Bài toán chia hết trong số học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --- LÃ HỒNG HẢI LÂM CÁC BÀI TOÁN ĐA THỨC Chuyên ngành: Phương Pháp Toán Sơ Cấp... Đa thức có vị trí quan trọng của kiến thức Toán nói chung, của chươn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

LÃ HỒNG HẢI LÂM

CÁC BÀI TOÁN ĐA THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – Năm 2016

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

LÃ HỒNG HẢI LÂM

CÁC BÀI TOÁN ĐA THỨC

Chuyên ngành: Phương Pháp Toán Sơ Cấp

Đa thức được học từ lớp 7, 8 bổ sung dần dần đến lớp 12 và hoàn chỉnh ở bậc Đại học Đa thức có vị trí quan trọng của kiến thức Toán nói chung, của chương trình phổ thông, với các lớp chuyên Toán và đặc biệt là bồi dưỡng học sinh giỏi Trong các kì thi tuyển chọn học sinh giỏi, vô địch Quốc gia, Quốc tế và Olympic sinh viên, bài toán đa thức thường ở mức độ khó

Trong chương trình phổ thông có thể gặp các bài Toán liên quan đến đa thức như các phép Toán cộng, trừ, nhân, chia các đa thức, đạo hàm các đa thức Các bài Toán đa thức xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi có nội dung thường liên quan đến nghiệm của đa thức, sai phân đa thức, phương trình hàm đa thức

Luận văn đề cập đến một số các vấn đề cơ bản của đa thức như phép chia đa thức, ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất, nghiệm của đa thức, đạo hàm của đa thức và một số bài toán liên quan đến phương trình hàm đa thức Trong mỗi chương

đề cập các vấn đề cơ bản, trên cơ sở đó đưa ra các bài tập vận dụng, bài tập tự luyện

Ngoài ra, luận văn cũng đưa ra được một số bài toán tổng hợp về đa thức có

sử dụng nhiều kiến thức Toán học khác liên quan

Luận văn có tham khảo các tài liệu [1]-[5] viết về chuyên đề đa thức và các

đề thi học sinh giỏi

Để viết ra được những dòng luận văn này ngoài sự nỗ lực cố gắng của bản thân, thì còn có sự chỉ dạy tận tình của các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học của trường Đại học khoa học Tự Nhiên- Đại học Quốc Gia Hà Nội Đặc biệt, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới người thầy hướng dẫn khoá học của mình là TS Lê Đình Định, trường Đại học khoa học Tự Nhiên- Đại học Quốc Gia

Hà Nội Thầy đã hướng dẫn và chỉ bảo tận tình truyền cho tác giả các kiến thức, các kinh nghiệm quí báu trong học tập và nghiên cứu khoa học để tác giả có thể hoàn thành tốt bài luận văn này

Tác giả cũng xin cảm ơn tới Ban giám hiệu, phòng sau Đại học khoa Toán- Cơ- Tin học trường Đại học khoa học Tự Nhiên- Đại học Quốc Gia Hà Nội đã tạo

mọi điều kiện giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Ngoài ra, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn các bạn học viên cao học trong nhóm phương pháp Toán sơ cấp lớp cao học khoá 2014-2016, đã động viên giúp đỡ tác giả

Do thời gian và trình độ còn hạn chế nên chắc chắn bản luận văn không thể trách khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự đóng góp tận tình của quý thầy cô và bạn bè đồng nghiệp để tác giả ngày càng hoàn thiện mình hơn nữa Xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, Năm 2016 Học Viên

