MỘT NGHIÊN CỨU VỀ SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở PHỔ THÔNG

Do đó, khái niệm số gần đúng và sai số được đưa vào sách giáo khoa như một đối tượng toán học cụ thể; sau đó nó trở thành công cụ trong việc giải các bài toán tính gần đúng, chẳng hạn tí

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Vũ Thị Thùy Trang

MỘT NGHIÊN CỨU VỀ SỐ GẦN ĐÚNG

VÀ SAI SỐ TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Vũ Thị Thùy Trang

MỘT NGHIÊN CỨU VỀ SỐ GẦN ĐÚNG

VÀ SAI SỐ TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SỸ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS VŨ NHƯ THƯ HƯƠNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS TS Lê Thị Hoài Châu, PGS TS Lê Văn Tiến, TS Trần Lương Công Khanh, TS Vũ Như Thư Hương, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Nguyễn Thị Nga Các thầy cô đã truyền đạt kiến thức và tận tình hướng dẫn tôi và cả lớp trong suốt quá trình học tập vừa qua Đặc biệt, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến Cô Vũ Như Thư Hương Ngoài những kiến thức chuyên ngành, những lời chỉ dạy cần thiết, Cô đã đồng hành cùng với tôi trên chặng đường nghiên cứu luận văn của chúng tôi Cô đã phải mất nhiều thời gian và tâm huyết để tìm ra đề tài luận văn cũng như xây dựng góp ý đề cương, giúp tôi dần hoàn thiện nghiên cứu về đề tài

Bên cạnh đó, chúng tôi cũng xin chân thành cảm ơn PGS TS Claude Comiti, PGS TS Annie Bessot, TS Alain Birebent đã hi sinh nhiều thời gian và công sức giúp đỡ lớp chúng tôi có cái nhìn rộng mở hơn về các vấn đề của didactic, cũng như việc góp ý xây dựng đề cương giúp chúng tôi hoàn thành luận văn tốt hơn

Cùng với sự giúp đỡ nhiệt tình của các bạn lớp Lí luận và phương pháp giảng dạy môn Toán K23, tôi rất cảm ơn Thầy Cô và các bạn đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn này

Trong quá trình nghiên cứu dù đã rất cố gắng nhưng do kiến thức và kinh nghiệm củatôi còn nhiều hạn chế nên không tránh khỏi những sai sót, rất mong nhận được sự góp ý xây dựng của quý Thầy Cô và các bạn để đề tài được hoàn thiện hơn Xin chân thành cảm ơn!

HỌC VIÊN THỰC HIỆN

VŨ THỊ THÙY TRANG

SGK ĐS10 CB : sách giáo khoa Đại số 10 ban cơ bản

SGK ĐS10 NC : sách giáo khoa Đại số 10 ban nâng cao SGV ĐS10 CB : sách giáo viên Đại số 10 ban cơ bản

SGV ĐS10 NC : sách giáo viên Đại số 10 ban nâng cao Toán 7 : sách giáo khoa Toán lớp 7, tập 1

DANH SÁCH CÁC BẢNG

Trang

Bảng 2.1 Thống kê số lượng bài tập trong SGK và SBT 38

Bảng 3.1 Thống kê các chiến lược dự đoán trong bài tập 1 46

Bảng 3.2 Thống kê các chiến lược dự đoán trong bài tập 2 49

Bảng 3.3 Thống kê các chiến lược dự đoán trong bài tập 3 51

Bảng 3.4 Thống kê số lượng các chiến lược trong bài tập 1 53

Bảng 3.5 Thống kê số lượng các chiến lược trong bài tập 2 56

Bảng 3.6 Thống kê số lượng các chiến lược trong bài tập 3 59

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Danh sách các chữ viết tắt

Danh sách các bảng

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài và những câu hỏi xuất phát 1

2 Khung lý thuyết tham chiếu 2

3 Câu hỏi nghiên cứu – Mục đích nghiên cứu 5

4 Phương pháp nghiên cứu và tổ chức luận văn 5

Chương 1 SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC BÁC

HỌC 7

1.1 Nguồn gốc của sai số 7

1.2 Sai số tuyệt đối và sai số tương đối 9

1.3 Chữ số có nghĩa và chữ số chắc chắn 11

1.4 Cách viết số gần đúng 11

1.5 Quy tắc làm tròn số 12

1.6 Sai số của các phép toán 13

1.7 Các kiểu nhiệm vụ 15

Chương 2 SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TRONG SÁCH GIÁO KHOA Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 19

2.1 Sách giáo khoa Toán 7 – tập 1 19

2.2 Sách giáo khoa Đại số 10 cơ bản 22

2.3 Tổ chức toán học 25

2.4 Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao 29

2.5 Tổ chức toán học 34

Chương 3 NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 40

3.1 Mục đích thực nghiệm 40

3.2 Đối tượng và hình thức thực nghiệm 40

3.3 Nội dung thực nghiệm 41

3.4 Phân tích tiên nghiệm 42

3.5 Phân tích hậu nghiệm 51

KẾT LUẬN 61

TÀI LIỆU THAM KHẢO 65 PHỤ LỤC

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài và những câu hỏi xuất phát

Trong quá trình tính toán và đo đạc, các con số đạt được không phải lúc nào cũng là một số chính xác Các số liệu trong thực tế thông thường đều là những số gần đúng,

ví dụ: khoảng cách từ điểm này đến điểm kia, từ nơi này đến nơi khác; độ dài đường chéo của một hình vuông có cạnh là một số nguyên bất kỳ; số pi (𝜋) là cách biểu diễn của một dạng thập phân vô hạn không tuần hoàn, gần bằng 3,1416 Và khi sử dụng số gần đúng, ta cần biết được sai số mắc phải là bao nhiêu, để có thể đánh giá được tính chính xác và độ tin cậy của nó Với mỗi số gần đúng, ta sẽ có một sai số khác nhau Và vấn đề là ta phải làm như thế nào để sai số mắc phải càng nhỏ càng tốt Vì thế, chúng ta có thể thấy được tầm quan trọng của số gần đúng và sai số trong thực tế cuộc sống cũng như trong Toán học

Do đó, khái niệm số gần đúng và sai số được đưa vào sách giáo khoa như một đối tượng toán học cụ thể; sau đó nó trở thành công cụ trong việc giải các bài toán tính gần đúng, chẳng hạn tính gần đúng diện tích, thể tích và giải tam giác Nó làm cơ sở,

là một trong những " nền móng" cho toàn bộ chương trình Toán phổ thông và được ứng dụng rộng rãi trong các liên môn như Vật lý, Hóa học, Địa lý, … Tuy nhiên, thực tế những năm qua cho thấy đối tượng số gần đúng và sai số chưa được coi trọng đúng mức cần thiết Các kì thi tốt nghiệp, thi vào đại học, đề thi chưa bao giờ hỏi trực tiếp đến mảng kiến thức này Điều đó khiến cho đối tượng này dường như bị xem nhẹ Trong thực tế, một bộ phận không nhỏ học sinh (HS) hiện nay không tránh khỏi suy nghĩ: " Phải chăng việc đưa khái niệm số gần đúng và sai số vào sách giáo khoa (SGK) chỉ để cho biết mà không có ứng dụng gì nhiều?"

Bên cạnh đó, hiện nay nhiều trường trung học phổ thông (THPT) ở Việt Nam không còn đưa nội dung về số gần đúng và sai số vào chương trình giảng dạy Vậy nên chúng tôi tự hỏi:

- Nếu giảm tải hoàn toàn nội dung về số gần đúng và sai số, thì học sinh có hiểu gì về số gần bằng với một số, những khái niệm có liên quan và cách đánh giá mức độ sai số của nó?

- Việc trình bày của sách giáo khoa hiện hành Đại số 10 ảnh hưởng như thế nào đến việc tiếp thu và vận dụng kiến thức của học sinh?

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề dạy và học đối tượng số gần đúng và sai

số trong trường phổ thông, chúng tôi quyết định chọn đề tài: " Một nghiên cứu về số

gần đúng và sai số trong dạy học Toán ở phổ thông"

Trước khi đưa ra những câu hỏi nghiên cứu, chúng tôi sẽ trình bày một kết quả đã đạt được của một nghiên cứu liên quan trực tiếp đến đề tài Đó là bài báo trên tạp chí khoa học Đại Học Sư Phạm Tp HCM(2012): " Số gần đúng trong dạy học Toán ở bậc phổ thông" của TS Lê Thái Bảo Thiên Trung Mục đích của tác giả trong bài báo này là làm rõ một phần thực tế dạy học đối tượng số gần đúng ở bậc phổ thông nhằm giải thích cho những ứng xử chưa đúng khi người học thực hành tính gần đúng

" Thể chế đã không tạo điều kiện để học sinh hiểu rằng độ chính xác của các phép

tính gần đúng trung gian sẽ ảnh hưởng đến độ chính xác của kết quả cuối cùng (kết quả cần tính)…Việc đánh giá độ chính xác của kết quả cuối cùng thông qua các độ chính xác trung gian là cần thiết nhưng thường rất khó thực hiện Nếu có thể, ta chỉ thực hiện tính toán gần đúng ở bước cuối cùng với máy tính bỏ túi (MTBT) (các tính toán gần đúng ở bậc phổ thông đều có thể thực hiện theo cách này) Nghĩa là thiết lập một quy trình hay một công thức tính toán trực tiếp kết quả và thay số vào bước cuối cùng Quy trình này thường cho kết quả gần đúng từ màn hình MTBT với độ chính xác rất cao - tất cả các chữ số thập phân hiển thị đều là chữ số chắc chắn "

[2, tr.112]

2 Khung lý thuyết tham chiếu

Để tìm kiếm các yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi trên, chúng tôi tập trung vào việc vận dụng lý thuyết Didactic Toán, cụ thể là: Lý thuyết nhân chủng học và Hợp đồng Didactic Chúng tôi sử dụng Lý thuyết nhân chủng học để tìm hiểu quan hệ thể chế của đối tượng số gần đúng và sai số trong sách giáo khoa Đại số

10 và sử dụng lý thuyết Hợp đồng Didactic nhằm đưa ra các giả thuyết Từ đó, chúng tôi có thể xây dựng thực nghiệm để kiểm chứng giả thuyết đồng thời xây dựng tình huống phá vỡ hợp đồng

a) Lý thuyết nhân chủng học

 Quan hệ thể chế:

Quan hệ R(I,O) của thể chế I với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà thể chế I có với tri thức O Nó cho biết O xuất hiện ở đâu, như thế nào, tồn tại ra sao, có vai trò gì, trong I ?

 Quan hệ cá nhân:

Quan hệ R(X,O) của cá nhân X với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà cá nhân X có với tri thức O Nó cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào về O, có thể thao tác O ra sao ? Việc học tập của cá nhân X về đối tượng tri thức O chính là quá trình thiết lập hay điều chỉnh mối quan hệ R(X,O) Hiển nhiên, đối với một tri thức O, quan hệ của thể chế I mà cá nhân X là một thành phần, luôn luôn để lại một dấu ấn trong quan hệ R(X,O) Muốn nghiên cứu R(X,O), ta cần đặt nó trong R(I,O)

Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một bộ gồm 4 thành phần [T, τ, θ, Θ], trong đó

T là một kiểu nhiệm vụ, τ là kỹ thuật cho phép giải quyết T; θ là công nghệ giải thích cho kỹ thuật τ, còn Θ là lý thuyết giải thích cho công nghệ θ Một praxéologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức toán học

Việc phân tích các tổ chức toán học liên quan đến đối tượng tri thức O cho phép

ta vạch rõ mối quan hệ R(I,O) của thể chế I đối với tri thức O, từ đó hiểu được quan hệ mà cá nhân X (chiếm một vị trí nào đó trong I – giáo viên hay học sinh chẳng hạn) duy trì đối với tri thức O

b) Hợp đồng Didactic:

Hợp đồng didactic liên quan đến một đối tượng dạy–học là sự mô hình hóa các quyền lợi và nghĩa vụ ngầm ẩn của giáo viên và học sinh đối với đối tượng đó Nó là một tập hợp những quy tắc không được phát biểu một cách tường minh phân chia và giới hạn trách nhiệm của mỗi bên, học sinh và giáo viên, về một tri thức toán học được giảng dạy

Khái niệm hợp đồng didactic cho phép ta giải thích các ứng xử của giáo viên và học sinh, tìm ra ý nghĩa của những hoạt động mà họ tiến hành, từ đó có thể giải thích một cách rõ ràng và chính xác những sự kiện quan sát được trong lớp học

Để thấy được hiệu ứng của các hợp đồng didactic, người ta có thể tiến hành như sau:

 Tạo ra một biến loạn trong hệ thống giảng dạy sao cho có thể đặt những

thành viên chủ chốt (giáo viên và học sinh) trong một tình huống khác lạ, được gọi là tình huống phá vỡ hợp đồng bằng cách :

– Thay đổi các điều kiện sử dụng tri thức

– Lợi dụng việc học sinh chưa biết vận dụng một số tri thức nào đó

– Tự đặt mình ra ngoài lĩnh vực tri thức đang xét hoặc sử dụng những tình huống mà của tri thức đang xét không giải quyết được

– Làm cho giáo viên đối mặt với những ứng xử không phù hợp với điều mà họ mong đợi ở học sinh

 Phân tích các thành phần của hệ thống giảng dạy đang tồn tại, bằng cách:

– Nghiên cứu câu trả lời của học sinh trong khi học

– Phân tích các đánh giá toán học của học sinh trong việc sử dụng tri thức – Phân tích những bài tập được giải hoặc được ưu tiên hơn trong sách giáo khoa

Đặc biệt, ta cũng có thể nhận ra một số yếu tố của hợp đồng didactic đặc thù cho tri thức bằng cách nghiên cứu những tiêu chí hợp thức hóa việc sử dụng tri thức vì việc

sử dụng tri thức đó không chỉ được quy định bởi các văn bản hay bởi định nghĩa của tri thức mà còn phụ thuộc vào tình huống vận dụng tri thức, vào những ước định được hình thành (trên cơ sở mục tiêu didactic) trong quá trình giảng dạy Những tiêu chí xác định tính hợp thức của tri thức trong tình huống này không còn phụ thuộc vào bản thân tri thức nữa mà phụ thuộc vào các ràng buộc của hệ thống didactic Bất

kỳ việc dạy một đối tượng tri thức mới nào cũng tạo ra những phá vỡ hợp đồng so với đối tượng tri thức cũ và đòi hỏi thương lượng lại những hợp đồng mới: học tập là

quá trình học sinh làm quen với giá trị của những sự phá vỡ này thông qua thương lượng với giáo viên

Theo Brousseau (1986), sự thương lượng này tạo ra một thứ kiểu hoạt động mà những quy tắc ổn định tạm thời, cho phép các thành viên chính, nhất là học sinh, đưa

ra các quyết định trong một chừng mực an toàn nào đó, cần thiết để bảo đảm cho họ

sự độc lập đặc trưng của quá trình lĩnh hội

Việc nghiên cứu quy tắc của hợp đồng didactic là cần thiết vì để chuẩn bị cho tương lai, giáo viên phải xem xét đến quá khứ mà hợp đồng hiện hành là dạng thể hiện thực tế của nó Hợp đồng mà giáo viên tác động tiến triển không liên tục, mà được tạo thành từ một chuỗi biến cố rất nhỏ nối tiếp nhau, tương ứng với những

sự phá vỡ hợp đồng Phá vỡ hợp đồng là nguyên tắc chủ đạo để có sự tiến triển mong đợi

3 Câu hỏi nghiên cứu – Mục đích nghiên cứu

Trong khuôn khổ của phạm vi lý thuyết tham chiếu đã lựa chọn, chúng tôi trình bày lại dưới đây những câu hỏi mà việc tìm kiếm một số yếu tố cho phép trả lời chúng chính là trọng tâm nghiên cứu của luận văn này:

Q1: Theo cấp độ tri thức bác học, khái niệm số gần đúng và sai số được định nghĩa

như thế nào ? Có những khái niệm nào liên quan? Đặc trưng bởi những kiểu nhiệm vụ nào?

Q2: Các đối tượng tri thức này được trình bày trong sách giáo khoa Đại số 10 như

thế nào? Có gì khác so với tri thức khoa học? Có những tổ chức toán học nào

liên quan đến các tri thức này được đưa vào sách giáo khoa và sách bài tập ?

Q3: Tồn tại những điều kiện ràng buộc nào của SGK đối với các tri thức này? Điều

đó ảnh hưởng như thế nào đến việc tiếp thu và vận dụng kiến thức của HS?

4 Phương pháp nghiên cứu và tổ chức luận văn

Để tìm câu trả lời cho những câu hỏi nêu trên, chúng tôi xác định tiến hành nghiên cứu như sau:

 Trong chương 1: " Số gần đúng và sai số ở cấp độ tri thức bác học" , chúng tôi phân tích, tổng hợp một số giáo trình liên quan đến số gần đúng và sai số để

thu thập thông tin và để hiểu sâu hơn về đối tượng này và các khái niệm có liên quan Cụ thể là chúng tôi tham khảo vấn đề nguồn gốc sai số trong luận văn: " Các tham số định tâm trong dạy học thống kê ở lớp 10" của Phạm Thị Tú Hạnh (2012) Sau đó, chúng tôi tổng hợp các kết quả chương 1 của luận văn : " Nghiên cứu didacic sự nối khớp giữa MTBT và xấp xỉ thập phân trong phép tính số: trường hợp giải tam giác" của Nguyễn Thị Bích Hoa (2012) Và cuối cùng, chúng tôi sẽ tham khảo một số giáo trình đại học nhằm đưa ra các kiểu nhiệm vụ liên quan tới đối tượng

 Dựa vào kết quả nghiên cứu thu được ở chương trước, trong chương 2, chúng tôi tiến hành phân tích sơ lược SGK Toán 7 (tập 1) và phân tích rõ SGK hiện hành Đại số 10 cơ bản và nâng cao để tìm hiểu cách thức mà đối tượng này được đưa vào và diễn đạt ra sao Qua đó, chúng tôi sẽ làm rõ quan hệ thể chế của

nó trong SGK Việt Nam, ở hai bộ sách: SGK Đại số 10 cơ bản và nâng cao Ngoài ra, chúng tôi muốn tìm hiểu về số gần đúng và sai số trong SGK có khác gì

so với cách trình bày trong các giáo trình đại học, kiểu nhiệm vụ nào còn tồn tại

 Cuối cùng, chính từ nghiên cứu thể chế ở chương 2, chúng tôi sẽ đặt ra các giả thuyết để trả lời cho câu hỏi nghiên cứu nêu trên và tiến hành xây dựng thực nghiệm ở chương 3 để kiểm chứng các giả thuyết đã nêu

và các khái niệm có liên quan Từ đó, chúng tôi tìm câu trả lời cho câu hỏi đã đặt ra

là làm rõ hơn về đối tượng số gần đúng và sai số

Trong chương này, chúng tôi tham khảo các tài liệu sau đây:

- Luận văn: " Các tham số định tâm trong dạy học thống kê ở lớp 10" của Phạm Thị Tú Hạnh (2012)

- Luận văn : " Nghiên cứu didacic sự nối khớp giữa MTBT và xấp xỉ thập phân trong phép tính số: trường hợp giải tam giác" của Nguyễn Thị Bích Hoa (2012)

- Phương pháp số, Tôn Tích Ái (2001)

- Phương pháp tính, Tạ Văn Đĩnh (1999)

- Giáo trình phương pháp tính, Dương Thủy Vĩ (1999)

- Giáo trình các phương pháp số, Hoàng Xuân Huấn (2004)

1.1 Nguồn gốc của sai số

Theo tác giả Phạm Thị Tú Hạnh, người ta tìm thấy nguồn gốc của sai số từ thiên văn học Vào thế kỉ 18, Copenic, Kepler và Newton đã nghiên cứu thiên văn học dựa trên

lý thuyết toán học Nhưng công việc của các nhà thiên văn lại dựa trên đo đạc, điều này không tránh khỏi các sai sót ngay cả khi họ đã có một lý thuyết tốt

“ Những sai số này sinh ra một phần do con người, một phần do các dụng cụ đo đạc không chính xác tuyệt đối Khi các nhà thiên văn thực hiện cùng một phép đo 10 lần, 100 lần, nhưng họ không bao giờ nhận được cùng một kết quả Đặc biệt, trong các trường hợp quan sát gián tiếp, chẳng hạn như đo khối lượng của một ngôi sao thì kết quả thu được chỉ thông qua các phương trình trung gian dựa trên rất nhiều

sự đo đạc các biến tự nhiên „ [6, tr.8-9]

Mặc dù con người đã cố gắng cải thiện nhưng sai số vẫn tồn tại Điều này khiến cho các nhà khoa học bắt đầu quan tâm đến sai số để có thể tìm ra những phương tiện cho phép tính toán các đo đạc cùng một hiện tượng và để hạn chế thấp nhất có thể sai

số cuối cùng trên giá trị chính xác của hiện tượng

Việc nghiên cứu số gần đúng gắn liền với khái niệm sai số Căn cứ vào nguyên nhân,

có 4 loại sai số: sai số giả thiết, sai số số liệu, sai số phương pháp và sai số tính toán

1.1.1 Sai số giả thiết

Sai số này gặp phải khi ta đơn giản hóa bài toán thực tiễn để thiết lập mô hình toán học có thể giải được

“ Là loại sai số xuất hiện do việc giả định bài toán đang xét thỏa mãn một số điều kiện ban đầu nhằm làm giảm độ phức tạp của bài toán Do mô hình toán học không thể biểu diễn đúng như cái vốn có của vấn đề trong thực tế Đây là khoảng cách giữa lí thuyết và hiện thực Sai số này là không tránh khỏi “ [5, tr.10]

1.1.2 Sai số số liệu

Sai số số liệu hay còn gọi là sai số của số liệu ban đầu

“ Là loại sai số xuất hiện do việc đo đạc hoặc cung cấp số liệu ban đầu không chính xác Các số liệu thường được thu thập bằng thực nghiệm do đó có sai số Ví dụ như việc đo chiều dài cây cầu được đề cập đến trong bài viết “ Chính xác toán học và chính xác thực nghiệm ” trên trang web: http://statistics Vn :” [5, tr.11]

1.1.3 Sai số phương pháp

Sai số phương pháp là sai số của phương pháp giải gần đúng bài toán theo mô hình được thiết lập

“ Là loại sai số do phương pháp thay bài toán phức tạp bằng bài toán đơn giản hơn

Ví dụ như việc tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x)=0 có nhiều phương pháp khác nhau như phương pháp dây cung, phương pháp Newton-Raphson, phương pháp Bairstow…Mỗi phương pháp sẽ cho nghiệm gần đúng với độ chính xác khác nhau “ [5, tr.11]

1.1.4 Sai số tính toán

Việc tính toán bằng máy tính không tránh khỏi việc làm tròn số và các sai số tích lũy trong quá trình tính toán Sai số tính toán là loại sai số tích lũy trong quá trình thực

hiện các phép toán: bao gồm sai số của bản thân các số, sai số do việc quy tròn số trong quá trình tính toán ở các bước trung gian

Trong phần tiếp theo tác giả đề cập đến sai số tuyệt đối (giới hạn), sai số tương đối (giới hạn), đây là các loại sai số mà các giáo trình đại học sử dụng để đánh giá sai số của kết quả tính toán

1.2 Sai số tuyệt đối và sai số tương đối

Có hai cách định nghĩa sai số tuyệt đối và sai số tương đối Mỗi cách có định nghĩa

và kí hiệu khác nhau Vì vậy, chưa có sự thống nhất về kí hiệu và định nghĩa sai số tuyệt đối, sai số tương đối trong các giáo trình

1.2.1 Sai số tuyệt đối

Khái niệm sai số tuyệt đối được trình bày trong các giáo trình theo hai quan điểm Chúng tôi tạm gọi cách định nghĩa thứ nhất là theo quan điểm " Bất đẳng thức" như sau:

" Nếu a *

là giá trị đúng của một đại lượng và a là giá trị gần đúng của a * thì sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng a là đại lượng ∆a sao cho

|𝑎∗− 𝑎| ≤ ∆𝑎 Vậy 𝑎 − ∆𝑎≤ 𝑎∗ ≤ 𝑎 + ∆𝑎 Ta thường ghi: 𝑎∗ = 𝑎 ± ∆𝑎" [5, tr.12]

Và cách định nghĩa thứ hai theo quan điểm " Đẳng thức" : gọi a là số xấp xỉ của số đúng A

" Trị tuyệt đối | 𝐴 − 𝑎| gọi là sai số tuyệt đối của a" [5, tr.13]

Theo Phương pháp tính của Tạ Văn Đĩnh lí giải: do không biết số đúng A nên không xác định được sai số tuyệt đối của số xấp xỉ a Vì vậy, cùng với sai số tuyệt đối, giáo trình này đưa vào khái niệm sai số tuyệt đối giới hạn ở trang 7:

" |𝐴 − 𝑎| ≤ ∆𝑎

Số dương Δ a này gọi là sai số tuyệt đối giới hạn của a " [7, tr.7].

Đồng thời, nó cũng đưa ra quy ước:

" Nếu số xấp xỉ a của A có sai số tuyệt đối giới hạn là Δ a thì ta quy ước viết A=a±Δ a " [7, tr.7]

Ngoài ra, giáo trình còn giải thích thêm ở trang 7: " a – Δa ≤A≤ a – Δa" Ở đây, sai số tuyệt đối giới hạn trong Phương pháp tính của Tạ Văn Đĩnh chính là sai số tuyệt đối

trong Phương pháp số của Hoàng Xuân Huấn Về phương diện toán học, nếu dấu "=" trong |𝐴 − 𝑎| ≤ ∆𝑎 xảy ra thì sai số tuyệt đối giới hạn chính là sai số tuyệt đối Trên thực tế, người ta vẫn xem Δa là sai số tuyệt đối

" Thuật ngữ " độ chính xác" được hiểu là một ước lượng của sai số tuyệt đối

Do đó, để cho tiện chúng tôi gọi chung khái niệm sai số tuyệt đối theo quan điểm bất đẳng thức (Δ a ) và sai số tuyệt đối giới hạn theo quan điểm đẳng thức (Δ a ) là " độ chính xác" Theo đó, có thể tìm được vô số " độ chính xác" khác nhau của một số gần đúng Cần có những ràng buộc để " độ chính xác" duy nhất Hầu hết các giáo trình đều đề cập đến việc: trong những điều kiện cụ thể người ta chọn Δ a là số dương bé nhất có thể được " [5, tr.13]

Tuy nhiên, việc tìm " số dương bé nhất có thể được" không phải là việc dễ

dàng Ta có thể chọn dãy số 10n

với n là số nguyên làm độ chính xác và khi viết

a<10n thì 10n chính là độ chính xác với n nhỏ nhất Tổng quát hơn, người ta có thể chọn bất kì một dãy un (với điều kiện lim𝑛→+∞𝑢𝑛 = +∞ và lim𝑛→−∞𝑢𝑛 = 0 làm độ chính xác Độ chính xác này được sử dụng thường xuyên với tên gọi là độ chính xác thập phân

1.2.2 Sai số tương đối

Trong các giáo trình mà chúng tôi tham khảo đều giải thích lí do của sự tồn tại " sai

số tương đối" là sai số phản ánh độ chính xác của phép đo Hai số gần đúng có cùng sai số tuyệt đối sẽ có mức độ chính xác khác nhau, nếu độ lớn của chúng khác nhau,

số bé hơn sẽ có độ chính xác kém hơn

Đối với sai số tương đối thì các giáo trình cũng viết theo hai quan điểm khác nhau Theo [5] của tác giả Nguyễn Thị Bích Hoa, quan điểm " bất đẳng thức" thể hiện " Sai

số tương đối là lượng 𝛿𝑎 sao cho ∆𝑎

|𝑎| ≤ 𝛿𝑎" , còn quan điểm " đẳng thức" thể hiện: "

Tỉ số |𝑎−𝐴||𝑎| ≈|𝑎−𝐴||𝐴| gọi là sai số tương đối của a (so với A)" Ngoài ra, sai số tương đối giới hạn của số xấp xỉ a được trình bày như sau, kí hiệu a

m m

 

Định nghĩa 2:

Chữ số ak được gọi là chữ số chắc chắn nếu∆a≤ ω 10k,  là tham số cho trước:

- Nếu   0,5thì ak là chữ số chắc chắn theo nghĩa hẹp

- Nếu  1thì ak là chữ số chắc chắn theo nghĩa rộng

1.4 Cách viết số gần đúng

Các giáo trình đại học tôn trọng 2 cách viết số gần đúng:

 Cách thứ nhất là viết số gần đúng a kèm theo sai số như A=a±Δ a hoặc

A=a(1 ±𝛿a )

Cách viết trên thường được dùng trong tính toán hoặc phép đo

 Cách thứ hai là viết số xấp xỉ theo quy ước: mọi chữ số có nghĩa là những chữ số đáng tin

Trong các bảng số thường dùng như bảng lôgarit, bảng các hàm số lượng giác, người ta viết các số gần đúng theo cách thứ hai Như vậy, ở đây việc viết số gần đúng rất nghiêm ngặt, nghĩa là, nếu viết không kèm theo độ chính xác thì phải theo quy ước mọi chữ số của số gần đúng phải là chữ số chắc chắn Cách viết thứ hai còn được bổ sung thêm các chú ý như sau:

" Ghi chú:

i) Khi viết một số nguyên gần đúng, nếu không ghi độ chính xác, thì tất cả các chữ

số 0 đứng bên phải chữ số khác không cuối cùng là số 0 không có nghĩa

Thí dụ: Khi viết một vật cân nặng 2500 kg thì số 2500 có hai chữ số có nghĩa là 2, 5 Còn nếu viết: một vật cân nặng 2500 kg (chính xác đến hàng chục) thì số 2500 có ba chữ số có nghĩa là 2, 5, 0

ii) Khi viết số thập phân gần đúng thì ở phần thập phân ta chỉ viết các chữ số 0 có nghĩa

Thí dụ: Khi viết 1 vật cân nặng 24,30 tạ thì số này có bốn chữ số có nghĩa "

[5, tr.17]

1.5 Quy tắc làm tròn số

Trước hết định nghĩa sai số quy tròn tuyệt đối = a a* Sau đó đưa ra quy tắc:

" quy tròn sao cho sai số quy tròn tuyệt đối không lớn hơn một nửa đơn vị ở hàng được giữ lại cuối cùng, tức là 5 đơn vị ở hàng bỏ đi đầu tiên, cụ thể là, nếu chữ số bỏ đi đầu tiên ≥ 5 thì thêm vào chữ số giữ lại cuối cùng một đơn vị, còn nếu

chữ số bỏ đi đầu tiên < 5 thì để nguyên chữ số giữ lại cuối cùng " [5, tr.17]

Như vậy, sai số quy tròn là một số không lớn hơn nửa đơn vị của hàng cuối cùng được giữ lại nên kết quả của việc quy tròn số là đảm bảo mọi chữ số của số quy tròn đều là chữ số chắc chắn Ngoài ra, giữa việc quy tròn số và cắt số thì việc quy tròn số

sẽ cho kết quả có độ chính xác cao hơn Ví dụ: a= 0,0054372

Kết quả làm tròn số đến chữ số thập phân thứ 5: 0,00544 và

6

0, 0054372 0, 00544  2,8.10

Kết quả cắt số đến chữ số thập phân thứ 5 : 0,00543 và

0, 0054372 0, 00543  7, 2.10

" Nếu một số có ít nhất là (n+1) chữ số thập phân và chữ số thập phân thứ (n+1)

lớn hơn 5 thì sai số tuyệt đối của việc quy tròn số đến chữ số thứ thập phân thứ n nhỏ hơn sai số tuyệt đối của việc cắt số đến chữ số thập phân thứ n " [5, tr.17]

1.6 Sai số của các phép toán

Tùy từng giáo trình mà có hoặc không đề cập đến cách chứng minh công thức xác định sai số của hàm số khi biết sai số của các đối số, tuy nhiên, tất cả các giáo trình đều giới thiệu quy tắc xác định sai số khi thực hiện các phép toán Theo [5], tác giả đã tóm tắt lại các quy tắc xác định sai số trong các giáo trình tham khảo như sau:

 Sai số tuyệt đối (sai số tuyệt đối giới hạn) của tổng đại số bằng tổng đại số của các sai số (sai số tuyệt đối giới hạn)

∆𝑥±𝑦= ∆𝑥+ ∆𝑦

 Sai số tương đối (sai số tương đối giới hạn) của một tích hoặc một thương bằng tổng của các sai số tương đối (sai số tương đối giới hạn) của các thừa số

𝛿𝑥.𝑦 = 𝛿𝑥 + 𝛿𝑦

 Đối với 𝑦 = 𝑥𝛼 (𝛼 ∈ 𝑄, 𝑥 > 0), khi đó y  x

- Nếu α >1 (phép luỹ thừa) thì  y  xdo đó độ chính xác giảm

- Nếu 0<α <1 thì  y xdo đó độ chính xác tăng

- Nếu α = -1 (phép nghịch đảo) thì độ chính xác không đổi

- Nếu 𝛼 = 1

𝑘 , 𝑘 ∈Z* (phép khai căn) thì độ chính xác tăng lên

Tác giả mong muốn xác định được số chữ số chắc chắn của kết quả thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân, chia với hai số gần đúng có n chữ số thập phân với điều kiện mọi chữ số của hai số đều là chữ số chắc chắn

Sai số tương đối của tích bằng tổng các sai số tương đối của các thừa số, do đó, sai

số tương đối của x 1 x 2là: 1 2 2 1

Sai số tương đối của thương bằng tổng các sai số tương đối các thừa số, do đó, sai số

tương đối của 1

Tóm lại:

 Muốn đảm bảo kết quả việc thực hiện phép toán cộng hoặc trừ giữa hai số có n chữ số thập phân chắc chắn thì hai số đó phải có ít nhất (n+1) chữ số thập phân chắc chắn

 Đối với phép nhân và phép chia, quy tắc phức tạp hơn nhiều Do đó, cần những nghiên cứu khác sâu hơn để đưa ra quy tắc

 Muốn kết quả đạt đến độ chính xác mong đợi thì ta không sử dụng kết quả gần đúng ở các bước trung gian để tính toán mà thay số vào công thức và chỉ tính toán ở bước cuối cùng rồi làm tròn số đến hàng mong đợi

- Bước 2: Giữ nguyên chữ số thứ k, nếu chữ số ở vị trí thứ k+1 có giá trị bé hơn 5 Hay cộng thêm vào chữ số thứ k 1 đơn vị, nếu chữ số ở vị trí thứ k+1 có giá trị lớn hơn hoặc bằng 5

Công nghệ - Lý thuyết: Quy tắc làm tròn số

-Thay các số thập phân gần đúng vào công thức tính toán cuối cùng

Công nghệ - Lý thuyết: " Sai số tương đối giới hạn của hiệu lớn hơn sai số tương đối giới hạn của số trừ và số bị trừ khoảng 5000 lần Vì vậy, khi tính toán người ta thường cố

gắng tránh phép trừ hai số dương có giá trị bằng nhau bằng cách biến đổi biểu thức của hiệu (trong trường hợp có thể được) " [2, tr.14)]

Ví dụ: [2, tr.14]

Tính hiệu u = √2,01 − √2 với 3 chữ số đáng tin

Giải: Vì √2,01 = 1,41774469… ; √2 = 1,41421356…

Nên ta có thể xem √2,01 = 1,41774 ; √2 = 1,41421 và u = 0,00353

Có thể thu được kết quả trên mà chỉ cần lấy √2,01 ≈ 1,42 ; √2 ≈ 1,41

Nếu viết hiệu u dưới dạng:

Kỹ thuật:Tìm d sao cho |𝐴 − 𝑎| ≤ 𝑑

Công nghệ - Lý thuyết:Định nghĩa sai số tuyệt đối giới hạn, sai số tương đối giới

∆𝑟 = 0,01m hay r = 3,94 ± 0,01m

Như vậy diện tích của phòng được ước lượng bởi

S = d r = 5,45 3,94 = 21,473 m 2 Với cận trên và cận dưới của S là:

(5,45 – 0,01)(3,94 – 0,01) = 21,372 ≤ S ≤ 21,567 = (5,45 + 0,01)(3,94 + 0,01)

Vậy ta có ước lượng sai số tuyệt đối của S là |𝑆 − 𝑆0| ≤ 0,094 m 2

hoặc làm tròn là 0,1 m 2

e T CSC : Xác định các chữ số chắc (chữ số đáng tin) của số gần đúng khi biết sai

số tuyệt đối (sai số tương đối) của nó

Cho a = 65,8274 với = 0,0043 thì các chữ số 6, 5, 8, 2 là đáng tin, còn các chữ số 7,

4 là đáng nghi Nếu = 0,0067 thì các chữ số 6, 5, 8 là đáng tin, còn các chữ số 2, 7,

4 là đáng nghi

Kết luận

- Đối tượng số gần đúng không thể tách rời khỏi khái niệm sai số Sai số có nguồn gốc từ thiên văn học Có 4 loại sai số: sai số giả thiết, sai số số liệu, sai số phương pháp, sai số tính toán Sai số giả thiết là loại sai số xuất hiện do việc giả định bài toán đang xét thỏa mãn một số điều kiện ban đầu nhằm làm giảm độ phức tạp của bài toán Sai số số liệu là loại sai số xuất hiện do việc đo đạc hoặc cung cấp số liệu ban đầu không chính xác Sai số phương pháp là loại sai số do phương pháp thay bài toán phức tạp bằng bài toán đơn giản hơn Sai số tính toán là loại sai số tích lũy trong quá trình thực hiện các phép toán: bao gồm sai số của bản thân các số, sai số do việc quy tròn số trong quá trình tính toán ở các bước trung gian

- Để đánh giá một số gần đúng, người ta định nghĩa các khái niệm: sai số tuyệt đối hay sai số tuyệt đối giới hạn, sai số tương đối hay sai số tương đối giới hạn Các khái

niệm này được trình bày trong các giáo trình đại học theo hai quan điểm: " đẳng thức" và " bất đẳng thức"

- Không xuất hiện thuật ngữ " độ chính xác của số gần đúng" Tác giả Nguyễn Thị Bích Hoa đã gọi chung khái niệm sai số tuyệt đối theo quan điểm " bất đẳng thức" và khái niệm sai số tuyệt đối giới hạn theo quan điểm " đẳng thức" là " độ chính xác của

số gần đúng" Ta có a <10n thì 10n chính là độ chính xác thập phân với n nhỏ nhất -Về mặt toán học mọi số đều là số gần đúng của nhau với một sai số nào đó nên khi viết một số gần đúng mà không kiểm soát được độ chính xác của số ấy thì nó không

có giá trị sử dụng Do đó, các giáo trình đại học tuân thủ nghiêm ngặt hai cách viết:

 Viết số gần đúng a kèm theo sai số như A=a± ∆𝑎

 Viết số xấp xỉ thep quy ước mọi chữ số của số gần đúng đều là chữ số chắc chắn, ví dụ: khi viết a≈1,35 thì ngầm hiểu là các chữ số 1, 3 và 5 là chữ số chắc chắn Khi đó, chúng ta có thể suy ra được độ chính xác của số gần đúng 1,35 là nhỏ hơn hoặc bằng 0,5 10-2

-Sau khi tham khảo các giáo trình đại học, chúng tôi tìm được 5 kiểu nhiệm vụ liên quan tới số gần đúng và sai số:

- Đối tượng này được trình bày trong sách giáo khoa Đại số 10 như thế nào? Có

gì khác so với tri thức khoa học? Có những tổ chức toán học nào được đưa

vào sách giáo khoa và sách bài tập?

- Tồn tại những điều kiện ràng buộc nào của thể chế đối với tri thức? Điều đó ảnh hưởng như thế nào đến việc tiếp thu và vận dụng kiến thức của học sinh?

Ở đây, chúng tôi chọn để phân tích hai bộ sách giáo khoa Đại số 10 ban cơ bản và nâng cao hiện hành, đi kèm với mỗi quyển sách giáo khoa là sách bài tập và sách giáo viên Việc tham khảo thêm sách bài tập và sách giáo viên nhằm giúp chúng tôi làm rõ hơn các tổ chức toán học đã được đưa vào trong sách giáo khoa

Trước khi bắt đầu phân tích thể chế, chúng tôi sẽ sơ lược một số nội dung liên quan trực tiếp đến đối tượng Số gần đúng trong sách giáo khoa Toán 7 (tập 1)

2.1 Sách giáo khoa Toán 7 – tập 1

Trong chương 1: SỐ HỮU TỈ SỐ THỰC của sách giáo khoa Toán 7 trình bày bài 10

" Làm tròn số" ngay sau khi đã học xong kiến thức về " số thập phân vô hạn tuần hoàn" Các kiến thức được trình bày trong sách giáo khoa hoàn toàn không có thuật ngữ " Số gần đúng" , cũng như các yếu tố Toán học liên quan khác Mục tiêu giảng dạy được trình bày trong sách giáo viên yêu cầu học sinh phải vận dụng thành thạo

các quy tắc và biết ý nghĩa của việc làm tròn số với ghi chú " không đề cập đến các

khái niệm sai số tuyệt đối, sai số tương đối, các phép toán về sai số"

Nội dung trình bày trong bài học nhằm để trả lời cho câu hỏi tiêu đề " Làm tròn số

như thế nào và để làm gì?"

" Để dễ nhớ, dễ ước lượng, dễ tính toán với các số có nhiều chữ số (kể cả số thập phân vô hạn), người ta thường làm tròn số " [12, tr.35]

Trước khi đưa ra quy tắc làm tròn số, sách giáo khoa đã trình bày cụ thể ba ví dụ về

làm tròn, có số nguyên và số thập phân hữu hạn cùng với " kí hiệu " ≈" đọc là " gần

bằng" hoặc " xấp xỉ" " như sách giáo khoa đã hướng dẫn Trong các ví dụ và hầu hết

các bài tập, tác giả đều có ghi rõ thuật ngữ " làm tròn số… đến hàng …" nhằm ngầm

ẩn " độ chính xác" ngay sau các số gần đúng Trong khi ví dụ 1 sử dụng kĩ thuật quan sát vị trí tương đối của hai số thập phân hữu hạn bằng cách vẽ trục số thì ví dụ

Do 0,813 gần với 0,8134 hơn là 0,814 nên ta viết: 0,8134 0,813 (làm tròn đến chữ

số thập phân thứ ba) " [12, tr.36]

Ngoài ra, chúng tôi còn tìm thấy kĩ thuật tìm số xấp xỉ thứ ba trong bài tập 75 của sách giáo khoa:

" Trong thực tế, khi đếm hay đó các đại lượng, ta thường chỉ được các số gần đúng

Để có thể thu được kết quả có nhiều khả năng sát số đúng nhất, ta thường phải đếm hay đo nhiều lần rồi tính trung bình cộng của các số gần đúng tìm được

Hãy tìm giá trị có nhiều khả năng sát số đúng nhất của số đo chiều dài lớp học của

em sau khi đo năm lần chiều dài ấy " [12, tr.37]

Đó là kỹ thuật lấy trung bình cộng các số gần đúng để tìm giá trị gần nhất với số đúng

Quy ước làm tròn số được tác giả chia thành hai trường hợp, đi kèm với mỗi trường hợp là các ví dụ Trong mỗi trường hợp lại chia ra thành hai trường hợp nhỏ: số thập phân và số nguyên

" Trường hợp 1: Nếu chữ số đầu tiên trong các chữ số bị bỏ đi nhỏ hơn 5 thì ta giữ nguyên bộ phận còn lại Trong trường hợp số nguyên thì ta thay các chữ số bị bỏ đi bằng các chữ số 0

Trường hợp 2: Nếu chữ số đầu tiên trong các chữ số bị bỏ đi lớn hơn hoặc bằng 5 thì ta cộng thêm 1 vào chữ số cuối cùng của bộ phận còn lại Trong trường hợp số nguyên thì thay các chữ số bị bỏ đi bằng các chữ số 0 " [12, tr.36]

Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến số gần đúng trong sách giáo khoa Toán 7 tập 1:

 TLT: Làm tròn số

Đề bài toán thường yêu cầu làm tròn số đến số thập phân thứ k đối với số thập phân và yêu cầu làm tròn đến hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm, hoặc hàng nghìn đối với số nguyên Kiểu nhiệm vụ TLT chỉ xuất hiện trong hai bài tập của sách giáo khoa Toán 7, tập 1

 TƯL: Ước lượng kết quả các phép tính

" Ta có thể áp dụng quy tắc làm tròn số để ước lượng kết quả các phép tính Nhờ đó có thể dễ dàng phát hiện ra những đáp số không hợp lí Việc ước lượng này lại càng cần thiết khi sử dụng máy tính bỏ túi trong trường hợp xuất hiện những kết quả sai do ta bấm nhầm nút " [12, tr.37]

Để thực hiện kiểu nhiệm vụ TƯL, ta làm tròn số đến chữ số ở hàng cao nhất của mỗi thừa số Sau đó, thực hiện phép tính với các số đã được làm tròn Kiểu nhiệm vụ này chỉ xuất hiện trong một bài tập duy nhất của sách giáo khoa (bài 77, trang 37)

 Tt: Thực hiện các phép tính với kết quả có k chữ số thập phân

Thực hiện các phép tính với số thập phân rồi làm tròn kết quả vừa tìm được Kiểu nhiệm vụ này xuất hiện trong sáu bài tập

Với lượng kiến thức chưa đầy đủ nên học sinh chưa thể trả lời cho câu hỏi: " Tại sao

chúng ta làm tròn số?" Phải chăng, để tìm được các yếu tố trả lời cho câu hỏi này,

học sinh cần có trình độ kiến thức ở phổ thông, tức là sau khi học bài 5: SỐ GẦN ĐÚNG SAI SỐ trong chương trình Toán 10

2.2 Sách giáo khoa Đại số 10 cơ bản

Số gần đúng và sai số được đưa vào như một đối tượng cụ thể trong bài cuối của chương 1: MỆNH ĐỀ TẬP HỢP, là chương trình bày các khái niệm cơ bản của mọi ngành Toán học Mục tiêu của bài giảng là học sinhcần biết ba khái niệm: số gần đúng, sai số tuyệt đối và độ chính xác, thể chế không nhắc đến khái niệm sai số, còn khái niệm sai số tương đối thì được trình bày trong mục CHÚ Ý và không yêu cầu

HS nắm vững và sử dụng khái niệm này

" Nắm vững các khái niệm số gần đúng, sai số tuyệt đối, độ chính xác của một số gần đúng và biết cách viết số quy tròn của số gần đúng căn cứ vào độ chính xác cho trước " [15, tr.45]

Với thời lượng hai tiết dạy, bài học bao gồm ba nội dung: số gần đúng, sai số tuyệt đối và quy tròn số gần đúng

) Minh lấy một giá trị gần đúng của 𝜋 là 3,14 và được kết quả

S = 3,14 4 = 12,56 (cm 2) " [13, tr.19]

Trong hoạt động 1, thể chế giúp học sinh hiểu rằng việc đo đạc các đại lượng có kích thước rất lớn là không thể chính xác Kết quả này phụ thuộc vào nhiều yếu tố: phương pháp, dụng cụ, tính toán, …

" Khi đọc các thông tin sau em hiểu đó là các số đúng hay gần đúng?

Bán kính đường Xích Đạo của Trái Đất là 6378 km

Khoảng cách từ Mặt Trăng đến Trái Đất là 384 400 km

Khoảng cách từ Mặt Trời đến Trái Đất là 148 600 000 km " [13, tr.19]

II – SAI SỐ TUYỆT ĐỐI

Ví dụ 2 nêu lên vấn đề dẫn đến khái niệm sai số tuyệt đối Ý nghĩa của khái niệm này là biểu thị độ chính xác của số gần đúng: số gần đúng có sai số tuyệt đối càng nhỏ càng biểu thị chính xác kết quả

" Nếu a là số gần đúng của số đúng 𝑎̅ thì ∆𝑎= |𝑎̅ − 𝑎| được gọi là sai số tuyệt đối

của số gần đúng a " [13, tr.20]

Ta chỉ có thể ước lượng được sai số tuyệt đối mà không tính chính xác được sai số này Thông qua ví dụ 3, thể chế đã trình bày khái niệm độ chính xác, kí hiệu là d và đồng thời đưa ra quy ước cách viết của số đúng 𝑎̅

" Nếu ∆𝑎= |𝑎̅ − 𝑎| ≤ 𝑑thì −𝑑 ≤ 𝑎̅ − 𝑎 ≤ 𝑑hay 𝑎 − 𝑑 ≤ 𝑎̅ ≤ 𝑎 + 𝑑 Ta nói a là số

gần đúng của 𝑎̅ với độ chính xác d, và quy ước viết gọn là 𝑎 ̅ = 𝑎 ± 𝑑 " [13, tr.20] Thể chế không đặt điều kiện ràng buộc cho kết quả việc ước lượng sai số tuyệt đối,

vì thế độ chính xác của số gần đúng là không duy nhất Mặt khác, sai số tuyệt đối không phản ánh đầy đủ tính chính xác của phép đo đạc Để chứng minh điều đó, thể chế đã đưa ra mội ví dụ minh chứng trong mục CHÚ Ý Vì thế, cũng trong mục này, khái niệm sai số tương đối được giới thiệu với công thức rõ ràng, phụ thuộc vào sai

số tuyệt đối Nhưng một câu hỏi được đặt ra là: chúng ta không tìm được sai số tuyệt đối, vì vậy cũng không thể tính chính xác được sai số tương đối?

" … Vì thế ngoài sai số tuyệt đối ∆𝑎 của số gần đúng 𝑎, người ta còn xét tỉ số

𝛿𝑎 = ∆𝑎

|𝑎|

𝛿𝑎 Được gọi là sai số tương đối của số gần đúng 𝑎 " [13, tr.21]

III – QUY TRÒN SỐ GẦN ĐÚNG Khi viết số gần đúng ta thường quy tròn nó để tiện cho việc tính toán Thể chế đã nhắc lại quy tắc làm tròn số ở lớp 7 Ngay sau đó là hai ví dụ: " quy tròn đến hàng nghìn, hàng phần trăm" Thông qua hai ví dụ này, mới thấy xuất hiện kí hiệu "≈" đã trình bày trong sách giáo khoa Toán 7

Vậy nếu khi quy tròn một số gần đúng mà không nói cần phải quy tròn đến hàng nào (hàng quy tròn) thì ta sẽ thực hiện như thế nào? Khi đó, ta cần biết độ chính xác của

nó để tìm được hàng quy tròn Ví dụ 4 và 5 đã trình bày chi tiết cách viết số quy tròn của số gần đúng 𝑎 trong hai trường hợp số nguyên và số thập phân

"Ví dụ 4 Cho số gần đúng a = 2 841 275 với độ chính xác d = 300 Hãy viết số quy

tròn của số a

Giải Vì độ chính xác đến hàng trăm (d = 300) nên ta quy tròn a đến hàng nghìn

theo quy tắc làm tròn ở trên

Vậy số quy tròn của a là 2 841 000

Ví dụ 5 Hãy viết số quy tròn của số gần đúng a = 3,1463 biết 𝑎̅ = 3,1463 ± 0,001

Giải Vì độ chính xác đến hàng phần nghìn (độ chính xác là 0,001) nên ta quy tròn

số 3,1463 đến hàng phần trăm theo quy tắc làm tròn ở trên

Vậy số quy tròn của a là 3,15." [13, tr.22]

Phải chăng thể chế đã phần nào " áp đặt" lên học sinh khi đưa ra hai ví dụ mà không giải thích thêm cũng như không phát biểu thành quy tắc "cách viết số quy tròn của số gần đúng căn cứ vào độ chính xác cho trước" ?

"Nếu độ chính xác đến hàng nào thì ta quy tròn số gần đúng đến hàng kề trước nó Chẳng hạn, đối với số nguyên độ chính xác đến hàng trăm (độ chính xác nhỏ hơn 1000) thì ta quy tròn số gần đúng này đến hàng nghìn Đối với số thập phân, nếu độ chính xác đến hàng phần nghìn thì ta quy tròn số gần đúng đến hàng phần trăm "

[15, tr.46] Trong mục " Chuẩn kiến thức, kĩ năng" ở đầu chương 1 của sách giáo viên, tác giả yêu cầu học sinh với mức độ cần đạt:

" Kĩ năng -Viết được số quy tròn của một số căn cứ vào độ chính xác cho trước

-Biết sử dụng máy tính bỏ túi để tính toán với các số gần đúng " [15, tr.9]

Như vậy, sau khi học xong bài SỐ GẦN ĐÚNG SAI SỐ, thể chế mong muốn học sinh thực hiện được hai kĩ năng:

• Quy tròn số gần đúng dựa vào độ chính xác của nó Đầu tiên, học sinh phải xác định được hàng quy tròn thông qua độ chính xác cho trước, sau

đó áp dụng quy tắc làm tròn số

• Quy tròn kết quả tính toán bằng MTBT, trong kết quả lấy n chữ số ở phần thập phân Kiểu nhiệm vụ này được giới thiệu trong hai bài tập 4

và 5 của sách giáo khoa trang 23

- Bước 2: Giữ nguyên chữ số thứ k, nếu chữ số ở vị trí thứ k+1 có giá trị bé hơn 5 Hay cộng thêm vào chữ số thứ k 1 đơn vị, nếu chữ số ở vị trí thứ k+1 có giá trị lớn hơn hoặc bằng 5

Công nghệ 𝜽𝑳𝑻−𝒌: Quy tắc làm tròn số

Lý thuyết LT-k: Thiếu vắng yếu tố lý thuyết: "Khi thay số đúng bởi số quy tròn đến một hàng nào đó thì sai số tuyệt đối của số quy tròn không vượt quá nửa đơn vị của hàng quy tròn Như vậy, độ chính xác của số quy tròn bằng nửa đơn vị của hàng quy tròn"

b) Kiểu nhiệm vụ T LT-d : Làm tròn số khi biết độ chính xác d của nó

Kiểu nhiệm vụ con nàychỉ xuất hiện trong chương 1 của sách giáo khoa và sách bài tập Đại số 10 ban cơ bản

Ví dụ : [13, tr.23]

Chiều dài một cái cầu là l = 1745,25 m ± 0,01 m

Hãy viết số quy tròn của số gần đúng 1745,25

Lời giải mong đợi: [15, tr.46]

Vì độ chính xác là 0,01 nên ta quy tròn 1745,25 đến hàng phần mười Vậy số quy tròn là 1745,3

c) Kiểu nhiệm vụ T LT-t : Làm tròn số sau khi tính toán

Kiểu nhiệm vụ con này không xuất hiện trong bài " SỐ GẦN ĐÚNG SAI SỐ" nhưng xuất hiện nhiều trong các sách giáo khoa phổ thông Hình học và Đại số, đặc biệt là trong các kiến thức về " Phương trình và hệ phương trình" và " Thống kê" (Đại số 10), " Giải tam giác" (Hình học 10), " Giải phương trình lượng giác cơ bản" (Đại số và Giải tích 11) Nó thường đi chung với kiểu nhiệm vụ tính toán

Với kiểu nhiệm vụ này, đề bài toán không yêu cầu " lấy k chữ số thập phân" , nhưng thông thường sách giáo khoa làm tròn kết quả cuối cùng với k = 1 hoặc tất cả các số liệu của đề bài và kết quả tính toán cuối cùng đều có k chữ số thập phân sau dấu phẩy

Kỹ thuật 𝝉𝑳𝑻−𝒕:Áp dụng kỹ thuật 𝜏𝐿𝑇−𝑘sau khi tính toán, thông thường với k = 1

Công nghệ 𝜽𝑳𝑻−𝒕: Quy tắc làm tròn số

Lý thuyết LT-t: Thiếu vắng yếu tố lý thuyết: "Khi thay số đúng bởi số quy tròn đến một hàng nào đó thì sai số tuyệt đối của số quy tròn không vượt quá nửa đơn vị của hàng quy tròn Như vậy, độ chính xác của số quy tròn bằng nửa đơn vị của hàng quy tròn"

Ví dụ: [14, tr.49]

Tính cạnh AB của tam giác

Lời giải mong đợi: [14, tr.49]

Thuật ngữ" ước lượng sai số tuyêt đối" hay " đánh giá sai số tuyệt đối" đều có nghĩa

là tìm cận trên của hiệu hai số gần đúng và số đúng, cũng chính là " tìm độ chính xác của số gần đúng" Ngoài chương 1 của sách Đại số 10, kiểu nhiệm vụ này không còn tồn tại

Lời giải mong đợi: [15, tr.46]

Nếu lấy 3√5 bằng 1,71 thì vì 1,70 <3√5 = 1,7099… < 1,71 nên ta có

|√53 − 1,71| < |1,70 − 1,71| = 0,01

Vậy sai số tuyệt đối trong trường hợp này không vượt quá 0,01

Tương tự, nếu lấy3√5 bằng 1,710 thì vì 1,709 <√53 = 1,7099… < 1,710 nên ta có

|√53 − 1,710| < |1,709 − 1,710| = 0,001

Vậy sai số tuyệt đối trong trường hợp này không vượt quá 0,001

Nếu lấy 3√5 bằng 1,7100 thì vì 17,099 <3√5 = 1,70997… < 1,7100 nên ta có

-𝝉𝒕𝟏: Thực hiện phép tính như đối với số đúng Sau đó, ta làm tròn kết quả cuối cùng đến chữ số thứ k theo kĩ thuật𝜏𝐿𝑇−𝑘

-𝝉𝒕𝟐: Làm tròn kết quả tính toán trong các bước trung gian đến k+1 chữ số thập phân theo kĩ thuật𝜏𝑡1 Sau đó, ta thực hiện phép tính rồi làm tròn kết quả cuối đến chữ số thập phân thứ k theo kĩ thuật𝜏𝑡1

-𝝉𝒕𝟑: (với máy tính Casio fx-500MS)

 Ấn dãy các phép tính vào máy tính

 Ấn phím MODE cho đến khi mà hình hiện ra Fix, ấn phím 1

 Ấn tiếp số chữ số thập phân cần lấy (k)

 Đọc kết quả trên màn hình

-𝝉𝒕𝟒: Kỹ thuật này chỉ xuất hiện trong sách giáo khoa Đại số và giải tích 11, trang

171, trong mục " Ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng"

Ấn

Ấn liên tiếp phím MODE cho đến khi màn hình hiện ra

Ấn liên tiếp 14 để lấy 4 chữ số ở phần thập phân Kết quả hiện ra trên màn hình là

8183 0047

Nhận xét:

-Việc dùng kỹ thuật khác nhau có thể cho kết quả khác nhau Nếu sử dụng kỹ thuật

𝜏𝑡2, kết quả cuối của phép tính sẽ kém chính xác hơn so với việc sử dụng kỹ thuật

𝜏𝑡1 vì nó có thêm sai số của các kết quả trung gian Với kỹ thuật 𝜏𝑡3, ta sử dụng chức năng định trước độ chính xác của MTBT

-Sau khi thực hiện kiểu nhiệm vụ Tt , đề bài không yêu cầu tìm độ chính xác hay ước lượng sai số tuyệt đối của kết quả tính toán Điều này có thể kiến học sinh không quan tâm đến độ chính xác của kết quảcuối cùng theo mỗi kĩ thuật

2.4 Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao

Về mục tiêu giảng dạy, thể chế mong muốn học sinh biết ba khái niệm cơ bản: sai số tuyệt đối, sai số tương đối, độ chính xác của số gần đúng

" Giúp học sinh :

Về kiến thức

- Nhận biết được tầm quan trọng của số gần đúng, ý nghĩa của số gần đúng

- Nắm được thế nào là sai số tuyệt đối, sai số tương đối, độ chính xác của số gần

đúng, biết dạng chuẩn của số gần đúng

Về kĩ năng

- Biết cách quy tròn số, biết xác định các chữ số chắc chắn của số gần đúng

- Biết dùng kí hiệu khoa học để ghi những số rất lớn và rất bé." [10, tr.58] Trong khi SGK ban cơ bản chỉ cần học sinh nắm vững khái niệm sai số tuyệt đối và

độ chính xác của số gần đúng thì sách giáo khoa ban nâng cao đòi hỏi yêu cầu cao hơn về kiến thức và cả kĩ năng Ngoài việc nhận thức được tầm quan trọng và ý nghĩa của số gần đúng, thể chế nâng cao còn muốn giúp học sinh nắm được các kĩ năng: quy tròn số, xác định các chữ số chắc và sử dụng các kí hiệu khoa học đối với

số gần đúng Bên cạnh đó, thể chế khuyến khích học sinh sử dụng MTBT để tiện cho việc tính toán số gần đúng

"Với máy tính bỏ túi, việc tính toán đã trở nên đơn giản và có độ chính xác cao, kết quả tính toán có thể lấy chính xác đến hàng phần nghìn, phần vạn, phần triệu hay phần tỉ … ứng với việc ta quy tròn kết quả đó trên máy tính tới hàng tương ứng."

[10, tr.58] Với các chức năng của MTBT, đặc biệt là chức năng định trước độ chính xác của kết quả có thể trở thành một phương tiện đắc lực giúp học sinh tính toán nhanh và kết quả chính xác cao với các số gần đúng Nhưng thể chế không đặt yêu cầu về sai số của các phép tính trung gian Phải chăngsách giáo khoa hoàn toàn không đề cập đến vấn đề này?

Cũng với thời lượng hai tiết dạy, SGK ban cơ bản chỉ có ba nội dung chính, nhưng sách giáo khoa ban nâng cao bao gồm các nội dung sau: số gần đúng, sai số tuyệt đối

và sai số tương đối, số quy tròn, chữ số chắc và cách viết chuẩn số gần đúng, kí hiệu khoa học của một số

I – SỐ GẦN ĐÚNG Các ví dụ và hoạt động được trình bày nhằm mục đích thể hiện tầm quan trọng của

số gần đúng trong thực tiễn: "Trong nhiều trường hợp, ta không biết được giá trị

đúng của đại lượng ta quan tâm mà chỉ biết giá trị gần đúng của nó"

II – SAI SỐ TUYỆT ĐỐI VÀ SAI SỐ TƯƠNG ĐỐI Thể chế đã thể hiện ý nghĩa của sai số tuyệt đối trong khái niệm được trình bày trong sách giáo khoa Khái niệm này theo quan điểm " đẳng thức" và giống như SGK ban

"Như vậy, khi viết 𝑎̅ = 𝑎 ± 𝑑 , ta hiểu số đúng 𝑎̅ nằm trong đoạn

[a – d ; a + d] Bởi vậy, d càng nhỏ thì độ sai lệch giữa số gần đúng a và

số đúng a càng ít Thành thử d được gọi là độ chính xác của số gần đúng."

[9, tr.25].Tương tự như sách giáo khoa ban cơ bản, thể chế không không đưa ra điều kiện ràng buộc nào cho d Vì vậy, độ chính xác d của một số gần đúng là một số dương không duy nhất Đối với việc so sánh độ chính xác của hai phép đo đạc hay tính toán, sai số tuyệt đối chưa đủ để phản ánh tính chính xác của chúng Do đó, để khắc phục

"khuyết điểm" này, khái niệm sai số tương đối được đưa vào như sau:

" Sai số tương đối của số gần đúng a, kí hiệu là δ a , là tỉ số giữa sai số tuyệt đối và

|𝑎|, tức là 𝛿𝑎 = ∆𝑎

|𝑎| " [9, tr.25].

Ngoài công thức để tính sai số tương đối, thể chế còn đánh giá nó qua độ chính xác d

vì khái niệm đưa ra chỉ mang tính lí thuyết, trên thực tế nhiều khi ta không thể tính được chính xác ∆𝑎 Tỉ lệ |𝑎|𝑑 càng nhỏ thì sai số giữa số gần đúng và số đúng càng nhỏ

𝛿𝑎 ≤ 𝑑

|𝑎|

" Nếu 𝑑

|𝑎| càng nhỏ thì chất lượng của phép đo đạc hay tính toán càng cao

Người ta thường viết sai số tương đối dưới dạng phần trăm " [9, tr.25]

III – SỐ QUY TRÒN Ngoài việc đưa ra quy tắclàm tròn một số đến hàng quy tròn như sách giáo khoa ban

cơ bản, thể chế nâng cao còn trình bày yếu tố lý thuyết để giải thích cho công nghệ này

" Nhận xét Khi thay số đúng bởi số quy tròn đến một hàng nào đó thì sai số tuyệt

đối của số quy tròn không vượt quá nửa đơn vị của hàng quy tròn Như vậy, độ chính xác của số quy tròn bằng nửa đơn vị của hàng quy tròn." [9, tr.26]

Do đó, khi ta làm tròn một số đến hàng quy tròn nào đó, độ chính xác của số quy tròn sẽ là𝑑 =1

2 10𝑘, 𝑘 ∈ 𝒁 Hai ví dụ 3 và 4 đã minh họa cụ thể cho kĩ thuật và công nghệ này

"Ví dụ 3 Nếu quy tròn số 7216,4 đến hàng chục thì chữ số ở hàng quy tròn là 1, chữ

số ngay sau đó là 6; do 6 > 5 nên ta có số quy tròn là 7220

Ví dụ 4 Nếu quy tròn số 2,654 đến hàng phần trăm (tức là chữ số thứ hai sau dấu

phẩy) thì chữ số ngay sau hàng quy tròn là 4; do 4 < 5 nên số quy tròn là 2,65

Ta thấy trong ví dụ 3 và ví dụ 4, sai số tuyệt đối lần lượt là

[9, tr.26] Tuy nhiên, khi kết quả của việc tính toán phải qua nhiều bước trung gian, ở mỗi bước ta đều tiến hành làm tròn số thì kết quả tính toán cuối cùng (có được từ việc thực hiện các tính toán với các số gần đúng trung gian) quy tròn đến hàng nào chưa chắc cho kết quả chính xác đến hàng đó Vì vậy, thể chế đã phát biểu một kĩ thuật để

" giải quyết vấn đề này" trong CHÚ Ý:

" 2) Nếu kết quả cuối cùng của bài toán yêu cầu chính xác đến hàng 101𝑛 thì trong quá trình tính toán, ở kết quả của các phép tính trung gian, ta cần lấy chính xác ít nhất đến hàng 101𝑛+1 " [9, tr.26]

Còn khi quy tròn một số mà không nói rõ là quy tròn đến hàng nào thì ta áp dụng kĩ thuật sau :

"3) Cho số gần đúng a với độ chính xác d (tức là a a d ) Khi được yêu cầu quy tròn số a mà không nói rõ đến hàng nào thì ta quy tròn a đến hàng thấp nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó " [9, tr.27]

IV – CHỮ SỐ CHẮC VÀ CÁCH VIẾT CHUẨN SỐ GẦN ĐÚNG Hai khái niệm chữ số chắc và cách viết chuẩn số gần đúng chỉ được trình bày trong sách giáo khoa ban nâng cao Thể chế đã đưa vào khái niệm chữ số chắc theo quan điểm thứ nhất đã trình bày trong chương 1

" Cho số gần đúng a của số a với độ chính xác d Trong số a, một chữ số được gọi

là chữ số chắc (hay đáng tin) nếu d không vượt quá nửa đơn vị của hàng có chữ số

đó " [9, tr.27]

Như vậy, việc tìm các chữ số chắc của số gần đúng sẽ liên quan đến độ chính xác d của nó Ngay sau khái niệm, sách giáo khoa còn đưa ra nhận xét về các chữ số chắc

và không chắc

"Tất cả các chữ số đứng bên trái chữ số chắc đều là chữ số chắc Tất cả các chữ số đứng bên phải chữ số không chắc đều là chữ số không chắc." [9, tr.27].

Có hai cách viết số gần đúng Cách thứ nhất: 𝑎̅ = 𝑎 ± 𝑑,cách này đòi hỏi phải biết độ chính xác d của số gần đúng 𝑎 Cách thứ hai là viết dạng chuẩn của số gần đúng:

"Nếu số gần đúng là số thập phân không nguyên thì dạng chuẩn là dạng mà mọi chữ

"Ví dụ 6 Cho một giá trị gần đúng của 5được viết dưới dạng chuẩn là 2,236 ( 5  2, 236) Ở đây, hàng thấp nhất có chữ số chắc là hàng phần nghìn nên độ

"Với quy ước về dạng chuẩn số gần đúng thì hai số gần đúng 0,14 và 0,140 viết dưới dạng chuẩn có ý nghĩa khác nhau Số 0,14 có sai số tuyệt đối không vượt quá 0,005 còn số gần đúng 0,140 có sai số tuyệt đối không vượt quá 0,0005." [9, tr.28]

Vậy phải chăng các học sinh học sách giáo khoa ban cơ bản không được nhắc đến và không quan tâm đến độ chính xác của các số gần đúng trong trường hợp này?

V – KÍ HIỆU KHOA HỌC CỦA MỘT SỐ

Có những số gần đúng rất lớn như khối lượng Trái Đất hoặc rất bé như khối lượng nguyên tử Hiđrô Người ta thường dùng kí hiệu khoa học để viết gọn lại những đại lượng này

"Mỗi số thập phân khác 0 đều viết được dưới dạng 𝛼 10𝑛, trong đó 1 ≤ |𝛼| <

10, 𝑛 ∈ 𝒁

Dạng như thế được gọi là kí hiệu khoa học của số đó."

2.5 Tổ chức toán học

a) Kiểu nhiệm vụ T LT-k : Làm tròn số với k chữ số thập phân (k∈ 𝑵∗)

Kỹ thuật 𝝉𝑳𝑻−𝒌:

-Sử dụng MTBT để a̅có dạng thập phân

-Làm tròn kết quả trên màn hình đến hàng quy tròn hoặc với k chữ số thập phân

Công nghệ - Lý thuyết 𝜽𝑳𝑻−𝒌:Quy tắc làm tròn số

Lời giải mong đợi: [10, tr.59]

a) Bấm máy tính 3√2 , trên màn hình hiện số 1,259 921 05 Vậy 3√2≈ 1,26

(chính xác đến hàng phần trăm) và √23 ≈ 1,260 (chính xác đến hàng phần

nghìn)

b) 3√100 ≈ 4,641 588 834 Vậy √1003 ≈ 4,64 (chính xác đến hàng phần trăm)

và √1003 ≈ 4,642 (chính xác đến hàng phần nghìn)

b) Kiểu nhiệm vụ T d1 : Ước lượng sai số tuyệt đối của số gần đúng

Kỹ thuật 𝝉𝒅𝟏và Công nghệ - Lý thuyết 𝜽𝒅𝟏:tham khảo mục 2 3d, trang 26 – 27

Ví dụ: [9, tr.29]

Các nhà toán học cổ đại Trung Quốc đã dùng phân số 22

7 để xấp xỉ số 𝜋 Hãy đánh

giá sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng này, biết 3,1415< 𝜋< 3,1416

Lời giải mong đợi: [10, tr.59]