ĐỊNH lý GIỚI hạn TRUNG tâm và ỨNG DỤNG (tt)

Trong khoa håc công nh÷ trong cuëc sèng h¬ng ng y, chóng ta th÷íng g°pc¡c hi»n t÷ñng ng¨u nhi¶n måi lóc, måi nìi... N«m 1993, Kolmogorov cho ra íi cuèn s¡ch "Foundation of the Theory ofP

TR×ÍNG „I HÅC QUƒNG BœNHKHOA KHOA HÅC TÜ NHI–N

Qu£ng B¼nh, n«m 2017

LÍI CƒM ÌN

Khâa luªn ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh, nghi¶m tóc cõa cægi¡o ThS Ho ng Thà Duy¶n Em xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c ¸n Cæ,ng÷íi ¢ ch¿ d¤y cho em nhúng ki¸n thùc, kinh nghi»m trong håc tªp v  nghi¶ncùu khoa håc, ¢ ëng vi¶n em trong suèt thíi gian håc tªp, °c bi»t l  trong qu¡tr¼nh l m khâa luªn Em xin ch¥n th nh c£m ìn Tr÷íng ¤i håc Qu£ng B¼nh,Quþ Th¦y Cæ Khoa Khoa Håc Tü Nhi¶n ¢ tham gia gi£ng d¤y trong qu¡ tr¼nh

em håc tªp, nhúng ng÷íi ¢ ch¿ d¤y cho em nhúng ki¸n thùc khoa håc công nh÷nhúng i·u ki»n º ho n th nh cæng vi»c nghi¶n cùu cõa m¼nh

Cuèi còng, em xin gûi líi c£m ìn s¥u s­c ¸n nhúng ng÷íi th¥n, b¤n b±,gia ¼nh ¢ quan t¥m, gióp ï v  ëng vi¶n em trong suèt thíi gian håc tªp vøaqua

Sinh vi¶n

2.1 Tr÷íng hñp ëc lªp, còng ph¥n phèi 162.2 Tr÷íng hñp ëc lªp khæng nh§t thi¸t còng ph¥n phèi 21

3.1 B i to¡n ÷îc l÷ñng 293.1.1 ×îc l÷ñng kho£ng cho trung b¼nh cõa mët ph¥n phèi

chu©n khi bi¸t ph÷ìng sai 303.1.2 ×îc l÷ñng cho trung b¼nh cõa mët ph¥n phèi Bernoulli 323.2 B i to¡n kiºm ành 333.2.1 Kiºm ành gi£ thuy¸t v· gi¡ trà trung b¼nh 34

1

3.2.2 Kiºm ành gi£ thuy¸t v· x¡c su§t 37

MÐ †U

X¡c su§t thèng k¶ l  mët ng nh khoa håc hi»n ¤i, câ vai trá quan trångtrong nghi¶n cùu v  ph¡t triºn to¡n håc Ngo i ra, nâ h¼nh th nh v  ph¡t triºnr§t nhanh nh¬m phöc vö c¡c nhu c¦u cõa thüc ti¹n Ngay ¦u th¸ k¿ 19, nh to¡n håc ng÷íi Ph¡p t¶n l  Laplace ¢ ti¶n o¡n r¬ng: "Mæn khoa håc n y hùahµn s³ trð th nh mët trong nhúng èi t÷ñng quan trång nh§t cõa íi sèng thüct¸ thuëc v· nhúng b i to¡n cõa lþ thuy¸t x¡c su§t"

Trong khoa håc công nh÷ trong cuëc sèng h¬ng ng y, chóng ta th÷íng g°pc¡c hi»n t÷ñng ng¨u nhi¶n måi lóc, måi nìi Câ thº th§y r¬ng: nâ ½ch thà l mët ph¦n t§t y¸u cõa cuëc sèng Tuy nhi¶n, nhúng hi»n t÷ñng n y x£y ra vîik¸t qu£ nh÷ th¸ n o, chóng ta khæng thº x¡c ành ÷ñc V½ dö nh÷ gieo conxóc x­c, tung çng ti·n xu,

