Dời trong miềm hội tu... Hai khâu nối tiếp không cách nhau bởi khâu lấy mẫu.
Trang 1LÝ THIẾTĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG
Thạc si VÕ THANH VIỆT
NĂM 2009
Trang 27.1 Hệ thống điều khiển rời rạc
7.2 Phép biến đổi Z
7.3 Mô tả hệ thống rời rạc bằng hàm truyền
7.4 Mô tả hệ thống rời rạc bằng phương trình trạng thái
Trang 3Chương này đề cập đến một loại hệ thống điều khiển có hồi tiếp, trong đó tại một hay nhiều điểm là một chuỗi xung, không phải là hàm liên tục theo thời gian.
Trang 4Nếu phép lượng tử hóa được tiến hành theo thời gian và cả theo biên độ là kết quả nhận được là tín hiệu số Hệ thống xử lý tín hiệu số là hệ thống số.
Trong hệ thống rời rạc và hệ thống số, thông số điều khiển – biên độ của tín hiệu chỉ xuất hiện tại các thời điểm rời rạc cách đều nhau đúng bằng một chu kỳ lấy mẫu
Vì có thời gian trể tất yếu do lấy mẫu, việc ổn định hệ thống phức tạp hơn so với liên tục, do đó đòi hỏi những kỹ thuật phân tích và thiết kế đặc biệt
7.1.1 Khái niệm
Trang 5Sự phát triển mạnh mẽ của kỷ thuật số, kỹ thuật vi xử lý và kỹ thuật máy tính làm cho ngày càng có nhiều hệ thống điều khiển số được sử dụng để điều khiển.
Hệ thống điều khiển số có nhiều ưu điểm so với hệ thống điều khiển liên tục như uyển chuyển, linh hoạt, dễ dàng đổi thuật toán điều khiển, dễ dàng áp dụng các thuật toán điều khiển phức tạp bằng cáh lập trình
7.1.1 Khái niệm
Trang 6Hiện nay các hệ thống điều khiển số được sử dụng rất rộng rãi, từ các bộ điều khiển đơn giản như điêu khiển nhiệt độ, điều khiển động cơ DC, AC… đến các hệ thống điều khiển phức tạp như điều khiển robot, máy bay, tàu vũ trụ, các hệ thống điều khiển quá trình công nghệ hóa học và các hệ thống tự động cho những ứng dụng khác nhau.
7.1.1 Khái niệm
Trang 7Đây là sơ đồ khối của hệ thống điều khiền số thường gặp, trong hệ thống có hai loại tín hiệu:
Tín hiệu liên tục: c(t), uR(t)
và tín hiệu số: r(kT), cht(kT), u(kT)
Trang 8Trung tâm của hệ thống là máy tính số, máy tính có chức năng xử lý thông tin phản hồi từ cảm biến và xuất ra tín hiệu điều khiển đối tượng.
Vì cảm biến và đối tượng là hệ thống liên tục nên cần sử dụng bộ chuyển đổi A/D và D/A để giao tiếp với máy tính
Do đó để phân tích và thiết kế hệ thống điều khiển số trước tiên ta phải mô tả toán học được quá trình chuyển đổi A/D và D/A
7.1.1 Khái niệm
Trang 9Tuy nhiên, hiện nay không có phương pháp nào cho phép mô tả chính xác quá trình chuyển đổi A/D và D/A do sai số lượng tử hóa biên độ.
Vì vậy thay vì khảo sát hệ thống số như sơ đồ khối trên ta khảo sát hệ rời rạc ở hình sau:
Trang 10Trong chương này, chúng ta phát triển phương pháp phân tích và thiết kế hệ thống điều khiển liên tục cho hệ thống điều khiển rời rạc.
Nếu độ phân giải của phép lượng tử hóa biên độ đủ nhỏ để có thể bỏ qua sai số thì ta có thể xem tín hiệu số là tín hiệu rời rạc, điều đó có nghĩa là lý thuyết điều khiển rời rạc trình bày trong phần này hoàn toàn có thể áp dụng để phân tích và thiết kế các hệ thống điều khiển số
7.1.1 Khái niệm
Trang 117.1.2 Đặc điểm lấy mẫu
Lấy mẫu là biến đổi tín hiệu liên tục theo thời gian thành tín hiệu rời rạc theo thời gian
Xét bộ lấy mẫu có đầu vào là tín hiệu liên tục x(t) đầu ra là tín hiệu rời rạc x*(t) như hình
Trang 12x(t) x*(t)
T
t
x(t)0
7.1.2 Đặc điểm lấy mẫu
Trang 13Quá trình lấy mẫu có thể mô tả bởi biểu thức toán học sau:
(7.1)
) ( ).