Lã Hồng Hải Lâm

MỤC LỤC

Lời nói đầu 1

Mục lục 3

Chương 1 Đa thức một biến và các phép toán 5

1.1 Định nghĩa đa thức một biến 5

1.2 Các phép tính đa thức 6

1 3 Ước chung lớn nhất 7

1.4 Bội chung nhỏ nhất 8

Bài tập vận dụng 9

Bài tập tự luyện……….16

Chương 2 Nghiệm của đa thức 17

2.1 Định lí Bézout 17

2.2 Định nghĩa nghiệm bội 17

2.3 Định lí cơ bản của đại số 17

2.4 Định lí 18

2.5 Nghiệm của đa thức với hệ số nguyên 18

2.6 Công thức Viéte 18

Bài tập vận dụng 19

Bài tập tự luyện……… 27

Chương 3 Đạo hàm đa thức 28

3.1 Định nghĩa và tính chất 28

3.2 Công thức Taylor 28

3.3 Công thức Leibniz 29

3.4 Định lí 29

Bài tập vận dụng 29

Bài tập tự luyện ………38

Chương 4 Đa thức và phương trình hàm 40

4.1 Phương trình sai phân bậc 1 40

4.2 Phương trình sai phân bậc 2 40

Bài tập áp dụng 42

Bài tập tự luyện ……….54

Chương 5 Một số bài toán tổng hợp về đa thức 55

Bài tập áp dụng 54

Bài tập tự luyện ……….72

Kết luận: 74

Tài liệu tham khảo 75

CHƯƠNG 1 ĐA THỨC MỘT BIẾN VÀ CÁC PHÉP TOÁN

1.1 Đi ̣nh nghi ̃a đa thức mô ̣t biến :

Mô ̣t hàm số P x gọi là đa thức mô  ̣t biến nếu nó được viết dưới da ̣ng chuẩn tắc như sau:

0 n 1 n n 1 n

P x a x a x   a  xa Với a0, ,a a1 2, ,a n là những số thực bất kì và được gọi là hệ số

Số tự nhiên n gọi là bậc của đa thức và đươ ̣c kí hiê ̣u: deg P x n

Kí hiệu P x chia hết cho Q x là P x Q x   

Nhận xét: Nếu P x Q x    thì degP x degQ x 

1.2.2.2 Phép chia có dư

Đi ̣nh lí Với hai đa thức bất kì P x và Q x khác không , tồn ta ̣i duy nhất các đa thức S x và   R x thoả mãn điều kiện  

P x Q x S x R x vớ i degR x degQ x 

Đa thức S x và   R x trong đi ̣nh lí trên được go ̣i tương ứng là thương và số

dư trong phép chia P x cho   Q x  

Đa thức P x gọi là đa thức bị chia, còn đa thức   Q x gọi là đa thức ước số Trong phép chia có dư:

- Nếu các hê ̣ số của P x và   Q x thư  ̣c, thì các hệ số của S x và   R x  

cũng thực

- Nếu các hê ̣ số của P x và   Q x nguyên, hê  ̣ số cao nhất của Q x là 1   , thì các hệ số của S x và   R x cũng nguyên  

1 2.2.3 Sơ đồ Horner

Khi chia P x cho   xa và x2 pxq

(cộng hai hàng đầu được hàng thứ ba)

Khi đó P x( )(x a Q x ) ( )R, vớ i 1 2

Khi chia cho x2 pxq

1.3 Ƣớc chung lớn nhất

1.3.1 Đi ̣nh nghi ̃a Cho P x và   Q x là hai đa thức và ít nhất một trong chúng khác không Đa thƣ́c D x gọi là ƣớc chung lớn nhất của   P x và   Q x  

Nếu P x và   Q x chỉ có ƣớc chung là các đa thức bậc 0, ngoài ra không  

còn ƣớc chung nào khác thì ta nói rằng P x và   Q x nguyên tố cu  ̀ ng nhau và viết

   

P x Q x, 1

Để tìm ƣớc chung lớn nhất ta dùng thuâ ̣t toán Ơclit hoặc phân tích các đa thƣ́c thành tích các nhân tƣ̉ và cho ̣n các nhân tƣ̉ chung với số mũ bé nhất

1.3.2 Mô ̣t số tính chất

+ Đi ̣nh lí 1 Giả sử D x P x Q x   , ; R x là số dƣ cu  ̉ a P x chia cho   Q x  

Khi đó Q x và   R x có ƣớc chung lớn nhất và   P x Q x   , Q x R x   , 

+ Đi ̣nh lí 2 Hai đa thƣ́c P x và   Q x nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi tồn ta ̣i nhƣ̃ng đa thƣ́c U x và   V x sao cho   U x P x   V x Q x   1

1.4 Bô ̣i chung nhỏ nhất

1.4.1 Đi ̣nh nghi ̃a

Bô ̣i số chung nhỏ nhất của đa thức P x và   Q x là một đa thức   M x sao  

Với hai đa thƣ́c bất kì khác không là P x và   Q x đều thoả mãn đẳng thức sau :  

2

a b

Vâ ̣y

1111

Vâ ̣y a 8 hoặc a 12 thoả mãn đầu bài

Bài 5 Chứng minh rằng: Với *

nên khẳng đi ̣nh trên đúng với n1

+ Giả sử khẳng định trên đúng với n1, tƣ́ c là ta có:  2 1 1  2 

x  x   x  x + Ta đi chƣ́ ng minh khẳng đi ̣nh trên cũng đúng cho n

Thâ ̣t vâ ̣y,  2 1 2   2 2 1 1

Vâ ̣y khẳng đi ̣nh trên được chứng minh đúng với mo ̣i n  

Bài 6 Cho n và m là những số tự nhiên , nm Chứng minh rằng: Đa thứ c số dư trong phép chia đa thức x n 1 cho x m 1 là R x  x t 1, ở đây t là số dư trong

Từ đây ta có điều phải chứng minh

Bài 7 Cho đa thức P x tuỳ ý với hệ số nguyên a,b la  ̀ hai số nguyên khác nhau

Nhận xét: Áp dụng bài toán trên ta có cách giải bài toán sau:

(Hungary 1999) Tồn tại hay không đa thức P x vơ  ́ i các hê ̣ số nguyên sao cho

 10 400,  14 440

P  P  và P 18 520

Trả lời: không tồn ta ̣i do P 18 P 10 120không chia hết cho 8

Bài 8 (HSG Quốc Gia - Bảng A - 2000)

Cho góc  0;

a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất tam thƣ́c bâ ̣c hai   2  

;

f x x axb a b  sao cho  n ,n2 đa thƣ́ c P x n x nsin xsinn sinn 1 f x  b) Chứng minh rằng không tồn tại nhi ̣ thƣ́c bâ ̣c nhất g x  x c c   sao cho n ,n2 đa thƣ́ c P x xác đi n  ̣nh nhƣ trên chia hết cho g x  

f x  x  x x không có nghiê ̣m thƣ̣c nên f x là tam thức bậc  

hai duy nhất có da ̣ng 2

2 os 1

f x x  x c   Suy ra   2

Với  n N n, 2 và    ta suy ra x sin n   0 n 2

sin 4 sin 3 0 nênsin 0

       mâu thuẫn vớ i giả thiết 0   

Vâ ̣y giả sử trên là sai Ta suy ra điều phải chứng minh

Bài 9 Cho n, m là các số tự nhiên dương bất kì Hãy tìm ước chung lớn nhất của

các đa thức x n1 và x m1

Giải

Không mất tính tổng quát, giả sử n m

Khi đó ta có thể tính được

Ở đây với n    m r1 r2 r k

Khi đó ta biết ƣớc chung lớn nhất của nhƣ̃ng số n và m là rm n, 

Mặt khác, theo bài tâ ̣p số 6 thì số dƣ của phép chia x n1 cho x m 1 là x r1 1, số

dƣ của phép chia x m1 chox r1 1 và tiếp tục suy ra

 n 1, m 1  m 1, r1 1  r k1 1, r k 1 r k 1

Vâ ̣y ƣớc chung lớn nhất của x n1,x m  1 x r1 vớ i rm n, 

Bài 10 Cho P x là đa thức có   degP x  Biết rằng   5 P x( ) 1  chia hết cho

Để xác đi ̣nh ,a b ta dù ng (1) và (2)

Tƣ̀ chúng ta thấy P 1   và 1 P  1  nghĩa là 1

chia hết cho x  và chia cho 2 x21 thì đƣợc phần dƣ là x

Bài 3 Xác định các hệ số a, b sao cho đa thức   4 3

Số  là nghiệm của đa thức P x khi va  ̀ chỉ khi P x chia hết cho   x  Như vâ ̣y ta có P x   x   P  0

2.2 Định nghĩa nghiệm bội

Nếu P x   x   s.Q x trong đó Q x là đa thức thì x    được go ̣i là

nghiê ̣m bô ̣i s của P x  

Vâ ̣y, nếu x  là nghiệm bội s của P x thì    (  )s

Đa thức bâ ̣c n có đúng n nghiê ̣m (kể cả bội ) Nếu

deg ( )P x n, degQ x( )n bằng nhau tại k giá trị khác nhau mà n < k thì

P x Q x

Định lí 2

Mọi đa thức với các hệ số thực , nếu có nghiê ̣m phức, thì chúng từng cặp liên

hơ ̣p phức, suy ra mo ̣i đa thức bâ ̣c lẻ, có ít nhất 1 nghiê ̣m thực

2.5 Nghiệm của đa thức với hệ số nguyên

Nhâ ̣n xét:

+) Các số 1 và  1 luôn là ước của a Ta ti n ́nh P 1 và P 1 không khó

khăn gì Vì nếu số x    là nghiệm nguyên của P x thì ( )  P x (x ) ( )Q x ,

trong đó Q x là đa thức với các hệ số nguyên  Như vậy , thương

Nếu g y có nghiệm nguyên   y thì 1 y2   b y1 cũng nguyên Trong ba số y1, y2

và y1 y2 phải có 1 số chẵn , do vậy abc chẵn và ít nhất mô ̣t trong các số a, b, c

phải chẵn

Bài 2 Cho đa thức P x( )ax3bx2cxd với các hệ số nguyên a, b, c, d đồng thời ad lẻ, bc chẵn Chứng minh rằng P(x) có ít nhất một nghiệm vô tỷ

Giải

Giả sử x , (i = 1, 2, 3) là các nghiệm hữu tỷ , khi đo i ́ y i ax i cũng hữu tỷ và

( )

g y  y by acya d

Vì hệ số đầu của g(y) bằng 1, nên nghiê ̣m hƣ̃u tỉ là nghiê ̣m nguyên Vâ ̣y y1, y ,2 y 3

nguyên và là ƣớc của 2

a d lẻ, do đó y y y lẻ và vì vậy tổng của chúng bằng b, 1, 2, 3

tổng của tích hai nghiê ̣m là ac phải lẻ, tƣ́c là cả b và c đều lẻ, trái với đầu bài bc

  ;  2  3 cũng là nghiệm , nên P x phải có ít nhất 4 nghiê  ̣m và 4 là

bâ ̣c bé nhất của P x  

Bài 4 Tìm các số a, b, c để a, b, c là 3 nghiệm của đa thức f x( ) x3ax2bx c

Giải

Theo công thƣ́c Viéte:

a b c  a (1)

ab bc ca  b (2)

abcc (3)

Từ (1) suy ra b c 1' Từ (3) suy ra 0 (3')

1 (3'')

c ab





Trường hợp 1 Nếu c0, từ (1') suy ra b0 Từ (1) và (2) suy ra a tuỳ ý

Trường hợp 2 Nếu ab1 Thay c vào (2) và (1') ta được:

+) Nếu b0, thì (1') suy ra c0, ta quay về trườ ng hơ ̣p 1

+) Nếu b 1, thì từ (1') suy ra c1 và từ (3'') suy ra a 1

Như vâ ̣y, hoă ̣c là b0,c0,a tuỳ ý

      1 a b c d 0(vì theo công thức Viéte, a b c   d 1.)

(Vì theo công thức Viéte abcd  1)

Vậy ab là nghiệm của đa thức 6 4 3 2

Bài 7 Tam thức bâ ̣c hai P x vơ  ́ i các hê ̣ số thực sao cho phương trình P x x

không có nghiê ̣m thực Chứng minh rằng: Phương trình P P x   x cũng không

có nghiệm thực

Giải

Nếu tồn ta ̣i hai số ,a b ab sao cho P a a và P b b

Xét hàm số Q x P x x liên tục trên  a b và ; Q a 0 và Q b 0 Nên phương trình Q x 0 sẽ có nghiệm trên  a b , hay phương tri; ̀nh

 

P x x sẽ có nghiệm, điều này trái với giả thiết cho

Như vâ ̣y chỉ còn hoă ̣c P x x vớ i mo ̣i x hoă ̣c P x x vớ i mọi x

Khi đó P P x   P x x vơ ́ i mo ̣i x hoă ̣c P P x   P x x vớ i mo ̣i x

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Bài 8 Chứng minh rằng: Mọi đa thức bậc n có nhiều nhất n nghiê ̣m

Giải

0 n 1 n n1 n

P x a x a x   a  xa bậc n có nhiều hơn n nghiê ̣m

Gọi các nghiệm đó là  1, 2, ,k vớ i k n

Khi đó ta có thể viết P x dươ  ́ i da ̣ng

  0 1 2  k

P x a x  x  x 

Sau khi nhân ra ta thấy bâ ̣c của P x  khi na ̀y bằng k n dẫn tớ i điều vô lí Do

 

deg P x n theo giả thiết

Vâ ̣y giả sƣ̉ trên sai Suy ra điều phải chứng minh

Bài 9 Tìm những giá trị của hàm số m sao cho các nghiê ̣m x x x của đa thức 1, 2, 3

