tuan-1

GIỚI THIỆU MÔN HỌCNội dung gồm 8 chương • Chương I Biến cố và xác suất của biến cố • Chương II Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất • Chương III Kỳ vọng toán • Chương IV Một số phân phố

Tài liệu tham khảo chính

[1] Ronald E Walpole, Raymond H.Myers và Sharon

L.Myers, Xác suất và thống kê dành cho kỹ sư và nhà khoa học(Bản dịch của Bộ môn Toán ĐHTL).

[2] Morris H DeGroot, Mark J Schervish, Probability and Statistics(Third edition).

[3] Đặng Hùng Thắng, Mở đầu về lí thuyết xác suất và các ứng dụng,Nhà XBGD,1997.

[4] Trần Mạnh Tuấn, Xác suất & Thống kê lý thuyết và

thực hành tính toán, Nhà xuất bản ĐHQGHN, 2004.

[5] Nguyễn Văn Đắc, Bài giảng toán V.

GIỚI THIỆU MÔN HỌC

GIỚI THIỆU MÔN HỌC

Nội dung gồm 8 chương

• Chương I Biến cố và xác suất của biến cố

• Chương II Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất

• Chương III Kỳ vọng toán

• Chương IV Một số phân phối xác suất thường gặp

• Chương V Mẫu ngẫu nhiên và phân phối của một số thống kê cơ bản

• Chương VI Ước lượng tham số

• Chương VII Kiểm định giả thiết

• Chương VIII Hồi quy và tương quan tuyến tính

XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ

(Buổi 1)

XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ

(Buổi 1)

BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

 Phép thử và không gian mẫu

 Biến cố và các phép toán biến cố

 Định nghĩa xác suất của biến cố

 Quy tắc cộng xác suất

1 PHÉP THỬ VÀ KHÔNG GIAN MẪU

Định nghĩa

Phép thử ngẫu nhiên: Là một thí nghiệm hoặc hành động

xác định có thể quan sát được mà các kết quả của nó không thể dự đoán trước.

Điểm mẫu: Là mỗi kết quả (phần tử) của không gian mẫu.

.

Tập hợp gồm tất cả các kết quả của phép thử được gọi là

không gian mẫu(sample space) và ký hiệu bởi S hoặc �

1 PHÉP THỬ VÀ KHÔNG GIAN MẪU

Ví dụ 1.1 Tung một đồng xu Không gian mẫu là: = {S, �

N}

Ví dụ 1.2 Lấy ngẫu nhiên hai số x, y trong [0, 2].

Không gian mẫu là:S = { (x, y) | 0 ≤ x ≤ 2 v à 0 ≤ y ≤ 2}.

Ví dụ 1.3 Tung một con xúc xắc.

Không gian mẫu là : S 1 = {1, 2, 3, 4, 5,

6}.

Hoặc : S 2 = {C, L}.

Ví dụ 1.4 Tung một đồng xu, nếu mặt ngửa xuất hiện ta tung đồng xu

đó lần thứ hai còn mặt sấp xuất hiện ta tung một con xúc xắc

Hãy xác định không gian mẫu?

2 BIẾN CỐ VÀ CÁC PHÉP TOÁN BIẾN CỐ

Định nghĩa: Mỗi tập con của không gian mẫu được gọi là một biến

cố.

• Dùng các chữ cái in hoa như A, B, C, A 1 , A 2 ,… để ký hiệu cho biến cố.

• Đặc biệt: Sự kiện không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử thì

được đồng nhất với tập rỗng nên ký hiệu bởi ∅ và gọi là biến cố không Sự kiện chắc chắn sẽ xảy ra khi thực hiện phép thử thì được ký hiệu bởi S và gọi là biến cố chắc chắn

• Mỗi phần tử trong không gian mẫu cũng là một biến cố, gọi là biến

cố sơ cấp

BIẾN CỐ VÀ CÁC PHÉP TOÁN BIẾN CỐ

Định nghĩa: Cho A và B là hai biến cố của một phép thử với không gian mẫu là S.

+ A ⊂ B thì ta nói biến cố A kéo theo biến cố B.

+ A = B thì ta nói A tương đương với B.

+ Phần bù của A trong S được gọi là biến cố đối của A, ký hiệu là A ’

+ Hợp của A và B, ký hiệu A⋃ B hoặc bởi A+B, là biến cố gồm các

điểm mẫu hoặc thuộc A hoặc thuộc B Tương tự, ta có thể định nghĩa hợp của nhiều biến cố.

