SKKN một số bài toán cực trị trong hình học giải tích

UBND TỈNH HẢI DƯƠNG SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH GIẢI TÍCH MÔN : TOÁN KHỐI LỚP : 10 và 12 NHẬN XÉT CHUNG ………..... SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠ

UBND TỈNH HẢI DƯƠNG SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH GIẢI TÍCH MÔN : TOÁN KHỐI LỚP : 10 và 12 NHẬN XÉT CHUNG ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

ĐIỂM THỐNG NHẤT Bằng số :

Bằng chữ :

Giám khảo số 1:

Giám khảo số 2:

Năm học 2010 - 2011

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG

TRƯỜNG THPT NAM SÁCH II

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH GIẢI TÍCH

MÔN : TOÁN TÊN TÁC GIẢ : BÙI THỊ MẬN

Xác nhận của nhà trường,ký, đóng dấu

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lý do chọn đề tài:

Chúng ta đã biết Toán học nói chung là một ngành khoa học gắn liền với những suyluận logic chặt chẽ, đòi hỏi tính chính xác và ngắn gọn Có nhiều ý kiến cho rằng toánhọc rất khô khan và nhàm chán bởi những rắc rối của kí hiệu và sự trừu tượng của ngôn

từ và hình ảnh Nhìn nhận vấn đề gần hơn trong trường THPT đa số các em thấy khókhăn, rắc rối, khó nhớ và lo sợ khi học môn toán đặc biệt là môn hình học

Trong những năm gần đây, trong đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng, cácbài toán về cực trị trong hình học xuất hiện ngày càng nhiều và học sinh thường tỏ ralúng túng khi giải dạng toán này Đối với bài toán cực trị, thường có nhiều con đương

đi đến đích trong đó có những cách giải ngắn gọn, hợp lí, đôi khi có cả phương án độcđáo và sáng tạo Với mong muốn góp phần rèn luyện tư duy sáng tạo của học sinh, khơidậy được hứng thú học tập yêu thích môn toán qua các bài toán về cực trị, tôi đã tìm tòiqua sách báo, đồng nghiệp để tìm ra phương pháp, bài tập phù hợp với học sinh Vớimục đích là xây dựng một chuyên đề để bồi dưỡng cho học sinh của trường, và quantrọng hơn là nhằm mục đích bồi dưỡng chuyên môn cho chính bản thân mình, tôi xin

mạnh dạn đưa ra đề tài “MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH GIẢI TÍCH ”.

2 Mục đích nghiên cứu:

- Đưa ra phương pháp cơ bản giải một số bài toán về cực trị trong hình giải tích

- Rèn luyện kỹ năng giải toán cực trị trong hình giải tích

- Giúp học sinh có cái nhìn mới về dạng toán này

3 Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Tuyển chọn và sắp xếp bài toán cơ bản, hay theo trình tự hợp lý để học sinh tiếp nhậnchúng một cách không khó khăn, tạo được hứng thú cho học sinh khi gặp dạng toánnày

- Đưa ra một số nhận xét về cách tiếp cận lời giải trong bài toán cơ bản, điển hình.

4 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu:

- Đối tượng nghiên cứu:

+ Các bài toán về cực trị trong hình học phẳng và trong không gian

+Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh khối THPT qua các năm giảng dạy

- Phạm vi nghiên cứu:

Hệ thống các bài toán cực trị trong hình giải tích chủ yếu nằm ở chương trình THPT

và thuộc vào phần nâng cao, khai thác sâu kiến thức đối với học sinh từ khá trở lên.Hiện nay, dạng bài toán này vẫn thường được sử dụng trong các đề thi vào các trườngĐại học, Cao đẳng

Có thể nói đây là dạng bài “không dễ” song cũng “không quá khó” và thường xuấthiện trong cả khi học và khi thi Vì thế đề tài này có đối tượng phục vụ trước tiên làđông đảo học sinh cấp THPT có mong muốn củng cố, khắc sâu kiến thức và thi vào cáctrường Đại học,Cao đẳng

5 Kết cấu đề tài :

Phần I : ĐẶT VẤN ĐỀ

1. Lý do chọn đề tài

2 Mục đích nghiên cứu

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

4 Đối tượng , phạm vi nghiên cứu

5. Kết cấu của đề tài

PHẦN II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1.3 Chia một đoạn thẳng theo một tỉ số cho trước:

* Trong mặt phẳng, cho điểm A(x y A; A) , B(x y B; B) Khi đó :

AB (x B  x A)2 (y B  y A)2

Điểm M(x,y) chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k : MA k MB                            

được xác định bởi côngthức sau:

1

A B

y ky y

Điểm M(x,y,z) chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k : MA k MB                            

đựơc xác định bởi công

+/ Nếu A,B nằm về một phía đối với (d) mà (AB) cắt (d) thì:

MA-MB max  M= (AB) (d)

+/ Nếu A,B nằm về hai phía đối với (d) và B” là điểm đối xứng của B qua (d) mà(AB”) cắt (d) thì: MA-MB max  M= (AB”)(d).

Dựa vào kết quả dã biết trong hình học phẳng ta có thể giải được bài toán 1 Tuy nhiên việc tính toán khá phức tạp Cụ thể là:

+ Nếu phương trình của (d )được cho dưới dạng tham số thì ta buộc phải chuyển vềdạng tổng quát để có thể kiểm tra được A và B nằm một phía hay hai phía đối với (d) + Nếu phải tìm tọa độ điểm B’ (trong câu a) hoặc B”(trong câu b) thì việc tính toáncòn khó khăn hơn nữa hoctoancapba.com

Để khắc phục tình trạng trên, xin đưa ra một lời giải khác như sau:

B O



1 ' ' 5 1

'

2 2' '

15 => M (2 19; )

15 15 b/ Tương tự như câu a) ta có:

Vì M” chạy trên trục Ox và A”;B” nằm về một phía đối với trục Ox nên :

MA-MB max  M”A” M”B”  max

M” = (A”B”) Ox

    

1 ' ' 5 1

" 2;0 2;5

2 2 ' '

B O

A

B''

A''

Ý tưởng của lời giải trên vẫn dựa vào kết quả đã biết trong hình học phẳng Tuy nhiên khi thay đường thẳng (d) bằng trục Ox khi xét vị trí tương đối của các điểm đã làm cho độ phức tạp trong tính toán giảm đi rất nhiều.

(d): y = t , tR

z = 1-t Tìm M(d) sao cho: a) (MA+MB) nhỏ nhất

b) MA-MB lớn nhất

Cách giải trong hình học không gian:

+ Để giải câu(a) ta tìm điểm biểu diễn B’ là ảnh của B qua phép quay quanh trục (d)với góc quay thích hợp sao cho A;B’;(d) đồng phẳng và A, B’ nằm về hai phía với (d)khi đó: (MA+MB)min  M= (AB’) (d)

+ Để giải câu(b) ta tìm điểm B” là ảnh của B qua phép quay quanh trục (d) với góc quay thích hợp sao cho A;B”;d đồng phẳng và A;B” nằm về một phía đối với (d) Khi

đó nếu (AB”) cắt (d) thì : MA-MB max  M= (AB”) (d)

Dựa vào kết quả đã biết trong hình học không gian, ta cũng có thể giải được bài toán2

Tuy nhiên việc tìm tọa độ điểm B’(trong câu a))hoặc B”(trong câu b)) buộc ta phải thựchiện nhưng phép tính phức tạp

Để khắc phục tình trạng này, ta lại tiếp tục ý tưởng đã có trong lời giải của bài tập 1.a) Vì M(d) Nên M có tọa độ (t;t;1-t) khi đó:

Vì M’ chạy trên trục Ox và A’; B’ nằm về hai phía đối với trục Ox nên:

(MA+MB)min  (M’A’+M’B’)min  M’= (A’B’) Ox

B

A

A'

B'

Vì M” chạy trên Ox và A”;B” nằm về một phía với trục Ox nên:

MA-MB max  M”A” M”B”  max  M”= (A”B” )  0x

2.3 Bài toán 3 :

Trong không gian cho hai điểm A,B và đường thẳng (d) Tìm điểm M trên (d)

sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất hoctoancapba.com

B O

A

A''

B''

- Nếu (AB) và (d) chéo nhau => MH là đoạn vuông góc chung của (AB) và (d) Bài toán quy về tìm điểm M là chân đường vuông góc chung của (AB) và (d).

Vậy bài toán phải thực hiện theo các bước sau:

- Điểm M chính là chân đường vuông góc chung của đường thẳng (d) và (AB), trong

đó M là điểm thuộc (d)

- Tìm véc tơ chỉ phương của () là đường vuông góc chung của (AB) và (d)

- Lập phương trình mp(P) đi qua (AB) và chứa đường vuông góc chung đó

- Tìm giao điểm M của (P) và (d)

Ví dụ 1 : Trong không gian cho hai điểm A(1;-1;0), B(1;0;1) và đường thẳng (d) có

=> (AB) và (d) chéo nhau

Gọi () là đưòng vuông góc chung của (AB) và (d)

Trong không gian, cho mặt phẳng (P) và hai điểm A,B có toạ độ cho trước Tìm

điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho : MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất

Phương pháp giải :

Để tìm điểm M thoả mãn tính chất trên ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1 : Xét vị trí tương đối của A,B đối với mặt phẳng (P) bằng cách tính :

tA=axA + byA+czA+d ; tB=axB + byB+czB +d

* Nếu tA.tB >0  A,B cùng phía đối với (P) Thực hiện bước 2

* Nếu tA.tB < 0  A,B không cùng phía đối với (P) Thực hiện bước 3

Bước 2 : Tìm toạ độ điểm A1 đối xứng với A qua (P)

- Viết phương trình tham số của đường thẳng (A1B)

- Tìm toạ độ giao điểm N của (A1B) và (P).Thực hiện bước 4

Bước 3: Viết phương trình tham số của đường thẳng (AB).

Tìm toạ độ giao điểm N của (AB) và (P).Thực hiện bước 5

Bước 4: Ta đi chứng minh MA+MB nhỏ nhất khi và chỉ khi MN :

Thật vậy: Lấy điểm M bất kỳ thuộc (P) ta có :

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi MN.

Bước 5: Ta đi chứng minh MA+MB nhỏ nhất khi và chỉ khi MN

Thật vậy : Lấy điểm M bất kỳ thuộc (P) ta có :

- Xác định vị trí tương đối của hai điểm của A,B đối với mặt phẳng (P), ta có :

tA.tB = (3.(-7)-4-2.4+19).(3.(-6)-2-2.3+19) =98 > 0=> A,B cùng phía đối với (P) Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua (P)

Mặt phẳng (P) có :n3; 1; 2    Đường thẳng (AA1) được xác định bởi :

Vì H là trung điểm của AA1 nên ta có : A1(-1;2;0)

* Phương trình tham số của đường thẳng (A1B):

Qua A1(-1;2;0) x = -1-5t

(A1B) :  (A1B) : y = 2 (t R)

Vtcp A B 1  5;0;3

z = 3t

* Gọi N là giao điểm của (A1B) và (P) Để tìm toạ độ của N ta thay x,y,z từ phương

trình tham số của (A1B) vào pt của (P) ta được : 2 13;2; 2

Ta đi chứng minh MA+MB nhỏ nhất khi và chỉ khi MN

Thật vậy : Lấy điểm M bất kỳ thuộc (P) ta có : hoctoancapba.com

Ta có: A,B cùng phía đối với (P)

* Phương trình tham số của đường thẳng (AB):

* Ta đi chứng minh |MA-MB| lớn nhất khi và chỉ khi MN

Thật vậy : Lấy điểm M bất kỳ thuộc (P) ta có : |MA MB | AB  |NA NB |

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi MN

Vậy điểm M  5;0;2 thoả mãn điều kiện bài ra

Ví dụ 3:

Cho hai điểm A(1;1;2), B(2;1;-3) và mặt phẳng (P) có phương trình :2x+y-3z-5=0 Tìm M trên mặt phẳng (P) sao cho :

a) MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất

b) |MA-MB| đạt giá trị lớn nhất

Lời giải:

a) MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất

- Xác định vị trí tương đối của hai điểm của A,B đối với mặt phẳng (P), ta có :

tA.tB = (2.1+1-3.2-5).(2.2+1-3.(-3)-5) =-72 < 0 => A,B không cùng phía đối với (P) Đường thẳng (AB) được xác định bởi :

tham số của (AB) vào pt của (P) ta được : 8 25;1; 6

* Ta đi chứng minh MA+MB nhỏ nhất khi và chỉ khi MN

Thật vậy : Lấy điểm M bất kỳ thuộc (P) ta có : MA MB AB NA NB   

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi MN

Ta có : A,B khác phía đối với (P) Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua (P)

Mặt phẳng (P) có :n2;1; 3   Đường thẳng (AA1) được xác định bởi :

Qua A(1;1;2) x = 1+2t

(AA1) :  (AA1) : y = 1+t (t R)

Vtcp n2;1; 3   z = 2-3t

* Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (P) Ta có H AA1   P Thay x,y,z từ

phương trình tham số của (AA1) vào (P), ta được :t = 4

* Gọi N là giao điểm của (A1B) và (P) Để tìm toạ độ của N ta thay x,y,z từ phương

trình tham số của (A1B) vào pt của (P) ta được : 9 95 79 78; ;

Ta đi chứng minh |MA-MB| lớn nhất khi và chỉ khi MN

Thật vậy : Lấy điểm M bất kỳ thuộc (P) ta có :

|MA MB | | MA MB | A B |NA NB | Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi MN

Trong không gian cho mặt phẳng (P) và hai điểm A,B có toạ độ cho trước Tìm

điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho hệ thức : P MA 2 Q MB 2 đạt giá trị nhỏ nhất (Với tổng các hệ số P+Q là một số dương ).

Phương pháp giải :

- Tìm I thoả mãn hệ thức : P IA Q IB   0

- Biểu thức :P MA 2 Q MB 2  (P Q IM ) 2 C (C là hằng số, P+Q là một số dương).Khi đó tổng P MA 2 Q MB 2 đạt giá trị nhỏ nhất khi độ dài MI nhỏ nhất M I p Bài toán quy về : - Tìm toạ độ điểm I thoả mãn hệ thức véctơ

- Tìm toạ độ điểm M là hình chiếu vuông góc của I trên (P)

A

M P

Mà M nằm trên mặt phẳng (P) : x+2y-2z+1=0 nên M là giao điểm của (P) và đường thẳng IM Khi đó toạ độ của M là nghiệm của hệ phương trình sau:

Bài 2 : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxy,cho đường thẳng (d) có

phương trình 2x – 3y + 18 = 0 và các điểm A(2;3) ,B(-6;0) Tìm điểm M trên đườngthẳng (d) sao cho MA+MB nhỏ nhất

Bài 3 : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxy ,cho đường thẳng (d)

có phương trình : x–2y+2=0 và hai điểm A(0;6),B(2;5) Tìm trên đường thẳng (d) điểm

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxy, cho hai điểmA(1;0) ,B(2;1) và đường thẳng (d) có phương trình 2x – y + 3 = 0 Tìm điểm M trênđường thẳng (d) sao cho MA+MB là nhỏ nhất so với mọi điểm còn lại trên (d) Viết

M trên đường thẳng (d) sao cho tổng các độ dài MA+MB nhỏ nhất

Bài 7 (CĐ SP KONTUM ( KA- 2003))

2x +3y – 4 = 0

Cho đường thẳng (d) : và 2 điểm A(1,2,-1) ; B(7;-2;3)

y+ z – 4 = 0Trên(d) ,tìm điểm I sao cho độ dài đường gấp khúc IAB ngắn nhất

Bài 8 : (CĐ SƯ PHẠM BÌNH PHƯỚC -2004 )

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(2;-1;1) ;B(-2;3;7 ) và đường

Bài 10 (ĐHNNI-97)

Cho hai điểm A(1;2;3) ;B(4;4;5 )

a)Viết phương trình đương thẳng (AB) Tìm giao điểm P của nó và mặt phẳng (Oxy) CMR với mọi điểm QOxy, biểu thức |QA-QB| có giá trị lớn nhất khi Q trùng với P b) Tìm điểm M thuộc (Oxy) sao cho tổng các độ dài MA+MB nhỏ nhất

Bài 11 (HVKTQS-94)

Cho hai điểm A(-1;3;-2) ;B(-9;4;9 ) và mặt phẳng (P): 2x-y+z+1=0 Tìm điểm Mthuộc (P) sao cho MA+MB nhỏ nhất

Bài 12 (ĐH Huế/A hệ chưa phân ban -97)

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho mặt phẳng (P): 2x-y+z+1=0 và hai điểmA(3;1;0) ;B(-9;4;9 ) Tìm điểm M thuộc (P) sao cho |MA-MB| đạt giá trị lớn nhất

Bài 13 (ĐHQG – 2000 )

Cho mặt phẳng (P): x+y+z-1=0 và hai điểm A(1;-3;0) ;B(5;-1;-2 )

a) Chứng tỏ rằng đường thẳng đi qua A,B cắt mặt phẳng (P) tại một điểm I Tìm toạ

2) Bài 4 M ( 8 17;

Qua những năm giảng dạy và đúc kết kinh nghiệm tôi nhận thấy rằng để dạy chohọc sinh học tốt môn hình học và cụ thể là các bài toán cực trị trong hình giải tích thìcần phải giúp cho học sinh nắm vững hệ thống lý thuyết cần vận dụng và các phươngpháp chứng minh Nắm vững các yếu tố trên sẽ giúp cho việc giảng dạy của giáo viênđược thuận lợi, học sinh tiếp thu kiến thức ngày một tốt hơn

Thực tế cho thấy, học sinh rất hào hứng và thích thú khi thực hiện đề tài này vàkết quả tương đối khả quan Nếu như trước đó, học sinh thường làm các dạng bài tậptrên rất mất thời gian và việc lựa chọn để có kết quả gọn là rất khó hầu như các em

chán nản Sau khi áp dụng đề tài này thì kết quả có sự tiến bộ rõ rệt và thời gían làm bài giảm được nhiều hoctoancapba.com

2 Một số kết luận và kiến nghị :

Tuy đề tài hữu ích xong đây cũng chỉ là một phương pháp trong nhiều phương pháp

để giải bài toán cực trị trong hình giải tích Việc tích cực đọc tài liệu và khai thác bài toán theo nhiều khía cạnh đó không chỉ là mong muốn của tôi mà là thuộc về tất cả những ai say mê môn toán Do thời gian có hạn và điều kiện nghiên cứu còn hạn chế nên đề tài không tránh khỏi những sai sót, tôi rất mong sự quan tâm, góp ý chỉ bảo của Ban giám hiệu nhà trường, các đồng nghiệp trong tổ Toán cùng toàn thể các bạn quan tâm đến đề tài này để đề tài được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu nhà trường đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành đề tài này Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các đồng chí trong tổ Toán

đã góp ý, động viên để tôi hoàn thành tốt đề tài này

MỤC LỤC

NỘI DUNG TRANG Phần I : ĐẶT VẤN ĐỀ 1

Phần II : GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1 Cơ sở lý thuyết 3

2 Biện pháp thực hiện 4

2.1 Bài toán 1 4

2.2 Bài toán 2 7

2.3 Bài toán 3 9

2.4 Bài toán 4 11