HSG Quảng Ninh 04-05

1 Chứng minh rằng ba điểm K, O, M thẳng hàng... không chia hết cho 4.. Cũng mâu thuẫn với *Tóm lại giả sử trên không đúng... Hớng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lợc một cách giải.. Bài là

sở giáo dục - đào tạo

quảng ninh

-kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 năm học 2004-2005

đề thi chính thức

môn : Toán

Thời gian làm bài : 150 phút Chữ ký GT 1 (không kể thời gian giao đề)

Bài 1:

1) Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n thoả mãn: n2 + 2006 là số chính phơng

2) Giải phơng trình: 2 2 2





x

Bài 2:

Cho các số thực x, y thoả mãn điều kiện sau:

5

2 

x + x  1 + x 2 = y2  5 + y  1 + y2 Chứng minh rằng: x = y

Bài 3:

Gọi a là tham số thực sao cho phơng trình x2 - 3ax - a = 0 có hai nghiệm phân biệt là x 1 và x 2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

2

2 1 2 2

2 1

3

a x

ax a

x ax







Bài 4:

Gọi O là tâm đờng tròn tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ giác ABCD Qua A, B, C, D lần lợt vẽ các đờng thẳng dA, dB, dC, dD sao cho dA

 OA, dB  OB, dC  OC, dD  OD Các cặp đờng thẳng dA và dB, dB và dC, dC

và dD, dD và dA tơng ứng cắt nhau tại các điểm K, L, M, N

1) Chứng minh rằng ba điểm K, O, M thẳng hàng

2) Đặt OK = k, OL = l, OM = m Tính độ dài ON theo k, l, m

- Hết

-hớng dẫn chấm thi HSG tỉnh năm học 2004-2005

môn toán lớp 9 - bảng a

điểm Bài 1.1

3 điểm Giả sử tồn tại số tự nhiên n thoả mãn n

2 + 2006 là số chính phơng thì n2 + 2006 = m2 với m là số tự nhiên => (m-n)(m+n) = 2006 (*) 1,0 đ Khi đó:

- nếu m và n khác tính chẵn lẽ thì (m-n)(m+n) lẻ Mâu thuẫn với (*)

- nếu m và n cùng tính chẵn lẽ thì (m-n)(m+n) chia hết cho 4, nhng 2006 0,5 đ

không chia hết cho 4 Cũng mâu thuẫn với (*)

Tóm lại giả sử trên không đúng

Vậy không tồn tại số tự nhiên n thoả mãn n2 + 2006 là số chính phơng

1,0 đ 0,5 đ

Bài 1.2

3 điểm ĐK: x

3 + 1  0 (*)

Biến đổi phơng trình đã cho (1) <=> 2 2 2







Đặt (x  1 ) = u; (x2  x  1 ) = v (1) => u2 + v2 = x2 + 2

Khi đó (1) trở thành: 2(u2 + v2) = 5u.v

=> u = 2v ; u = v/2

0,5 đ 0,75 đ Thay vào (1); giải các phơng trình; tìm đợc: x =

2

37

5  và x =

2

37

5 

Thử và thấy các giá trị trên thoả mãn điều kiện (*)

Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm: x =

2

37

5  và x =

2

37

5 

1,0 đ 0,25 đ

Bài 2

3 điểm Giả sử có x, y thoả mãn 5

2





y2

=> x  1; y  1

- Nếu x=1=y thì x = y (đpcm !)

0,25 đ 1,0 đ

- Nếu x, y không đồng thời = 1 thì bằng cách nhân với BT liên hợp, đợc:

5 2



x + x  1 + x 2 = 2 5



y + y  1 + y2 <=>

<=> ( 2 5





y ) + ( x  1 - y  1 ) + (x2 - y2) = 0

<=>(x2- y2)/( x2  5 + y2  5 ) +(x - y)/( x  1 + y  1 )+(x2-y2) =

0

<=> (x - y).((x+y)/( 2 5





y ) +1/( x  1 + y  1 ) +x+y)=

0

<=> x - y = 0 <=> x = y

(vì : (x+y)/( 2 5





y ) + 1/( x 1 + y 1 ) + x + y > 0) Vậy nếu x, y thoả mãn đẳng thức trên thì x = y

1,0 đ

0,5 đ 0,25 đ

Chú ý: Có thể ch/m x = y bằng cách loại trừ các khả năng x < y; x > y

Bài 3

4 điểm Do phơng trình x

2 - 3ax - a = 0 có hai nghiệm phân biệt là x 1 và x 2 nên ta

có : 9a2 + 4a > 0 (1) ; x1 - 3ax1 - a = x2 - 3ax2 - a = 0 ; x1 + x2 = 3a

=> x1 = 3ax1 + a ; x2 = 3ax2 + a (2) 0,5 đ1,0 đ

điểm

2 1 2 2

2 1

3

a x

ax a

x ax





2 2

2

4 9 4

a a a

a



Theo (1) thì 9a2 + 4a > 0 nên áp dụng BĐT Côsi, ta đợc A  2

A = 2 <=> 9a2 + 4a = a2 <=> a = -1/2

Dễ kiểm tra thấy với a = -1/2 thì x1 = -1 và x2 = -1/2 1,0 đ0,5 đ Vậy Anhỏ nhất = 2, đạt đợc khi a = -1/2 ; x1 = -1 và x2 = -1/2 0,5 đ

Bài 4 Hình vẽ:

4 1)

4 điểm Dễ thấy AKBO, BLCO, CMDO và DNAO là các tứ giác nội tiếp.và các đoạn thẳng OA, OB, OC, OD tơng ứng là phân giác các góc A, B,

Có KOL + LOM =  - OKB - OLB +  - OLC - OMC

=  - BAO - BCO +  - CBO - CDO

= 2 - ( A + B + C + D )/2 = 2 -  = 

Từ đó suy ra các điểm K, O, M thẳng hàng

1,0 đ 1,0 đ 0,5 đ

4 2)

3 điểm

Chứng minh tơng tự nh trên, ta đợc N, O, L thẳng hàng

Ta chứng minh tứ giác KLMN nội tiếp Thật vậy, có:

NKL + NML = AKO + OKB + DMO + OMC

= (1/2).( A + B + C + D ) = 2

0,25 đ

1,25 đ

Từ đó chứng minh đợc OK.OM = ON.OL

Do đó ON = (OK.OM)/OL hay ON = k.m/l 1,0 đ0,5 đ

Các chú ý khi chấm:

1 Hớng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lợc một cách giải Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới đợc điểm tối đa.

2 Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm Tổ chấm trao đổi và thống nhất

điểm chi tiết nhng không đợc vợt quá số điểm dành cho câu hoặc phần đó.

3 Có thể chia điểm thành phần đến 0,25 đ nhng phải thống nhất trong cả tổ chấm Điểm toàn bài là tổng số điểm các phần đã chấm, làm tròn nh chấm thi TN.

Sở Giáo dục - Đào tạo Quảng Ninh.