( )
( t x t s t
Trong đó s(t) là chuỗi xung dirac:
(7.2)
) (
Trang 14Thay (7.2) vào (7.1), đồng thời giả sử x(t) = 0 khi t < 0, ta được:
) ( )
(
k
kT t
t x t
(7.3)
) (
) (
kT x
t
Biến đổi Laplace hai vế phương trình (7.3) ta được:
(7.4)
) (
s X
Biểu thức (7.4) chính là biểu thức toán học mô tả quá trình lấy mẫu
7.1.2 Đặc điểm lấy mẫu
Trang 15Định lý Shannon: Để có thể phục hồi dữ liệu sau khi lấy mẫu
mà không bị méo dạng thì tần số lấy mẫu phải thỏa mãn điều kiện:
(7.5)
2
1
c
f T
Trong đó fc là tần số cắt của tín hiệu cần lấy mẫu
Trong các hệ thống điều khiển thực tế, nếu có thể bỏ qua được sai số lượng tử hóa thì các khâu chuyển đổi A/D chính là các khâu lấy mẫu
7.1.2 Đặc điểm lấy mẫu
Trang 16Khâu giữ dữ liệu là khâu chuyển tín hiệu rời rạc theo thời gian thành tín hiệu liên tục theo thời gian.
Khâu giữ dữ liệu có nhiều dạng khác nhau, đơn giản nhất và được sử dụng nhiều nhất trong các hệ thống điều khiển rời rạc là khâu giữ bậc 0 (Zero – Order Hold – ZOH) như hình sau
7.1.3 Khâu giữ dữ liệu
Trang 177.1.3 Khâu giữ dữ liệu
Khâu giữ bậc 0 (ZOH)
Trang 18Ta tìm hàm truyền của ZOH Để ý rằng nếu tín hiệu vào của khâu ZOH là xung dirac thì tín hiệu ra là xung vuông có độ rộng bằng T ta có:
7.1.3 Khâu giữ dữ liệu
{ }
s e
e s s
T t
u t
u
t c s
1
1 )
( )
(
) ( )
(
L L
R(s) = 1 (vì r(t) là hàm dirac)
Trang 19Theo định nghĩa:
7.1.3 Khâu giữ dữ liệu
) (
)
( )
(
s R
s
C s
(7.6)
1
1 )
(
s
e s
e s
G
z Ts
Trang 20Nhận xét:
7.1.3 Khâu giữ dữ liệu
Bằng các sử dụng pháp biến đổi Laplace ta có thể mô tả quá trình lấy mẫu và giữ dữ liệu bằng các biểu thức toán học (7.4) và (7.6)
Tuy nhiên, các biểu thức toán học (7.4) và (7.6) lại chứa hàm
ex nếu ta sử dụng để mô tả hệ rời rạc thì khi phân tích, thiết kế hệ thống sẽ gặp nhiều khó khăn Ta cần mô tả toán học khác giúp khảo sát hệ thống rời rạc dễ dàng hơn, nhờ phép biến đổi
Z trình bày ở mục 7.2
Trang 217.2.1 Định nghĩa
Cho x(k) là chuỗi tín hiệu rời rạc Biến đổi Z của x(k) là:
{ ( ) } ( ) (7.7) )
x z
x z
Trang 227.2.1 Định nghĩa
• Miền hội tu (Region of Convergence – ROC)
ROC là tập hợp tất cả các giá trị z sao cho X(z) hữu hạn
Trang 237.2.1 Định nghĩa
• Ý nghĩa của việc biến đổi Z
Giả sử x(t) là tín hiệu liên tục trong miền thời gian, lấy mẫu x(t) với chu kỳ lấy mẫu T ta được chuỗi rời rạc x(k) = x(kT).Biểu thức lấy mẫu:
(7.9)
) (
z X
Biểu thức biến đổi Z:
(7.10)
) ( )
X
Vì z = eTs nên vế phải của hai biểu thức (7.9) và (7.10) là như nhau, do đó bản chất của việc biến đổi Z một tín hiệu chính là
Trang 247.2.1 Định nghĩa
• Phép biến đổi Z ngược
Cho X(z) là hàm theo biến phức z Biến đổi Z ngược của X(z) là:
∫
=
C
1 - k
X(z)z 2
1 )
Trang 257.2.2 Tính chất của phép biến đổi Z
1 Tính tuyến tính
Thì:
1(z)Z
x2(k) Z X2(z)
a1x1(k) + a2x2(k) Z a1X1(z) + a2X2(z) (7.11)
Trang 267.2.2 Tính chất của phép biến đổi Z
2 Dời trong miềm hội tu
Nếu trong miềm Z ta nhân X(z) với z-k0 thì tương đương với trong miền thời gian là trễ tín hiệu x(k) k0 chu kỳ lấy mẫu
Nhận xét:
Vì: x(k – 1) Z z-1 X(z)Nên z-1 được gọi là toán tử hàm trễ một chu kỳ lấy mẫu
Trang 277.2.2 Tính chất của phép biến đổi Z
2 Dời trong miềm hội tu
Trang 287.2.2 Tính chất của phép biến đổi Z
3 Tỉ lệ trong miềm Z
−
thì:
Trang 297.2.2 Tính chất của phép biến đổi Z
5 Định lý giá trị đầu
Trang 307.2.3 Biến đổi Z của các hàm cơ bản
δ
Z
Vậy: δ(k) Z 1 (ROC: toàn bộ mặt phẳng Z
Trang 317.2.3 Biến đổi Z của các hàm cơ bản
2 Hàm nấc đơn vị
Lấy mẫu u(t) với chu kỳ lấy mẫu là T, ta được:
…
Trang 327.2.3 Biến đổi Z của các hàm cơ bản
2 Hàm nấc đơn vị
Theo định nghĩa:
−∞
=
−
+ +
+ +
z z
z k u z
k u k
u
k
k k
k
1
) ( )
( )
(
2 1
0Z
Nếu z-1 < 1 thì biểu thức trên là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn,
ta dễ dàng suy ra:
{ }
1 1
1 )
k u
Z
1 1
1
1 = −
z z
Trang 337.2.3 Biến đổi Z của các hàm cơ bản
3 Hàm dốc đơn vị
Lấy mẫu r(t) với chu kỳ lấy mẫu là T, ta được:
r nếu t ≥ 0
nếu t < 0Hàm dốc đơn vị (liên tục trong miền thời gian)
r(k)
k0
…
⇒ r(k) = kTu(k)
Trang 347.2.3 Biến đổi Z của các hàm cơ bản
3 Hàm dốc đơn vị
Ta tìm biến đổi Z của r(k) bằng cách áp dụng tính chất tỷ lệ trong miềm Z
Ta có: u(k) Z
11
1 1
dz
d z
Tz
(ROC: Z > 1)Vậy: r(k) = kTu(k) Z
Tz
Trang 357.2.3 Biến đổi Z của các hàm cơ bản
1
) ( )
( )
(
2 1
2 2
1
0
+ +
+
=
+ +
z e
z e
z e
z k x z
k x k
x
aT aT
aT aT
k
k k
k
Z
Trang 367.2.3 Biến đổi Z của các hàm cơ bản
at
e t
nếu t < 0Hàm mũ (liên tục trong miền thời gian)
nếu k ≥ 0nếu k < 0
⇒ x(k) = e -kaT u(k)
x(t)
t
10
akT
e k
x
Trang 377.2.3 Biến đổi Z của các hàm cơ bản
4 Hàm mu
Nếu (eaTz)-1 < 1 thì biểu thức trên là tổng của cấp số nhân lùi
vô hạn Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, ta dễ dàng suy ra:
{ } ( )aT z e aT
z z
( Z
(ROC: eaTz > 1 ⇔ z > e-aT
z z
1
1
Vậy: e-kaTu(k) Z
Kết quả trên ta dễ dàng suy ra:
a z
Trang 387.2.4 Các phương pháp tìm biến đổi Z ngược
Cho hàm X(z), bài toán đặt ra là tìm x(k) Theo công thức biến đổi Z ngược ta có:
∫ −
=
C
k dz z
z
X j
k
2
1 )
Trang 397.2.4 Các phương pháp tìm biến đổi Z ngược
Cách 1: Phân tích X(z) thành tổng các hàm cơ bản, sau đó tra bản biến đổi Z
) 3 )(
2 (
z z
X
Ví dụ: Cho tìm x(k)
Giải: Phân tích X(z) ta được:
) 3 (
) 2 (
z z
X
Tra bảng biến đổi Z ta được:
a z
Trang 407.2.4 Các phương pháp tìm biến đổi Z ngược
Cách 2: Phân tích X(z) thành chuỗi luy thừa
) 3 ( )
2 ( )
1 ( )
0 (
) ( )
(
3 2
1 0
0
+ +
+ +
k x
k x
k x
z k x z
X
k
k
Theo định nghĩa biến đổi Z:
Do đó nếu phân tích X(z) thành tổng của chuỗi lũy thừa ta sẽ được giá trị x(k) chính là hệ số của thành phần z-k
Trang 417.2.4 Các phương pháp tìm biến đổi Z ngược
Cách 2: Phân tích X(z) thành chuỗi luy thừa
) 3 )(
2 (
z z
X
Ví dụ: Cho tìm x(k)
Giải: Phân tích X(z) ta được:
6 5
) 3 )(
2 (
z z
z
z z
X
Chia đa thức ta được:
65 19
5 )
( z = z−1 + z−2 + z−3 + z−4 +
X
Suy ra: x(0) = 0; x(1) = 1; x(2) = 5; x(3) = 19; x(4) = 65 …
Trang 427.2.4 Các phương pháp tìm biến đổi Z ngược
Cách 3: Tính x(k) bằng công thức đệ quy
) 3 )(
2 (
z z
X
Ví dụ: Cho tìm x(k)Giải: Ta có:
2 1
16 5
1 )
3 )(
2 (
z z
z
z z
X
1 2
1 6 ) ( ) 5
1
1 2
1 ( ) 6 ( ) 5
)
Trang 437.2.4 Các phương pháp tìm biến đổi Z ngược
Cách 3: Tính x(k) bằng công thức đệ quy
Biến đổi Z ngược hai vế phương trình trên (để ý tính chất dời trong miền thời gian), ta được:
) 1 (
) 2 (
6 )
1 (
5 )
( k − x k − + x k − = k −
) 1 (
) 2 (
6 )
1 (
5 )
Với điều kiện đầu: x ( k − 1 ) = 0 ; x ( k − 2 ) = 0
Thay vào công thức trên ta được:
x(0) = 0; x(1) = 1; x(2) = 5; x(3) = 19; x(4) = 65 …
Trang 447.2.4 Các phương pháp tìm biến đổi Z ngược
Cách 4: Áp dung công thức thặng dư
Tại các cực của z k-1 X(z)
∑ −
) ( k s z 1X z
1 )
(
1 1
z z
k
p p
p z
z
dz
d p
z X z
Trang 457.2.4 Các phương pháp tìm biến đổi Z ngược
) 3 )(
2 (
z z
X
Ví dụ: Cho tìm x(k)
Giải: Áp dụng công thức thặng dư ta được:
Cách 4: Áp dung công thức thặng dư
1 2
1 ( ) Re ( ) Re
z
k z
k
z
z z
z
z z
z
z X z
z z
X z
s k
x
2 )
3 (
) 3 )(
2 (
) 2 (
) ( )
2 (
) ( Re
) (
1
2
1 2
Trang 467.2.4 Các phương pháp tìm biến đổi Z ngược
Cách 4: Áp dung công thức thặng dư
k z
k
z k
z
k z
k
z
z z
z
z z
z
z X z
z z
X z
s k
x
3 )
2 (
) 3 )(
2 (
) 3 (
) ( )
3 (
) ( Re
) (
3 3
1
3
1 3
Trang 477.3.1 Hàm truyền của hệ rời rạc
Quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống rời rạc được mô ta bằng phương trình sai phân:
Hệ thống rời rạc
(7.17)
) ( )
1 (
) 1 (
) (
) ( )
1 (
) 1 (
) (
1 1
0
1 1
0
k r b k
r b
m k
r b m
k r
b
k c a k
c a
n k
c a n
k
c
a
m m
n
n
+ +
+ +
− +
+ +
=
= +
+ +
+
− +
+ +
−
−
Trong n ≥ m, n gọi là bậc của hệ thống rời rạc
Trang 487.3.1 Hàm truyền của hệ rời rạc
Biến đổi Z hai vế phương trình (7.17) ta được:
) ( )
(
) ( )
(
) ( )
(
) ( )
(
1
1 1
0
1
1 1
0
z R b z
zR b
z R z
b z
R z
b
z C a z
zC a
z C z
a z
C z
a
m m
m m
n n
n n
+ +
+ +
=
= +
+ +
n n
m m
m m
a z
a z
a z
a
b z
b z
b z
b z
R
z
C
+ +
+ +
+ +
0
1
1 1
0
) (
) (
