DSpace at VNU: Luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm cho Martingale

Luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm cho Martingale Trần Văn Huyến Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Luận văn Thạc sĩ ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 60 46 15

Luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm cho

Martingale Trần Văn Huyến

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Luận văn Thạc sĩ ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Mã số: 60 46 15 Người hướng dẫn: GS.TSKH Đặng Hùng Thắng

Năm bảo vệ: 2011

Abstract: Hệ thống hóa lý thuyết về Martingale (những khái niệm và kết quả cơ bản);

các dạng hội tụ và một số định lý hội tụ quan trọng của Martingale, chẳng hạn định lý hội tụ Doob, hàm đặc trưng và mối quan hệ của chúng với hàm phân phối Trình bày

về luật yếu số lớn và luật mạnh số lớn cho Martingale Giới thiệu chi tiết hai định lý

đó là: Định lý “bất đẳng thức hàm bình phương” Đây là bất đẳng thức làm cơ sở cho việc đánh giá và nghiên cứu các định lý giới hạn như luật số lớn và luật giới hạn trung tâm Định lý thứ hai là định lý dùng để xấp xỉ tương đương giữa các phương sai điều kiện và tổng bình phương, mà đó là một trong những phần lý thuyết chính để nghiên cứu các Martingale Trình bày những kết quả chính các luật giới hạn trung tâm cho Martingale như sự mở rộng của tổng các đại lượng ngẫu nhiên độc lập và kết quả dạng Raikov Đây là một phát hiện quan trọng trong việc nghiên cứu các Martingale thông

qua các tổng bình phương các hiệu của chúng

Keywords: Toán học; Lý thuyết xác suất thống kê; Luật số lớn; Bất đẳng thức hàm

bình phương

Content

I Chương I: Những kiến thức chuẩn bị

1 Định nghĩa về Martingale

1.1 Martingale trên

1.2 Martingale dưới,

1.3 Martingle

2 Các ví dụ về Martingale

3 Thời điểm Markov và thời điểm dừng

4 Hiệu Martingale

4.1 Định nghĩa hiệu Martingale

4.2 Cách xây dựng dãy hiệu Martingale từ dãy Martingale ban đầu và ngược lại cách xây dựng dãy Martingale từ dãy các hiệu Martingale đã cho

5 Martingale bình phương khả tích

6 Các dạng hội tụ

6.1 Hội tụ hầu chắc chắn

6.3 Mối quan hệ giữa hội tụ theo xác suất và hội tụ hầu chắc chắn

6.4 Hội tụ theo trung bình

- Tính khả tích đều

- Hội tụ theo trung bình cấp p

- Điều kiện cần và đủ để một dãy biến ngẫu nhiên hội tụ trung bình cấp 1

- Mối quan hệ giữa hội tụ trung bình và hội tụ theo xác suất

6.5 Hội tụ theo phân phối: Định nghĩa và mối quan hệ giữa hội tụ theo phân phối và hội

tụ theo xác suất

7 Các định lý về sự hội tụ Martingale

1 Định lý hội tụ Doob

2 Định lý hội tụ trong L p

3 Định lý hội tụ trong L 1

8 Hàm đặc trưng

4 Định nghĩa và các tính chất

5 Mối quan hệ giữa hàm đặc trưng và hàm phân phối: Định lý về mối quan hệ tương đương và tính duy nhất giữa hàm đặc trưng và hàm phân phối

II Chương II: Các bất đẳng thức và luật số lớn

9 Các bất đẳng thức cơ bản: Định lý 2.1.1 và bất đẳng thức Doob

10 Bất đẳng thức hàm bình phương: Quan trọng nhất là bất đẳng thức Burkholder

11 Luật yếu số lớn

Định lý 2.3.1 Đặt

1

, F , 1

n

n i n i



số dương với b n   khi n  Ta ký hiệu X ni  X I X i  i b n, 1 i n, khi đó ta có

0

P

n

n

S

1

0,

n

i n i

P X b





ii

 1

n

ni i P i

n

E X F b





iii

 

1 1

n

i

n

EX E X F

b









12 Luật mạnh số lớn

Định lý 2.4.9 Đặt X n, n1 là một dãy biến ngẫu nhiên và F n, n1 là một dãy tang các

 1

n

i

X E X F n









Khi n  Nếu E X log X  , hoặc nếu X độc lập, hoặc nếu n X n, n1 và

 

E X F n n1 , n2 là các dãy dừng thì sự hội tụ theo xác suất ở trên có thể thay bằng hội tụ hầu chắc chắn

1

n

i



 và 2  2 

1 1

,

n

i

V E X F



III Chương III Định lý giới hạn trung tâm

14 Định lý giới hạn trung tâm trong trường hợp độc lập: Trường hợp độc lập cùng phân phối

và độc lập không cùng phân phối

15 Định lý giới hạn trung tâm Martingale

Định lý 3.1.3 Đặt  2 

ni ni n

i ax 0,

P ni i

ii 2 2,

P

ni ni i

X X  



iii ax 2 0

P ni i

E m X  

n

d

nk ni i

định), ở đó biến ngẫu nhiên Z có hàm đặc trưng là 2 2

1

2 t

Ee 

Định lý 3.1.5 Nếu các điều kiện của định lý 3.1.3 vẫn đúng và rằng  2 

 0,1

n

n

d nk

nk

S

N

16 Kết quả dạng Raikov, là một phát hiện quan trọng trong việc đánh giá các Martingale thông qua các tổng bình phương của chúng

Định lý 2.3.2 Giả sử rằng:

2  2 

, 1

P

ni n i i

m E X F  

Thì 3 điều kiện sau là tương đương:

0,

n

nk

E U  

 

2

i

E X I X

và

2 2

1 2

n

f t  e 

0

n

p nk

E V  

nhau F n i, F n1,i, với 1 i k n, n1 Thì 3 điều kiện sau là tương đương:

n

p nk

E U  

ni

E X 

và

-

2 2

1 2

n

n

p

E S  