một nghiên cứu didactic về định lý giá trị trung gian trong dạy học toán ở trường trung học phổ thông

Cauchy đã cho một chứng minh định lý giá trị trung gian nhờ vào “trực giác hình học” như sau: Chứng minh: Để thiết lập mệnh đề trên, chỉ cần chứng tỏ rằng đường cong phương trình y=fx

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

LỜI CẢM ƠN

Với tất cả sự chân thành, chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tập thể giảng viên didactique toán của trường Đại học Sư phạm TP.HCM, đặc biệt là PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Trần Lương Công Khanh, PGS.TS Lê Văn Tiến – những người đã mang lại cho chúng tôi những tri

thức quý báu, tận tình hướng dẫn và giúp đỡ chúng tôi hoàn thành luận văn này

Xin trân trọng cảm ơn phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm TP.HCM

đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn

Xin chân thành cảm ơn tất cả các bạn học viên lớp cao học khóa 19 chuyên ngành Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán đã trải qua những ngày vui buồn trong cả khóa học và đóng góp nhiều ý kiến bổ ích thiết thực cho luận văn

Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu và tập thể Giáo viên trường THPT Phan Văn Trị, trường THPT Nguyễn Việt Dũng, trường THPT Nguyễn Việt Hồng – Cần Thơ, trường THPT Tán Kế - Bến Tre, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho chúng tôi tham gia khóa học và giúp đỡ chúng tôi thực nghiệm

Xin chân thành cảm ơn những người thân yêu nhất trong gia đình tôi đã động viên và tiếp sức tinh thần để tôi hoàn thành luận văn

Với thời gian còn hạn chế, chắc chắn luận văn này không tránh khỏi nhiều khiếm khuyết, chúng tôi kính mong các Thầy giáo, Cô giáo và các đồng nghiệp góp

ý để luận văn hoàn chỉnh, ứng dụng được trong thực tiễn

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG GIAN Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC KHOA HỌC 5

1.1.Vài nét lịch sử của định lý giá trị trung gian 5

1.2.Đặc trưng của định lý giá trị trung gian trong phạm vi toán ở bậc đại học 12

1.2.1 Định lý giá trị trung gian trong giáo trình 1 12

1.2.2 Định lý giá trị trung gian trong giáo trình 2 20

Chương 2: ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG GIAN Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC GIẢNG DẠY 27

2.1 SGK Đại số và Giải tích 11 nâng cao 27

2.2 SGK Đại số và Giải tích cơ bản 11 41

2.3 SGK Giải tích 12 50

2.4 Kết luận 52

Chương 3: THỰC NGHIỆM 55

3.1 Mục đích thực nghiệm 55

3.2 Hình thức và đối tượng thực nghiệm 55

3.3 Phân tích tiên nghiệm các câu hỏi thực nghiệm 56

3.3.1 Xây dựng câu hỏi thưc nghiệm 56

3.3.2 Hệ thống câu hỏi thực nghiệm ( xem phụ lục 1) 58

3.3.3 Phân tích tiên nghiệm 63

3.4 Phân tích hậu nghiệm các câu hỏi thực nghiệm 67

3.5 Kết luận 72

KẾT LUẬN CHUNG 73

TÀI LIỆU THAM KHẢO 78

PHỤ LỤC 1

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

đpcm Điều phải chứng minh

ĐS & GT Đại số và Giải tích

GV Giáo viên

HS Học sinh

NC Nâng cao NXB Nhà xuất bản NXBGD Nhà xuất bản Giáo dục GTTG Giá trị trung gian SBT Sách bài tập SGK Sách giáo khoa SGV Sách giáo viên THPT Trung học phổ thông

1

1 Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Định lý giá trị trung gian xuất hiện trong các sách giáo khoa không có chứng minh mà chỉ có các giải thích hình học

So sánh việc trình bày định lý này trong phần bài học của hai bộ sách giáo khoa

cơ bản và nâng cao chúng tôi nhận thấy sự khác biệt sau đây :

• Sách giáo khoa đại số và giải tích 11 nâng cao trình bày định lý như sau:

Định lý 2( SGK, trang 171): “ Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a ; b]

Nếu f a( ) ≠ f b( ) thì với mỗi số thực M nằm giữa f(a) và f(b), tồn tại ít nhất một điểm

c ∈(a; b) sao cho f(c) = M”

Hệ quả: “Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít

nhất một điểm c∈ ( ; )a b sao cho f(c) = 0”

• Sách giáo khoa đại số và giải tích 11 chuẩn trình bày định lý như sau:

Định lý 3( SGK, trang 138) : “ Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và

f(a ).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c∈ ( ; )a b sao cho f(c) = 0”

- SGK đại số và giải tích 11 NC trình bày định lý và hệ quả nhưng riêng SGK Đại số và giải tích 11 chuẩn không đề cập định lý giá trị trung gian tổng quát

mà chỉ đưa vào một trường hợp đặc biệt của nó (hệ quả) Cả hai SGK trên đều không chứng minh mà chỉ giải thích bằng ghi nhận trực quan hình học

Ở bậc đại học Định lý này còn có tên gọi là định lý Bolzano- Cauchy

- Từ những ghi nhận trên lôi cuốn sự chú ý của chúng tôi đối với định lý này

và làm nảy sinh những gợi hỏi ban đầu sau đây:

? Đâu là lý do của sự khác nhau kể trên? Sự khác nhau này có đi kèm với các kiểu bài tập khác nhau trong hai bộ sách giáo khoa hay không?

2 Ph ạm vi lý thuyết tham chiếu và câu hỏi nghiên cứu

Nghiên cứu của chúng tôi đặt trong khuôn khổ của lý thuyết didactic toán Cụ thể là:

1 Lý thuyết nhân chủng học ( chuyển đổi didactic, quan hệ thể chế và quan hệ

cá nhân đối với một tri thức toán học, tổ chức toán học)

2 Lý thuyết tình huống ( hợp đồng didactic, tiểu đồ án didactic)

- Việc nghiên cứu ứng dụng định lý giá trị trung gian ở cấp độ tri thức toán học đặt cơ sở trên việc nghiên cứu ứng dụng định lý trong các giáo trình bậc đại học, mà chúng tôi xem như “ xấp xỉ” của tri thức toán học

- Trong phạm vi lý thuyết nêu trên, các câu hỏi khởi đầu có thể được trình bày lại như sau:

Q1 Câu hỏi tri thức luận nghiên cứu:

Nhìn từ lịch sử toán học, định lý giá trị trung gian xuất hiện để giải quyết vấn đề gì? Những tính chất đặc trưng của định lý này là gì?

Nhìn từ cấp độ tri thức toán học, định lý này có những ứng dụng nào? Q2 Những ràng buộc của thể chế đối với định lý này là gì? Những khoảng cách nào từ mối quan hệ thể chế đối với định lý này so với cấp độ tri thức khoa học do chuyển đổi didactic gây ra?

Q3 Các quy tắc hợp đồng didactic được hình thành giữa GV và HS liên quan đến định lý này ? Những gì có thể quan sát được nếu có một sự phá vỡ hợp đồng thể chế liên quan đối tượng này?