Giải

Đặt 2

0

x  y

Khi đó đa thức 4 2

x ax b có 4 nghiệm thực phân biê ̣t khi và chỉ khi đa thức

2

y ayb có hai nghiệm thực phân biệt dương

Suy ra a, b phải thoả mãn các điều kiện a2 4 ;b b0;a0

Giả sử đa thức đã cho có 4 nghiê ̣m thực là  x1, x x x2, 2, 1 vớ i x1 x2 0

Theo đi ̣nh lí Viéte và giả thiết chúng ta ̣o thành mô ̣t cấp số cô ̣ng nên

Lại có từ x3 x x x1 2 3  q nên suy ra p 1 q2 hay pq2 1

Vâ ̣y hê ̣ thức liên hê ̣ giữa ;p q thoả mãn yêu cầu bài toán là pq2 1 , vớ i p1

Bài 12.Tìm tất cả bộ ba số hữu tỉ a b c là những nghiệm của phương trình , , 

2a 2a  1 0 phương trình này không có nghiê ̣m hữu tỉ

Vâ ̣y bô ̣ các số cần tìm là 0; 0;0 , 1;  2; 0 , 1; 1; 1    

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1 Giả sử a, b là các số nguyên lẻ Chứng minh rằng đa thức f x( )x2ax b không thể có nghiệm hữu tỷ

Bài 2 Giả sử f x là 1 đa thức với các hệ số nguyên và   f   0 ,f 1 là những số nguyên lẻ Chứng minh rằng f x không có nghiệm nguyên  

Bài 3 Cho phương trình 3 2

3.1.1 Đi ̣nh nghi ̃a

Nhâ ̣n xét: Đa ̣o hàm của đa ̣o hàm bâ ̣c nhất P x gọi là đạo hàm bậc hai của ' 

a b c d

Cách giải khác

Theo công thƣ́c khai triển Taylor ta có:

Cho các hê ̣ số bằng 0 ta được b 6 ;a c 12 ;a d  8a

Bài 4 Tìm điều kiện để đa thức   5 3

P x x ax b có nghiệm bội bậc hai khác

không ?

Giải

Giả sử xm là nghiệm bội bậc hai khác không của đa thức P x 

Ta có hê ̣ sau

(điều kiện a 0;b 0 do phương trình có nghiê ̣m khác không)

Bài 5 Chứng minh rằng: Các đa thức sau có nghiệm bội bậc ba x1

2n1 2n n  n n n 0

    vớ i mo ̣i n nguyên dương

Vâ ̣y đa thức Q(x) thoả mãn các điều kiê ̣n nên nó có nghiê ̣m bô ̣i bâ ̣c ba x1

Bài 6 Chứng minh rằng đa thức   1 2

Giả sử đa thức P(x) có nghiệm bội là a

Khi đó ta có P a 0 và P'(a) = 0

Mà P 0  1 0 nên đa thứ c P(x) không có nghiê ̣m x0

Vâ ̣y giả sử trên là sai, hay đa thức P x đa  ̃ cho không có nghiê ̣m bô ̣i

Bài 7 Cho đa thức P x thoả mãn  

  0, '  0, ''  0, , 1 n  n   0

  0, '  0, ''  , ,  n   0

Chứng minh rằng: Tất c ả các nghiệm thực của đa thức P x đều thuộc khoảng  

Điều đó chƣ́ng tỏ rằng tất cả các nghiê ̣m thƣ́c của đa thƣ́c P x phải thuộc    a b ;

Bài 8 Cho đa thƣ́c P x  bậc n 1 có n nghiệm thực khác nhau x x1, 2, ,x Chƣ n ́ ng minh rằng

Nghĩa là đa thức Q x có   n nghiệm khác nhau Suy ra Q x 0

Vì hệ số cao nhất của mỗi đa thức P x bằng a, nên hê k  ̣ số của đa thƣ́c Q x đối  

2 a d 5 b c

Giải

Từ giả thiết đa thức có 5 nghiê ̣m thực phân biê ̣t và do số ha ̣ng tự do bằng

1 0 nên 5 nghiệm phân biê ̣t này đều khác 0

Q x x dx cx bx ax cũng có 5 nghiệm phân biê ̣t

Lâ ̣p luâ ̣n tương tự như trên ta có được 2

2d 5c (2)

Vâ ̣y từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh

Bài 10 Tìm đa thứ c P x  vớ i hê ̣ số thực thoả mãn các điều kiê ̣n sau: