nghiên cứu didactic về khái niệm cực trị của hàm số trong dạy học toán ở lớp 12

Trong khi đó hàm số Từ những ghi nhận ban đầu này, chúng tôi đã đặt ra câu hỏi xuất phát: - Sách giáo khoa giải quyết ra sao khi tìm cực trị của hàm số không liên tục và học sinh có nhữn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Phan Quang Thắng

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Phan Quang Thắng

Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

PGS.TS LÊ THỊ HOÀI CHÂU

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất, sâu sắc nhất đến các Thầy, Cô Khoa Toán – Tin, lãnh đạo và các chuyên viên Phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã giúp tôi hoàn thành chương trình học và luận văn này

Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Lê Thị Hoài Châu Luận văn này sẽ không thể hoàn thành nếu không có sự hướng dẫn tận tình của Cô Tôi cũng xin trân trọng cám ơn:

- PGS.TS Annie Bessot, TS Alain Birebent đã bỏ công từ Pháp sang Việt Nam

để góp ý hướng nghiên cứu đề tài và giải đáp những thắc mắc trong nghiên cứu Didactic Toán cho chúng tôi

- Ban giám hiệu và các đồng nghiệp tại Trường THPT Thủ Thiêm đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian học tập và thực hiện luận văn này

- Các thành viên trong lớp Didactic Toán khóa 19 đã giúp đỡ tôi trong suốt khóa học

Và cuối cùng là vợ tôi, nếu không có em bên anh thì anh không thể hoàn thành luận văn này Cảm ơn em!

Phan Quang Thắng

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

SGV : Sách giáo viên

SGKC : Sách giáo khoa chuẩn 12

SGKNC : Sách giáo khoa nâng cao 12

GTLN : Giá trị lớn nhất

GTNN : Giá trị nhỏ nhất

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài và những câu hỏi ban đầu: 1

2 Phạm vi lý thuyết tham chiếu: 2

2.1 Lý thuyết nhân chủng học: 2

2.2 Hợp đồng didactic: 4

3.Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu - mục đích nghiên cứu: 6

4 Phương pháp nghiên cứu: 6

5 Cấu trúc của luận văn: 6

Chương 1 8

KHÁI NIỆM CỰC TRỊ Ở BẬC ĐẠI HỌC 8

1.1 Khái niệm cực trị của hàm một biến: 8

1.2 Thuật toán tìm cực trị của hàm một biến: 10

1.3 Các tổ chức toán học có liên quan: 14

1.4 Kết luận của chương 1: 16

Chương 2 17

QUAN HỆ THỂ CHẾ 17

VỚI KHÁI NIỆM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 17

2.1 Khái niệm cực trị của hàm số trong chương trình toán lớp 12 hiện hành: 17

2.2 Đối tượng cực trị của hàm số trong sách giáo khoa chuẩn: 19

2.2.1 Khái niệm cực trị của hàm số: 19

2.2.2 Thuật toán tìm cực trị của hàm số: 22

2.2.3 Các tổ chức toán học: 28

2.2.4 Lớp các hàm số liên quan đến đối tượng cực trị của hàm số được xem xét: 35

2.3 Đối tượng cực trị của hàm số trong sách giáo khoa nâng cao: 36

2.3.1.Khái niệm cực trị của hàm số: 37

2.3.2 Thuật toán tìm cực trị của hàm số: 38

2.3.3 Các tổ chức toán học: 44

2.3.4 Lớp các hàm số liên quan đến đối tượng cực trị của hàm số được xem xét: 47

2.4 Kết luận của chương 2: 48

Chương 3 50

NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 50

3.1 Thăm dò ý kiến của giáo viên: 50

3.1.1 Phân tích a priori: 51

3.1.2 Phân tích a posteriori : 52

3.2 Thực nghiệm dành cho học sinh: 55

3.2.1 Nội dung các bài toán thực nghiệm: 55

3.2.2 Phân tích a priori : 58

3.2.2 Phân tích a posteriori : 64

KẾT LUẬN CHUNG 71

TÀI LIỆU THAM KHẢO 72

PHỤ LỤC 73

Phụ lục 1: Phiếu xin ý kiến của giáo viên 73

Phụ lục 2: Bài toán thực nghiệm học sinh 74

M Ở ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài và những câu hỏi ban đầu:

Khi nghiên cứu khái niệm cực trị của hàm số được trình bày trong sách giáo khoa nâng cao 12 (SGKNC), chúng tơi thấy SGKNC đã đưa ra bài tốn tìm cực trị của hàm số f x( )= x Để tìm cực trị của hàm số này, SGKNC đã trình bày như sau: Hàm số đã cho xác định và liên tục trên R

1 với 0

x

f x

x ( Hàm số f khơng cĩ đạo hàm tại x = ) 0

Sau đây là bảng biến thiên :

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại = 0 x và giá trị cực tiểu của hàm số là f(0)=0 (trang 15)

Trong bài tốn này, hàm số f x( )= x đạt cực tiểu tại = 0 x vì hàm số này liên tục

trên R và đạo hàm của hàm số đổi dấu từ + sang – khi qua x = Tuy nhiên nếu 0 0học sinh áp dụng cách làm này đối với hàm số = − <



2 với 0( )

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4

x y

Nguyên nhân dẫn đến sai lầm này là do thuật toán tìm cực trị mà SGKNC đã đưa ra chỉ áp dụng được đối với lớp các hàm số liên tục Trong khi đó hàm số

Từ những ghi nhận ban đầu này, chúng tôi đã đặt ra câu hỏi xuất phát:

- Sách giáo khoa giải quyết ra sao khi tìm cực trị của hàm số không liên tục và học sinh có những công cụ gì để giải quyết các bài toán tìm cực trị của hàm số không

liên tục?