X¡c su§t ra íi nh¬m nghi¶n cùu t¼m ra c¡c quy luªt v  ÷a ra c¡c ph÷ìngph¡p t½nh to¡n x¡c su§t cõa c¡c hi»n t÷ñng ng¨u nhi¶n Vîi tèc ë ph¡t triºnnh÷ vô b¢o, nâ ¢ trð th nh mët ng nh to¡n håc quan trång c£ v· ph÷ìng di»n

lþ thuy¸t v  ùng döng Nâ l  mët cæng cö khæng thº thi¸u ÷ñc méi khi c¦n

¡nh gi¡ c¡c cì may, c¡c nguy cì rõi ro L¾nh vüc n y ¢ v  ang câ b÷îc ti¸nnhanh vîi sü âng gâp cõa c¡c nh  to¡n håc nh÷ Ganton, Laplace, Cramer,Fisher, Von Neuman,

Hi»n nay thèng k¶ to¡n ÷ñc ùng döng rëng r¢i trong h¦u h¸t c¡c ho¤t

ëng cõa con ng÷íi, tø khoa håc tü nhi¶n, kinh t¸, næng nghi»p, y håc cho tîic¡c khoa håc x¢ hëi v  nh¥n v«n, chóng ta câ thº d¹ d ng b­t g°p trong c¡c düb¡o thíi ti¸t: thèng k¶ v· ë ©m giúa c¡c t¿nh trong n÷îc, t¿ l» lñi nhuªn trongkinh doanh, Thèng k¶ gióp chóng ta ph¥n t½ch sè li»u mët c¡ch kh¡ch quan,

¡ng tin cªy, ph¡t hi»n ra c¡c tri thùc, thæng tin ©n chùa trong c¡c sè li»u â.X¡c su§t l  bë phªn cõa to¡n håc nghi¶n cùu v· c¡c hi»n t÷ñng ng¨u nhi¶n

Lþ thuy¸t x¡c su§t nh¬m t¼m ra nhúng quy luªt trong nhúng hi»n t÷ñng t÷ðngchøng khæng câ quy luªt n y, nâ ÷ñc ra íi ¦u ti¶n ð n÷îc Ph¡p v o cuèi th¸

k¿ 17.

ành lþ giîi h¤n trung t¥m cê iºn l  i·u ki»n õ º ph¥n phèi cõa d¢y

Xn hëi tö y¸u v· ph¥n phèi chu©n N(0; 1):

FXn(x) ! (x); n ! 1; x 2 R:

Câ mët sè ph÷ìng ph¡p kh¡c nhau º chùng minh ành lþ giîi h¤n trungt¥m, iºn h¼nh l  ph÷ìng ph¡p ¡nh gi¡ trüc ti¸p v  ph÷ìng ph¡p h m °ctr÷ng, ph÷ìng ph¡p to¡n tû, Dò l  ph÷ìng ph¡p chùng minh n o, ng÷íi tacông th§y xu§t hi»n nhúng ¡nh gi¡ t÷ìng èi phùc t¤p

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh b y chùng minh ành lþ giîi h¤n trungt¥m b¬ng ph÷ìng ph¡p h m °c tr÷ng Ph÷ìng ph¡p n y ÷ñc tr¼nh b y

¦u ti¶n bði Liapunov (1901) v  ÷ñc ho n thi»n bði Lindeberg (1917), Feller(1935),

N«m 1993, Kolmogorov cho ra íi cuèn s¡ch "Foundation of the Theory ofProbability " th¼ giîi to¡n håc mîi cæng nhªn x¡c su§t l  mët l¾nh vüc to¡nhåc ch°t ch³ Æng ¢ tøng nâi: Gi¡ trà ch§p nhªn ÷ñc cõa lþ thuy¸t x¡c su§t

l  c¡c ành lþ giîi h¤n De Moivre (1667 1754) l  t¡c gi£ cõa ành lþ giîi h¤ntrung t¥m (tr÷íng hñp èi xùng), mët trong nhúng th nh tüu quan trång cõax¡c su§t

ành lþ giîi h¤n trung t¥m èi vîi c¡c ph²p thû Bernoulli ëc lªp do

nh  to¡n håc Moivre cæng bè n«m 1718 trong cuèn s¡ch "The Doctrine ofChance" ¸n n«m 1812, Laplace ¢ mð rëng k¸t qu£ cõa Moivre cho c¡c ph²pthû Bernouli (tr÷íng hñp khæng èi xùng) ëc lªp Cæng tr¼nh cõa Moivre v cõa Laplace l  k¸t qu£ ¦u ti¶n v· ành lþ giîi h¤n trung t¥m èi vîi sì çBernoulli

¿nh cao cõa ành lþ giîi h¤n trung t¥m cê iºn ch½nh l  ành lþ cõaLingdeberg (1917) Ta th§y r¬ng trong qu¡ tr¼nh ph¡t triºn, gi£ thuy¸t v· sühúu h¤n moment ¸n c§p n o â cõa c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n th nh ph¦n ÷ñcgi£m nhµ theo thíi gian ¸n giúa th¸ k 20 th¼ i·u ki»n v· moment khæng cán

°t ra núa vîi ành lþ giîi h¤n trung t¥m têng qu¡t (Kolmogoroff, Gniedenko1949).

Vîi nhúng lþ do tr¶n, chóng tæi ¢ chån · t i

"ành lþ giîi h¤n trung t¥m v  ùng döng"

l m · t i cho khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc cõa m¼nh nh¬m ÷a ra mët sè ành

lþ giîi h¤n trung t¥m trong tr÷íng hñp còng ph¥n phèi v  khæng còng ph¥nphèi Ngo i ra, chóng tæi công kh£o s¡t mët sè ùng döng cõa ành lþ giîi h¤ntrung t¥m trong mët sè b i to¡n thèng k¶

Ngo i ph¦n mð ¦u, k¸t luªn v  t i li»u tham kh£o, khâa luªn ÷ñc chia

th nh ba ch÷ìng, trong â nëi dung ch½nh cõa · t i ÷ñc tr¼nh b y ð Ch÷ìng

2 v  Ch÷ìng 3

Trong Ch÷ìng 1, chóng tæi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m cì b£n bi¸n ng¨unhi¶n, h m ph¥n phèi x¡c su§t v  h m °c tr÷ng, sü hëi tö theo ph¥n phèi câli¶n quan trüc ti¸p ¸n vi»c nghi¶n cùu cho c¡c ch÷ìng sau

Ch÷ìng 2 nghi¶n cùu c¡c v§n · v· ành lþ giîi h¤n trung t¥m

Ch÷ìng 3 tr¼nh b y mët sè ùng döng cõa ành lþ giîi h¤n trung t¥m trongmët sè b i to¡n ÷îc l÷ñng v  kiºm ành

Chóng tæi ¢ r§t cè g­ng, nh÷ng vîi thíi gian, ki¸n thùc v  kinh nghi»mcõa b£n th¥n cán khi¶m tèn n¶n c¡c thi¸u sât cán tçn t¤i trong khâa luªn l 

i·u khâ tr¡nh khäi Chóng tæi r§t mong nhªn ÷ñc sü thæng c£m, gâp þ ch¥n

th nh cõa c¡c th¦y gi¡o, cæ gi¡o v  c¡c b¤n º · t i ÷ñc ho n thi»n v  câhi»u qu£ cao hìn

MËT SÈ KI˜N THÙC CHU‰N BÀ

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v  k¸t qu£ cì b£nv· bi¸n ng¨u nhi¶n, h m °c tr÷ng, sü hëi tö theo ph¥n phèi l m cì sð º nghi¶ncùu Ch÷ìng 2 cõa · t i C¡c ki¸n thùc ð ch÷ìng n y ÷ñc chóng tæi tr½ch d¨n

V½ dö 1.1.2 Cho A 2 F th¼ IA l  bi¸n ng¨u nhi¶n.

Thªt vªy, vîi måi B 2 B(R) Ta câ

÷ñc gåi l  ph¥n phèi x¡c su§t cõa X H m sè FX(x) = P (X < x) ÷ñc gåi l 

h m ph¥n phèi x¡c su§t cõa X

V½ dö 1.1.4 Gi£ sû A 2 F v  X = IA l  h m ch¿ ti¶u cõa tªp hñp A Vîi méi

b) F (x) = Rx

1p(t)dt; 1 < x < +1:

H m sè p(x) n¶u tr¶n ÷ñc gåi l  h m mªt ë x¡c xu§t cõa X

V½ dö 1.1.6 (1) Bi¸n ng¨u nhi¶n X câ ph¥n phèi ·u tr¶n [a; b], X  U[a;b]

°c bi»t, n¸u X  N(0; 1) th¼ h m mªt ë cõa X l 

â t½ch ph¥n Lebesgue cõa X theo ë o P (n¸u tçn t¤i) ÷ñc gåi l  k¼ vångcõa X v  k½ hi»u EX.

÷ñc gåi l  ph÷ìng sai cõa bi¸n ng¨u nhi¶n X

V½ dö 1.1.10 Gi£ sû X l  bi¸n ng¨u nhi¶n ríi r¤c câ ph¥n phèi Bernoulli

ành ngh¾a 1.1.11 Cho X l  bi¸n ng¨u nhi¶n M¨u ng¨u nhi¶n k½ch th÷îc n

tø X l  mët v²ctì ng¨u nhi¶n n chi·u (X1; : : : ; Xn); trong â c¡c th nh ph¦n

l  c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n ëc lªp v  câ còng ph¥n phèi vîi X

Cho (X1; : : : ; Xn) l  mët m¨u ng¨u nhi¶n tø X Ta gåi

Nh÷ vªy, ký vång cõa trung b¼nh m¨u b¬ng ký vång cõa X, Tuy nhi¶n, ph÷ìngsai cõa trung b¼nh m¨u b¬ng 1

1.2 H m °c tr÷ng cõa bi¸n ng¨u nhi¶n

ành ngh¾a 1.2.1 Cho X l  bi¸n ng¨u nhi¶n H m °c tr÷ng cõa X l 

'X(t) = EeitX = E(cos(tX) + i sin(tX)):

Tø ành ngh¾a, ta câ thº d¹ d ng chùng minh ÷ñc c¡c t½nh ch§t sau:Nhªn x²t 1.2.2 (i) 'aX+b(t) = eitb'X(at);

(ii) N¸u (Xn) ëc lªp th¼

'P n i=1 Xi(t) =Yn

i=1

'Xi(t):

N¸u th¶m i·u ki»n (Xn) còng ph¥n phèi th¼

'P n i=1 Xi(t) = ('X1(t))n:

V½ dö 1.2.3 (1) X  Bernoulli(p) th¼

'X(t) = peit+ q:

N¸u (Xn) ëc lªp câ ph¥n phèi Bernoulli(p) th¼

'Sn(t) = (peit+ q)n:T½nh ch§t 1.2.4 (1) j'X(t)j  'X(0) = 1:

(4) N¸u EjXjn < 1 th¼ '(k)(t) tçn t¤i vîi måi k  n v 

'(k)X = E(eitX(iX)k):

N¸u EjXjn < 1 th¼ EjXjk < 1 vîi måi k  n theo BT Lyapounov.X²t

h!0E(eitX(eihX 1

h )) = E(eitXh!0lim

eihX 1

h ) = E(iXeitX):

Vªy '0(t) tçn t¤i v  '0(t) = E(iXeitX):

Sü tçn t¤i cõa ¤o h m c§p k v  cæng thùc cõa nâ ÷ñc suy ra tø ph÷ìngph¡p chùng minh quy n¤p

(5) (Cæng thùc ng÷ñc º biºu di¹n F theo c¡c sè h¤ng cõa ') Cho ' v  F l¦nl÷ñt l  h m °c tr÷ng v  h m ph¥n phèi cõa X N¸u a; b l  c¡c iºm li¶ntöc cõa F th¼

(7) ' nhªn gi¡ trà phùc, nhªn gi¡ trà thüc khi FX èi xùng

Gi£ sû 'X(t) nhªn gi¡ trà thüc Khi â

'X(t) = 'X(t) = ' X(t):

Nh÷ vªy X v  X câ còng h m °c tr÷ng do â câ còng h m ph¥n phèi

Ng÷ñc l¤i, gi£ sû F èi xùng, tùc l  F X = FX Ta câ

E(g(X)) =Z g(X)dP = 0:

1.3 Sü hëi tö theo ph¥n phèi

ành ngh¾a 1.3.1 Cho d¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n (Xn; X) D¢y (Xn) ÷ñc gåi

l  hëi tö v· X theo ph¥n phèi (hëi tö y¸u) n¸u

FXn(x) ! FX(x)khi n ! 1 vîi måi x 2 C(F ), trong â C(F ) l  tªp t§t c£ c¡c iºm li¶n töccõa F:

Mët ành ngh¾a hi»n ¤i hìn tr¡nh · cªp ¸n c¡c iºm khæng li¶n töc

ành ngh¾a n y phò hñp cho vi»c mð rëng l¶n sè chi·u cao hìn ho°c tr¶n khænggian têng qu¡t hìn

M»nh · 1.3.2 (Xn) ÷ñc gåi l  hëi tö theo ph¥n phèi ¸n X n¸u vîi måi fli¶n töc, bà ch°n tr¶n R ta câ

Ef(Xn) ! Ef(X) khi n ! 1:

Chùng minh B÷îc 1 N¸u f li¶n töc v  bà ch°n tr¶n [a; b]:

L§y h(x) = I(c;d](x), trong â c; d 2 A \ [a; b] th¼

jEh(Xn) Eh(X)j  jEh(Xn)I[jXnja] Eh(X)I[jXja]j

+ jEh(Xn)I[jXnj>a] Eh(X)I[jXj>a]j

 jEh(Xn)I[jXnja] Eh(X)I[jXja]j + Ejh(Xn)jI[jXnj>a]

+ Ejh(X)jI[jXj>a]

 jEh(Xn)I[jXnja] Eh(X)I[jXja]j + P (jXnj > a)+ MP (jXj > a):

Cho n ! 1, sè h¤ng ¦u ti¶n hëi tö v· 0 theo b÷îc 1, sè h¤ng ti¸p theo hëi töv· sè h¤ng thù 3, tø ¥y ta câ

Hai ành ngh¾a n y l  t÷ìng ÷ìng

V½ dö 1.3.4 Cho X l  bi¸n ng¨u nhi¶n ríi r¤c ÷ñc x¡c ành bði

P (X = 1) = 12 = P (X = 1):

D¢y bi¸n ng¨u nhi¶n (Xn) ÷ñc x¡c ành nh÷ sau Xn = X n¸u n ch®n, Xn = Xn¸u n l´ Rã r ng Fn(x) = F (x) vîi måi x 2 R:

H» qu£ sau trüc ti¸p suy ra tø ành ngh¾a

H» qu£ 1.3.5 X câ còng ph¥n phèi vîi Y khi v  ch¿ khi Ef(X) = Ef(Y ) vîimåi h m f li¶n töc, bà ch°n tr¶n R:

ÀNH LÞ GIÎI H„N TRUNG T…M

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh b y ành lþ giîi h¤n trung t¥m trong haitr÷íng hñp Tr÷íng hñp ëc lªp, còng ph¥n phèi v  tr÷íng hñp ëc lªp khængnh§t thi¸t còng ph¥n phèi l m cì sð º nghi¶n cùu Ch÷ìng 3 cõa · t i C¡cki¸n thùc ð ch÷ìng n y ÷ñc chóng tæi tr½ch d¨n tø c¡c t i li»u, [1], [2], [3],[4],[5], [7], [8]

Chùng minh Khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû  = 0;  = 1 Ta câ

Cho n ! 1 trong ¯ng thùc tr¶n ta ÷ñc

'Sn=pn ! e t 2 =2; n ! 1:

ành lþ ¢ ÷ñc chùng minh

Trong ành lþ 2.1.1, n¸u d¢y (Xn) ëc lªp câ ph¥n phèi Bernoulli(p) th¼

ta câ ành lþ Moirve-Laplace nh÷ sau

H» qu£ 2.1.2 (ành lþ Moirve-Laplace) Cho (Xn) l  d¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n

ëc lªp câ ph¥n phèi Bernoulli(p) Khi â

Sn nppnpq ! N(0;1)theo ph¥n phèi

Chùng minh p döng ành lþ 2.1.1 cho  = p v   = ppq i ¸n k¸t luªn cõaH» qu£ 2.1.2

Gi£ sû c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n Y câ ph¥n phèi nhà thùc B(n; p) Khi â

pnpq ! N(0;1):

Thªt vªy, thüc hi»n n ph²p thû Bernoulli ëc lªp trong â x¡c su§t th nh cængb¬ng p khæng êi cho méi ph²p thû Gåi Xk l  sè l¦n th nh cæng trong ph²pthû thù k, k = 0; :::; n Ta câ

Tø h» qu£ tr¶n suy ra r¬ng n¸u Y  B(n; p) th¼ Ypnpq s³ câ ph¥n phèi x§pnpx¿ ph¥n phèi chu©n khi n õ lîn Do â

Chùng minh Khæng m§t t½nh têng qu¡t ta gi£ sû m = 0 Gåi '(t) l  h m °ctr÷ng cõa X1 Khi â h m °c tr÷ng cõa Sn

pn l ' Sn

pn(t) = EeitSnpn = Eeit

P Xi

# n

! e 2t2

@r0 500010000:1

2:

12

10000:1

2:

12

< 0

1 C C A

= (0) 

0 B B

@r0 500010000:1

2:

12

1 C C



= (12 101 ) (9 101 )

= (2) ( 1) = (2) + (1) 1

= 0; 9772 + 0; 8413 1 = 0; 88185:

Trong tr÷íng hñp (Xn) l  d¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n ëc lªp, câ ph¥n phèiPoisson, ành lþ 2.1.1 trð th nh ành lþ Poisson d÷îi ¥y.

V¼ e(e it 1) l  h m °c tr÷ng cõa ph¥n phèi Poisson vîi tham sè  n¶n ta suy

ra i·u ph£i chùng minh

ành lþ Poisson câ thº minh håa nh÷ sau

X²t d¢y ph²p thû ëc lªp Trong d¢y thù n x¡c su§t xu§t hi»n bi¸n cè A l  pn

v  npn ! ; n ! 1 Khi â ph¥n phèi giîi h¤n cõa sè xu§t hi»n bi¸n cè Atrong d¢y c¡c ph²p thû tu¥n theo luªt Poisson vîi tham sè  Ta x²t v½ dö.V½ dö 2.1.7 Gi£ sû trong 2000 chi¸c b¡nh n÷îng câ 16000 h¤t l¤c T¼m ph¥nphèi x¡c su§t sè h¤t câ trong mët chi¸c b¡nh ÷ñc chån ng¨u nhi¶n

Gi£ sû c¡c h¤t l¤c ÷ñc ¡nh sè tø 1 ¸n 16000 Ta xem vi»c chia mët h¤t l¤c

v o b¡nh l  mët ph²p thû ng¨u nhi¶n Ta câ d¢y gçm n = 16000 ph²p thû.Nâi chung c¡c ph²p thû n y khæng ëc lªp, nh÷ng n¸u c¡c h¤t l¤c x¡o trën tètth¼ x¡c su§t º h¤t thù k rìi v o chi¸c b¡nh ¢ chån b¬ng 1

2000 v  thüc t¸ câ

thº xem c¡c ph²p thû l  ëc lªp Khi â sè nhúng h¤t l¤c câ trong chi¸c b¡nh

¢ chån l  bi¸n ng¨u nhi¶n tu¥n theo luªt Poisson vîi tham sè  = np = 8, tùc l 

P (Y = k) = e 88k

k!:V½ dö 2.1.8 Mët cì sð s£n xu§t, trung b¼nh trong mët tu¦n, nhªn ÷ñc 4 ìn

°t h ng Bi¸t r¬ng sè ìn °t h ng X m  cì sð nhªn ÷ñc trong mët tu¦n

l  mët bi¸n ng¨u nhi¶n câ ph¥n phèi Poisson T½nh x¡c su§t º cì sð â nhªn

÷ñc 6 ìn °t h ng trong hai tu¦n li¶n ti¸p

Gåi Y l  bi¸n ng¨u nhi¶n ch¿ sè ìn °t h ng cõa cì sð trong hai tu¦n li¶n ti¸pth¼ Y  P oisson(8) X¡c su§t ph£i t½nh

Khi â gn(") ! 0, khi n ! 1, 8" > 0 ¥y ÷ñc gåi l  i·u ki»n Lindeberg

Nâ câ þ ngh¾a £m b£o cho t½nh ti»m cªn b² ·u so vîi têng c¡c th nh ph¦n

Xk; (1  k  n) trong BSn

n Câ ngh¾a l lim

ln 'Sn t

Bn + t2

2

! ! 0 khi n ! 1 8t 2 R:

Chùng minh ÷ñc ti¸n h nh theo hai b÷îc

B÷îc 1 Chùng minh tø i·u ki»n Lindeberg suy ra

@ 1

B2 n

Z

(jxj"Bn)

x2dFk(x) + 1

B2 n

Z

jxj<"Bn

x2dFk(x)

1 C A

=

! 0; n ! 1; t 2 R:

 t

Bn



1