3 M ục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu

 Mục đích tổng quát của luận văn này là tìm những yếu tố trả lời cho các câu hỏi ban đầu Để làm được điều đó, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi lý thuyết tham chiếu nêu trên nhằm làm rõ đặc trưng khoa học luận của phép quy nạp toán học, những lựa chọn của thể chế Quan sát và thực nghiệm để làm rõ những đặc trưng đó và ảnh hưởng đến việc dạy và học của

GV và HS

- Phương pháp nghiên cứu mà chúng tôi thực hiện trong luận văn này là

chúng tôi tiến hành phân tích, tổng hợp một số công trình đã có về

nghiên cứu khoa học luận lịch sử để làm rõ định lý này xuất hiện để giải quyết vấn đề gì và các đặc trưng của nó Tổng hợp từ một số giáo trình dùng trong các trường đại học để chỉ ra những ứng dụng của định lý này

ở cấp độ tri thức tóan học

- Sau đó, chúng tôi tiến hành phân tích thể chế, bằng cách phân tích chương trình và sách giáo khoa Toán phổ thông của Việt Nam và các tài liệu hướng dẫn giáo viên, chúng tôi cố gắng tìm hiểu sự lựa chọn của thể chế cũng như sự chuyển đổi didactic ở đối tượng này nhằm làm rõ những ràng buộc thể chế đối với định lý giá trị trung gian là gì? Những khoảng cách nào từ mối quan hệ thể chế đối với định lý này so với cấp độ tri thức khoa học do chuyển đổi didactic gây ra? Phân tích sâu SGK chúng tôi nêu rõ các tổ chức toán học liên quan đến định lý, xem xét SGK và SBT

có những kiểu nhiệm vụ nào và kỹ thuật nào được ưu tiên và chỉ ra các quy tắc hợp đồng hình thành trong quá trình dạy học Chúng tôi cũng sẽ tìm hiểu quan niệm của GV và HS về định lý này, ảnh hưởng của cách trình bày của SGK và SGV đến các quan niệm đó

- Tổng hợp từ các phân tích đó cho phép chúng tôi hình thành các giả thuyết nghiên cứu cho phép chúng tôi kiểm chứng giả thuyết nêu ra Sau

đó, dựa trên toàn bộ kết quả nghiên cứu, chúng tôi xây dựng một tình huống didactic có sự phá vỡ hợp đồng thể chế

V Tổ chức của luận văn

Luận văn gồm 5 phần: Phần mở đầu, 4 chương và phần kết luận chung

Trong phần mở đầu, chúng tôi trình bày những ghi nhận ban đầu, lợi ích của đề

tài, lý thuyết tham chiếu, mục đích và phương pháp nghiên cứu, tổ chức của luận

văn

Chương 1 Phần tổng hợp và phân tích các đặc trưng của định lý giá trị trung

gian nhìn từ lịch sử toán học, các giáo trình và công trình nghiên cứu liên quan

Từ đó chỉ ra vai trò hay ứng dụng của định lý

Chương 2 Phần nghiên cứu chương trình, phân tích SGK và các tài liệu hướng

dẫn, phân tích các tổ chức toán học, quy tắc hợp đồng didactic, tìm hiểu quan niệm của HS về định lý này, xây dựng các giả thuyết nghiên cứu

Chương 3 Thực nghiệm

Trong phần kết luận chung, chúng tôi tóm tắt các kết quả đạt được ở chương 1,

2, 3 và nêu một số hướng nghiên cứu mở ra từ luận văn

Chương 1 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG GIAN Ở CẤP ĐỘ

Mục tiêu của chương

Chương này có mục tiêu làm rõ những đặc trưng và ứng dụng của định lý giá trị trung gian ở cấp độ tri thức khoa học Cụ thể hơn, tiến hành phân tích tổng hợp một số công trình nghiên cứu lịch sử, phân tích một số giáo trình toán ở bậc đại học, chúng tôi cố gắng làm rõ đặc trưng cơ bản của định lý này trong quá trình phát sinh

và phát triển của nó Từ đó chỉ ra vai trò hay ứng dụng của định lý Cụ thể nó nhắm tới trả lời các câu hỏi tri thức luận cần nghiên cứu sau đây:

- Nhìn từ lịch sử toán học, định lý giá trị trung gian xuất hiện để giải quyết vấn đề gì?

- Nhìn từ cấp độ tri thức toán học, định lý này có những ứng dụng nào?

Do thiếu tư liệu tham khảo, chúng tôi không thể đi sâu vào một nghiên cứu lịch sử hay khoa học luận.Tuy nhiên, một vài nét về lịch sử của định lý sẽ được đề cập với mục đích làm rõ hơn cho phân tích các giáo trình ở bậc đại học

1.1 Vài nét lịch sử của định lý giá trị trung gian

- Phần này được trình bày dựa vào việc tham khảo các nguồn tài liệu sau đây:

+ Edwards, Jr., C H (1979) The Historical Development of the Calculus

New York: Springer-Verlag

+ Dhombres, Jean G (1978) Nombre, mesure et continu: Epistémologie et

histoire Paris: Cedic/Nathan

+ Trần Anh Dũng (2006) Khái niệm liên tục - một nghiên cứu khoa học

luận và didactic (Luận văn Thạc sỹ, Đại Học Sư Phạm Tp Hồ Chí

Minh, Tp Hồ Chí Minh) Truy lục từ thư viện Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh

+ Wikipedia, bách khoa toàn thư miễn phí Intermediate value theorem:

Định lý giá trị trung gian (2012) Truy lục về từ trang

http://en.wikipedia.org/wiki/Intermediate_value_theorem:_%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_gi%C3%A1_tr%E1%BB%8B_trung_gian

+ Brodie, Scott E (1997) How to Prove Bolzano's Theorem Truy lục về

từ trang http://www.cut-the-knot.org/fta/brodie.shtml

+ Fauvel Ed J and Gray J (1987) The History of Mathematics: Intuition

and Rigor Truy lục về từ trang

http://www.cuttheknot.org/fta/bolzano.shtml

+ School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews,

Scotland (2001) Chronology for 1810 to 1820 Truy lục về từ trang http://www.history.mcs.standrews.ac.uk/history/Chronology/1810_1820.html

Định Lý Giá Trị Trung Gian

Phiên bản I: Định lý giá trị trung gian nói rằng: Nếu f là hàm liên tục giá trị thực

trên đoạn [a; b] và u là số nằm trong khoảng giá trị f(a) và f(b) thì ta sẽ có [ ; ] sao cho f(c)=u

Phiên bản II: Giả sử rằng I là đoạn [a; b] trong tập số thực và f I → : là hàm liên tục thì tập ảnh f(I) cũng là một khoảng và tập này chứa [ f(a); f(b)] hoặc chứa [f(b);f(a)] và đó là:

f I( ) [ ( ); ( )] ⊂ f a f b hoặc f(I) [f(b);f(a)] ⊂

Định lý này thường được nêu ở dạng tương đương sau: Giả sử :[ ; ]

f a b → cĩ tính liên tục và u là số thực đáp ứng yêu cầu f(a) < u < f(b) hoặc f(a)

> u > f(b) thì đối với mọi giá trị c∈ ( ; ) sao cho f(c)=ua b

Điều này thể hiện tính chất tự nhiên của các hàm liên tục Thể hiện ý tưởng cho rằng đồ thị của hàm số liên tục trên khoảng đĩng chỉ cĩ thể vẽ mà khơng được nhấc bút khỏi mặt giấy Định lý này dựa trên tính hồn chỉnh của số thực Ngồi ra định lý này khơng đúng đối với số hữu tỉ Q.

Với u = 0 thì phát biểu này cịn được gọi là định lý Bolzano Định lý này được Bernard Bolzano chứng minh lần đầu tiên vào năm 1817 Cauchy cũng đã đưa

ra một chứng minh vào năm 1821 Cả hai đều cĩ động cơ muốn chính thức hĩa việc phân tích hàm và cơng trình của Lagrange Ý tưởng cho rằng các hàm số liên tục chứa đặc tính của định lý giá trị trung gian xuất hiện trước đĩ nữa Trước khi định nghĩa chính thức về tính liên tục được đưa ra, đặc tính giá trị trung gian đã được xem là một phần trong định nghĩa về hàm liên tục Điều này đã được nêu rất rõ

trong luận văn thạc sĩ của Trần Anh Dũng (2006): “ Khái niệm liên tục - một nghiên

c ứu khoa học luận và didactic” Luận văn đã chỉ ra rằng vào khoảng thế kỷ

XVII-XVIII định lý này đã xuất hiện ngầm ẩn trong tư tưởng của Gottfried Wihelm Leibniz (1646 – 1716).Theo Leibniz: “ trong thiên nhiên khơng cĩ gì hình thành bằng bước nhảy Một vật khơng thể chuyển từ trạng thái này qua trạng thái khác mà khơng phải qua những trạng thái khác nhau” Ngầm ẩn trong quan niệm này của Leibniz là tư tưởng của định lý giá trị trung gian gắn liền với khái niệm liên tục

của hàm số Ngồi ra tư tưởng của định lý giá trị trung gian cịn xuất hiện ở F A Arbogast (1759 – 1803) người đã đoạt giải thưởng của học viện St Pertersburg Academy trong cuộc thi năm 1787 vì đã đưa phần mơ tả đặc tính hàm số hồn hảo nhất giúp giải phương trình giây rung Trong cơng trình của Ơng đã được giải thưởng, Arbogast viết:

“Luật liên tục hàm nghĩa rằng một đại lượng khơng thể từ trạng thái này sang trạng thái khác mà khơng qua tất cả các trạng thái trung gian theo cùng một luật

Các hàm số đại số là liên tục vì những giá trị khác nhau của các hàm số này phụ thuộc theo cùng một kiểu đối với biến số và giả sử biến số tăng một cách liên tục thì hàm số sẽ nhận những giá trị tương ứng nhưng hàm số không thể nhảy từ giá trị này

sang giá trị khác mà không đi qua tất cả những giá trị trung gian ”

Argobast cũng đã chỉ ra “định lý giá trị trung gian” mà mãi tới thế kỉ XIX

mới xuất hiện ở Cauchy

Augustin- Louis Cauchy (1789 – 1857) nêu ra định lý giá trị trung gian:

“Nếu f (x) liên tục trên đoạn [x0, X], và b là một số nằm giữa f(x0) và f(X) thì tồn tại ít nhất một giá trị x thuộc đoạn [x0, X] sao cho f(x) = b” Cauchy đã cho một chứng minh định lý giá trị trung gian nhờ vào “trực giác hình học” như sau:

Chứng minh: Để thiết lập mệnh đề trên, chỉ cần chứng tỏ rằng đường cong

phương trình y=f(x) cắt đường thẳng phương trình y = b tại một hay nhiều điểm trong khoảng giữa những tung độ tương ứng với các hoành độ x0 và X

Từ giả thiết thì điều này là rõ ràng Quả thực, hàm số đã cho liên tục giữa các cận x = x0 và x = X Đường cong phương trình y = f(x) đi qua

1 Điểm tương ứng với các tọa độ x0, f(x0)

2 Điểm tương ứng với các tọa độ X, f(X)

sẽ liên tục giữa hai điểm này.Vì tung độ không đổi b của đường thẳng phương trình

y = b nằm giữa các tung độ f(x0) và f(X) của hai điểm đang xét, cho nên đường thẳng phải đi qua giữa hai điểm này, nghĩa là trong khoảng nói trên nó không thể không gặp đường cong” ( Trích theo Giorgiuti.I, 1998)

Bernard Bolzanol (1781 – 1848) đã không xem chứng minh “ hình học” của Cauchy về định lý giá trị trung gian như là một chứng minh thật sự Ông viết:

“ Tuyệt nhiên không có gì có thể phản bác về tính đúng đắn và tính hiển nhiên của định lý hình học này Nhưng rõ ràng cũng có một lỗi không thể chấp nhận được [ ] vì người ta đã dựa trên những ghi nhận hình học để suy ra những chân lý toán học thuần túy [ ] Trong khoa học, các chứng minh không thể là các phương pháp giản đơn nhằm đạt đựơc sự rõ ràng ( ‘ evidence) mà trước hết phải là

những cơ sở Cần phải làm rõ nền tảng khách quan của chân lý cần chứng minh.” (

trích theo Barbin, 1988).

Cauchy đưa ra một chứng minh dựa vào trực giác hình học nhưng trong một chú thích về số nghiệm phương trình ([3], pp trang 378-425) hàm chứa một chứng minh loại trừ giả thuyết bằng “phương pháp trực tiếp và hoàn toàn phân tích” ( theo lối của Bolzano?)

Chọn b = 0 và m là số nguyên lớn hơn 1, trước hết, ông chia nhỏ khoảng [x0, X] thành m khoảng con bằng nhau.Vì f(x) đổi dấu [x0, X] nên nó phải đổi dấu trong khoảng con [x1, X1] Sau đó, khoảng [x1, X1] được chia thành m khoảng con bằng nhau, trên một trong những khoảng tương đồng này, gọi là [x2, X2] lại đổi dấu một lần nữa Tiếp tục theo phương pháp này, Cauchy đã xây dựng nên một dãy tăng

{ }x n t∞ của những điểm thuộc khoảng [x0, X] như vậy thì mỗi giá trị f(xn) có cùng dấu với f(x0) và một dãy giảm { }X n l∞thì mỗi f(Xn) có cùng dấu với f(X) Bởi vì Xn– xn = (X – x0)/ mn →0 khi n→ ∞, Ông ta kết luận rằng hai chuỗi hội tụ về một điểm a∈(x0 , X) Bởi tính liên tục, f(xn)>0 với mỗi n kéo theo f(a) = lim f(xn)≥0, trong khi f(Xn)<0 với mỗi n kéo theo f(a)≤0 Vì vậy, như mong đợi, nó kéo theo f(a)=0 Chứng minh này về định lý giá trị trung gian có lẽ là chứng minh thường thấy nhất trong những cuốn sách giáo khoa hiện đại

“Cauchy states the intermediate value theorem as Theorem IV on page 50: If f(x) is continuous on the interval [x0, X], and b is a number between f(x0) and f(X), then there exists at least one point x of the interval such that f(x) = b He provides anintuitive geometric proof but in a note on the numerical solution of equations ([3], pp 378-425) includes an alternative proof by “ une methode directe et purement analytique” (shades of Bolzano?)

Taking b = 0 and m an integer larger than one, he first subdivides [x0, X] into m equal subintervals, Since f(x) changes sign on [x0, X] it must f(x0), and a decreasing sequence { }X n l∞such that each f(Xn) has the same sign as f(X) Because Xn – xn = (X – x0)/ mn →0 as n→ ∞, he concludes that these two sequences converge to a common limit point a ∈ (x0, X) By continuity, f(xn) > 0 (say) for each n implies f(a)

= lim f(xn) ≥ 0, while f(Xn)<0 implies f(a) ≤ 0 It therefore follows that f(a) = 0, as desired This proof of the intermediate value theorem is the one that is perhaps most frequently found in modern textbooks

Ý tưởng chứng minh của Bolzano là dùng phương pháp phân đơi để sinh ra một dãy các đoạn thắt và như vậy chỉ ra sự tồn tại của x như giới hạn của các dãy số sao cho f(x) = b Bolzano sử dụng “ dãy Cauchy” với ý định cho dãy này hội tụ về một điểm Phương pháp này ngày nay chúng ta rất quen thuộc Ngồi ra phương pháp này cịn cho phép chỉ ra một phương pháp: “tính gần đúng giá trị x với độ chính xác mong muốn” mà sau này một số giáo trình đại học đã chỉ ra

Bolzano muốn tìm một chứng minh chỉ dựa vào số học, đại số hay giải tích một cách thuần túy Điều này kéo theo sự cần thiết phải cĩ một định nghĩa chính xác về khái niệm liên tục [ Boyer, 1949 p268]

Sự cơng thức hĩa chính xác, rõ ràng về khái niệm liên tục như ngày nay lần đầu tiên cho bởi Bolzano trong một quyển sách nhỏ kiểu lưu hành nội bộ Tựa đề

của quyển sách đã cho biết mục đích của nĩ: “Cách chứng minh hồn tồn giải tích

của định lý về sự tồn tại nghiệm của phương trình giữa hai giá trị làm cho biểu thức trái dấu” Như một bổ đề quan trọng, Bolzano khẳng định rằng nếu M là một tính

chất của số thực mà khơng đúng với mọi số thực x nhưng tồn tại một số thực u sao cho mọi x < u đều cĩ tính chất M thì tồn tại số thực U lớn nhất sao cho mọi số thực

x < U đều cĩ tính chất M Mặc dù ơng và sau này là Cauchy đã xác định được tính chất mà sau này ta biết là “ tiêu chuẩn hội tụ Cauchy” nhưng ơng cũng như Cauchy sau này khơng thể chứng minh đầy đủ vì sự thiếu của hệ thống đầy đủ các tính chất của số thực thời đĩ

Bolzano đề nghị bổ đề nĩi trên để chứng minh sự tổng quát hĩa của định lý

mà ơng đã nêu trong tiêu đề của tác phẩm của ơng:

Nếu f(x) và g(x) là các hàm số liên tục trên đoạn [a;b] mà f(a) < g(a) và f(b)>g(b) thì f x( ) =g x với x( ) là giá trị nào đó thuộc [a;b]

Chứng minh của Bolzano – Cauchy về định lý giá trị trung gian địi hỏi phải

cĩ “ tính chất của dãy đơn điệu bị chặn” trong tập số thực, đĩ là tính chất “ mỗi dãy đơn điệu và bị chặn đều hội tụ” Tính chất đĩ rất cần cho việc thiết lập tiêu chuẩn hội tụ Cauchy và nĩ cũng được thừa nhận một cách ngầm ẩn bởi Cauchy và Riemann trong chứng minh của họ về sự tồn tại tích phân với những giả thiết thích

hợp Mặc dù được sử dụng như thế nhưng nó vẫn chưa được chứng minh ngoại trừ

sự thừa nhận dựa trên các kiểm nghiệm hình học

Các nhà toán học đời trước mặc nhiên công nhận lý thuyết về định lý giá trị trung gian, và không cần tìm cách chứng minh Sự hiểu biết sâu sắc của Bolzano và Cauchy giúp xác định khái niệm chung về tính liên tục (xét về phương diện vi phân

trong trường hợp Cauchy, và dùng bất đẳng thức số thực trong trường hợp

Bolzano), và tìm ra cách chứng minh dựa trên các định nghĩa này

Kết luận:

Về mặt lịch sử toán học thì ý tưởng về giá trị trung gian xuất hiện trước định

lý Bolzano Trước đây, các nhà khoa học chấp nhận các kết quả chứng minh bằng:

“trực giác hình học” Augustin – Louis Cauchy cũng đã cho một chứng minh định

lý giá trị trung gian nhờ vào: “trực giác hình học” Bernard Bolzano đã không xem chứng minh: “hình học” của Cauchy về định lý này như là một chứng minh thật sự Bolzano đã chứng minh định lý chỉ dựa vào: “số học, đại số hay giải tích” một cách thuần túy Chứng minh này của Bolzano được thể hiện trong một quyển sách nhỏ

kiểu lưu hành nội bộ, tựa đề của quyển sách đã cho biết mục đích của nó: “Cách

chứng minh hoàn toàn giải tích của định lý về sự tồn tại nghiệm của phương trình giữa hai giá trị làm cho biểu thức trái dấu”

Cả Cauchy và Bolzano đều có động cơ muốn chính thức hóa việc: “phân tích hàm và công trình của Lagrange” Ngoài ra, Bolzano đã nói rõ định lý này xuất hiện với mục đích: “chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình”

Ý tưởng chứng minh của Bolzano: Ông dùng phương pháp phân đôi để sinh

ra một dãy các đoạn thắt và như vậy chỉ ra sự tồn tại của x như giới hạn của các dãy

số sao cho f(x) = y

Phương pháp này cho phép chỉ ra một phương pháp: “tính gần đúng giá trị x với độ chính xác mong muốn” mà sau này một số giáo trình đại học đã chỉ ra

1.2 Đặc trưng của định lý giá trị trung gian trong phạm vi toán ở bậc đại học

Ở đây chúng tôi chọn phân tích đồng thời hai giáo trình sau:

- Toán học cao cấp, tập 2: Giải tích, Nguyễn Đình Trí (2010), NXBGD (kí hiệu là [1])

- Phương pháp tính, Tạ Văn Đĩnh (2008), NXBGD (kí hiệu là [2])

Mục đích của việc lựa chọn hai giáo trình này là do việc trình bày các vấn đề liên quan đến định lý GTTG, phương pháp tìm nghiệm gần đúng bằng phương pháp phân đôi tương đối phong phú hơn các giáo trình khác.Việc phân tích hai giáo trình này cho phép ta làm rõ ứng dụng của định lý ở cấp độ đại học Điều này sẽ làm phong phú hơn cơ sở tham chiếu để chúng tôi thực hiện phân tích SGK phổ thông ở chương 2

1.2.1 Định lý giá trị trung gian trong giáo trình [1]

Trong giáo trình này, định lý GTTG được đề cập ở chương 3: giới hạn và sự liên tục của hàm số một biến số Từ khái niệm giới hạn chuyển sang khái niệm liên tục của hàm số một biến số và các tính chất cơ bản của hàm số liên tục và ứng dụng

để xây dụng thủ tục phân đôi, tìm nghiệm phương trình f(x) = 0

Định lý 3.7 (về giá trị trung gian) được cho ở trang 96 như sau:

Định lý 3.7 (về giá trị trung gian): Cho f(x) là một hàm số xác định, liên tục

trong một khoảng I: = ( )α β; ; cho a, b

đơn giản và thú vị Ta đã biết, đồ thị của

một hàm số liên tục là đường liền nét

(không đứt), định lý 3.7 nói rằng nếu đồ thị

nằm ở hai phía đối với trục hoành thì sẽ cắt trục hoành

Chứng minh định lý

“ Giả sử f(a).f(b) < 0 suy ra f(a) trái dấu với f(b) và để định ý, ta giả thiết f(a)<0 ( nếu f(a)>0 thì chỉ cần thay f bởi – f và vẫn dùng lập luận đó) và sẽ đi tìm điểm c sao cho f(c) = 0, là giới hạn chung của 2 dãy

Thật vậy, đầu tiên đặt c 0 = a và d 0 = b, khi đó theo giả thiết f(c 0 ) < 0 và f(d 0 ) > 0; đặt 0 0

0

:2

u = + ; nếu f(u 0 ) = 0 thì c = u 0 ; nếu f(u 0 ) < 0 thì đặt c 1 := u 0 ,

d 1 = d 0 ; nếu f(u 0 ) > 0 thì đặt c 1 := c 0 , d 1 = u 0 ; lại xét [c 1 , d 1 ] ta lại có f(c 1 ) f(d 1 )

< 0, do vậy tiếp tục đặt 0 0

0

:2

2

n

u = + Nếu f(u n ) = 0 thì hiển nhiên c =

u n và chính c là nghiệm của phương trình f(x) = 0 Nếu f(u n ) < 0 thì đặt c n+1 = u n

và d n+1 = d n ;

f(u n ) > 0 thì đặt c n+1 = c n và d n+1 = u n

Bây giờ ta giả sử quá trình trên không kết thúc (nếu không thì đã tìm được nghiệm

c rồi!)

Khi đó, ta có 2 dãy số {c n } và { d n }, dĩ nhiên 2 dãy đó hội tụ( xem định lý 1.4

chương I) và có chung giới hạn là c Vì f(c n ) < 0 nên theo giả thiết liên tục của f(x), limf(c n ) = f(limc n ) = f(c) ≤0, tương tự , lim f(d n ) = f( lim d n ) = f(c) ≥0, do đó f(c) = 0

 Thủ tục chọn các điểm u n ở trên được gọi là thủ tục phân đôi Người ta

thường dùng thủ tục này để giải phương trình f(x) = 0 khi biết khoảng chứa nghiệm

Định lý trên có một hệ quả hiển nhiên là

Hệ quả 3.1 Cho f(x) là một hàm số xác định, liên tục trong khoảng [a; b] Khi đó

f(x) lấy ít nhất một lần mọi giá trị nằm giữa f (a) đến f (b)

Chính vì nội dung của hệ quả này mà định lý trên mang tên định lý về các giá trị trung gian của hàm liên tục”

có nghiệm thuộc đoạn [a, b] mà có nghiệm trong khoảng (a, b)? Giáo trình chỉ nêu

ra định lý kèm theo minh họa hình học cho định lý nhưng không giải thích tường minh cũng không cho phản ví dụ để giải thích rõ những vấn đề trên Ta có thể cho một ví dụ để thấy rằng định lý chỉ đúng khi hàm số liên tục trên đoạn [a, b] như sau: Cho hàm số

1 x=1 neáu -3<x<1

có nghiệm trên đoạn [a, b] vì nếu c là nghiệm phương trình nghĩa là f(c) = 0 theo giả thuyết f(a).f(b) < 0 nên f a ≠( ) 0 và f b ≠( ) 0 ⇒c ≠a và c ≠b Vậy c∈ ( , )a b

Về mặt lịch sử toán học thì ý tưởng về GTTG của Bolzano xuất hiện dưới dạng

hệ quả 3.1 và như vậy trước định lý 3.7 ( mang tên Bolzano) Ta có thể xem hệ quả

là trường hợp riêng của định lý, nhưng về phương diện toán học chúng hoàn toàn tương đương nhau

Chứng minh của định lý cho phép chỉ ra kỹ thuật tìm nghiệm gần đúng của phương trình Định lý ngoài chứng minh còn kèm lời giải thích bằng trực giác hình học Ngoài ra định lý này còn đóng vai trò công nghệ cho kỹ thuật chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình khi biết khoảng chứa nghiệm

Tiếp theo sau chương 3: giới hạn và sự liên tục của hàm số một biến số là chương 4: đạo hàm và vi phân của hàm số một biến số Trong chương này các phép tính đạo hàm, tính khả vi của hàm số đã được nói đến rất nhiều Xét một khía cạnh ứng dụng, xét khả năng tồn tại một giá trị trung gian của một hàm số trong một khoảng nào đó và đi đến một số định lý thường có tên gọi là các định lý về giá trị trung bình của hàm số ( định lý Fermat, định lý Rolle, định lý Lagrange, ) điểm đặc biệt của định lý này là phát biểu rất tự nhiên, ý nghĩa hình học càng tự nhiên hơn, cách chứng minh cũng đơn giản nhưng phạm vi ứng dụng lại rất rộng rãi và đa dạng Ứng dụng của các định lý về giá trị trung bình như: khử dạng vô định, khảo sát sự biến thiên của hàm số, hàm số lồi, đường cong cho dưới dạng tham số, giải phương trình f(x) = 0 theo phương pháp Newton hay còn gọi là phương pháp tiếp tuyến Từ đây cho ta thấy rằng định lý GTTG không tồn tại một mình mà nó có những ứng dụng chung với các định lý khác

 Tổ chức toán học gắn liền với định lý GTTG có mặt trong [1]

 Kiểu nhiệm vụ T: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 0 trong

khoảng [a; b] với độ chính xác cho trước

- Với kiểu nhiệm vụ này trong giáo trình [1] đã trình bày hai trường hợp:

♦ Trường hợp 1: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 0

trong khoảng [a; b] khi không yêu cầu độ chính xác

Chẳng hạn, ví dụ trang 97:

“Tìm một nghiệm trong khoảng [ 1 ; 2] của phương trình bậc ba:

x3 - x - 1 =0

Ta nhận thấy f(1) = -1 < 0 , f(2) = 5 > 0,

0 0 1

31

Nhận xét : tuy giáo trình đại học này không làm rõ, nhưng ta có thể suy ra

rằng mọi giá trị ξ nằm trong khoảng 21 43,

♦ Trường hợp 2: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 0

trong khoảng [a; b] có yêu cầu độ chính xác

Ví dụ (bt 15 trang 37): Tìm nghiệm dương của phương trình 1,8x2−sin10x=0 với sai số tuyệt đối không vượt quá 10-5

Giải Xét hàm số f(x) = 1,8x2−sin10xvà tính : f(0,69) < 0 ; f(0,7) > 0, do đó nghiệm của phương trình f(x) = 0 nằm trong khoảng [ 0,69 ; 0,7]

- Xuất phát từ khoảng (a, b) trên tính gần đúng nghiệm thực của phương trình đạt

độ chính xác yêu cầu bằng phương pháp phân đôi

Công nghệ: định lý giá trị trung gian, hệ quả

 Kết luận

- Trong giáo trình [a] tồn tại duy nhất kiểu nhiệm vụ T : “ tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 0 trong khoảng (a;b) với độ chính xác cho trước” Ngoài ra giáo trình này trình bày hai trường hợp: trường hợp 1 khi không yêu cầu độ chính xác thì độ chính xác ngầm ẩn là b – a; trường hợp 2 có yêu cầu

về độ chính xác thì độ chính xác nhỏ hơn b – a

- Trong thực hành ta không thể thực hiện phương pháp chia đôi vô hạn lần để nhận được nghiệm đúng của phương trình mà chỉ có thể áp dụng n lần phương pháp chia đôi ( với n là một số nguyên dương, hữu hạn) Ưu điểm của phương pháp phân đôi là đơn giản, dễ lập chương trình chạy trên máy tính vì mỗi lần

áp dụng phương pháp chia đôi, ta chi phải tính một lần giá trị của hàm số tại điểm giữa của khoảng Nhược điểm của phương pháp là tốc độ hội tụ chậm

- Trong giáo trình [a] chỉ đưa ra duy nhất 1 ví dụ và 1 bài tập trong đó thể hiện các đặc trưng sau:

+ Phương trình luôn cho ở dạng f(x) = 0 trong đó f(x) là một hàm đại số hoặc siêu việt bất kỳ, f(x) xác định với mọi x ∈  và liên tục trên , đa thức có liên quan có bậc hạn chế không vượt quá bậc 3 và không thể phân tích thành tích của các đa thức bằng các phép biến đổi đại số đơn giản, và như vậy không thể giải được bằng các biến đổi đại số thông thường

+ Để làm rõ hơn đặc trưng của kiểu nhiệm vụ này, chúng tôi cũng đã thử giải phương trình bằng máy tính bỏ túi CASIO fx – 500 MS Chúng tôi nhận thấy phương trình có nghiệm không nguyên, nằm rất gần 0, không vượt qua đoạn [-1; 2] Cặp số c, d thỏa f(c).f(d) < 0 không nhất thiết là số nguyên, ta có thể tìm bằng cách thử các giá trị bất kì trong khoảng [a; b] Khoảng [a; b] dù có độ dài rất lớn hay rất nhỏ chẳng hạn như từ (0; + ∞) hay [1 ;2 ] thì ta cũng chỉ thử các giá trị ở rất gần 0 Lời giải mong đợi của thể chế là dùng phương pháp phân đôi để thu hẹp dần khoảng

chứa nghiệm của phương trình rồi từ đó chỉ ra nghiệm gần đúng của phương trình với sai sốε mong muốn

- Trong giáo trình [a] không đề cập kiểu nhiệm vụ dùng máy tính bỏ túi để tìm nghiệm gần đúng của phương trình, mặc dù phương trình đã cho có thể giải bằng máy tính bỏ túi (ví dụ trang 97) Cũng không đề cập đến kiểu nhiệm vụ dùng bảng biến thiên hay dùng đồ thị tìm nghiệm gần đúng của phương trình trên khoảng [a; b] hoặc chứng minh phương trình luôn có nghiệm, luôn có nghiệm trên khoảng [a; b] hoặc có m nghiệm Cả ví dụ và bài tập đều có thể dùng bảng biến thiên hay đồ thị để tìm nghiệm gần đúng.Ta có thể dùng chương trình grap

vẽ đồ thị các hàm số và có thể xác định giá trị gần đúng nghiệm phương trình Cụ thể như sau:

Hình 1(ví dụ, trang 57)

f(x)=x^3-x-1

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

x y

f(x)=1.8x^2-sin(10x)

-3 -2 -1

1 2 3 4 5 6

x y

Hình 2 ( bài tập 15,trang 37)

1.2.2 Định lý giá trị trung gian trong giáo trình [2]

Trong giáo trình này, định lý GTTG được đề cập ở chương 2: Tính gần đúng nghiệm thực của một phương trình

Tựa đề của chương đã nói rất rõ mục tiêu của chương: Tính gần đúng nghiệm thực của một phương trình

Định lý GTTG được đề cập trong mục 3 của bài 1: sự tồn tại nghiệm thực của phương trình f(x) = 0 Trong giáo trình đề cập đến hai phương pháp để xem nghiệm thực ấy có tồn tại hay không trước khi tính nghiệm gần đúng của phương trình Đó là: “phương pháp dùng đồ thị hoặc dùng định lý GTTG”

Định lý 2.1: (Trích GT [b], trang 21)

Nếu có hai số thực a và b ( a< b) sao cho f(a) và f(b) trái dấu tức là f(a).f(b)

< 0 đồng thời f(x) liên tục trên [a ; b] thì ở trong khoảng [ a; b] có ít nhất một nghiệm thực của phương trình f(x) = 0

Hình 2 -3

Điều đó có thể minh họa trên đồ thị ( hình 2 – 3) Đồ thị của hàm số y = f(x) tại

a x b≤ ≤ là một đường liền nối hai điểm A và B, A ở dưới, B ở trên trục hoành tại ít

nhất một điểm ở trong khoảng từ a đến b Vậy phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm ở trong khoảng [a; b]

Trong giáo trình [2] định lý này không được chứng minh mà chỉ có minh họa trên đồ thị.Giáo trình [2] nêu rất rõ mục đích của Định lý dùng để chứng minh tồn tại nghiệm của phương trình.Theo sau định lý, trong giáo trình [2] còn nêu khoảng phân li nghiệm (còn gọi là khoảng cách li nghiệm hay khoảng tách nghiệm)

Định nghĩa 2.1 – Khoảng [a ; b] nào đó gọi là khoảng phân li nghiệm của

phương trình nếu nó chứa một và chỉ một nghiệm của phương trình đó

Để tìm khoảng phân li nghiệm ta có định lí:

Định lí 2.2- Nếu [a ; b] là một khoảng trong đó hàm số f(x) liên tục và đơn

điệu, đồng thời f(a) và f(b) trái dấu thì [a ; b] là một khoảng phân li nghiệm của phương trình

Điều này có thể minh họa bằng đồ thị

Đồ thị của hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại một và chỉ một điểm ở trong [a

;b] Vậy [a ; b] chứa một và chỉ một nghiệm của phương trình f(x) = 0

Nếu f(x) có đạo hàm thì điều kiện đơn điệu có thể thay bằng điều kiện không đổi dấu của đạo hàm vì đạo hàm không đổi dấu thì hàm số đơn điệu Ta có:

Định lí 2.3 – Nếu [a; b] là một khoảng trong đó hàm f(x) liên tục, đạo hàm

f ’ (x) không đổi dấu và f(a), f(b) trái dấu thì [a ; b] là một khoảng phân li nghiệm của phương trình

Muốn tìm khoảng phân li nghiệm của phương trình f(x) = 0 thường người ta nghiên cứu sự biến thiên của hàm số y = f(x) rồi áp dụng định lí 2.3

(Trích GT [2], trang 23-24)

Giáo trình [2] đã chỉ ra phương pháp tìm khoảng phân li nghiệm bằng bảng biến thiên Ngoài ra từ bảng biến thiên cũng giúp chỉ ra phương trình có tồn tại nghiệm thực hay không, nếu có thì có bao nhiêu nghiệm thực vì tương ứng với một khoảng phân li nghiệm là 1 nghiệm của phương trình

Phương pháp phân đôi trong giáo trình [2] được mô tả giống như chứng minh định lí 3.7 trong giáo trình [1] nhưng với giả thuyết nó có nghiệm thực α đã phân li ở trong khoảng [a; b] Lấy một x∈ [ ; ]a b làm giá trị gần đúng choα thì sai số tuyệt đối α α− < −b a Để có sai số nhỏ ta tìm cách thu nhỏ dần khoảng phân li nghiệm bằng cách chia đôi liên tiếp các khoảng phân li nghiệm đã tìm được

Giống như giáo trình [1] giáo trình [2] không cho phản ví dụ cũng không giải thích tường minh: tại sao hàm số liên tục trên đoạn [a, b] nhưng lại có nghiệm thuộc khoảng (a, b)? liên tục khoảng (a, b) có đủ không ? Tại sao nó không có nghiệm thuộc đoạn [a, b] mà có nghiệm trong khoảng (a, b)?

Tổ chức toán học gắn liền với định lý GTTG có mặt trong [2]

Trong giáo trình [2] xuất hiện các kiểu nhiệm vụ

 K iểu nhiệm vụ T: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 0 trong

[a; b] với sai số tuyệt đối không vượt quáε

Kiểu nhiệm vụ này có kiểu nhiệm vụ con t: “Chứng minh phương trình f(x) = 0

có nghiệm thực”

Chẳng hạn, ví dụ trang 24:

“ Cho phương trình f(x) = x3

- x - 1 = 0 (2.9) Hãy chứng tỏ phương trình này

có nghiệm thực và tìm khoảng phân li nghiệm”

Giải Trước hết ta xét sự biến thiên của hàm số f(x) Nó xác định và liên tục tại mọi x,

Vậy đồ thị ( hình 1, trong giáo trình [1] ) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất, do

đó phương trình có một nghiệm thực duy nhất, kí hiệu nó là α

- Lập bảng biến thiên của hàm số

- Xác định khoảng phân li nghiệm (a; b)

- Xuất phát từ khoảng (a, b) trên tính gần đúng nghiệm thực của phương trình đạt độ chính xác yêu cầu bằng phương pháp phân đôi

- Trong giáo trình [2] cũng chỉ cho duy nhất 2 ví dụ nhưng phương trình chính

là phương trình trong ví dụ trang 57 của giáo trình [1] Nhưng trong giáo trình [1] yêu cầu tìm nghiệm gần đúng còn trong giáo trình [2] lại yêu cầu chứng minh tồn tại nghiệm phương trình và tìm nghiệm gần đúng với sai số

ε

- Trong giáo trình [2] việc chọn khoảng để xét được dựa vào bảng biến thiên chứ không phải chọn ngẫu nhiên như trong giáo trình [1] Phương pháp dùng bảng biến thiên này hoàn toàn không được đề cập đến trong giáo trình [1] Trong giáo trình [1] không định nghĩa khoảng phân li nghiệm nhưng khoảng

đề bài yêu cầu tìm nghiệm gần đúng đều là khoảng phân li nghiệm Đặc biệt

là cả hai giáo trình đều không nói đến phương pháp hình học để tìm khoảng phân ly nghiệm Hình vẽ chỉ là công cụ để giải thích hay minh họa cho bài giải Cả hai giáo trình đều ưu tiên cho phương pháp giải tích trong tìm khoảng phân ly nghiệm

- Trong cả hai giáo trình đều xuất hiện kiểu nhiệm vụ T: “Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 0 với sai số cho trước” Cũng giống như giáo trình [1], giáo trình [2] không đề cặp đến kiểu nhiệm vụ dùng máy tính bỏ túi để tìm nghiệm gần đúng của phương trình Nhưng khác với giáo trình [1] là giáo trình [2] lại xuất hiện kiểu nhiệm vụ con của nhiệm vụ T là t: “Chứng minh tồn tại nghiệm phương trình” với kỹ thuật giải có thể dùng đồ thị hoặc bằng định lý GTTG trong khi giáo trình [1] hoàn toàn vắng bóng kiểu nhiệm vụ này

3 Kết luận

 Trong chương I, chúng tôi đã tìm hiểu một vài nét lịch sử liên quan đến định lý giá trị trung gian, cách trình bày định lý này trong các giáo trình Toán

ở bậc đại học Sau đây là một số kết quả chính của phân tích trong chương I

 Về mặt lịch sử toán học ý tưởng về GTTG của Bolzano xuất hiện dưới dạng

hệ quả và như vậy xuất hiện trước ( mang tên Bolzano) Ta có thể xem hệ quả là trường hợp riêng của định lý nhưng về phương diện toán học chúng lại

hoàn toàn tương đương với nhau Định lý này xuất hiện với mục đích chứng minh tồn tại nghiệm phương trình giữa hai giá trị làm cho biểu thức trái dấu Ngoài ra, Phương pháp chứng minh định lý này của Bolzano đã chỉ ra một phương pháp: “ tính gần đúng giá trị x với độ chính xác mong muốn”

 Định lý này trong giáo trình đại học chỉ ra thuật toán ( yếu tố lý thuyết) với hai vai trò chính là tìm nghiệm gần đúng của phương trình và chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình Vấn đề tính gần đúng nghiệm phương trình bằng phương pháp chia đôi mà phương pháp này là đơn giản,

dễ lập chương trình chạy trên máy tính vì mỗi lần áp dụng phương pháp chia đôi, ta chỉ phải tính một lần giá trị của hàm số tại điểm giữa của khoảng, tốc

độ hội tụ chậm Phải chăng đây là lý do sách giáo khoa 11 đã loại bỏ việc tính gần đúng nghiệm thực của phương trình bằng phương pháp phân đôi ra khỏi chương trình học chính thức mà chỉ giới thiệu trong bài đọc thêm cho học sinh tham khảo sau khi đã học xong định lý

 Định lý GTTG không tồn tại một mình mà nó có ứng dụng chung với định

lý giá trị trung bình ( định lý Lagrange, định lý Rolle, ) làm nên những ứng dụng khác rất đa dạng và rộng rãi

 Qua phân tích giáo trình đại học đã mô hình được kiểu nhiệm vụ chính đó là T: “Tìm nghiệm gần đúng của phương trình trong [a; b] với sai số cho trước”

và kiểu nhiệm vụ con của T: “chứng minh tồn tại nghiệm của phương trình f(x) = 0”

Điểm tinh tế của định lý là hàm số liên tục trên đoạn [a, b] nhưng lại có

nghiệm thuộc khoảng (a, b) Tại sao nó phải liên tục trên đoạn [a;b] ? Liên tục trên khoảng (a;b) có đủ không ? Tại sao nó không có nghiệm thuộc đoạn [a;b]?

