HSG Quang Ninh 05-06

Cho đờng tròn O;R có hai đờng kính AC và BD vuông góc với nhau.. Dây AM cắt dây BC tại E, dây AN cắt dây CD tại F.. - Đờng thẳng EF luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định... ---hớng dẫn

sở giáo dục và đào tạo

quảng ninh

kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh

lớp 9 năm học 2005-2006

đề thi chính thức

môn : Toán (bảng A) Số BD:

Thời gian làm bài : 150 phút Chữ ký giám thị 1

(không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 21/3/2006

Bài 1

Rút gọn các biểu thức sau :

a)A =1+1 5 + 5 +1 9 + 9 +1 13 + 2001 +1 2005+ 2005 1+ 2009 b) B = x3 - 3x + 2000 với x = 3 3 + 2 2 + 3 3 − 2 2

Bài 2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy xét ba đờng thẳng có phơng trình :

(d1) : x - 5y + k = 0 ; (d2) : (2k - 3)x + k(y - 1) = 0 ; (d3) : (k + 1)x - y + 1 = 0 Tìm các giá trị của tham số k để ba đờng thẳng đó đồng quy

Bài 3.

Giải hệ phơng trình :













−

= +

−

= +

−

= +

1 4

1 4

1 4

y x

z

x z

y

z y

x

Bài 4

Cho đờng tròn (O;R) có hai đờng kính AC và BD vuông góc với nhau

Điểm M thay đổi trên cung nhỏ BC (M khác B và C) và điểm N thay đổi trên cung nhỏ CD sao cho góc MAN = góc MAB + góc NAD Dây AM cắt dây BC tại E, dây AN cắt dây CD tại F

1) Chứng minh rằng ta luôn có :

- Góc AEB = góc AEF

- Đờng thẳng EF luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định

2) Đặt góc MAB = α, tính diện tích tam giác AEF theo R và α

Bài 5

Chứng minh rằng:  + 

b

.

a

.

3 ≥ 80 với ∀a ≥ 3, ∀b ≥

3.

Dấu bằng xảy ra khi nào ?

- Hết

-hớng dẫn chấm thi Học Sinh Giỏi cấp tỉnh môn toán lớp 9 - bảng a năm học 2005-2006.

điểm Bài 1.a

1,5

điểm

áp dụng công thức (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b), với a=3 3 + 2 2 , b=3 3 − 2 2

và biến đổi => x3 = 6 + 3x

Suy ra A = 2006

1,25 đ 0,25

Bài 1.b

2,5

điểm

Có A = 55−−11+ 99−−55 + 1313−−99 + + 20052005−−20012001 +

2005 2009

2005 2009

−

Rút gọn, đợc A =

4

1

2009 −

1,0 đ 1,5 đ

Bài 2

3 điểm

Chứng minh đợc (d2) luôn cắt (d1) tại điểm M0(0 ; 1)

Khi đó M0(0 ; 1) ∈ (d3) <=> k = 5

1,5 đ 1,0 đ

Bài 3

4 điểm Điều kiện của ẩn : x, y, z ≥ 1/4

Nhân vế-vế cả ba phơng trình với 2 rồi cộng lại, ta đợc phơng trình:

4x + 4y + 4z = 2 4x− 1 + 2 4y− 1 + 2 4z− 1 (*)

Biến đổi (*) <=> ( 4x− 1-1)2 + ( 4y− 1-1)2 + ( 4z− 1-1)2 = 0

<=> 4x− 1 = 4y− 1 = 4z− 1 = 1 <=> x = y = z = 1/2 thỏa mãn

đ/kiện

0,5 đ 1,5 đ

1,5 đ Thử lại, thấy x = y = z = 1/2 thỏa mãn hệ

Vậy hệ đã cho có duy nhất nghiệm là (x ; y ; z) = (1/2 ; 1/2 ; 1/2) 0,5 đ

Bài 4

4 1)

4 điểm

Trớc hết từ giả thiết suy ra ∠MAN = 450

Gọi DB, cắt AN, AM tại P, Q Chứng minh đợc: ABEP và ADFQ là các tứ

giác nội tiếp

=> ∠EPF = ∠EQF = 900 => tứ giác PQEF nội tiếp

Từ đó ch/minh đợc ∠AEB = ∠APB = ∠AEE => ∠AEB = ∠AEF

0,5 đ

1,0 đ 0.75 đ 0,75 đ

Kẻ AH ⊥ EF (H∈EF) Chứng minh đợc ∆AEH = ∆AEB => AH=AB

Suy ra EF luôn tiếp xúc với đờng tròn cố định là (A;a) với a =AB=R 2

0,5 đ 0,5 đ

4 2)

2 điểm

Dể chứng minh đợc SAEF = SAEH + SAFH = SAEB + SAFD

Tính đợc SAEB = (1/2).AB.EB = (1/2).R 2 R 2.tgα = R2 tgα

và SAFD = = R2 tg(45 0 -α)

Suy ra SAEF = R2.(tgα + tg(45 0 -α))

Chú ý: Có thể tính theo cách khác:

* SAEF = (1/2).AF.EP = = SAEF = (R2 / 2.cosα.cos(45 0 -α))

* Hoặc SAEF=(1/2).AH.EF=(1/2).AB.EF = R2.

2 0

) 1

( −tgα + −tg − α

đều là đáp số đúng và cũng cho điểm tối đa

0,5 đ 1,0 đ 0,5 đ

Bài Sơ lợc lời giải Cho

điểm Bài 5

3 điểm Ta có: 21a+(3/a) =(3/a) + a/3 + 62a/3 ≥ 2 3 a.3

a + (62.3/3) = 64 (1) ∀a≥ 3 Dấu bằng xảy ra <=> (3/a) = a/3 và a = 3 <=> a = 3 0,75 đ0,5 đ Lại có: (21/b) + 3b =(21/b) + 7b/3 + 2b/3 ≥ 2 21.73b

b + (2.3/3) = 16 (2)

∀b≥ 3 Dấu bằng xảy ra <=> (21/b) = 7b/3 và b = 3 <=> b = 3

0,75 đ 0,5 đ

Từ (1) và (2) suy ra BĐT cần chứng minh !

Dấu bằng xảy ra <=> a = b = 3 0,25 đ0,25 đ

Cách giải khác:

Trớc hết chứng minh BĐT: (21/b) + (3b) ≥ 16 (*) với ∀ b ≥ 3

Với b ≥ 3 thì (*) <=> 3b2 - 16b + 21 ≥ 0 <=> (b - 3)(3b - 7) ≥ 0

Do b ≥ 3 nên (b - 3) ≥ 0 và (3b - 7) ≥ 3.3 - 7 = 2 => (b - 3)(3b - 7) ≥ 0

Dấu bằng xảy ra <=> b = 3

Tơng tự, chứng minh đợc: 21a + (3/a) ≥ 64 với ∀ a ≥ 3

(<=> (a-3)(21a-1) ≥ 0) Dấu bằng xảy ra <=> a = 3

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Hình vẽ bài 4:

Các chú ý khi chấm:

1 Hớng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lợc một cách giải Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới đợc điểm tối đa.

2 Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm Tổ chấm trao đổi và thống nhất

điểm chi tiết nhng không đợc vợt quá số điểm dành cho câu hoặc phần đó.

3 Có thể chia điểm thành phần đến 0,25 đ nhng phải thống nhất trong cả tổ chấm Điểm toàn bài là tổng số điểm các phần đã chấm, không làm tròn.

Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng Ninh.

Bài 5

Tìm tất cả các số nguyên dơng a, b, c thỏa mãn : a3 + b3 + c3 = 2001

(Loại trừ , thử => ra đáp số)

Bài 1

b) B = 6 2++2 3+ 3 - 6 +2 −2 3− 3

Bài 1.b

2,5

điểm

Nhân cả tử và mẫu các phân thức với 2, rồi biến đổi, ta đợc: A =

=

3 2 4 12

2 ) 3 2 (

+ +

+

-3 2 4 12

2 ) 3 2 (

− +

−

) 3 1 ( 3 2

2 ) 3 2 (

+ +

+

-2

) 1 3 ( 3 2

2 ) 3 2 (

− +

−

= (23+33+)12 - (23−33−)12 =

) 1 3 3 )(

1 3 3 (

)) 1 3 3 )(

3 2 ( ) 1 3 3 )(

3 2 ((

2

− +

+

−

−

− +

=

13

2 7

1,0 đ 1,5 đ

c) Tìm giá trị của tham số m để phơng trình (x2 - 1)(x + 3)(x + 5) = m

có 4 nghiệm x1, x2, x3, x4 thỏa mãn

4 3 2 1

1 1 1 1

x x x

Cho phơng trình x4 - (m2 + 2)x 2 + 1 = 0 với m là tham số

Gọi các nghiệm của phơng trình là x1, x2, x3, x4, hãy tính theo m giá trị của biểu thức A = 4

1

x + 4

2

x + 4

3

x + 4

4

x

Bài 5

Chứng minh rằng với ∀x ∈ R, ∀y ∈ R ta có :

















+ +

+

9

1 9

21

2 2

y













+ +

+

9

1 9

3

2 2

x

Dấu bằng xảy ra khi nào ? Tính đợc EF = R 2 ( 1 −tgα ) 2 + ( 1 −tg( 45 0 − α )) 2

Suy ra SAEF = R2. ( 1 −tgα ) 2 + ( 1 −tg( 45 0 − α )) 2