2 Phạm vi lý thuyết tham chiếu:

Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của Didactic toán, cụ thể là “Lý thuyết nhân chủng học” và khái niệm “Hợp đồng didactic” Sau đây, chúng tôi sẽ trình bày sơ lược một số khái niệm cơ bản1của “Lý thuyết nhân chủng học” và khái niệm “Hợp đồng didactic” Đồng thời, chúng tôi cố gắng làm rõ tính thỏa đáng cho

1 Những khái niệm này được trình bày trong cuốn sách song ngữ Việt – Pháp “Những yếu tố cơ bản của Didactic toán ” của các tác giả Annie Bessot, Claude Comiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến

chỉ rõ cách thức mà X biết O

Mỗi con người là một cá nhân, ở một thời điểm xác định của lịch sử của nó, và một tập hợp các mối quan hệ cá nhân với những đối tượng mà nó biết

Dưới quan điểm này, học tập là sự điều chỉnh mối quan hệ của một cá nhân X với

O Hoặc quan hệ này bắt đầu được thiết lập (nếu nó chưa từng tồn tại), hoặc quan hệ này bị biến đổi (nếu nó đã tồn tại) Sự học tập này làm thay đổi con người

• Quan hệ thể chế

Một cá nhân X không thể tồn tại lơ lửng ở đâu đó mà luôn luôn phải ở trong ít nhất một thể chế I Từ đó suy ra việc thiết lập hay biến đổi quan hệ R(X, O) phải được đặt trong một thể chế I nào đó có sự tồn tại của X Hơn thế, giữa I và O cũng phải

có một quan hệ xác định

Đối tượng O cũng không thể tồn tại độc lập trong bất cứ thể chế nào Nói cách khác,

O sống trong mối quan hệ chằng chịt với những đối tượng khác O sinh ra, tồn tại

và phát triển trong mối quan hệ ấy Theo cách tiếp cận sinh thái (écologie) thì O chỉ

có thể phát triển nếu nó có một lý do tồn tại (raison d’être), nếu nó được nuôi dưỡng trong những quan hệ, những ràng buộc ấy

Chevallard đã dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, ký hiệu

R(I, O), để chỉ tập hợp các mối ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O R(I, O) cho biết O xuất hiện ở đâu, bằng cách nào, tồn tại ra sao, đóng vai trò gì trong I, … Phân tích sinh thái là một phân tích nhằm làm rõ quan hệ R(I, O) ấy

Hiển nhiên, trong một thể chế I, quan hệ R(X, O) hình thành hay thay đổi dưới các ràng buộc của R (I, O)

Một câu hỏi được đặt ra là làm thế nào để vạch rõ quan hệ thể chế R(I, O) và quan

hệ cá nhân R(X, O)? Lý thuyết nhân chủng học sẽ cung cấp cho chúng ta công cụ

để thực hiện công việc đó

• Tổ chức toán học

Hoạt động toán học là một bộ phận của hoạt động xã hội Do đó, cũng cần thiết xây dựng một mô hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế đó Xuất phát từ quan điểm này mà Chevallard (1998) đã đưa vào khái niệm praxeologie

Theo Chavallard, mỗi praxeologie là một bộ gồm 4 thành phần [T,τ ,θ,Θ], trong đó: T là một kiểu nhiệm vụ, τ là kỹ thuật cho phép giải quyết T, θ là công nghệ giải thích cho kỹ thuật τ , Θ là lí thuyết giải thích cho θ, nghĩa là công nghệ của công nghệ θ

Một praxeologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức toán học (organisation mathématique)

Theo Bosch.M và Chevallard.Y, việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế I với một đối tượng tri thức O có thể được tiến hành thông qua việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O:

“Mối quan hệ thể chế với một đối tượng […] được định hình và biến đổi bởi một tập hợp những nhiệm vụ mà cá nhân [chiếm một vị trí nào đó trong thể chế này] phải thực hiện, nhờ vào những kỹ thuật xác định”

Hơn thế, cũng theo Bosch M và Chevallard Y, việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O còn cho phép ta hình dung được một số yếu tố của quan hệ cá nhân của một chủ thể X (tồn tại trong I) với O, bởi vì:

“Chính việc thực hiện những nhiệm vụ khác nhau mà cá nhân phải làm trong suốt cuộc đời mình trong những thể chế khác nhau, ở đó nó là một chủ thể (lần lượt hay đồng thời), dẫn tới làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân của nó với đối tượng nói trên”

Như vậy, với những công cụ của Lý thuyết nhân chủng học chúng tôi có thể phân tích và làm rõ mối quan hệ thể chế dạy học Toán ở Việt Nam với đối tượng tính toán đại số, đối tượng hàm số và hai đối tượng này có những quan hệ, ràng buộc nào; đồng thời, tìm hiểu rõ mối quan hệ cá nhân của học sinh với các đối tượng nêu trên Điều này sẽ cho phép trả lời những câu hỏi ban đầu mà chúng tôi đã đặt ra

2.2 Hợp đồng didactic:

Hợp đồng didactic liên quan đến một đối tượng dạy – học là sự mô hình hóa các quyền lợi và nghĩa vụ ngầm ẩn của giáo viên cũng như của học sinh đối với đối tượng đó Nó là một tập hợp những quy tắc (thường không được phát biểu tường

minh) phân chia và hạn chế trách nhiệm của mỗi thành viên, học sinh và giáo viên,

về một tri thức toán học được giảng dạy

Hợp đồng chi phối quan hệ giữa thầy và trò về các kế hoạch, các mục tiêu, các quyết định, các hoạt động và đánh giá sư phạm Chính hợp đồng chỉ ra ở từng lúc vị trí tương hỗ của các đối tác đối với nhiệm vụ phải hoàn thành và chỉ rõ ý nghĩa sâu sắc của hoạt động đang được tiến hành, của các phát biểu hoặc những lời giải thích

Nó là quy tắc giải mã cho hoạt động sư phạm mà mọi sự học tập trong nhà trường phải trải qua

Để thấy được hiệu ứng của các hợp đồng didactic, người ta có thể tiến hành như sau:

• Tạo ra một sự biến loạn trong hệ thống giảng dạy, sao cho có thể đặt những thành

viên chủ chốt (giáo viên, học sinh) trong một tình huống khác lạ được gọi là tình huống phá vỡ hợp đồng bằng cách:

– Thay đổi các điều kiện sử dụng tri thức

– Lợi dụng việc học sinh chưa biết vận dụng một số tri thức nào đó

– Tự đặt mình ra ngoài lĩnh vực tri thức đang xét hoặc sử dụng những tình huống

mà tri thức đang xét không thể giải quyết được

– Làm cho giáo viên đối mặt với những ứng xử không phù hợp với điều mà họ mong đợi ở học sinh

• Phân tích các thành phần của hệ thống giảng dạy đang tồn tại bằng cách:

– Nghiên cứu câu trả lời của học sinh trong khi học

– Phân tích các đánh giá của học sinh trong việc sử dụng tri thức

– Phân tích các bài tập được giải hoặc được ưu tiên hơn trong SGK

Như vậy, việc nghiên cứu các quy tắc của hợp đồng diadactic liên quan đến việc sử dụng các tính toán đại số trong nghiên cứu các vấn đề về hàm số sẽ cho phép chúng tôi “giải mã” các ứng xử của học sinh và tìm ra ý nghĩa của các hoạt động mà họ tiến hành

Tóm lại, việc đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của “Lý thuyết nhân chủng học” và khái niệm “Hợp đồng didactic” theo chúng tôi là thỏa đáng

3.Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu - mục đích nghiên cứu:

Trong phạm vi didactic với các lý thuyết đã chọn, chúng tôi trình bày lại các câu hỏi nghiên cứu như sau:

Q1: Khái niệm cực trị và thuật toán tìm cực trị được trình bày như thế nào ở bậc đại học ?

Q2: Khái niệm cực trị và thuật toán tìm cực trị được trình bày như thế nào trong

chương trình và sách giáo khoa giải tích 12 hiện hành ?

Q3: Những quy tắc nào của hợp đồng dạy học được hình thành từ thể chế ?

Nghiên cứu này nhằm giúp chúng tôi trả lời các câu hỏi đã nêu ở trên

4 Phương pháp nghiên cứu:

- Nghiên cứu các giáo trình đại học về khái niệm cực trị hàm một biến để trả lời câu

5 Cấu trúc của luận văn:

Luận văn gồm phần mở đầu, phần nội dung gồm 3 chương và phần kết luận

- Chương I: Khái niệm cực trị ở bậc đại học

Trong chương này chúng tôi sẽ cố gắng làm rõ những đặc trưng của khái niệm cực trị hàm một biến được trình bày trong giáo trình đại học

- Chương II: Quan hệ thể chế với khái niệm cực trị của hàm số

Trong chương này, chúng tôi sẽ xem xét khái niệm cực trị và thuật toán tìm cực trị được trình bày như thế nào trong chương trình cũng như sách giáo khoa hiện hành Từ những phân tích và đánh giá có được chúng tôi sẽ đưa ra giả thuyết nghiên cứu liên quan tới hợp đồng didactic chi phối ứng xử của giáo viên và học sinh

- Chương III: Nghiên cứu thực nghiệm

Trong chương này, chúng tôi sẽ cố gắng xây dựng một thực nghiệm nhằm kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu đã đưa ra ở chương 2

- Phần kết luận trình bày tóm lược các kết quả nghiên cứu được và những hướng nghiên cứu mới có thể mở ra từ luận văn này

Chương 1 KHÁI NIỆM CỰC TRỊ Ở BẬC ĐẠI HỌC

Trong chương này chúng tôi sẽ cố gắng làm rõ những đặc trưng của khái niệm cực trị hàm một biến

Do không có điều kiện về thời gian và tư liệu, chúng tôi không tiến hành một phân tích khoa học luận lịch sử hình thành và phát triển của đối tượng này Vì thế, để thực hiện nhiệm vụ trên, chúng tôi sẽ tham khảo giáo trình toán dùng ở bậc đại học