+ Giao của A và B, ký hiệu A⋂ B hoặc bởi AB, là biến cố gồm các điểm

mẫu thuộc cả A và B Đặc biệt, khi A B = ∅, ta gọi A và B là hai biến cố xung khắc Tương tự, ta có thể định nghĩa giao của nhiều biến cố.

BIẾN CỐ VÀ CÁC PHÉP TOÁN BIẾN CỐ

Ví dụ 1.5 Gieo một đồng xu hai lần.

Không gian mẫu là � = {SS, SN, NS, NN}

Đặt A = {SS, SN, NS}, B = {NN}, C = {SN, NS, NN}.

(a) Biến cố nào kéo theo biến cố nào? Biến cố nào tương đương với

biến cố “có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”?

(b) Tìm biến cố đối của B?

(c) Hãy phát biểu bằng lời biến cố giao của A và B Hai biến cố A và B

có xung khắc?

(d) Xác định biến cố A⋃B.

BIẾN CỐ VÀ CÁC PHÉP TOÁN BIẾN CỐ

Ví dụ 1.6 Ba xạ thủ A, B, C bắn mỗi người một viên đạn vào một mục

tiêu Gọi A, B, C lần lượt là các biến cố “ xạ thủ A bắn trúng”, “xạ thủ B bắn trúng”, “xạ thủ C bắn trúng”.

( i) Hãy diễn tả bằng lời các biến cố sau

ABC, A’B’C’, A+B+C.

(ii) Xét các biến cố sau

D = “ Có ít nhất hai xạ thủ bắn trúng”

E = “Có nhiều nhất một xạ thủ bắn trúng”

F = “Chỉ có một xạ thủ bắn trúng”

G = “chỉ có xạ thủ C bắn trúng”.

Hãy biểu diễn các biến cố này theo các biến cố A, B, C.

BIẾN CỐ VÀ CÁC PHÉP TOÁN BIẾN CỐ

Tích chất :

(a) Giao hoán A +B = B + A; AB=BA.

(b) Kết hợp A + B +C = (A + B) +C = A +(B +C )

ABC = (AB)C = A(BC).

(c) Phân phối A(B + C) = AB +AC

A +(BC) = (A +B)(A +C).

(d) Công thức De Morgan

(A B)’ = A’ + B’

(A + B)’=A’ B’.

Ngoài ra (A’)’ = A A + A’=S A A’ = ∅.

3 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ

Dựa vào đặc điểm của không gian mẫu mà người ta đưa ra định nghĩa xác suất của biến cố cho phù hợp

• Không gian mẫu gồm đếm được các điểm mẫu

KGM là S = {s 1 , s 2 , s 3 ,…}

+ Gán cho mỗi điểm mẫu s i số thực p i với điều kiện p i thuộc [0; 1] và tổng các p i bằng 1, gọi p i là xác suất của s i

+ Tổng xác suất của các điểm mẫu trong A được gọi là xác suất của A (the probability of A), ký hiệu P(A).

Như vậy: 0 ≤ P(A) ≤ 1, P(S) = 1 và P(∅) =

0.

Ví dụ 1.7 Một con xúc xắc được đổ chì sao cho khả năng xuất hiện

mặt chẵn chấm gấp đôi khả năng xuất hiện mặt lẻ chấm

Gieo con xúc xắc đó một lần

Đặt A = “số chấm xuất hiện nhỏ hơn 4” B = “số chấm xuất hiện là chẵn” C = “số chấm xuất hiện chia hết cho 3”.

(a) Tính xác suất của biến cố A? (b) Tính P(A+B), P(AC)?

ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ

Ví dụ 1.8 Gieo một đồng xu cân đối hai lần Tính xác suất để ít

nhất

một lần mặt ngửa xuất hiện?

Nếu một phép thử có N biến cố sơ cấp đồng khả năng và có đúng k biến cố sơ cấp

trong biến cố A, thì

P(A) = k/N

Ví dụ 1.9 Một đống kẹo trộn lẫn 6 chiếc bạc hà, 4 chiếc kẹo bơ, và 3

chiếc chocolate Nếu một người chọn ngẫu nhiên một trong những chiếc kẹo này, hãy tìm xác suất để được

(a) một chiếc bạc hà; (b)một chiếc kẹo bơ hoặc một chocolate.

ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ

Ví dụ 1.10 Rút ngẫu nhiên 5 cây bài từ bộ bài 52 quân, hãy tìm

xác

suất để được 2 cây Át và 3 cây J.

• Nếu không gian mẫu gồm vô hạn không đếm được các phần

tử, các phần tử đồng khả năng xuất hiện và có thể biểu diễn hình

học không gian mẫu bởi miền S còn biến cố A được biểu diễn

bởi miền D nằm trong S, thì tỉ số giữa số đo miền hình học D và S

được gọi là xác suất của A

P(A) = số đo miền D/số đo miền S.

ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ

Người làm thí

nghiệm

Số lần gieo Số lần xuất hiện mặt sấp Tần suất

Buffon 4040 2048 0.5080 Pearson 12 000 6010 0.5016 Pearson 24 000 12012 0.5005

• Nếu không gian mẫu không thuộc hai loại trên, thì ta thực

hiện phép thử n lần và gọi k là số lần biến cố A xuất hiện

Tỉ số k/n được gọi là tần suất của A Số phép thử tăng dần mà

tần suất của A dần đến số cố định p0 thì ta gọi p0 là xác suất của

A.

(Đây là phương thức xác định xác suất được sử dụng rộng rãi và dùng nhiều trong khoa học kĩ thuật, y học, xã hội học…)

4 QUY TẮC CỘNG XÁC SUẤT

P(A + B) = P(A) +P(B)

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB).

QUY TẮC CỘNG XÁC SUẤT

Quy tắc cộng

Nếu A và B là hai biến cố bất kỳ của cùng một phép thử, thì

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB).

Hệ

quả• Nếu A, B, C là ba biến cố bất kỳ của cùng một phép thử, thì

P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) - P(BC) - P(CA) + P(ABC).

• P(A) + P(A’) = 1.

• Nếu A 1 , A 2 , …, A n là các biến cố đôi một xung khắc thì

P(A 1 + A 2 +⋯+ A n ) = P(A 1 ) + P( A 2 ) + … + P( A n ).

• Nếu A 1 , A 2 , …, A n là các biến cố đôi một xung khắc và tổng bằng S

(thường gọi là một phân hoạch của S), thì

P(A 1 ) +P( A 2 ) +⋯ + P( A n ) = 1.

QUY TẮC CỘNG XÁC SUẤT

Ví dụ 1.11 Một lớp học có 100 sinh viên, trong đó có 54 sinh viên học

toán IV, 69 sinh viên học toán V và 35 sinh viên học cả toán IV và toán

V Chọn ngẫu nhiên một sinh viên Tính xác suất để:

a) Sinh viên đó học cả toán IV và toán V.

b) Sinh viên đó không học toán IV và không học toán V.

Ví dụ 1.12 Cho A, B, C là các biến cố sao cho

P(A) = 0.5 P(B) = 0.7 P(C) = 0.6

P(AB) = 0.3 P(BC) = 0.4 P(CA) = 0.2 và P(ABC) = 0.1.

a) Tính xác suất để cả ba biến cố đều không xảy ra;

b) Tính xác suất để có đúng hai biến cố trong ba biến cố xảy ra;

c) Tính xác suất để có đúng một trong ba biến cố xảy ra.

QUY TẮC CỘNG XÁC SUẤT

B ài tập tuần 1và đáp số

* B ài tập: 2.1 Không gian mẫu, 2.2 Biến cố

1.1 (1.t25) 1.2 (4.t26) 1.3 (6.t26) 1.4 (17.t28)

* B ài tập: 2.3 Đếm các điểm mẫu

1.5 (5.t35) (ĐS: 20) 1.6 (6.t35) (ĐS: (a) 21, (b) 15 1.7 (9.t35) (ĐS: 210)

* Bài tập: 2.4 Xác suất của một biến cố

1.8 (3.t43) (ĐS: 0,85) 1.9 (11.t44) (ĐS: 65/663) 1.10 (9.t44) (ĐS:10/117) 1.11 (10.t44) (ĐS: (a) 5/36 (b)

10/36) 1.12 (12.t44) (ĐS: (a) 1/3 (b) 5/42).

* B ài tập: 2.5 Quy tắc cộng

1.13 (5.t43) (ĐS: (a) 0,3 (b) 0,2) 1.14 (6.t43) (ĐS: (a) 0,75 (b) 0,25).

1.15 (8.t43) (ĐS: (a) 0,22 (b) 0,8) 1.16 (15.t44) (ĐS: (a) 0,35 (b)

Những ý chính trong bài giảng tuần 1

• Khái niệm phép thử, không gian mẫu và biến cố Mối quan hệ giữa

các biến cố và phép toán biến cố.

• Định nghĩa xác suất của một biến cố.

• Quy tắc cộng xác suất P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB).