PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CHIA HẾT TRONG TẬP HỢP SỐ NGUYÊN

Năm học vừa qua, tôi đã áp dụng chuyên đề trên với thời lượng là 12 tiết vào việc bồi dưỡng cho học sinh giỏi các khối 7,8,9 với mục đích giúp cho các em rèn luyện kỹ năng; năng lực tư duy, suy luận lôgic trong quá trình giải các bài tập nói chung và nội dung phần số học nói riêng. Phần lớn các em học sinh đã tiếp thu và lĩnh hội được chi thức tốt, các em đã thực sự có hứng thú hơn khi được luyện thêm các bài toán số học, tự độc lập tìm tòi ra nhiều cách giải khác nhau mà không cần sự gợi ý của giáo viên.

PHÒNG GD&ĐT TAM ĐẢO TRƯỜNG THCS MINH QUANG

CHUYÊN ĐỀ “KHAI THÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI

Tác giả: ĐÀO QUANG HƯNG

Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị: Trường THCS Minh Quang

Đối tượng áp dụng: Học sinh giỏi khối 7,8,9

Dự kiến số tiết bồi dưỡng: 12 tiết

Địa chỉ gmail: quanghung0578@gmail.com.vn

Trong đó: a được gọi là số bị chia.

b được gọi là số chia.

q được gọi là thương.

r được gọi là số dư.

Chú ý:

•Nếu a chia cho b thì số dư chỉ có thể là: 0;1;2; ; ( b − 1 )

•Đặc biệt: Nếu r = ⇒ = 0 a bq, khi đó ta nói a chia hết cho b hay b là ước của a

và kí hiệu a b M hay b a | Vậy

a b M ⇔ ∃ ∈ q ¢ a bq =

1.1.2 Tính chất

(i) Nếu a b M và b c M thì a c M (Tính chất bắc cầu).

(ii) Nếu a b M thì ac b c M , ∀ ∈ ¢ (Tính chất nhân với một số).

(iii) Nếu a b M , a c M và ( ) b c , = 1 thì a bc M .

(iv) Nếu ab c M và ( ) b c , = 1 thì a c M

1.2 Khái niệm đồng dư.

1.2.1 Định nghĩa:

Cho số m ∈ ¢ , m > 0, nếu hai số nguyên a và b có cùng số dư khi chia cho

m thì ta nói a đồng dư với b theo môđun m và ký hiệu a b ≡ ( mod m )

(i) Thêm bớt cùng một số vào hai vế của một đồng dư thức.

Nếu a b ≡ ( mod m ) , thì a c b c ± ≡ ± ( mod m )

(ii) Nhân hai vế của cùng một đồng dư thức với một số nguyên khác không.

Nếu a b ≡ ( mod m ) thì ac bc ≡ ( mod m )

(iii) Có thể nâng hai vế của một đồng dư thức lên cùng một lũy thừa với bậc

là một số tự nhiên.

Nếu a b ≡ ( mod m ) thì an ≡ bn( mod m ) , ∀ ∈ n ¥

(iv) ( a b + )n≡ bn( mod , a ) ∀ > a 0.

1.3 Một số định lý, tính chất và phương pháp giải các bài tập.

1.3.1 Tính chất chia hết của một tổng, hiệu.

a + = + b a b a − − a b− + − ab − + b −

2 6 mod10

3 1 mod10

7 1 mod10

k k k

• Nếu a ≡ 2 mod10 ( ) ⇒ an ≡ 24k r+ ≡ 6.2 mod10r( )

• Nếu a ≡ 3 mod10 ( ) hoặc a ≡ 7 mod10 ( ) ⇒ an ≡ a4k r+ ≡ ar( mod10 ) .

1.3.4 Định lí Fermat.

Với p là số nguyên tố, ta có ap ≡ a ( mod p ) .

Đặc biệt: Nếu ( ) a p , = 1 thì ap−1 ≡ 1 mod ( p ) .

1.3.5 Phương pháp chứng minh quy nạp.

2) Tìm n để biểu thức A n ( ) chia hết cho một số

3) Chứng minh với mọi n thỏa mãn điều kiện bài toán thì biểu thức

3) Dạng 3 Chứng minh một số không là số nguyên tố.

Bằng một trong các phương pháp như:

Khai thác lời giải.

Cách 1 Sử dụng tính chất: “Trong n số nguyên liên tiếp có một và chỉ một số

(Thi HSG toàn quốc, lớp 9 năm 1970)

Bài tập 1.3 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên lẻn, ta có.

Cách 2 Sử dụng đồng dư thức.

Giải.

Ta có:

27.5 n + 12.6n = 7.25n − 7.6 19.6n + n = 7(25n − 6 ) 19.6n + n

Vì 25 6 mod19 ≡ ( ) ⇒ 25n ≡ 6 mod19n( ), (theo tính chất (iii) mục 1.2.3)

Nên 25n − ≡ 6n 0 mod19 ( ) ⇒ 7 25 ( n − 6n) ≡ 0 mod19 ( )

, (theo tính chất (ii), mục 1.2.3)

Hơn nữa, ta lại có 19.6n ≡ 0 mod19 ( )

Ta đi chứng minh (2.2) đúng với n k = + 1, tức là

7.25 25 6.12.625(7.25 12.6 ) 19.12.6

Nên ta suy ra

225(7.25 k + 12.6 ) 19.12.6 19k − k MHay

Khai thác lời giải.

Cách 1 Sử dụng phương pháp chứng minh quy nạp.

Nên ta suy ra

281(9 k + 14) 80.14 5 − MHay

Khai thác lời giải

Cách 1 Sử dụng đồng dư thức.

Giải.

Vì 22 1n+ = 2.4n = 2 3 1 ( + )n ≡ 2 mod6 ( ) , (theo tính chất (iv), mục 1.2.3),

nên ta đặt 22 1n+ = + ∀ ∈ 6 k 2, k ¢*.

Bây giờ, ta đi chứng minh rằng các số có dạng A k ( ) = 26 2k+ + 3 với klà số nguyên

dương đều không phải là số nguyên tố

Suy ra, các số có dạng A k ( ) = 26 2k+ + 3 với k

là số nguyên dương đều hợp số

Suy ra, các số có dạng A k ( ) = 26 2k+ + 3 với k

là số nguyên dương đều hợp số

Ta đi chứng minh A k ( ) M 7 Thậy vậy, ta có:

gVới n = 1 ta có: A ( ) 1 = 22 2.1 1+ + 3 7, M suy ra biểu thức (3.1) luôn đúng.

Bài tập 3.2 Chứng minh rằng với n là số nguyên dương thì các số có dạng sau đều

không phải là số nguyên tố

a) M n ( ) = 22 6n+2 + 3.

b) N n ( ) = 32 4 1n+ + 2.

c) P n ( ) = 22 4 1n+ + 7.

PHẦN 3 KẾT QUẢ TRIỂN KHAI CHUYÊN ĐỀ

3.1 Kết quả nghiên cứu

Năm học vừa qua, tôi đã áp dụng chuyên đề trên với thời lượng là 12 tiết vào việcbồi dưỡng cho học sinh giỏi các khối 7,8,9 với mục đích giúp cho các em rèn luyện

kỹ năng; năng lực tư duy, suy luận lôgic trong quá trình giải các bài tập nói chung

và nội dung phần số học nói riêng Phần lớn các em học sinh đã tiếp thu và lĩnh hộiđược chi thức tốt, các em đã thực sự có hứng thú hơn khi được luyện thêm các bàitoán số học, tự độc lập tìm tòi ra nhiều cách giải khác nhau mà không cần sự gợi ýcủa giáo viên Kết quả thu được qua quá trình bồi dưỡng rất khả quan, cụ thể:

HS

Giỏi Khá TB Yếu Giỏi Khá TB

Nhờ đó, mà tôi có thể giúp các em phát triển năng lực tư duy độc lập, khả năngsáng tạo, tính tự giác học tập, phương pháp giải toán nhanh, kỹ năng phát hiện tốt.Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ trong việc khai thác tư duy trong quá trìnhtìm lời giải một số bài tập, áp dụng cho việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi phần sốhọc nói riêng và môn toán nói chung Nhưng dù sao đó cũng chỉ là những phươngpháp mà cá nhân tôi đã nghiên cứu, học hỏi, đúc kết kinh nghiệm Rất mong nhậnđược sự góp ý chân thành của thầy, cô và đồng nghiệp