Một số tập lồi đặc biệt và ứng dụng

.Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về tính lồi của các tập lồi đặc biệt vàứng dụng của chúng, em đã chọn đề tài "Một số tập lồi đặc biệt và ứng dụng" đểlàm đề tài khóa luận tốt nghiệp.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơnsâu sắc tới ThS Trần Văn Nghị, người đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoànthành tốt khóa luận này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo khoa Toán,trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trìnhhọc tập tại khoa

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn

bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập vàthực hiện khóa luận tốt nghiệp

Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 05 tháng 5 năm 2015

Sinh viên

Bùi Thị Ngoan

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận được hoàn thành sau quá trình tự tìm hiểu, nghiên cứu của bảnthân và sự hướng dẫn của Th.S Trần Văn Nghị

Trong khóa luận em có tham khảo các kết quả nghiên cứu của các nhà khoahọc trong và ngoài nước Em xin cam đoan kết quả của khóa luận này là khôngsao chép từ bất cứ khóa luận nào Em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về lời camđoan của mình

Hà Nội, ngày 05 tháng 5 năm 2015

Sinh viên

Bùi Thị Ngoan

Mục lục

1 SƠ LƯỢC VỀ TẬP LỒI 3

1.1 Định nghĩa và tính chất 3

1.2 Bao lồi và bao lồi đóng 5

2 MỘT SỐ TẬP LỒI ĐẶC BIỆT 7 2.1 Đoạn thẳng 7

2.2 Đơn hình 8

2.3 Hộp 9

2.4 Tập affine và bao affine 10

2.4.1 Tập affine 10

2.4.2 Bao affine 12

2.5 Nón lồi 15

2.5.1 Nón 15

2.5.2 Nón lồi 15

2.5.3 Định lý Carathéodory 17

2.6 Nón pháp tuyến 18

2.7 Nón lùi xa 18

2.8 Phần trong tương đối 20

2.9 Tập lồi đa diện 22

2.10 Tập xác định bởi các hàm toàn phương lồi 23

2.10.1 Hàm lồi 232.10.2 Tập xác định bởi các hàm toàn phương lồi 26

3 ỨNG DỤNG TÍNH LỒI VÀO BÀI TOÁN CỰC TRỊ 283.1 Bài toán lồi với ràng buộc đẳng thức 283.2 Bài toán lồi với ràng buộc bất đẳng thức 303.3 Bài toán quy hoạch toàn phương 30Tài Liệu Tham Khảo 34

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Tính lồi là một trong số các tính chất quan trọng của các hình hình học Tínhlồi xuất hiện nhiều trong các lĩnh vực Hình học lồi, Giải tích lồi, Quy hoạch lồi .Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về tính lồi của các tập lồi đặc biệt vàứng dụng của chúng, em đã chọn đề tài "Một số tập lồi đặc biệt và ứng dụng" đểlàm đề tài khóa luận tốt nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu

• Tìm hiểu sâu hơn các kiến thức về tập lồi

• Làm rõ tính chất của các tập lồi đặc biệt

• Ứng dụng tính lồi vào một số bài toán cực trị

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Kiến thức về tập lồi

• Phạm vi nghiên cứu: Một số tập lồi đặc biệt và ứng dụng

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Trình bày cơ sở lý thuyết về tập lồi

• Trình bày tính chất của một số tập lồi đặc biệt

• Trình bày một số ứng dụng

5 Phương pháp nghiên cứu

Phân tích và tổng hợp kiến thức

6 Cấu trúc khóa luận

Khóa luận bao gồm ba chương:

Chương 1: Sơ lược về tập lồi

Chương 2: Một số tập lồi đặc biệt

Chương 3: Ứng dụng tính lồi vào bài toán cực trị

Chương 1

SƠ LƯỢC VỀ TẬP LỒI

1.1 Định nghĩa và tính chất

Giả sử X là không gian tuyến tính, R là tập các số thực

Định nghĩa 1.1 Tập A ⊂ X được gọi là lồi, nếu

Suy ra λx1+ (1 − λ)x2 ∈ A.

Từ Định nghĩa 1.1 ta nhận được các mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.2 Giả sử tập Ai ⊂ X lồi, λi ∈ R (i = 1, , m) Khi đó,

a) Nếu A ⊂ X lồi, thì T (A) lồi;

b) Nếu B ⊂ Y lồi, thì nghịch ảnh T−1(B) của B là tập lồi

Định nghĩa 1.3 Vectơ x ∈ X được gọi là tổ hợp lồi của các vectơ

1.2 Bao lồi và bao lồi đóng

Định nghĩa 1.4 Giả sử A ⊂ X Giao của tất cả các tập lồi chứa A được gọi làbao lồi (convex hull) của tập A, và ký hiệu là coA

Nhận xét 1.2 a) coA là một tập lồi Đó là tập lồi nhỏ nhất chứa A;

b) Tập A lồi khi và chỉ khi A = coA

Định lý 1.2 coA trùng với tập tất cả các tổ hợp lồi của A

Mệnh đề 1.5 Giả sử A ⊂ X lồi Khi đó,

a) Phần trong intA và bao đóng A của A là các tập lồi;

b) Nếu x1 ∈ intA, x2 ∈ A thì

[x1, x2) = {λx1+ (1 − λ)x2 : 0 < λ ≤ 1} ⊂ intA

Nói riêng, nếu intA 6= ∅ thì

A = intA, intA = intA

Chứng minh

Lấy x1 ∈ intA, x2 ∈ A Khi đó, tồn tại lân cận U của x1 sao cho U ⊂ A.Đặt x = λx1+ (1 − λ)x2, (0 < λ < 0), ta có λU + (1 − λ)x2 là một lân cận của x

và λU + (1 − λ)x2 ⊂ A, suy ra x ∈ intA Do đó, intA lồi

Bây giờ lấy x1, x2 ∈ A Đặt x = λ1x1+ (1 − λ)x2, (0 < λ < 1)

Giả sử U là một lân cận lồi của O

Khi P ≡ Q, đoạn thẳng P Q gồm chỉ một điểm P.

Khi P 6= Q, đoạn thẳng P Q gồm điểm P (khi λ = 1) và Q (khi λ = 0) và nhữngđiểm ứng với λ (0 < λ < 1)

Hai điểm P, Q gọi là hai mút của đoạn thẳng P Q, những điểm khác của đoạnthẳng P Q gọi là ở giữa P và Q

Hiển nhiên đoạn thẳng là tập lồi

Ta chứng minh rằng, m-đơn hình là tập lồi bé nhất chứa các đỉnh của đơn hình.

Rõ ràng các đỉnh P0, P1, , Pm đều thuộc đơn hình (cho λi = 1 và các λj khácbằng 0 ta được đỉnh Pi)

Lấy hai điểm M, N thuộc đơn hình, tức là

Bây giờ ta chứng minh rằng nếu S0 là tập lồi chứa P0, P1, , Pm thì S0 chứam-đơn hình S(P0, P1, , Pm).

Thật vậy S0 chứa một đơn hình S(P0, P1) Bằng quy nạp giả sử S0chứa k-đơn hìnhS(P0, P1, , Pk), 0 ≤ k < m thì S0 chứa (k + 1)-đơn hình S(P0, P1, , Pk, Pk+1).Giả sử M ∈ S(P0, P1, , Pk+1) tức là

Khi đó, −−→

OM = λ−−→

ON + λk+1−−−−→

OPk+1 với λ + λk+1 = 1 và λ ≥ 0, λk+1 ≥ 0, bởi vậy

M thuộc đoạn thẳng Pk+1N Vì S0 chứa N và chứa Pk+1 nên M ∈ S0

Vậy S(P0, P1, , Pk+1) ⊂ S0

Tóm lại, mọi tập lồi chứa P0, P1, , Pm đều chứa m-đơn hình

S(P0, P1, , Pm) Nói cách khác, đơn hình S(P0, P1, , Pm) là tập lồi bé nhấtchứa các đỉnh của nó

Dễ dàng thấy rằng m-hộp là một tập lồi

Thật vậy, nếu M và N là hai điểm tùy ý thuộc m-hộp,

−−→

P0X = t−−→

P0M + (1 − t)−−→

P0Nhay

Định lý 2.1 Mỗi tập affine A 6= ∅ song song với một không gian con duy nhất

L được xác định như sau

Từ Định lý 2.1 ta có thể định nghĩa được chiều của một tập affine

Định nghĩa 2.4 Chiều của một tập affine không rỗng được định nghĩa là chiềucủa không gian con song song với nó

Chú ý Ta quy ước dim∅ = −1

Giả sử L là một không gian con trong Rn Phần bù trực giao của L được xácđịnh như sau

L⊥ = {x ∈ Rn: x ⊥ y, ∀y ∈ L},trong đó

là một siêu phẳng trong Rn Hơn nữa, mọi siêu phẳng đều có thể biểu diễn duynhất bằng cách này (theo nghĩa: đồng nhất các siêu phẳng có b và β được nhânvới cùng một số).

Chứng minh

Trước hết ta chú ý: các không gian con n − 1 chiều là các tập có dạng

{x ∈ Rn: x ⊥ b} (b 6= 0); các siêu phẳng là các dịch chuyển của chúng Như vậy,

Nếu A = ∅, ta lấy B là ma trận không cấp m × n và b 6= 0

Hệ quả 2.1 Mọi tập affine A trong Rn là giao của một số hữu hạn các siêuphẳng

Định nghĩa 2.8 Tập m + 1 điểm b0, b1, , bm được gọi là độc lập affine (affineindepentdent), nếu af f {b0, b1, , bm} là m chiều.

Nhận xét 2.4 b0, b1, , bm độc lập affine khi và chỉ khi b1− b0, , bm− b0độc lập tuyến tính

n lên cơ sở b0 − b0, , b0 − b0

Đặt T x = T1x + a, trong đó a = b00 − T1b0, ta nhận được T là ánh xạ affine cầntìm.

Hệ quả 2.2 Giả sử M1, M2 ⊂ Rn là hai tập affine, dimM1 = dimM2 Khi đó,tồn tại ánh xạ affine T là ánh xạ 1 − 1 từ Rn lên Rn sao cho T M1 = M2

Định lý 2.5 Ánh xạ T : Rn → Rm là affine khi và chỉ khi T x = T1x + a, trong

Định lý 2.6 Giả sử S là đơn hình n-chiều trong Rn với các đỉnh b0, b1, , bn.Khi đó, intS 6= ∅

Định nghĩa 2.11 Chiều của tập lồi A là chiều của af f A

Chú ý Bởi vì một đơn hình là một tập lồi, cho nên có thể xét chiều của các đơnhình theo Định nghĩa 2.11

Định lý 2.7 Giả sử A ⊂ Rn là tập lồi Khi đó, dimA là cực đại của chiều cácđơn hình trong A

Chứng minh

Nếu C ⊂ A, thì coC ⊂ A Vì thế, cực đại của số chiều các đơn hình trong A

là số m lớn nhất sao cho A chứa một tập m + 1 điểm độc lập affine, chẳng hạn{b0, b1, , bm}

Đặt M = af f {b0, b1, , bm} Khi đó, dimM = m và M ⊂ af f A

Giả sử X là không gian tuyến tính.

Định nghĩa 2.12 Tập K ⊂ X được gọi là nón có đỉnh tại O, nếu

Ví dụ 2.1 Các tập sau đây trong Rn:

{(ξ1, , ξn) ∈ Rn: ξi ≥ 0, i = 1, , n} (orthant không âm);

{(ξ1, , ξn) ∈ Rn: ξi > 0, i = 1, , n} (orthant dương)

là các nón lồi có đỉnh tại O Đó là các nón lồi quan trọng trong Rn

Mệnh đề 2.2 Giả sử Kα (α ∈ I) là các nón lồi có đỉnh tại x0 với I là tập chỉ

số bất kỳ Khi đó, T

α∈K

Kα là nón lồi có đỉnh tại x0.Chứng minh

Suy ra từ Định nghĩa 2.13

Ví dụ 2.2 X = Rn, bα ∈ Rn (α ∈ I) Khi đó,

K = {x ∈ Rn:< x, b >≤ 0, ∀α ∈ I}

Hệ quả 2.3 Tập K ⊂ X là nón lồi khi và chỉ khi K chứa tất cả các tổ hợp tuyếntính dương của các phần tử của K, tức là nếu x1, , xm ∈ K, λ1, , λm > 0 thì

Giả sử X là không gian hữu hạn chiều: X = Rn.

Định lý 2.9 Giả sử A ⊂ Rn khác ∅ và KA là nón lồi sinh bởi tập A Khi đó,mỗi điểm x 6= 0 thuộc KA có thể biểu diễn dưới dạng

x = λ1x1+ · · · + λrxr;trong đó λi > 0, xi ∈ A (i = 1, , r), các điểm x1, , xr độc lập tuyến tính Nóiriêng, r ≤ n

Giả sử KB là nón lồi sinh bởi B Khi đó, coB ⊂ KB

Theo Định lý 2.9, nếu (1, x) ∈ coB thì tồn tại r điểm (1, x1), , (1, xr) ∈ B và

r số λ1 > 0, , λr > 0 với r ≤ n + 1, sao cho

Định lý 2.11 Giả sử tập A ⊂ Rn đóng, bị chặn Khi đó, coA đóng, tức là

Bây giờ giả sử X là không gian tuyến tính

Định nghĩa 2.17 Giả sử A ⊂ X lồi, khác ∅ Ta nói tập A lùi xa theo phương

d 6= 0, nếu A + λd ⊂ A (∀λ ≥ 0), hay

x + λd ∈ A (∀λ ≥ 0, ∀x ∈ A) (2.2)Nhận xét 2.8 Tập A lùi xa theo phương d nếu A chứa tất cả các nửa đườngthẳng xuất phát từ các điểm của A và theo phương d

Định nghĩa 2.18 Tập các vectơ d ∈ X thỏa mãn (2.2) và vectơ d = 0 được gọi

là nón lùi xa (recession cone) của A, ký hiệu là 0+A

Định lý 2.12 Giả sử tập A ⊂ X lồi, khác ∅ Khi đó, 0+A là nón lồi chứa điểm

O, đồng thời,

0+A = {d ∈ X : A + d ⊂ A} (2.3)Chứng minh

ii) Chứng minh 0+A là nón lồi

Bởi vì phép nhân với số dương không làm thay đổi phương, cho nên 0+A là mộtnón

Lấy d1, d2 ∈ 0+A, 0 ≤ λ ≤ 1 Do A lồi nên ta có

(1 − λ)d1+ λd2+ A = (1 − λ)(d1+ A) + λ(d2 + A)

⊂ (1 − λ)A + λA = A

2.8 Phần trong tương đối

Định nghĩa 2.19 Phần trong tương đối (relative interior) của tập A ⊂ Rn làphần trong của A trong af f A, ký hiệu là riA

Các điểm thuộc riA được gọi là điểm trong tương đối của tập A

Nhận xét 2.9

intA = {x ∈ Rn : ∃ > 0, x + B ⊂ A};

riA = {x ∈ af f A : ∃ > 0, (x + B) ∩ af f A ⊂ A},trong đó B là hình cầu đơn vị đóng trong Rn

Định nghĩa 2.20 Tập A \ riA được gọi là biên tương đối của A

Tập A được gọi là mở tương đối (relatively open), nếu riA = A

Định lý 2.13 Giả sử A là tập lồi trong Rn; x ∈ riA, y ∈ A Khi đó,

(1 − λ)x + λy ∈ riA (0 ≤ λ < 1)

Chứng minh

Giả sử A là tập lồi m-chiều trong Rn Theo Hệ quả 2.2, tồn tại ánh xạ affine

1 − 1 T : Rn→ Rn sao cho T ánh xạ af f A lên không gian con L

Thật vậy, bởi vì y ∈ A, cho nên với mọi  > 0, y ∈ A + B Do x ∈ intA, với

 > 0 đủ nhỏ, ta có

(1 − λ)x + λy + B ⊂ (1 − λ)x + λ(A + B) + B

= (1 − λ)[x + (1 + λ)(1 − λ)−1B] + λA

⊂ (1 − λ)A + λA = A

Hệ quả 2.5 Giả sử A là tập lồi trong Rn Khi đó, riA lồi

Định lý 2.14 Giả sử A là tập lồi trong Rn Khi đó,

Hệ quả 2.7 Giả sử A là tập lồi trong Rn Khi đó,

dimA = dim(riA) = dimA

Nói riêng, nếu A 6= ∅ thì riA 6= ∅

Định lý 2.16 Giả sử A là tập lồi trong Rn Khi đó,

riA = A; riA = riA (2.6)Chứng minh

Giả sử dimA = m ≤ n Không mất tính chất tổng quát ta có thể xem như

O ∈ A Khi đó, af f A là không gian con và ta có thể đồng nhất af f A với Rm

Áp dụng Mệnh đề 1.5 cho không gian Rm ta nhận được (2.6)

Hệ quả 2.8 Giả sử A1, A2 là các tập lồi trong Rn Khi đó,

A1 = A2 ⇔ riA1 = riA2

2.9 Tập lồi đa diện

Một tập lồi đa diện trong Rn là một tập được biểu diễn bằng giao của hữuhạn các nửa không gian đóng, nghĩa là tập nghiệm của một hệ hữu hạn các bấtphương trình có dạng

b) Tập nghiệm của hệ phương trình:

x1 + 2x1− x3+ 7 ≤ 0

là một tập lồi đa diện trong R3

Định lý 2.17 Tập lồi K là đa diện khi và chỉ khi K hữu hạn sinh

2.10 Tập xác định bởi các hàm toàn phương lồi

2.10.1 Hàm lồi

Giả sử X là không gian lồi địa phương, D ⊂ X, f : D → R ∪ {±∞}

Định nghĩa 2.21 Trên đồ thị (epigraph) của hàm f , ký hiệu là epif , được địnhnghĩa như sau

Nhận xét 2.10 Nếu f lồi thì domf lồi

Ví dụ 2.5 Hàm affine f (x) =< x∗, x > +α, (x∗ ∈ X∗

, α ∈ R) là hàm lồi trên

X, trong đó X∗ là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X

Ví dụ 2.6 Hàm chỉ (indicator function) δ(.|A) của tập lồi A ⊂ X là hàm lồi

Ví dụ 2.7 Giả sử X∗ là không gian liên hợp của X Hàm tựa s(.|A) của tập lồi

A ⊂ X∗ là hàm lồi

s(.|A) = sup

x ∗ ∈A

< x∗, x > Định lý 2.18 Giả sử D là tập lồi trong không gian X, hàm f : D → (−∞, +∞].Khi đó, f lồi trên D khi và chỉ khi

f (λx + (1 − λ)y ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) (∀λ ∈ [0, 1], ∀x, y ∈ D)

Định lý 2.19 Giả sử f là hàm lồi trên X, µ ∈ [−∞, +∞] Khi đó, các tập mức{x : f (x) < µ} và {x : f (x) ≤ µ} lồi.

Hệ quả 2.9 Giả sử fα là hàm lồi trên X, λα ∈ R (∀α ∈ I), I là tập chỉ số bất

Tính liên tục của hàm lồi

Định lý 2.21 Giả sử f là hàm lồi chính thường trên X Khi đó, các khẳng địnhsau là tương đương:

(i) f bị chăn trên trong một lân cận của x;

(ii) f liên tục tại x;

f (x) −  ≤ f (y) (∀y ∈ U ) (2.7)

b) Nếu f (x) = +∞ thì f được gọi là nửa liên tục dưới tại x, nếu với mọi N > 0,tồn tại lân cận U của x sao cho

f (y) ≥ N (∀y ∈ U ) (2.8)c) Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới, nếu f nửa liên tục dưới tại mọi x ∈ X.Chú ý Nếu thay (2.7) và (2.8) tương ứng bởi (2.9) và (2.10), ta định nghĩa đượchàm nửa liên tục trên tại x

f (y) ≤ f (x) +  (∀y ∈ U ), (2.9)(khi f (x) < +∞);

f (y) ≤ −N (∀y ∈ U ) (2.10)(khi f (x) = −∞)

Mệnh đề 2.4 f đóng khi và chỉ khi nửa liên tục dưới

Định lý 2.22 Giả sử f là hàm lồi chính thường trên Rn Khi đó, f liên tục trênri(domf )

Đạo hàm theo phương

Giả sử f là hàm xác định trên không gian lồi địa phương Hausdorff X,

Dưới vi phân

Giả sử f là hàm lồi trên X

Định nghĩa 2.29 Phiếm hàm x∗ ∈ X∗ được gọi là dưới gradient (subgradient)của hàm f tại x ∈ X, nếu

f (x) − f (x) ≥< x∗, x − x > (∀x ∈ X)

Định nghĩa 2.30 Tập tất cả dưới gradient của f tại x được gọi là dưới vi phân(subdifferenttial) của f tại x, ký hiệu là ∂f (x), tức là

∂f (x) = {x∗ ∈ X∗ : f (x) − f (x) ≥< x∗, x − x >, ∀x ∈ X}

Định nghĩa 2.31 Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x, nếu

∂f (x) 6= ∅

2.10.2 Tập xác định bởi các hàm toàn phương lồi

Định lý 2.23 Cho hàm toàn phương

Nhận xét 2.11 a) Nếu các Ai nửa xác định dương, i = 1, , m thì M là tậpxác định bởi các hàm toàn phương lồi, do đó M là tập lồi.

b) Nếu các Ai = 0, i = 1, , m thì M trở thành tập lồi đa diện Do đó, tập lồi

đa diện là trường hợp đặc biệt của tập xác định bởi các hàm toàn phương lồi

Chương 3

ỨNG DỤNG TÍNH LỒI VÀO

BÀI TOÁN CỰC TRỊ

3.1 Bài toán lồi với ràng buộc đẳng thức

Giả sử X là không gian lồi địa phương, hàm f xác định trên X, tập Q ⊂ X.Xét bài toán

c) Điểm x ∈ Q được gọi là điểm chấp nhận được của (P )

Bài toán không có ràng buộc

Giả sử X là không gian lồi địa phương, f là hàm lồi trên X

Xét bài toán

(P1) f (x) → min

Mệnh đề 3.1 Để x ∈ X là nghiệm của bài toán (P1), điều kiện cần và đủ là

Bài toán với ràng buộc đẳng thức

Giả sử f là hàm lồi trên X, C là đa tạp tuyến tính song song với không giancon M trong X Xét bài toán

(P2) min{f (x) : x ∈ C}

Định lý 3.1 a) Giả sử f liên tục tại một điểm của C, x là nghiệm của bài toán(P2) Khi đó,

∂f (x) ∩ M⊥6= ∅ (3.1)b) Giả sử (3.1) đúng tại x ∈ C Khi đó, x là nghiệm của bài toán (P2)

Định lý 3.2 Cho X là không gian Banach, x∗i ∈ X∗, αi ∈ R ,