Định lý giới hạn trung tâm cho các martingale

có nguồn gốc từ các kết quả giới hạn trong trường hợp độc lập.Trong luận văn này, em đã chọn đề tài "Định lý giới hạn trung tâmcho các martingale" để trình bày một cách chi tiết và có hệ

Trang 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

KHOA TOÁN - TIN

————————–o0o————————–

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM CHO CÁC MARTINGALE

Chuyên ngành : Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học

Giảng viên hướng dẫn : TS Nguyễn Văn Hùng

HÀ NỘI - 2017

Trang 2

Mục lục

Lời cảm ơn 2

Lời nói đầu 4

1 Kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Các khái niệm cơ bản 6

1.2 Các dạng hội tụ 7

1.3 Phát biểu định lý giới hạn trung tâm cho trường hợp các biến ngẫu nhiên độc lập 8

1.4 Định nghĩa martingale, các kết luận liên quan 10

1.4.1 Martingale 10

1.4.2 Các bất đẳng thức cơ bản 11

1.4.3 Các định lý hội tụ 12

2 Định lý giới hạn trung tâm cho martingale 14 2.1 Martingale bình phương khả tích 14

2.2 Định lý giới hạn trung tâm cho dãy martingale bình phương khả tích 16

2.2.1 Định lý giới hạn trung tâm cho dãy martingale bình phương khả tích 16

2.2.2 Định lý giới hạn trung tâm tổng quát 29

2.3 Một số mở rộng định lý giới hạn trung tâm 33

2.3.1 Các kết quả dạng Raikov trong định lý giới hạn trung tâm matingale 33

2.3.2 Martingale nghịch và tổng đuôi của martingale 40

2.4 Tốc độ hội tụ trong định lý giới hạn trung tâm 44

Trang 3

MỤC LỤC 2

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Bộ môn Toán ứng dụng,Khoa Toán-Tin đã giúp đỡ em trong quá trình học tập cũng như trong quátrình hoàn thành khóa luận này

Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến TS NguyễnVăn Hùng, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em trong quá trình nghiêncứu để khóa luận của em được hoàn thành đúng thời hạn Mặc dù em đã cónhiều cố gắng song do thời gian và trình độ còn nhiều hạn chế nên khóa luậnkhông thể tránh khỏi những thiếu sót Em mong thầy cô và các bạn nhận xét

và đóng góp ý kiến để khóa luận này được phát triển và hoàn chỉnh hơn Emxin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 6 năm 2017Đào Thị Vân Anh

Trang 4

MỤC LỤC 3

LỜI CAM ĐOANTôi xin cam đoan bản luận văn này là kết quả nghiên cứu của cá nhân tôi.Các số liệu và tài liệu được trích dẫn trong luận văn là trung thực Kết quảnghiên cứu này không trùng với bất cứ công trình nào đã được công bố trướcđó

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa nhữngkết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Tôi chịu trách nhiệm với lời cam đoan của mình

Hà Nội, tháng 6 năm 2017

Tác giả luận vănĐào Thị Vân Anh

Trang 5

có nguồn gốc từ các kết quả giới hạn trong trường hợp độc lập.

Trong luận văn này, em đã chọn đề tài "Định lý giới hạn trung tâmcho các martingale" để trình bày một cách chi tiết và có hệ thống các kếtquả quan trọng của định lý giới hạn trung tâm martingale như là một trườnghợp mở rộng của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập và làm sáng tỏ một số kếtquả trong chứng minh một số định lý giới hạn martingale

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Hệ thống lại các kết quả quan trọng của định lý giới hạn trung tâm vànghiên cứu tốc độ hội tụ của định lý giới hạn trung tâm

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

• Martingale, martingale ngược, martingale bình phương khả tích

• Phương sai có điều kiện

• Định lý giới hạn trung tâm cho các martingale, các kết quả dạng Raikov

• Các tổng đuôi của martingale

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

• Đọc sách, các bài báo, luận văn liên quan đến đề tài, tìm tài liệu trênInternet

• Sử dụng phương pháp phân tích để nắm vững vấn đề một cách chi tiết

• Sử dụng phương pháp tổng hợp, tổng hợp lại các kiến thức, trình bàyvấn đề theo trình tự logic để người đọc dễ theo dõi

Trang 6

MỤC LỤC 5

V CẤU TRÚC LUẬN VĂN

Luận văn bao gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và nội dungchính của luận văn bao gồm hai chương:

Chương I: Kiến thức chuẩn bị, nội dung chương này là những kiến thứcchuẩn bị của luận văn, những khái niệm và kết quả cơ bản về martingale, cácdạng hội tụ, định lý giới hạn trung tâm cho các biến ngẫu nhiên độc lập vàmột số định lý hội tụ quan trọng của martingale

Chương II: Định lý giới hạn trung tâm cho martingale, chương nàytrình bày định lý giới hạn trung tâm cho dãy martingale bình phương khảtích Phần 2.2.1 và 2.2.2 đã đưa ra những điều kiện đủ cho định lý giới hạntrung tâm Vấn đề hội tụ của moment được đề cập trong phần 2.3.1 và phần2.3.2 là trình bày định lý giới hạn trung tâm cho martingle nghịch, nhữngtổng đuôi của martingle Trong phần 2.4, luận văn nghiên cứu tốc độ hội tụtrong định lý giới hạn trung tâm

Trang 7

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Các khái niệm cơ bản

Giả sử Ω là một tập tùy ý khác rỗng Ký hiệu 2Ω là tập hợp gồm tất cảcác tập con của Ω

Định nghĩa 1.1.1 (σ-đại số) Lớp A⊂ Ω được gọi là một đại số nếu:(i) Ω ∈A;

với mọi dãy (A n ) các phần tử giao nhau đôi một bằng rỗng của F.

Ánh xạ P được gọi là một độ đo xác suất trên không gian đo (Ω,F)

Định nghĩa 1.1.3 (Kỳ vọng).Giả sử ξ là một biến ngẫu nhiên Nếu tíchphân R

Trang 8

đối với mọi dãy Ai ∈Fi , i ∈ I.

Họ các biến ngẫu nhiên Xi, i ∈ I, được gọi là độc lập nếu họ các σ-đại sốsinh bởi chúng {σ(Xi), i ∈ I} là độc lập

Họ các biến cố Ai, i ∈ I, được gọi là độc lập nếu họ các biến ngẫu nhiên

{IAi, i ∈ I} là độc lập

1.2 Các dạng hội tụ

Với mỗi p>0 và biến ngẫu nhiên ξ, ký hiệu k ξ kp= (E[|ξ|p])1/p Nếu k ξ kp<

∞ thì ξ được gọi là khả tích bậc p và ký hiệu Lp là tập hợp tất cả các biếnngẫu nhiên khả tích bậc p

Giả sử (ξ n ) là dãy biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất

(Ω,F,P) Dãy (ξn) được gọi là

• hội tụ hầu chắc chắn (h.c.c) đến biến ngẫu nhiênξ nếu P[ lim

n→∞ ξn = ξ] = 1,

ký hiệu là ξn h.c.c−→ ξ

• hội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên ξ nếu lim

n→∞P[|ξn − ξ| > ] = 0vớimọi > 0, ký hiệu là ξ n

• hội tụ yếu hay hội tụ theo phân phối đến biến ngẫu nhiênξ, ký hiệuξn −→d

ξ, nếu với mọi hàm f : R→ R liên tục và bị chặn, ta có lim

n P[sup

k≥n

|ξk − ξ| > ] = 0

Trang 9

(iii) ξn −→ ξp khi và chỉ khi với mọi dãy con(nk) của dãy các số tự nhiên, tồntại một dãy con (mk) của dãy (nk) sao cho ξmk −→ ξh.c.c

Định nghĩa 1.2.1 (Khả tích đều) Giả sử H là một họ các biến ngẫu nhiênkhả tích trên không gian xác suất (Ω,F,P) HọH được gọi là khả tích đều nếu

được gọi là hàm đặc trưng của ξ

Hàm đặc trưng là công cụ quan trọng để nghiên cứu phân phối của vectongẫu nhiên do các kết quả sau:

1.3 Phát biểu định lý giới hạn trung tâm cho trường hợp

các biến ngẫu nhiên độc lập

Cho dãy tam giác (X1n, X2n, Xnn), n = 1, 2, gồm các biến ngẫu nhiênsao cho đối với mỗi n, các biến ngẫu nhiên X1n, X2n, Xnn độc lập

Trang 10

Định lí 1.3.1 Giả sử {Xkn, k = 1, , n}, n=1,2, là dãy các biến ngẫu nhiênđộc lập thỏa mãn điều kiện (1.1) Khi đó, nếu với s>2 nào đó,

• Áp dụng Ta xét n phép thử Bernoulli độc lập với xác suất thành công

là p Ký hiệu A là biến cố thành công Đặt

Xk =

(

1 nếu A xuất hiện tại phép thử thứ k

0 nếu A không xuất hiện tại phép thử thứ k, k = 1, , n.

Ta thấy (Xk) là dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối chỉ nhận haigiá trị 0, 1 sao cho

p2+ q2

√ npq

trong đó Fn là phân phối của

Sn∗ = n(A) − np√

npq

Trang 11

Định lí 1.3.3 (Định lý giới hạn trung tâm Moivre-Laplace) với > 0, ta có

Định nghĩa 1.4.1 (Kỳ vọng có điều kiện)

(i) Giả sử ξ là biến ngẫu nhiên không âm, khả tích xác định trên không gianxác suất (Ω,F,P).Giả sử G là một σ-đại số con của F Khi đó tồn tạimột biến ngẫu nhiên suy rộng, không âm, ký hiệu là E(ξ|G), thỏa mãn(a) E(ξ|G) là G-đo được;

Gọi E(ξ,G) là kỳ vọng điều kiện của ξ đối với σ-đại số G

(ii) Kỳ vọng điều kiện E(ξ|G) của biến ngẫu nhiên ξ bất kỳ đối với σ-đại số

đó E(ξ|G) là "dự báo tốt nhất" về giá trị của X dựa trên các thông tin mà tacó

Định nghĩa 1.4.2 (Martingale) Giả sử (Ω,G,P) là một không gian xác suấtvới lọc (Fn ) Dãy (Xn,Fn )n≥0 được gọi là martingale nếu với mọi n ≥ 0, cả bađiều kiện sau được thỏa mãn:

Trang 12

(i) Xn là Fn-đo được;

(ii) E|X n | < ∞;

(iii) E(Xn+1|Fn ) = Xn h.c.c

Dãy (Xn,Fn )n≥0 được gọi là martingale dưới nếu các điều kiện (i), (ii) đượcthỏa mãn và

(iii’) E(Xn+1|Fn ) ≥ Xn h.c.c với mọi n ≥ 0

Dãy (Xn,Fn )n≥0 được gọi là martingale trên nếu các điều kiện (i), (ii) đượcthỏa mãn và

(iii”) E(Xn+1|Fn ) ≤ Xn h.c.c với mọi n ≥ 0

Nhận xét Dãy (X n ,Fn ) là martingale trên khi và chỉ khi dãy (−X n ,Fn ) làmartingale dưới Dãy (Xn,Fn ) là martingale khi và chỉ khi nó vừa là martin-gale trên, vừa là martingale dưới

Định nghĩa 1.4.3 (Martingale hiệu) Dãy tương thích {Xn,Fn , n ∈N} đượcgọi là martingale hiệu, nếu E|Xn| < ∞ đối với mọi n ∈N và

Định lí 1.4.1 Nếu {Xn,Fn , n = 0, , N } là martingale dưới, thì với mọi

Trang 13

Bất đẳng thức Doob Nếu{Xn,Fn , n = 0, , N }là martingale dưới không

(ii) {Sn} hội tụ theo xác suất

(iii) {Sn} hội tụ theo phân phối

Định lí 1.4.3 (Định lý hội tụ trongLp) Giả sử1 < p < ∞ Nếu{Xn,Fn , n ∈ N }

Định lí 1.4.4 (Định lý hội tụ trong L1) Nếu {X n ,Fn , n ∈ N } là martingale

và dãy (Xn) khả tích đều thì dãy (Xn) hội tụ trong L1, đồng thời hội tụ h.c.ctới biến ngẫu nhiên X∞ với E|X∞| < ∞

Trang 14

Định lí 1.4.5 (Định lý Levy) Giả sử X ∈ L1 và (Fn ) là dãy các σ-trườngcon không giảm của A Khi đó, hầu chắc chắn

Trang 15

Chương 2

Định lý giới hạn trung tâm cho

martingale

2.1 Martingale bình phương khả tích

Cho M = {Mn,Fn , n ∈N} là martingale bình phương khả tích, tức là:

E|Mn| 2 < ∞ với mọi n ∈ N Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết

M0= 0, vì nếu cần ta xétMn−M0thay choMn Khi đó,M2 =Mn2,Fn , n ∈N

là martingale dưới Ta viết khai triển Doob của nó dưới dạng

(i) Nếu E < M >∞< ∞, thì martingale M = {Mn,Fn , n ∈N} hội tụ trong

L2, và do đó là chính quy, hơn nữa ta có:

E(sup

n

Mn2) ≤ 4E< M >∞

Trang 17

Trang 18

Doob đã đưa ra hàm đặc trưng để chứng minh các kết quả của Lévy.Billingsley và Ibragimov một cách độc lập đã thiết lập định lý giới hạn trungtâm cho những martingale với hiệu được giả thiết dừng và thỏa mãn giả thiếtergodic Các martingale như vậy có phương sai điều kiện tiệm cận hằng số

s−2n Vn2 −→ 1p (2.1)tại s2n =E(Vn2) =E(Sn2)

Cho {Sni,Fni , 1 ≤ i ≤ kn} là một martingale có trung bình bằng không,bình phương khả tích với mỗi n ≥ 1, và cho Xni = Sni − Sn,i−1, 1 ≤ i ≤

kn(Sn0 = 0) là maringale hiệu (Giả sử kn → ∞khi n → ∞) Ta sẽ gọi dãy kép

Sni = s−1n Si, 1 ≤ i ≤ n, với sn là độ lệch chuẩn của Sn Trong trường hợp

E(Snk2 n ) = 1, việc tạo ra giả thiết này cho mảng martingel tùy ý là phổ biến.(i) Giả thiết về tiệm cận có thể bỏ qua

Những giả thiết về tính có thể bỏ qua đã tạo ra martingale hiệu Xni trongđịnh lý giới hạn trung tâm của martingale Điều kiện cổ điển của tính có thể

bỏ qua trong lý thuyết tổng của những biến ngẫu nhiên độc lập yêu cầu Xni

là những tiệm cận đều có thể bỏ qua:

Với mọi ε > 0, max

i P(|Xni | > ε) → 0 khi n → ∞ (2.2)Nhìn chung điều này sẽ yếu hơn điều kiện tổng,

Với mọi ε > 0, X

i

P(|Xni | > ε) → 0 (2.3)

Mặc dù khi đó những tổng Snkn hội tụ theo phân phối, (2.2) và (2.3) thường

là tương đương với nhau Khi những Xni độc lập thì (2.3) tương đương với:

max

i |Xni| −→ 0p (2.4)Khi P(max

Trang 19

McLeish (1974) đã chứng minh định lý giới hạn trung tâm với điều kiện

bị chặn trong L2 và điều kiện (2.4) Nhìn chung điều kiện (2.5) yếu hơn điềukiện Lindeberg:

Trong phần lớn các trường hợp thì (2.6) và (2.7) là tương đương

(ii) Phương sai có điều kiện

Ở đây, ta sẽ loại bỏ mảng tam giác Cho S n =Pni=1X i ,Fn , n ≥ 1 là mộtmartingale có trung bình bằng không, bình phương khả tích và đặt Vn2 =

Một cách khác để giới thiệu về Vn2 là thông qua sự phân tích của Doob chomartingale con

Sn2,Fn Ta có thể viết

Sn2 = M n + A n

Trang 20

với {Mn,Fn } là một martingale và {An} là một dãy biến ngẫu nhiên tăngkhông âm Nếu ta quy ước A n là Fn−1 -đo được thì sự phân tích này được xácđịnh duy nhất hầu chắc chắn bởi quan hệ

(iii) Quan hệ giữa Vni2 và Uni2

Phương sai có điều kiện Vni2 có thể thường được xấp xỉ bởi tổng những bìnhphương Uni2 Ví dụ, cho (2.7) và chuỗi Vnk2

Trang 21

Với giả thiết điều kiện duy nhất về tính có thể bỏ qua (2.2) vàXni, 1 ≤ i ≤ kn

là độc lập với trung bình bằng không và những phương sai bằng 1, thì (2.10)

và (2.11) là tương đương [Raikov (1938); Gnedenko và Kolmogorov (1954),Loève (1977)]

(iv) Tính ổn định, sự hội tụ yếu trong L1 và trộn

Nếu {Yn} là một dãy biến ngẫu nhiên trên không gian xác suất (Ω,F,P)

hội tụ theo phân phối tới biến ngẫu nhiên Y, thì ta nói sự hội tụ này là ổnđịnh nếu với mọi điểm liên tục y của Y và với mọi E ∈F thì giới hạn

tụ ổn định cung cấp một cách tiếp cận tới lý thuyết giới hạn trung tâm củamartingale

Một dãy biến ngẫu nhiên khả tích {Zn} trên (Ω,F,P) được gọi là hội tụyếu trong L1 tới biến ngẫu nhiên khả tích Z trên (Ω,F,P) nếu với mọiE ∈F,

E[Zn I(E)] →E[ZI(E)]

sự hội tụ này được ký hiệu:

Zn → Z (yếu trong L1)Nếu exp(itYn) → exp(itY ) (hội tụ yếu trong L1) với mỗi thực t thì rõ ràng:

Yn −→ Yd

Điều kiện về hội tụ yếu trong L1 sẽ mạnh hơn khả tích đều nhưng yếu hơnhội tụ trongL1 Biến ngẫu nhiên Zn hội tụ tới biến ngẫu nhiên Z trongL1 nếu

và chỉ nếu E[Z n I(E)] → E[ZI(E)] là ánh xạ đều với E ∈ F Và nếu Z n → Z

(hội tụ yếu trong L1) thì dãy {Zn} là khả tích đều

Những kết quả tiếp theo của chúng tôi là sự kết hợp giữa hội tụ yếu trong

L1 với tính ổn đinh

Định lí 2.2.1 Giả sửYn −→ Yd với mọi Yn xác định trên không gian (Ω,F,P).Khi đó, Y n → Y (ổn định) nếu và chỉ nếu tồn tại một biến Y’ trên một khônggian mở rộng của (Ω,F,P) có cùng phân phối với Y Như vậy với mọi số thựct,

Trang 22

exp(itYn) → Z(t) = exp(itY0) (yếu trong L1) khi n → ∞

và E[Z(t)I(E)] là hàm liên tục của t với mọi E ∈F

Định lý 2.2.1 là một kết quả tầm thường của định lý hội tụ cho những hàmđặc trưng Nó cho phép ta xác định những dãy hội tụ ổn định của những hàmđặc trưng, điều này đơn giản hơn nhiều so với việc nghiên cứu những hàmphân phối

Nếu b.n.n Y’ trong định lý 2.2.1 có thể độc lập với mỗi E ∈ F thì định lýgiới hạn có thể được phát biểu là trộn Biến ngẫu nhiên Yn là độc lập trongmỗi trường hợp của E Điều kiện này có thể nói cách khác: với mọi E ∈F vàmọi điểm liên tục y của Y,

P({Yn ≤ y} ∩ E) →P(Y ≤ y)P(E)

Ta viết

Yn −→ Yd (trộn)Điều kiện trộn xuất hiện đóng vai trò là một tính chất của giới hạn theophân phối Tuy nhiên thực chất nó suy ra những kết quả là những luật mạnh.(v) Tính ổn định của những định lý giới hạn martingale

Cho {Xni, 1 ≤ i ≤ kn, n ≥ 1} là mảng biến ngẫu nhiên xác định trên khônggian xác suất (Ω,F,P) với số thực t, ta có:

Trang 23

Và chú ý rằng |r (x)| ≤ |x|3 với |x| ≤ 1 Cho In = exp (itSnkn) và

Theo định lý 2.2.1, với mọi E ∈F ta có thể chứng minh được

E(In I (E)) →E exp −η2t2/2I (E) (2.15)

Do exp −η2t2/2I (E) bị chặn, (2.14) cho ta

E Tn exp −η2t2/2I (E)→E exp −η2t2/2I (E) (2.16)Hơn nữa, mọi dãy biến ngẫu nhiên hội tụ yếu trong L1 là khả tích đều Vìvậy, dãy

Từ giờ, ta đặc biệt hóa mảng sắp thứ tự {Xni}thành một mảng martingalehiệu

Định lí 2.2.2 Cho {Sni, Fni, 1 ≤ i ≤ kn, n ≥ 1} là một mảng martingale khảtích bậc hai, có trung bình bằng không, với những hiệu Xni và cho η2 là mộtbiến ngẫu nhiên hữu hạn hầu chắc chắn Giả sử:

max

i |Xni| −→ 0p (2.18)X

i

Xni2 −→ ηp 2 (2.19)

E(max

i Xni2) bị chặn (2.20)

Trang 24

Và nếu giữ nguyên (2.21) thì kết luận của định lý 2.2.2 vẫn đúng

Chú ý : Có thể thay (2.21) bởi một điều kiện về tính đo được trong η2.Nếu (2.18)-(2.20) (hoặc những điều kiện tương tự của hệ quả) giữ nguyên vànếu η2 là đo được trong tất cả trường Fni thì khi đó kết luận của định lý2.2.2 vẫn đúng, và nó đã làm giảm tính ổn định Ví dụ, nếu η2 là hằng số thì

nó sẽ là đo được không đáng kể trong tất cả Fni Tuy nhiên những điều kiện

từ 2.18 đến 2.19 chưa đủ để kết luận Snkn −→ Zd Điều kiện (2.21) thỏa mãnhầu hết những ứng dụng Ví dụ, nếu có mảng martingale từ một martingalethông thường thì kn = n và Fni =Fi với mọi i ≤ n và mọi n và vì thế (2.21)vẫn đúng

Cho N là 1 biến độc lập chuẩn tắc của η Khi đó, ηN có hàm đặc trưng

Eexp −12η2t2, và phân phối của ηN được gọi là hợp của những phân phốichuẩn Trong trường hợp đặc biệt η2 = 1 hầu chắc chắn thì giới hạn của biến

Z có phân phối N(0,1)

Một ví dụ về martingale thỏa mãn những điều kiện trong định lý 2.2.2.Tuy nhiên khi đó η2 sẽ không là hằng số hầu chắc chắn Cho {Yn, n ≥ 1} làbiến ngẫu nhiên độc lập với phân phối đối xứng trên điểm ±1 Cho X 1 = Y 1,

Trang 25

P(Xni0 6= Xni với một vài i ≤ kn) ≤P(Unk2

n > 2C) → 0 (2.23)

Ta có P(S0nkn 6= Snkn) → 0 và vì vậy

E exp itS0nkn− exp (itSnkn) → 0

Vì vậy Snkn −→ Zd (ổn định) nếu và chỉ nếu Snk0

n

d

−→ Z (ổn định) Theo (2.23)hiệu martingle Xni0 thỏa mãn điều kiện (2.12) và (2.13) của Bổ đề 2.2.1, taphải kiểm tra (2.14)

Trang 26

là bị chặn đều bởi (2.20) Do đó {Tn0} là khả tích đều

Chom ≥ 1 cố định vàE ∈Fmk m , khi đó với (2.21) và E ∈Fnk n với mọin ≥ m

max

i Xni2

P

1 Fnk n là một trườngσ-đại số sinh bởiU1∞Fn Với mỗiE0∈F∞

và mỗi ε > 0, sẽ tồn tại m và E ∈Fmk để P(E∆E0) < ε Do {Tn0} là khả tích

Trang 27

|E[T0nI (E0)] −E[T0nI (E)]| được tạo ra nhỏ tùy ý bởi cách chọn ε đủ nhỏ

Từ giờ, theo (2.24)với mỗiE0 ∈F∞ thì E[T0nI (E0)] →P(E0)Điều này có nghĩa

là với biến ngẫu nhiên X là F∞ đo được bị chặn, thì E[T0nX] →E(X) Cuốicùng, nếu E ∈F thì

ET0n I (E) =ET0nE(I (E) /F∞ )→E[E(I (E) /F∞ )] =P(E)

Điều này tạo ra (2.14) và hoàn thành chứng minh trong trường hợp đặc biệt(2.22)

Việc còn lại chỉ là đưa ra điều kiện bị chặn (2.22) Nếu η2 không bị chặnhầu chắc chắn, và cho ε > 0, chọn 1 điểm C liên tục của η2 để P η2> C> ε

Do ηC2 bị chặn hầu chắc chắn, và trong phần đầu của chứng minh đã cho ta

Sn00 −→ Zd C (ổn định), với biến ngẫu nhiênZC có hàm đặc trưng Eexp −12ηC2t2.Nếu E ∈F, thì

E[I (E) exp (itSnkn)] −E

Trang 28

... data-page="30">

2.2.2 Định lý giới hạn trung tâm tổng quát

Ta đưa vài ví dụ để nghiên cứu định lý giới. ..

−→ 0

(vi) Định lý giới hạn trung gian cho martingale với chuẩn ngẫu nhiên

Cho {S ni ,Fni } mảng martingale giả sử biến ngẫu nhiên... data-page="26">

là bị chặn (2.20) Do {Tn0} khả tích

Cho< small>m

Định dạng
Số trang	61
Dung lượng	442,97 KB