 Tuy nhiên tất cả các giáo trình mà chúng tôi tham khảo (kể cả hai giáo trình trên) đều không giải thích tường minh hay cho phản ví dụ về vấn đề này Chúng tôi chỉ tìm thấy một giáo trình đại học đề cập đến điều kiện liên tục trên đoạn của định lý trong một chú ý như sau: “nếu chỉ giả thuyết hàm số f

liên tục trong khoảng (a, b) thì các định lí 2, 3, 4, 5 không còn đúng nữa”

([3], trang 138) Những điểm vừa nêu có thể là nguyên nhân dẫn đến một số kết quả khiếm khuyết về mối quan hệ cá nhân với khái niệm liên tục liên quan đến định lý Nó gây ra do các giáo trình không hề giải thích hay đưa ra những phản ví dụ về vấn đề này

Chương 2: ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG GIAN

Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC GIẢNG DẠY

Mục tiêu của chương

Chương này nhằm mục đích làm rõ:

- Các đặc trưng của mối quan hệ thể chế với định lý giá trị trung gian cũng như vai trò, ví trí và chức năng của định lý trong thể chế dạy học toán ở trường THPT Việt nam?

- Những điều kiện và ràng buộc của thể chế đối với định lý Những khoảng cách nào từ mối quan hệ thể chế đối với định lý so với cấp độ tri thức khoa học do chuyển đổi didactic gây ra?

- Các quy tắc hợp đồng didactic được hình thành giữa GV và HS liên quan đến định lý này?

Để đạt được mục tiêu này trên chúng tôi tiến hành phân tích mối quan hệ thể chế với đối tượng ĐLGTTG – một đối tượng tri thức hiện diện trong dạy và học toán ở trường THPT Thể chế mà chúng tôi quan tâm là việc dạy học toán theo chương trình và SGK hiện hành Bằng cách phân tích chương trình và sách giáo khoa Toán phổ thông của Việt Nam và các tài liệu hướng dẫn giáo viên Chúng tôi

cố gắng tìm hiểu sự lựa chọn của thể chế cũng như sự chuyển đổi didactic ở đối tượng này

Những kết quả đạt được của chương I sẽ hình thành nên cơ sở tham chiếu đầu tiên cho phân tích ở chương 2 Vì thế, chúng tôi tiến hành phân tích SGK, SBT, SGV của cả 2 chương trình nâng cao, cơ bản của lớp 11 và lớp 12

2.1 SGK Đại số và Giải tích 11 nâng cao

* Phần bài học: (vị trí giáo viên)

Sau khi nêu định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn và định lý 1, sách giáo khoa tiếp tục nêu tính chất liên tục của hàm số liên tục Ở đây SGK đưa ra định lý 2 (định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục) và hệ quả của nó

“ Định lý 2: Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a ; b] Nếu f a( ) ≠ f b( ) thì với mỗi số thực M nằm giữa f(a) và f(b), tồn tại ít nhất một điểm c ∈(a; b) sao cho f(c) = M”

Định lý này không được chứng minh Theo giải thích của các tác giả SGK là

“Phép chứng minh định lý trên vượt ra ngoài phạm vi chương trình THPT ( Tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán 11, trang 75)

Tuy nhiên, yếu tố công nghệ giải thích cho định lý này lại hiện diện dưới dạng minh họa hình học (SGK, trang 171) Nội dung định lý 2 được giải thích như sau:

“Ý nghĩa hình học của định lý: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] và M là một

số thực nằm giữa f(a) và f(b) thì đường thẳng y = M cắt đồ thị của hàm số y = f(x) ít nhất tại một điểm có hoành độ c ∈ (a; b) (h 4.15)

- Giải thích này không được noosphère xem như một chứng minh

Hệ quả của định lý 2

“Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm

( ; )

c∈ a b sao cho f(c) = 0”

Ý nghĩa hình học của hệ quả: “Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) <

0 thì đồ thị của hàm số y = f(x) cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ

( ; )

c∈ a b ”.( hình 4.16)

Ví dụ 4 ( SGK, trang 171) Cho hàm số P(x) = x3 + x -1

Áp dụng hệ quả chứng minh rằng phương trình P(x) =0 có ít nhất một nghiệm

dương nhỏ hơn 1

Hàm số P liên tục trên đoạn [0 ;1 ], P(0) = -1 và P(1) = 1

Vì P(0).P(1) < 0 nên theo hệ quả, tồn tại ít nhất một điểm c ∈(0;1) sao cho P(c) =

- Hệ quả này chính là yếu tố công nghệ giải thích cho kỹ thuật của kiểu nhiệm vụ: “chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình” mà ta sẽ phân tích trong phần sau

- Thuật ngữ “hệ quả” làm ta nghĩ rằng định lý 2 đóng vai trò là một lý thuyết, nghĩa là công nghệ của hệ quả này Tuy nhiên, theo trình bày của SGK thì hệ quả này cũng không được chứng minh, mà tương tự như đối với định lý 2, nó được giải thích bằng trực giác hình học thể hiện trong hình 4.16

Trong lịch sử, từ thế kỷ 17 và 18, khái niệm liên tục xuất hiện trước hết trên phương diện trực giác hình học và có tính tổng thể Mãi đến thế kỷ 19, những định nghĩa đầu tiên về hàm số liên tục mới xuất hiện và nó bắt đầu được tiếp cận trên

phương diện số và có tính địa phương “địa phương” theo nghĩa người ta xem xét tính liên tục tại một điểm xác định Xét về mặt lịch sử, tính chất giá trị trung gian đã được nêu qua định nghĩa về tính liên tục của các hàm giá trị thực trước khi định nghĩa hàm liên tục được chập nhận Định lý này được phát biểu dựa trên tính hoàn chỉnh của số thực Định lý này không đúng đối với số hữu tỉ Q Ví dụ, hàm f(x) = x2 − 2

với x ∈ Q thỏa mãn điều kiện f(0) = −2 và f(2) = 2 Tuy nhiên, không có số hữu tỉ x nào

sao cho f(x) = 0, vì √2 là số vô tỉ Điều này đã không được SGK giải thích

- Định lý giá trị trung gian, hệ quả được SGK trình bày theo cách tiếp cận địa phương trên phương diện hình học Về mặt sư phạm, tiếp cận tổng thể về phương diện hình học thường dễ dàng hơn đối với học sinh Tiếp cận địa phương trên phương diện số cho phép trình bày khái niệm một cách chính xác về mặt toán học nhưng thiếu trực quan

- Từ trước đến nay, SGK của chúng ta luôn trình bày định lý GTTG sau:

 - Trong lịch sử toán học ý tưởng về GTTG của Bolzano xuất hiện dưới dạng

hệ quả và như vậy xuất hiện trước (mang tên Bolzano) Hệ quả là trường hợp riêng của định lý nhưng về phương diện toán học chúng lại hoàn toàn tương đương với nhau SGK trình bày định lý theo logic lịch sử toán học và hoàn toàn trái ngược với giáo trình đại học (nghĩa là định lý chính là hệ quả và hệ quả chính là định lý được trình bài trong giáo trình đại học) Cũng giống như

Nhận xét về đồ thị hàm số trên một khoảng

Minh họa hình học định lý giá trị trung gian

giáo trình ở bậc đại học định lý này xuất hiện với mục đích chứng minh tồn tại nghiệm phương trình giữa hai giá trị làm cho biểu thức trái dấu

Câu hỏi đặt ra là: Định lý giá trị trung gian được trình bày trong SGK như thế có làm mất đi ý nghĩa của nó không?

-Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a ; b], theo định lý của giá trị trung gian, một hàm số liên tục sẽ nhận tất cả các giá trị giữa f(a) và f(b) Nếu ta chọn bất kỳ giá trị nào, M, mà nằm giữa giá trị của f(a) và f(b) và vẽ một đường thẳng y = M, đường

kẽ này sẽ chạm vào đồ thị tại ít nhất một điểm Nói cách khác, ở một nơi nào đó giữa a và b, hàm số sẽ nhận giá trị của M Điều quan trọng để lưu ý rằng học thuyết giá trị trung gian chỉ ra rằng hàm số sẽ nhận giá trị M ở một nơi nào đó giữa a và b nhưng nó không cho biết cụ thể giá trị đó là giá trị nào Nó chỉ nói rằng giá trị đó

tồn tại trong khoảng (a; b) Chẳng hạn, cho hàm f liên tục trên đoạn [1, 2], nếu f(1)

= 3 và f(2) = 5 thì hàm f phải cho ra giá trị 4 đâu đó giữa 1 và 2

- Tiếp theo, SGK đưa vào một số ví dụ áp dụng nhằm giúp HS vận dụng định

lý và hệ quả để giải quyết các bài tập Qua ví dụ và H4 cho ta thấy rằng vấn đề tìm

nghiệm gần đúng của phương trình không được quan tâm đến mà chỉ quan tâm đến vấn đề chứng minh tồn tại nghiệm của phương trình SGV cũng nêu rõ mục đích, yêu cầu là: “HS hiểu và biết áp dụng định lý và hệ quả của nó để chứng minh sự tồn tại nghiệm của một số phương trình đơn giản” Cụ thể trong ví dụ này ta chỉ cần chứng minh là tồn tại số c là nghiệm thực của phương trình trong khoảng ( 0 ;1) chứ không cần biết cụ thể c có thể nhận giá trị là bao nhiêu Mặt khác, vấn đề tính gần đúng nghiệm của phương trình cũng hoàn toàn không được đặt ra chính thức trong SGK và SBT mà chỉ được đưa vào SGK dưới hình thức là bài đọc thêm cũng giống như SGK Đại số và Giải tích 11 CB Điều này cho thấy thể chế không quan tâm đến vấn đề tính gần đúng nghiệm của phương trình

- Tựa đề Bài đọc thêm “Tính gần đúng nghiệm phương trình bằng phương pháp phân đôi” Ngay từ tựa bài đã cho ta kỹ thuật tìm nghiệm gần đúng phương trình bằng phương pháp phân đôi khoảng chứa nghiệm phương trình Trong bài đọc

thêm định lý GTTG xuất hiện trong hai kiểu nhiệm vụ

T: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 0 trong khoảng [a; b] với độ chính xác cho trước

T2 : Tìm giá trị gần đúng của một số với sai số ε

Ví dụ 2 ( bài đọc thêm, sgk, trang 174): “Tính gần đúng giá trị của 2 với sai số 10-3

”

- SGK đã lựa chọn hình vẽ minh họa hình học cho định lý và hệ quả điều cho thấy rằng nếu hàm số liên tục trên khoảng thì định lý vẫn đúng Điều này có thể làm cho học sinh không hiểu không hiểu được tại sao hàm số cần phải liên tục trên đoạn chứ không phải trên khoảng

- SGK, SGV đã không đưa ra các hoạt động cũng không giải thích hayđưa ra những phản ví dụ nào giúp học sinh tìm hiểu điểm tinh tế của định lý là: hàm số liên tục trên đoạn [a;b] nhưng lại có nghiệm thuộc khoảng (a;b) Tại sao nó phải liên tục trên đoạn [a;b]? Liên tục trên khoảng (a;b) có đủ không ? Tại sao nó không có nghiệm thuộc đoạn [a; b]?

- Từ phân tích trên câu hỏi đặt ra là: “Theo cách trình bày của SGK liệu học sinh có thể hiểu được: tại sao hàm số cần phải liên tục trên đoạn chứ không phải trên khoảng không? Tại sao hàm số liên tục trên đoạn [a, b] nhưng lại có nghiệm thuộc khoảng (a, b) Tại sao nó phải liên tục trên đoạn [a;b] ? Liên tục trên khoảng (a;b) có đủ không ? Tại sao nó không có nghiệm thuộc đoạn [a; b]? hay Hs chỉ biết áp dụng định lý một cách máy móc định lý để chứng minh tồn tại nghiệm phương trình”

- Ngoài ra SGK chỉ cho HS thấy được rằng trong toán học định lý và hệ quả này là dùng chứng minh tồn tại nghiệm phương trình nhưng không cho HS thấy được ứng dụng của định lý trong đời sống Chẳng hạn, Định lý này ngụ ý rằng với bất kỳ vòng tròn lớn nào trên thế giới, bất kỳ nhiệt độ, áp suất, cao độ, nồng độ khí CO2nào, hoặc bất kỳ lượng giá trị tương tự nào biến đổi liên tục, ta cũng luôn luôn

có hai điểm đối xứng xuyên tâmcó cùng giá trị ứng với biến đó

- Khi đề cập đến các tính chất của hàm liên tục trên đoạn, hầu hết các SGK toán ở cấp THPT đều giới thiệu định lý Bolzano_ Cosi( Bolzano_ Cauchy) tức là

định lý giá trị trung gian của hàm số liên tục Một số ít SGK còn giới thiệu thêm định lý một định lý quan trọng nữa, đó là định lý Vayơxtrat(Weierstrass): Nếu hàm

số f liên tục trên đoạn [a;b] thì:

a) Hàm số bị chặn trên đoạn [a;b]

b) Hàm số đạt được GTLN và GTNN trên đoạn này

- Sách chỉnh lý hợp nhất đã giới thiệu cả 2 định lý, đã nêu và gộp chúng trong định lý 3 (trang 135) Hệ quả của định lý 3 ở trang 136 của SGK chỉnh lý hợp nhất thật ra chỉ là hệ quả của định lý giá trị trung gian của hàm số liên tục SGK này đã không đề cập đến định lý Vayơtrat Lý do đơn giản các hàm số liên tục hay gặp thường có đạo hàm trên 1 khoảng, có thể trừ ra một số hữu hạn điểm, lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng hoặc đoạn được xét có thể tìm đựơc GTLN, GTNN

(nếu có) của hàm số trên khoảng đoạn đó

T1: Chứng minh tồn tại nghiệm phương trình f(x) = 0

Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy kiểu nhiệm vụ T không được đề cập chính

thức trong SGK, SBT mà chỉ được đưa vào trong bài đọc thêm Ngoài ra, kiểu

nhiệm vụ T1 không xuất hiện tường minh trong SGK Đại số & Giải tích 11 NC

Dấu vết của T1 được thể hiện qua các kiểu nhiệm vụ T ’ 11, T ’ 12

Dạng f(x) Phân

tích thành tích

Số

m

khoảng được yêu cầu

Khoảng (c;d) thỏa f(c).f(d)<0

Giá trị gần đúng của nghiệm, tính bằng MTBT

Ví trí bài toán

x2cosx+xsinx+1

Không thể

1 (0;π ) (0;π ) Không tính được Bài tập

SGK

X2=0,341163901

Luyện tập

+ Phương trình luôn có dạng f(x) = 0 (1)trong đó f(x) là một biểu thức giải tích Chỉ

có trường hợp duy nhất là hàm số cho ở dạng f(x) = g(x)(2) Nhưng những phương trình cho ở dạng (2) đều có thể chuyển về giống dạng (1) là h(x) = f(x) – g(x) để áp dụng định lý 3 để giải

+ Biểu thức f(x) ở vế trái là các biểu thức lượng giác hay đa thức, xác định với mọi x thuộc R.Liên tục trên tập xác định R

+ Tất cả các đa thức có liên quan đều có bậc hạn chế đến 4 và không thể phân tích