Lựa chọn này dựa trên sự thừa nhận là khoảng cách giữa tri thức bác học với tri thức trình bày trong các tác phẩm dùng ở bậc đại học thường không phải là quá lớn Giáo trình đại học được chọn để tham khảo trong chương này là :

• Giải tích toán học, tập 1, Vũ Tuấn – Phan Đức Thành – Ngô Xuân Sơn,

Nhà xuất bản giáo dục, 1987

Lí do chúng tôi chọn giáo trình này là vì đây là giáo trình giải tích cổ điển được sử dụng nhiều trong các trường đại học sư phạm cũng như trong các trường đại học tổng hợp trước đây

Để thuận tiện cho việc trình bày, giáo trình này sẽ được chúng tôi kí hiệu là [a]

1.1 Khá i niệm cực trị của hàm một biến:

Giáo trình [a] định nghĩa cực trị địa phương như sau:

Cho hàm số f x( ) xác định trong khoảng ( ; )a b Ta bảo rằng tại điểm c∈ ( ; )a b

hàm f x( ) có cực đại địa phương nếu tồn tại h> 0 đủ nhỏ sao cho với mọi

x∈ −c h c+h và x≠c , ta có:

( ) ( )

f x < f c

Cực tiểu địa phương cũng được định nghĩa tương tự Các điểm cực đại địa

p hương hay cực tiểu địa phương được gọi chung là cực trị địa phương

(trang 153;154)

Như vậy hàm số y= f x( ) đạt cực đại (cực tiểu) địa phương tại điểm c∈( ; )a b là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số trên lân cận (c−h c; +h)của điểm đó

Điểm cực đại địa phương được giáo trình [a] minh họa bằng đồ thị, qua đồ thị chúng ta có thể nhận thấy đó là điểm cao nhất của đồ thị hàm số trong lân cận

(c−h c; +h)của điểm c

Liên quan đến cực trị địa phương tại những điểm hàm số khả vi (có đạo hàm), giáo

trình [a] nêu bổ đề Phecma:

Cho hàm số f xác định trong khoảng ( ; )a b , nếu f có cực đại (cực tiểu) địa phương tại điểm c∈ ( ; )a b và nếu tồn tại f c'( ) thì f c'( ) = 0

(trang 154)

Bổ đề Phecma cho ta thấy điều kiện cần để một hàm số khả vi tại c đạt cực trị tại đó

là f c'( ) = 0

Về cực trị tuyệt đối (giá trị lớn nhất, bé nhất), giáo trình [a] định nghĩa:

C ho hàm số y= f x( ) xác định trên tập X và có miền giá trị là tập Y Nếu tập Y

có số lớn nhất (max Y ) thì ta gọi số lớn nhất đó là cực đại tuyệt đối hay giá trị lớn nhất của hàm số y= f x( ) trên tập X

Tương tự, nếu tập Y có số bé nhất (min Y ) thì ta gọi số bé nhất đó là cực tiểu tuyệt đối hay giá trị bé nhất của hàm số y= f x( ) trên tập X

(trang 179;180)

Cực trị địa phương là giá trị lớn nhất (GTLN) hoặc giá trị bé nhất (GTNN) của hàm

số trong một lân cận của điểm, cực trị tuyệt đối là GTLN hoặc GTNN của hàm số

trên tập giá trị của nó Định nghĩa chỉ yêu cầu hàm số xác định trên tập X, không bắt buộc phải liên tục trên X

1.2 Thuật toán tìm cực trị của hàm một biến:

Điều kiện cần để hàm số có cực trị được giáo trình [a] nêu thông qua bổ đề Phecma:

Cho hàm số f xác định trong khoảng ( ; )a b , nếu f có c ực đại (cực tiểu) địa phương tại điểm c∈ ( ; )a b và nếu tồn tại f c'( ) thì f c'( ) = 0

(trang 154)

Tiếp theo, khái niệm điểm dừng và điểm tới hạn của hàm số được định nghĩa:

Giả sử y f x= ( )là một hàm số liên tục trên đoạn [ ; ] a b và khả vi trong một lân cận nào đó của điểm x0∈( ; )a b (có thể trừ điểm x ) 0

Nếu tại điểm x hàm số 0 y= f x( ) có đạo hàm và f x'( )0 = thì 0 x = x0 là điểm dừng của hàm số

Nếu tại điểm x = x0 hàm số có đạo hàm bằng không hoặc hàm số không có đạo hàm thì điểm x = x0 được gọi là điểm tới hạn của hàm số

1 Nếu f x'( ) đổi dấu khi đi qua điểm x0 thì hàm số có cực trị địa phương tại điểm đó

Hơn nữa, nếu f x'( ) > 0với x<x0 và f x'( ) < 0 với x>x0 thì y= f x( )có cực đại địa phương tại x0 Nếu f x'( ) < 0 với x<x0 và f x'( ) > 0 với x>x0 thì y= f x( )có cực tiểu địa phương tại x0

2 Nếu f x'( ) > 0( hoặc f x'( ) < 0) khi x>x0và x<x0 thì hàm số y= f x( )không có cực trị địa phương

Theo giáo trình [a], định lí 1 cho ta cách tìm cực trị địa phương tại điểm dừng hoặc trong trường hợp hàm số không có đạo hàm tại hữu hạn điểm và định lí chỉ áp dụng trong phạm vi các hàm số liên tục

Sau đó giáo trình [a] đưa ra hai thí dụ về tìm cực trị địa phương của hàm số:

Thí dụ 1:(trang 182) Tìm cực trị của hàm số f x( )= x23(x − 5)

Đạo hàm của hàm số này là:

2 1

2 3

x = (tại đó đạo hàm triệt tiêu)

Dấu của đạo hàm f x'( )ở lân cận các điểm x = và 0 x = 2 được cho bởi bảng sau:

Theo định lí vừa nêu, tại x = 0 hàm số có cực đại địa phương, tại x = 2 hàm số

có cực tiểu địa phương

Giáo trình [a] minh họa điểm cực trị của hàm số trong thí dụ này bằng đồ thị:

Qua đồ thị minh họa này chúng tôi nhận thấy, nếu hàm số đạt cực trị tại điểm dừng thì tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm đó song song với trục hoành Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm không có đạo hàm thị đồ thị của hàm số tại điểm đó bị “gãy”

từ - sang + khi qua x 0 thì hàm số đạt cực tiểu địa phương tại x0; nếu đạo hàm không đổi dấu khi qua x 0 thì hàm số không đạt cực trị địa phương tại x Thông 0

qua thí dụ 2, giáo trình [a] đã cho thấy một phương pháp tìm cực trị, đó là sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Sau khi nêu định lí 1, giáo trình [a] đã nêu định lí 2 có sử dụng đạo hàm bậc cao để tìm cực trị địa phương của hàm số:

1 Nếu n lẻ thì hàm số y= f x( )không có cực trị tại điểm x=x0

2 Nếu n chẵn thì hàm số y= f x( ) có cực trị địa phương tại x=x0 Hơn nữa, khi đó hàm số đạt cực tiểu địa nếu ( )

Thí dụ 1: (trang 184) Xét hàm số ( ) f x =e x +e−x +2 cosx có đạt cực trị tại điểm

về sự tồn tại của cực trị tại điểm đó Giáo trình [a] đã đưa ra ví dụ:

Đối với lớp hàm không liên tục, chúng tôi không tìm thấy thuật toán tìm cực trị

trong giáo trình này

Về cực trị tuyệt đối, giáo trình [a] đã nêu định lí về sự tồn tại GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn:

Định lí Vâyest’rat thứ hai:

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [ ; ] a b thì nó đạt GTLN và GTNN trên đoạn đó (trang 125)

Thuật toán tìm cực trị tuyệt đối đối với lớp các hàm số liên tục được nêu như sau:

1 Tìm tất cả các cực đại (cực tiểu) địa phương của hàm số liên tục y= f x( ) trên đoạn [ ; ]a b

2 Tính giá trị của hàm số y= f x( ) tại các đầu mút của đoạn [ ; ]a b (t ức là tính

1.3 Các tổ chức toán học có liên quan:

Kiểu nhiệm vụ T : “ Tìm cực đại, cực tiểu của hàm số 1 y f x= ( )”

+ n lẻ: hàm số không có cực trị đại phương tại x 0

+ n chẵn: hàm số đạt cực trị địa phương tại x Hơn nữa, nếu 0 ( )

θ : Định lí 2 về điều kiện đủ để hàm số có cực trị địa phương

Thí dụ 1: (trang 184) Xét hàm số ( ) f x =e x +e−x +2 cosx có đạt cực trị tại điểm

- Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên Khi đó ta có:

1.4 Kết luận của chương 1:

 Định nghĩa cực trị địa phương và cực trị tuyệt đối yêu cầu hàm số y= f x( )xác định trên tập X , không bắt buộc phải liên tục trên X

 Có hai thuật toán tìm cực trị địa phương là: thuật toán sử dụng đạo hàm bậc nhất và thuật toán sử dụng đạo hàm bậc cao Hai thuật toán này được áp dụng trong phạm vi lớp các hàm số liên tục Lớp các hàm số không liên tục không thuộc phạm vi hợp thức của thuật toán

 Thuật toán tìm cực trị tuyệt đối trên đoạn chỉ áp dụng trong phạm vi các hàm

số liên tục trên đoạn đó

 Đồ thị không phải là công cụ để tìm cực trị địa phương hay cực trị tuyệt đối của hàm số Nó chỉ được giáo trình [a] đưa vào nhằm mục đích minh họa cho

định nghĩa và các bài toán về cực trị địa phương

 Đối với lớp các hàm số không liên tục, thuật toán tìm cực trị không được

trình bày Giáo trình [a] chỉ quan tâm tới lớp các hàm số liên tục

Chương 2 QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI KHÁI NIỆM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Mục đích của chương này là làm rõ mối quan hệ của thể chế dạy học Toán ở lớp 12 với khái niệm cực trị của hàm số Cụ thể chúng tôi sẽ làm rõ và giải quyết các vấn

đề đã đặt ra trong phần mở đầu:

Q2: Khái niệm cực trị và thuật toán tìm cực trị được trình bày như thế nào trong chương trình và sách giáo khoa giải tích 12 hiện hành?

Q3: Những quy tắc nào của hợp đồng dạy học được hình thành từ thể chế ?

2.1 Khái niệm cực trị của hàm số trong chương trình toán lớp 12 hiện hành:

Cực trị của hàm số được đưa vào giảng dạy ở chương ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số của giải tích lớp 12 sau khi học sinh đã được học xong

chương đạo hàm ở lớp 11 Chương này gồm các bài:

- Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

- Cực trị của hàm số

- Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

- Đường tiệm cận

- Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Như vậy bài cực trị của hàm số học sinh được học sau bài sự đồng biến và nghịch biến của hàm số Công cụ để học sinh xét cực trị của hàm số là đạo hàm Đồ thị của hàm số được giảng dạy ở bài cuối của chương, và được sử dụng để xét các bài toán

về sự tương giao giữa hai đồ thị, biện luận số nghiệm của phương trình Đối với cực trị của hàm số, đồ thị chỉ đóng vai trò minh họa hình ảnh cho điểm cực trị được đưa

ra trong khái niệm

Trong “Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán” năm 2006 do Bộ giáo dục

và đào tạo ban hành, khái niệm cực trị của hàm số được yêu cầu:

Về kiến thức:

- Biết các khái niệm điểm cực đại, điểm cực tiểu, điểm cực trị của hàm số

- Biết các điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Liên quan đến giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (GTLN, GTNN) của hàm số, chương trình qui định:

Đây là hai ví dụ về tìm GTNN, GTLN của hàm số trên khoảng và đoạn Trong các

ví dụ này, hàm số cũng liên tục trên khoảng, đoạn được xét Việc tìm GTLN, GTNN của hàm số không liên tục trên khoảng đoạn không được chương trình nhắc đến

Những trích dẫn trên cho thấy chương trình đã không nói gì về việc hàm số mà học sinh cần xét cực trị hay tìm GTLN, GTNN có liên tục hay không Hơn thế, việc các

ví dụ chỉ được đặt trên các hàm số liên tục khiến chúng tôi tự đặt ra câu hỏi : liệu các hàm số không liên tục có được xem xét hay không? Để trả lời, chúng tôi phải phân tích sách giáo khoa

2.2 Đối tượng cực trị của hàm số trong sách giáo khoa chuẩn:

Chúng tôi sẽ lần lượt xét sự có mặt của đối tượng O – “cực trị của hàm số” trong phần lý thuyết và phần bài tập

2.2.1 Khái niệm cực trị của hàm số:

Trước khi đưa ra khái niệm cực trị của hàm số, sách giáo khoa chuẩn 12 (SGKC) đã

đưa ra hoạt động 1: (trang 13)

Dựa vào đồ thị, hãy chỉ ra các điểm tại đó mỗi hàm số sau có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất):

Xét dấu đạo hàm của các hàm số đã cho và điền vào các bảng dưới đây:

Phần đầu của hoạt động này nhằm mục đích cho học sinh quan sát trên đồ thị nhữngđiểm tại đó hàm số đạt GTLN hay GTNN (đồ thị của các hàm số quen thuộc) Tính chất địa phương của cực trị biểu hiện ở việc chọn các khoảng lân cận của điểm cực trị Trong hoạt động này, các hàm số mà SGKC đưa ra đều là hàm số liên tục, đồ thị của chúng là những“đường liền nét”, và việc chỉ ra GTLN, GTNN không có gì khó khăn Như vậy, đồ thị chỉ đóng vai trò minh họa khái niệm cực trị mà SGKC đưa ra Phần sau của hoạt động nhằm thiết lập cho học sinh mối liên hệ giữa đạo hàm cấp một và cực trị của hàm số

Khái niệm cực đại, cực tiểu (địa phương) của hàm số được SGKC định nghĩa như sau :

Cho hàm số y f x= ( ) xác định và liên tục trên khoảng ( ; ) a b (có thể a là −∞, b

là +∞ ) và điểm x0∈( ; )a b

a) Nếu tồn tại số h > sao cho 0 f x( )< f x( )0 với mọi x∈(x0−h x; 0+ và h)

0

x x≠ thì ta nói hàm số ( ) f x đạt cực đại tại x 0

b) Nếu tồn tại số h > sao cho 0 f x( )> f x( )0 với mọi x∈(x0−h x; 0+ và h)

0

x x≠ thì ta nói hàm số ( ) f x đạt cực tiểu tại x 0

(trang 13)

SGKC chỉ định nghĩa cực trị đối với lớp các hàm số liên tục

Về Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (cực trị tuyệt đối) của hàm số SGKC định

nghĩa:

Cho hàm số y f x= ( ) xác định trên tập D

a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y f x= ( ) trên D nếu ( ) f x ≤M với mọi x thuộc D và tồn tại x0∈ sao cho D f x( )0 =M

b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x= ( ) trên D nếu ( ) f x ≥ m với mọi x thuộc D và tồn tại x0∈ sao cho D f x( )0 = m

(trang 19)

Học sinh đã được học định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số trong Đại số 10 nên

định nghĩa này được nêu ra nhằm mục đích “giúp học sinh nhớ kĩ khái niệm GTLN

và GTNN” (SGV trang 40) SGKC trình bày kĩ thuật sử dụng “đạo hàm” để tìm GTLN, GTNN Cụ thể sau định nghĩa SGKC đưa ra ví dụ về tìm GTLN(NN) trên khoảng:

GTLN (NN) trên khoảng không được SGKC trình bày Tuy vậy SGV trang 41 có

nêu chú ý: “Giáo viên nên nhắc cho học sinh biết rằng để tính GTLN, GTNN trên một khoảng, ta khảo sát sự biến thiên của hàm số trên khoảng đó rồi rút ra kết luận”

