thức về tập lồi.

• Làm rõ tính chất của các tập lồi đặc biệt

• ứng dụng tính lồi vào một số bài toán cực trị

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Dối tượng nghiên cứu: Kiến thức về tập lồi

• Phạm vi nghiên cứu: Một số tập lồi đặc biệt và ứng dụng

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Trình bày c,ơ sở lý thuyết về tập lồi

• Trình bày tính chất của một số tập lồi đặc biệt

• Trình bày một số ứng dụng

5 Phương pháp nghiên cứu

Phân tích và tổng hợp kiến thức.

4

6 Cấu trúc khóa luận

Khóa luận bao gồm ba chương:

Chương 1: Sơ lược về tập lồi

Chương 2: Một số tập lồi đặc biệt

Chương 3: ứng dụng tính lồi vào bài toán cực trị

Chương 1

Sơ LƯỢC VỀ TẬP LÒI

1.1Định nghĩa và tính chất

Giả sử X là không gian tuyến tính, K là tập các số thực

Định nghĩa 1.1 Tập A C X được gọi là L Ồ I , nếu

VXX, X2 ẽ /4, VA (E K : 0 ^ A 5^ 1 =7’" À £ 1 -b (1 — X Ỵ x 2 ẽ Á Chú ý Theo định nghĩa trên, tập 0 được xem là tập lồi

Q Ẽ /Chứng minh

Lấy Ii,x2 £ Ả Khi đó, X I , X2 € AA (Va G I ) Với mọi O' G /, do AA lồi, cho

5

\ X Ị + (1 — A)X'2 € AA (VA € [0,1]).

Suy ra Axi + (1 — A)a?2 £ A

Từ Định nghĩa 1.1 ta nhận được các mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.2 Giả sử tập A I C X lồi, Àj G R ( I = 1, , ra) Khi đó,

A 1 4 1 + + \mAm là tập lồi

Mệnh đề 1.3 Giả sử X Ị là không gian tuyến tính, tập A Ị E X Ị lồi ( I = 1, ,

M ) Khi đó, tích Descartes A Ị X X AM là tập lồi trong X \ X X XM.

Mệnh đề 1.4 Giả sử X, Y là các không gian tuyến tính, T : X — > Y là toán tử tuyến tính Khi đó,

a) Nếu A c X lồi, thì T ( A ) lồi;

b) Nếu B c Y lồi, thì nghịch ảnh T ~L( B ) của B là tập lồi

Định nghĩa 1.3 Vectơ X G X được gọi là T Ổ H Ợ P L Ồ I của các vectơ

1.2Bao lồi và bao lồi đóng

Định nghĩa 1.4 Giả sử /1 c X Giao của tất cả các tập lồi chứa A được gọi là

B A O L Ồ I ( C O N V E X H U L L ) của tập A , và ký hiệu là C O A Nhận xét 1.2 a) C O A là một tập lồi Đó là tập lồi nhỏnhất chứaA ;

b) Tập A lồi khi và chỉ khi A = C O A

Định lý 1.2 C O A trùng với tập tất cả các tố hợp lồi của A

Hệ quả 1.1 Tập A là lồi khi và chỉ khi A chứa tất cả các tổ liỢp lồi của A

Bây giờ giả sử X là không gian lồi địa phương

Định nghĩa 1.5 Giả sử A c X Giao của tất cả các tập lồi đóng chứa A đượcgọi là B A O L Ồ I Đ Ó N G của tập A , và ký hiệu là Ã ) A

Nhận xét 1.3 C Õ A là một tập lồi đóng Đó là tập lồi đóng nhỏ nhất chứa A

Mệnh đề 1.5 Giả sử A c X lồi Khi đó,

a) Phần trong I N T A và bao đóng A của A là các tập lồi;

b) Nếu X1 € I N T A , X2 € A thì

[ XUX 2) = {A^I + (1 — Ằ ) X 2 : 0 < A < 1} c I N T A Nói riêng, nếu I N T A Ỷ 0 thì

và X U + (1 — Ằ ) X2 c A , suy l'a X G I N T A Do đó, I N T A lồi

Bây giờ lấy X I , X2 € A Dặt X = AjiCi + (1 — A)x2, (0 < A < 1)

Giả sử Ư là một lân cận lồi của O

Khi P = Q, đoạn thẳng P Q gồm chỉ một điểm P

Khi P Ỷ Q Ì đoạn thẳng P Q g ồ m điểm P ( k h i A = 1) v à ọ ( k h i A = 0) v à I i h ữ n g điểm ứng với A (0 < A < 1)

Hai điểm P, Q gọi là H A I M Ú T của đoạn thẳng P Q, những điểm khác của đoạn thẳng P Q gọi là Ở G I Ữ A P và Q

Hiển nhiên đoạn thẳng là tập lồi.

2.2Đơn hình

Cho m + 1 điểm độc lập P ( ) P Ị , , PM. Ta biết rằng m-phẳng A đi qua M +

1 điểm đó gồm những điểm M sao cho (với điểm O nào đó)

Tập hợp đó được gọi là M - Đ Ơ N H Ì N H với các Đ Ỉ N H : P ( Ị , P I, , PM

và ký hiệu là

Ta chứng minh rằng, m-đơn hình là tập lồi bé nhất chứa các đỉnh của đơn hình Rõ ràng các đỉnh p0, P Ị, , PM đều thuộc đơn hình (cho Aj = 1 và các \ J khác bằng 0 ta được đỉnh P Ị )

Lấy hai điểm M , N thuộc đơn hình, tức là

Nếu điểm X thuộc đoạn thẳng M N thì

cho nên N € S ( P ( ) , Pi, , PK) quy ra N E S '

Khi đó, OM — XON + Ằk+iO Pk+1 với A + Xk+1 = 1 và A > 0, A fc+1 > 0, bởi vậy

M thuộc đoạn thẳng PK + ÌN Vì S ' chứa N và chứa Pjfc+1 nên M €

S ' Vậy S { P O , P U , PK +I ) c 5"

Tóm lại, mọi tập lồi chứa P(), P \ , , PM đều chứa m-đơn hình

S ( P0, Pi, , Pm) Nói cách khác, đơn hình S ( P ( ) , P ị , , Pm) là tập lồi

p¡$ = tĩụì + {I - t)P¡$

hay

P o X = { t X ị + (1 — t ) ß i )

P q P ì - i = 0

Ta có 0 < t.Xị < t (vì t, Xị > 0 và t, Aị < 1)

và 0 < (1 — T ) H I < 1 — T (vì 0 < 1 — T , H I <

1)

Vậy 0 < T \ Ị + (1 — T ) F I I < T + L — T = L Điền đó chứng tỏ X

thuộc M-hộp và vì vậy ra-hộp là tập lồi

2.4Tập affine và bao affine

2-Tương tự, ta nhận được L2 D L Ị Do đó, L Ị = L2. Như vậy, tính duy nhất đượcchứng minh.

Lấy Y Ễ A , ta có A — Y là tập affine chứa O Vậy A — Y là không gian con duy nhất L//A Bởi vì L = A — Y và Y tùy ý, cho nên L = A — A

Từ Dịnh lv 2.1 ta có thể định nghĩa được chiều của một tập affine

Định nghĩa 2.4 Chiều của một tập affine không rỗng được định nghĩa là chiều của không gian con song song với Ĩ1Ó

Chú ý Ta quy ước D I R N Ự Ì = — 1

Giả sử L là một không gian con trong P H Ầ N B Ù T R Ự C G I A O của L được xác định như sau

LL = { X £ E" : X JL y,Vy € í/},trong đó

X J_ y X , y > = 0.

Khi đó, tập L1 cũng là một không gian con, và

d i m L + d i m L ± = n, ( L ± ) ± = L

Định nghĩa 2.5 Tập affine N — 1 chiều trong Mre được gọi là một S I Ê U

P H Ẳ N G Định lý 2.2 Giả sử S S ẽ 1,0 7¿06 IR" Khi đó, tập

H = { x e R n : < x , b > = ß }

là một siêu phẳng trong Kn Hơn nữa, mọi siêu phẳng đều có thể biểu diễn duy nhất bằng cách này (theo nghĩa: đồng nhất các siêu phẳng có B và S S được nhân với cùng một số)

Định lý 2.3 Giả sử B là M X N - ma trận, B G Rm Khi đó, tập hợp

là affine trong E." Hơn nữa, mọi tập affine đều có thể biểu diễn dưới dạng (2.1)

Chú ý Nếu A — IR", ta lấy B là ma trận không cấp M X 77, và B — 0

Nếu A = 0, ta lấy D là ma trận không cấp R R I X N và B Ỷ 0

Hệ quả 2.1 Mọi tập affine A trong R" là giao của một số hữu hạn các siêu phẳng

Định nghĩa 2.8 Tập m + 1 điểm b í ) , b ị , b m được gọi là đ ộ c l ậ p

a f f i n e ( a f f i n e i n d e p e n t d e n t ) , nếu aff{b0, bi, , bm} là 771 chiều.

Nhận xét 2.4 ò(>, B Ỉ , , BM độc lập affine khi và chỉ khi B Ị — ¿>0, , BM —

T(( 1 - A)x + Ay) = (1 - A)Tx + ATy.

Nhận xét 2.6 Nếu ánh xạ T : Rn —> Mm là affine, là tập affine trong M" thì T A là tập affine trong Rm

Như vậy, a ff ( TA ) = T ( a ff A )

Định lý 2.4 Giả sử {¿>0, B I , ■ ■ ■ , BM} và { B '0, B \, , B'm} là các tập độc lập affine trong Rn Khi đó, tồn tại ánh xạ affine 1 — 1 T : R" — > R” sao cho

của lRn lên cơ sở B [ — B '0, , B 'N — B [ Y

Dặt T X = T \ X + A , trong đó A = B '( ) — T Ị B0, ta nhận được T là ánh xạ affine cần tìm

Hệ quả 2.2 Giả sử M Ị, M2 c 1RM là hai tập affine, D I M , M L — D I M M2

Khi đó, tồn tại ánh xạ affine T là ánh xạ 1 — 1 từ IRn lên K” sao cho T M 1 = M2.Định lý 2.5 Ánh xạ T : Rrt —>■ Em là affine khi và chỉ khi T X — T Ị X + A,

affine với T Ị O = 0 Vậv Ti là ánh xạ tuvến tính

b) NgiĩỢc lại, nếu T X — TXX + A với T Y là tuyến tính, thì

T((l — X ) x + X y ) = (1 — A ) T \ X + X T \ I J + u = (1 — X ) T X + X T y

Vậy T là affine

Định nghĩa 2.10 Bao lồi của K + 1 điểm độc lập affine B O , B Ị , , B K được gọi

là Đ Ơ N H Ì N H K - C H I Ề U ( K - S I M P L E X ) Các điểm B0,

B I , , BN được gọi là các Đ Ỉ N H ( V E R T E X ) c ủ a đ ơ n h ì n h Định lý 2.6 Giả sử S là đơn hình n-chiều trong Rn với các đỉnh

B ( F , B Ị , , BN Khi đó, I N T S Ỷ $ ■

Định nghĩa 2.11 C H I Ề U C Ủ A T Ậ P L Ồ I A là chiều của U F F A Chú ý Bởi vì một đơn hình là một tập lồi, cho nên có thể xét chiều của các đơn hình theo Định nghĩa 2.11

Định lý 2.7 Giả sử A c R” là tập lồi Khi đó, D Ỉ M A là cực đại của chiều các đơn hình trong A

Chứng minh

Nếu C c A , thì C O C c A Vì thế, cực đại của số chiều các đơn hình trong Ả là số

R R I lớn Iihất sao cho Ả chứa một tập M + 1 điểm độc lập affine, chẳng hạn{^0 1 B Ị 5 • • • 5 B M } •

Giả sử X là không gian tuyến tính

Định nghĩa 2.12 Tập K c X được gọi là N Ó N có đỉnh tại ơ, nếu

Ax G K , V.X e K , VA > 0

/í được gọi là nón có đỉnh tại X0, nếu K — Xo là nón có đĩnh tại O

2.5.2 Nón lồi

Định nghĩa 2.13 Nón K có đỉnh tại O được gọi là N Ó N L Ồ I, nếu K là một tập lồi, có Iighĩa là

là các nón lồi có đỉnh tại ỡ Dó là các nón lồi quan trọng trong Rn

Mệnh đề 2.2 Giả sử KA (a G I ) là các nón lồi có đỉnh tại x0 với I là tập chỉ số bất

kỳ Khi đó, n KA là nón lồi có đĩnh tại X O

G K Chú ý với A = 0 hoặc 1 ta vẫn có (1 — X ) X + X Y 6 K Vậy K là nón lồi

K là nón lồi có đỉnh tại o, bởi vì K đóng đối với phép cộng và phép nhân vô hướng

Ta có K D A Hơn nữa, mọi nón lồi chứa A thì phải chứa K

Định nghĩa 2.14 Giao của tất cả các nón lồi (có đỉnh tại O) chứa tập A và điềm O là một nón lồi và được gọi là N Ó N L Ồ I S I N H B Ở I T Ậ P A , ký hiệu là

KA.

Định nghĩa 2.15 Giao của tất cả các không gian con tuyến tính chứa tập A được gọi

là /;ao t u y ế n T Í N H của tập A , ký hiệu là H N A

Mệnh đề 2.3 a) KA = KC O A\

b) Nếu A là tập lồi thì

K A IJ X A { X ç X X \ Z , \ ^ 0,2 € •

Ằ > 02.5.3 Định lý Carathéodory

Giả sử X là không gian hữu hạn chiều: X = R”

Định lý 2.9 Giả sử A c Mn khác 0 và K4 là nón lồi sinh bởi tập A Khi đó, mỗi

điểm X Ỷ 0 thuộc KA có thể biểu diễn dưới dạng

X = Ai^i “h • • • "I“ \RXR\

t rong đó Aj > 0, X ị € A ( i = 1, ., r ) , c á c đi ể m X i , , xr độc l ậ p tuy ế n t í nh Nói r i ê n g , r < n

Định lý 2.10 (Định lý Carathéodory)

Giả sử A c M” Khi đó, mỗi điểm của tập C O A là tổ hợp lồi không quá N + 1 điểm

Giả sử K S S là nón lồi sinh bởi D Khi đó, C O D c K B

Theo Dịnli lv 2.9, nếu { l , x ) <E c o B thì tồn tại r điểm (1, X i), , (1, xr) G B và

r số Ai > 0, , Ar > 0 với r < n + 1, sao cho

Tập tất cả các vectơ pháp tuyến của tập lồi A tại X € A được gọi là N Ó N

P H Á P T U Y Ế N của A tại X , ký hiệu là N ( X \ A )

Như vậy,

N ( x \ A ) = {x* € X * : < x * , x — X > < 0,Var € A }

Nhận xét 2.7 Nón pháp tuyến của tập lồi A tại X 6 A là lồi đóng

2.7 Nón lùi xa

Bâv giờ giả sử X là không gian tuyến tính

Định nghĩa 2.17 Giả sử A C X lồi, khác 0 Ta nói tập A L Ù I X A

ii) Chứng minh 0+Ấ là Ĩ1ÓĨ1 lồi.

Bởi vì phép nhân với số dương không làm thay đổi phương, cho nên 0+ A là một nón.LấyD Ị ,ri2 € 0+A, 0 < A < 1 Do A lồi nên ta có

2.8 Phần trong tương đối

Định nghĩa2.20 Tập A \ R I A được gọilà B I Ê N T Ư Ơ N G Đ Ố I của

A

Tập A được gọi là m ở t ư ơ n g đ ố i ( r e l a t i v e l y o p e n ) , nếu r i A — A

Định lý 2.13 Già sử A là tập lồi trong Rn;.x 6 R I A , Y G A Khi đó,

(1 — X ) X + X Y G R I A (0 < A < 1)

Chứng minh

Giả sử A là tập lồi TO-chiều trong R'\ Theo Hệ quả 2.2, tồn tại ánh xạ affine

2 — 1 T : Kn —> Mn sao cho T ánh xạ A F F A lên không gian COI1 L

Thật vậy, bởi vì Y G A , cho nên với mọi € > 0 , Y E A + E B Do X G

I N T A , với

Hệ quả 2.5 Giả sửA là tập lồi trong IR" Khi đó, R I A lồi.

Định lý 2.14 Giả sử A là tập lồi trong Kn Khi đó,

Nói riêng, nếu A Ỷ 0 thì R I A Ỷ

0-Định lý 2.16 Giả sử A là tập lồi trong Kn Khi dó,

Chứng minh

Giả sử D I M A = M < N Không mất tính chất tổng quát ta có thể xem như O

€ A Khi đó, A F F A là k h ô n g g i a n con và ta có thể đồng nhất A F F A với Áp dụng Mệnh đề 1.5 cho không gian ta nhận được (2.6)

Hệ quả 2.8 Giả sử A Ị , A2 là các tập lồi trong E" Khi đó,

A \ = Ả‘2 <í=> r ỉ A i = r i A 2

-2.9Tập lồi đa diện

Một tập lồi đa diện trong R” là một tập được biểu diễn bằng giao của hữu hạn các Iiửa không gian đóng, nghĩa là tập nghiệm của một hệ hữu hạn các bất phương trình có dạng

tập lồi đa diện trong R2

b) Tập nghiệm của hệ phương trình:

X \ + x2 — x3 — 1 < 0

< 2 x l — x 2 + x 3 — 5 < 0

Xi H" 2xi — Xỵ +

7 < 0 là một tập lồi đa diện trong R3

Định lý 2.17 Tập lồi K là đa diện khi và chỉ khi K hữu hạn sinh

2.10 Tập xác định bởi các hàm toàn phương lồi

2.10.1 Hàm lồi

Giả sử X là không gian lồi địa phương, D C X , F : ữ Ru {±oc}

Định nghĩa 2.21 T R Ê N D Ò T H Ị ( E P I G R A P H ) của hàm /, ký hiệu là

E P I F được định nghĩa như sail

E P I F — {(x,r) 6 D X R : F ( X ) < r}

Định nghĩa 2.22 M I Ề N H Ữ U H I Ệ U ( E F F E C T I V E

D O M A I N ) của hàm /, ký hiệu là D O M F, được định nghĩa như sau

( C O N C A V E O N D ) , nếu —/ là hàm lồi trên D

Nhận xét 2.10 Nếu / lồi thì D O M F lồi

Ví dụ 2.5 Hàm affine F ( X) =< X * , X > + A , ( X * € X * , A € K) là hàm lồi trên X, trong đó X * là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X

Ví dụ 2.6 H À M C H Ỉ ( I N D I C A T O R F U N C T I O N ) Ổ(.|Ấ) của tập lồi A c X là hàm lồi

Định nghĩa 2.26 Hàm / được gọi là đóng, nếu epif đóng trong X X E.

Định lý 2.20 Hàm / đóng khi và chỉ khi tất cả các tập mức có dạng

{ X : f ( x ) < a }

của / là đóng

Tính liên tục của hàm lồi

Định lý 2.21 Giả sử / là hàm lồi chính thường trên X Khi đó, các khẳng định s a u

s e m i c o n - tinuous) X £ X (với f(x) < oc), nếu với mọi e > 0, tồn tại lân cận Ư

của X sao cho:

/0) - € < F ( Y ) (Vy € U ) (2.7)b) Nếu f(x) = + OC thì / được gọi là nửa liên tục dưới tại X , nếu với mọi

f ( y ) > N (Vị/ € U ) (2.8)c) Hàm / được gọi là N Ử A L I Ê N T Ụ C D Ư Ớ I, nếu / nửa liên tụcdưới tại mọi X G X

Chú ý Nếuthay (2.7) và (2.8) tương ứng bởi (2.9) và (2.10), ta địnhnghĩa được

hàm nửa l i ê n t ục t rê n t ại X

F { Y) < F ( X ) + E (Vy € U ) , (2.9)(khi F ( X ) < +cxd);