) ( )
(
) ( )
(
1
1 1
0
1
1 1
0
z R b
z b
z b z
b
z C a
z a
z a z
a
m m
m m
n n
n n
+ +
+ +
=
= +
+ +
Trang 497.3.1 Hàm truyền của hệ rời rạc
Đặt:
(7.18)
) (
)
( )
(
1
1 1
0
1
1 1
0
n n
n n
m m
m m
a z
a z
a z
a
b z
b z
b z
b z
R
z
C z
G
+ +
+ +
+ +
G(z) được gọi là hàm truyền của hệ thống rời rạc
Hàm truyền (7.18) có thể biến đổi tương đương vầ dạng
1 1
1 1 0
) (
n n
n n
m m
m m
m n
z a z
a z
a a
z b z
b z
b b
z z
−
−
− +
+ +
+ +
Trang 507.3.1 Hàm truyền của hệ rời rạc
Ví du: Cho hệ thống rời rạc mô tả bởi bởi phương trình sai
phân sau:
) ( )
2 (
2 )
( 3 )
1 (
5 )
2 (
2 )
3
Tìm hàm truyền của hệ thống?
Giải: Biến đổi Z hai vế phương trình sai phân mô tả hệ thống
ta được:
) ( )
( 2
) ( 3 )
( 5
) ( 2
1
2 1
2 3
2
3 5
2 1
) 2
( 3
5 2
1
2 )
(
)
( )
+
= +
− +
z
z
z z
z z
z z
R
z
C z
G
Trang 517.3.2 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối
Khi thêm vào hệ thống liên tục các khâu lấy mẫu, khâu giữ dữ liệu (và bộ điều khiển số) ta được hệ thống điều khiển rời rạc
Bài toán đặt ra là tìm hàm truyền hệ rời rạc theo biến z từ sơ đồ khối có các khâu lấy mẫu
Xét một số sơ đồ khối thường gặp sau đây:
Trang 527.3.2 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối
1 Hai khâu nối tiếp cách nhau bởi khâu lấy mẫu
Hàm truyền:
*(s) = C(z)
R*(s)R(s)
Trong đó:
(7.20)
) ( ).
( )
(
)
( )
z R
z
C z
{ ( ) } ; ( ) { ( ) } )
1 z G s G z G s
Trang 537.3.2 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối
1 Hai khâu nối tiếp cách nhau bởi khâu lấy mẫu
Ví du: Cho sơ đồ khối hệ thống như hình vẽ Tìm hàm truyền
tương đương của hệ thống
*(s) = C(z)
R*(s)R(s)
b s
s
G a
= 1 ; ( ) 1 )
1
Trang 547.3.2 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối
1 Hai khâu nối tiếp cách nhau bởi khâu lấy mẫu
Giải: Tra bảng biến đổi Z ta có:
e z
z a
s
s G z
z b
s
s G z
(
) ( )
( )
(
2 2
e z
e z
z z
G z G z
Trang 557.3.2 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối
2 Hai khâu nối tiếp không cách nhau bởi khâu lấy mẫu
Hàm truyền:
Trong đó:
(7.21)
)
( )
(
)
( )
z R
z
C z
{ 1( ) 2( ) }2
Cần chú ý là:
{ ( ) } { ( ) } { ( ) ( ) } ( ) )
( )
1 z G z G s G s G s G s G G z
Trang 567.3.2 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối
Ví du: Cho sơ đồ khối hệ thống như hình vẽ Tìm hàm truyền
tương đương của hệ thống
b s
s
G a
= 1 ; ( ) 1 )
Trang 577.3.2 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối
Giải: Tra bảng biến đổi Z ta có:
=
=
) (
1 )
(
1 )
( 1
) (
1 )
(
1 )
(
1 )
(
1
1
1 )
( )
( )
(
2 1
2
1
b s
b a
a s
a b
b s
b a
a s
a b
b s
a s
s G s G z
G
G
Z Z
Z
Z Z
2 Hai khâu nối tiếp không cách nhau bởi khâu lấy mẫu