2.2.2 Thuật toán tìm cực trị của hàm số:

SGKC đã nêu điều kiện cần để hàm số có cực trị :

Nếu hàm số y f x= ( ) có đạo hàm trên khoảng ( ; ) a b và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x thì 0 f x = '( ) 00

x là một điểm cực đại của hàm số ( ) f x

b) Nếu '( ) 0 f x < trên khoảng (x0−h x; )0 và f x > trên khoảng '( ) 0 ( ;x x0 0+ h)

thì x là một điểm cực tiểu của hàm số ( )0 f x

(trang 14)

Nói cách khác f x đổi dấu từ - sang + khi x qua '( ) x thì hàm số đạt cực đại tại 0 x , 0

khi f x đổi dấu từ + sang - khi x qua '( ) x thì hàm số đạt cực tiểu tại 0 x Muốn 0

tìm cực trị của hàm số ta chỉ cần xét dấu của đạo hàm bậc nhất tuy vậy SGKC lại minh họa định lí 1 bằng bảng biến thiên:

Lựa chọn này có thể giải thích do SGKC muốn rèn luyện cho học sinh cách lập bảng biến thiên và “đọc bảng biến thiên” của một hàm số để phục vụ cho việc khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ở những bài sau

Từ định nghĩa và định lí 1, chúng ta có thể suy ra thuật toán tìm cực trị của hàm số

f trên khoảng K như sau:

- Tìm tập xác định D Xét xem K D⊆ vàf có liên tục trên K không?

- Tính đạo hàm, xét dấu đạo hàm và kết luận cực trị

Định lí 2:

Giả sử hàm số y f x= ( )có đạo hàm cấp hai trong khoảng (x0−h x; 0+ h) với

0

h > Khi đó :

a) Nếu f x = ; '( ) 00 f x > thì ''( ) 00 x là điểm cực tiểu 0

b) Nếu f x = ; '( ) 00 f x < thì ''( ) 00 x là điểm cực đại 0

(trang 16)

Định lí 2 chỉ áp dụng được đối với hàm số có đạo hàm tới cấp 2

Như vậy, chúng tôi nhận thấy cả hai định lí này SGKC đều phát biểu đối với lớp các hàm số liên tục

Dựa vào hai định lí về điều kiện đủ để hàm số có cực trị, SGKC đã nêu ra hai thuật toán tìm cực trị của hàm số thông hai quy tắc là quy tắc I và quy tắc II:

3 Lập bảng biến thiên

4 Từ bảng biến thiên suy ra các đểm cực trị

(trang 16)

Định nghĩa chỉ phát biểu cho lớp các hàm số liên tục trên khoảng K chứa x Định lí 0

1 cũng chỉ phát biểu cho những hàm số liên tục trên K Do đó hiển nhiên quy tắc I

chỉ áp dụng được cho lớp hàm này Tuy nhiên, khi sử dụng quy tắc I, bước đầu tiên học sinh cần làm là tìm tập xác định của hàm số Việc SGKC không nói gì về điều kiện áp dụng quy tắc I có thể dẫn đến chỗ học sinh không chú ý đến điều kiện đó Chẳng hạn trở lại với bài toán tìm cực trị của hàm số mà chúng tôi đã nêu ra ở phần

mà không cần kiểm tra hàm số có liên tục hay không Việc tìm cực trị của hàm số phải dựa vào dấu của đạo hàm bậc hai tại các điểm x (c i ác điểm x có i đạo hàm bậc nhất triệt tiêu) Nếu f x''( ) 0i > thì hàm số đạt cực tiểu tại x i, nếu f x''( ) 0i < thì hàm số đạt cực đại tại x i

Về GTLN (NN) trên đoạn, SGKC thừa nhận định lí về mối liên hệ giữa tính liên tục với GTLN (NN) của hàm số trên đoạn đó:

ở phần sau: Muốn tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên đoạn [ ; ]a b , ta chỉ

việc tìm tại các điểm đầu mút ,a b và tại các điểm nằm trên đoạn [ ; ] a b đạt cực trị

địa phương Thực ra nếu sử dụng đồ thị để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn, chúng ta chỉ cần tìm điểm cao nhất và điểm thấp nhất của đồ thị trên đoạn đó, lúc này điểm cao nhất ứng với GTLN của hàm số trên đoạn và điểm thấp nhất ứng với GTNN của hàm số trên đoạn

Trước khi trình bày thuật toán tìm GTLN (NN) trên đoạn [ ; ]a b , SGKC đã trình

bày hoạt động 2 (trang 21):

Hãy chỉ ra GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn [ 2;3]− và nêu cách tính

Hoạt động được SGKC đưa ra với mục đích “giúp học sinh phát hiện ra quy tắc tìm GTLN, GTNN trong trường hợp hàm số không đơn điệu trên [ ; ] a b ”(SGV trang 41)

Tuy vậy theo chúng tôi, hoạt động này không thể giúp học sinh phát hiện ra quy tắc tìm GTLN, GTNN được, lí do là nhìn vào đồ thị của hàm số này, học sinh có thể chỉ ra ngay GTLN và GTNN của hàm số tương ứng với điểm cao nhất và điểm thấp nhất của đồ thị trên đoạn Do đó qua hoạt động này, đồ thị tiếp tục không phải là công cụ để tìm GTLN và GTNN của hàm số Nó chỉ được đưa ra nhằm mục đích minh họa cho kĩ thuật tìm GTLN, GTNN mà SGKC đưa ra

SGKC đã đưa ra phần nhận xét :

Nếu đạo hàm '( ) f x giữ nguyên dấu trên đoạn [ ; ] a b thì hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên cả đoạn Do đó ( ) f x đạt được GTLN và GTNN tại các đầu mút của đoạn

Nếu chỉ có hữu hạn các điểm x ( i x i <x i+1) mà tại đó '( ) f x bằng 0 hoặc không xác định thì hàm số y= f x( ) đơn điệu trên mỗi khoảng ( ;x x i i+1) Rõ ràng GTLN(GTNN) của hàm số trên đoạn [ ; ] a b là số lớn nhất (số nhỏ nhất) trong các giá trị của hàm số tại hai đầu mút , a b và tại các điểm x nói trên i

(trang 21)

Từ nhận xét, SGKC đã đưa thuật toán tìm GTLN,GTNN trên đoạn thông qua quy tắc:

Thuật toán được SGKC nêu ra trong phần II.2 “quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm

số liên tục trên một đoạn” của bài Do đó hiển nhiên quy tắc được áp dụng cho lớp

các hàm số liên tục trên đoạn Tuy nhiên, trong quy tắc việc xét tính liên tục của

hàm số trên đoạn không được SGKC nhắc đến Điều này có thể dẫn đến sai lầm nếu học sinh áp dụng cho hàm số nằm ngoài phạm vi hợp thức của quy tắc, đó là lớp các hàm số không liên tục trên đoạn

Bài tập 3: (trang 18) Chứng minh hàm số y= x không có đạo hàm tại x = 0

nhưng vẫn đạt cực trị tại điểm đó

Kĩ thuật τĐĐ

1 : (s ử dụng tính đơn điệu)

- Tìm tập xác định D

- Tính f x Nếu '( ) 0( 0)'( ) f x > < x D∀ ∈ thì hàm số không có cực trị

= +

Từ bảng biến thiên suy ra x= 0 là điểm cực đại của hàm số và đồ thị hàm số có một điểm cực đại (0;1)

Trong ví dụ này, SGKC chỉ tìm tập xác định của hàm số, việc xét tính liên tục của hàm số không được SGKC nhắc đến Chúng tôi tìm thấy trong SGKC giải tích 11 định lí :

Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R

Kĩ thuật τ1ĐH2: (sử dụng đạo hàm bậc hai)

- Tính f x Giải phương trình '( ) 0'( ) f x = và kí hiệu x ( i i =1,2, ) là các nghiệm của nó

Kiểu nhiệm vụ “Tìm cực đại, cực tiểu của hàm số y f x= ( )” có 35 bài, trong đó việc sử dụng kĩ thuật 1

1

τĐH và τ1ĐH2 chiếm số lượng lớn (31 bài) Điều này chứng tỏ bài toán tìm cực trị dựa vào tính đơn điệu hoặc định nghĩa của hàm số không được SGKC quan tâm nhiều SGKC quan tâm nhiều tới công cụ “đạo hàm” để tìm cực trị

Chúng tôi còn nhận thấy khi sử dụng kĩ thuật 1

1

τĐH hay τ1ĐH2 để tìm cực trị, việc xét tính liên tục của hàm số được SGKC thực hiện ngầm ẩn thông qua việc tìm tập xác

định của hàm số

Đồ thị được SGKC đưa vào nhằm mục đích minh họa cho định nghĩa hoặc thuật toán tìm cực trị của hàm số mà SGKC trình bày Đồ thị không phải là công cụ để học sinh tìm cực trị của hàm số

So với giáo trình [a] mà chúng tôi đã nghiên cứu ở chương 1 thì kĩ thuật 1

1

τĐH được SGKC trình bày đầy đủ, SGKC còn yêu cầu học sinh lập thêm bảng biến thiên trong

kĩ thuật này Kĩ thuật sử dụng đạo hàm bậc cao chỉ được SGKC trình bày đến đạo

- Lập bảng biến thiên của hàm số y= f x( ) trên khoảng ( ; )a b

- Dựa vào bảng biến thiên kết luận GTLN, GTNN

Công nghệ: Định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số

Ví dụ 3: (trang 22)

Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh a Người ta cắt ở bốn góc hình vuông bằng nhau, rồi gộp tấm nhôm lại để được một cái hộp không nắp Tính cạnh các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất

Giải

Gọi x là độ dài cạnh hình vuông bị cắt

Rõ ràng x phải thỏa mãn điều kiện 0

2

a x

2

2max ( )

- Tìm số M (hoặc m ) sao cho ( ) f x ≤M (hoặc ( )f x ≥ ) m ∀ ∈x ( ; )a b

- Tìm điểm x ∈( ; )a b sao cho f x( )=M (hoặc f x( )= ) m

a

6

a

Bảng 2.2.3.2: Thống kê số lượng bài tập thuộc T 2

Đối với kiểu nhiệm vụ “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y= f x( )trên khoảng ( ; )a b ” có 15 bài, trong đó sử dụng kĩ thuật τ2ĐH chiếm 11 bài, kĩ thuật