Số phức và phép biến hình đồng dạng.PDF

3 MỞ ĐẦU Phép biến hình trong mặt phẳng là mảng kiến thức rất quan trọng trong việc giải các bài toán hình học.. Trong chương này tôi hệ thống hóa lại một cách ngắn gọn kiến thức về mặt

1

MỤC LỤC

Lời cam đoan……… ……… 2

Mở đầu……… ……… 3

Chương 1 NGHIÊN CỨU PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG DẠNG BẰNG CÁCH DÙNG SỐ PHỨC 1.1 Mặt phẳng phức……… ……… 5

1.2 Phép đồng dạng trong mặt phẳng phức… ……… 7

1.3 Một số bài toán hình học phẳng giải bằng cách dùng số phức và biểu thức tọa vị của phép đồng dạng……… ………15

Chương 2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN DÙNG PHÉP BIẾN HÌNH ĐỒNG DẠNG MỞ ĐẦU CHƯƠNG II……… ……… 21

2.1 Các bài toán chứng minh……… ……….23

2,2 Các bài toán quỹ tích ……… ……… 31

2.3 Các bài toán dựng hình ……… ……….….42

2.4 Các bài toán thi học sinh giỏi……… ……… 52

KẾT LUẬN……… ……… 68

DANH MỤC SÁCH THAM KHẢO……… ……….69

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi và được sự hướng dẫn của TS.Nguyễn Văn Đoành Các nội dung nghiên cứu,kết quả trong đề tài này là trung thực và chưa công bố dưới bất kỳ hình thức nào trước đây Những số liệu trong các bài toán phục vụ cho việc phân tích, nhận xét,đánh giá được chính tác giả thu thập từ các nguồn khác nhau có ghi rõ trong phần tài liệu tham khảo

Hà Nội, ngày 2 tháng 5 năm 2016

Tác giả

Hoàng Thị Thủy

3

MỞ ĐẦU Phép biến hình trong mặt phẳng là mảng kiến thức rất quan trọng trong việc giải các bài toán hình học

Việc nghiên cứu hình học theo quan điểm biến hình đã được nhà toán học Đức là Felin (1849 – 1925) hệ thống lại trong “chương trình Er Langen” năm

1872 Trong chương trình này Klein đã sắp xếp hệ thống các phép biến hình lại thành những nhóm biến hình khác nhau như nhóm xạ ảnh, nhóm afive, nhóm đồng dạng, nhóm dời hình Dựa vào các bất biến của mỗi nhóm với các nhóm con của nó Klein đã xác lập được mối quan hệ giữa các thứ hình học để

hệ thống hóa các thứ hình học

Trong chương trình hình học lớp 11 học sinh được học về các phép dời hình cụ thể như phép tịnh biến, phép đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay thông qua định nghĩa và tính chất cơ bản của các phép biến hình đó Sau

đó hệ thống lại các phép biến hình đã học Khái niệm hai hình đồng dạng với nhau cũng được xây dựng trên cơ sở các phép biến hình tương ứng là “phép đồng dạng” Đây là một vấn đề khó vì học sinh lần đầu tiên được làm quen với khái niệm biến hình trong việc nghiên cứu hình học

Là một giáo viên đang giảng dạy ở trường THPT tôi muốn nghiên cứu phép biến hình trong mặt phẳng phức Để giúp các em học sinh ứng dụng số phức giải bài toán hình học phẳng dễ dàng và sâu sắc hơn Vì vậy tôi chọn đề tài là: sè phøc vµ PHÐP BIÕN H×NH §ång d¹ng

Nội dung của đề tài gồm hai chương:

Chương I: Dùng số phức nghiên cứu phép đồng dạng phẳng Trong chương này tôi hệ thống hóa lại một cách ngắn gọn kiến thức về mặt phẳng phức.Dùng số phức nghiên cứu phép đồng dạng và giới thiệu một số bài toán hình học phẳng giải bằng cách dùng số phức

Chương II: Sử dụng phép biến hình vào giải các bài toán hình học

Ở chương này tôi đưa ra các bài toán chứng minh,bài toán tìm quỹ tích, bài toán dựng hình trong mặt phẳng được giải bằng cách sử dụng phép biến hình đồng dạng

Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Thăng Long Hà Nội với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của TS Nguyễn Văn Đoành Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm hướng dẫn nhiệt tình của thầy Đồng thời tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô thuộc khoa Toán - Tin, phòng sau đại học Trường đại học Thăng Long đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên tôi hoàn thành luận văn này

Mặc dù đã cố gắng hết sức để nghiên cứu tìm tòi nhưng do kinh nghiệm

và thời gian có hạn nên luận văn này không thể tránh khỏi các thiếu sót Rất mong sự đóng góp ý kiến của các thầy, cô và độc giả để luận văn này được hoàn thiện hơn

Ta đồng nhất tập hợp các điểm của mặt phẳng E với tập hợp các số phức

C Cụ thể, trong mặt phẳng đã cho một hệ tọa độ Đề-các oxy, mỗi điêm M có tọa độ (x, y) được đồng nhất với số phức z = x+yi và gọi số phức đó là tọa vị của M, ta viết M(z) Khi đó E được gọi là mặt phẳng phức

Nếu M có tọa độ (x, y) thì véc tơ OM cũng có tọa độ (x, y) nên ta cũng gọi số phức z = x+yi là tọa vị của OM , ta viết OM(z)

Số thực ( ) cos( )

2

1

ϕ ψ ω ω

z với ψ = arg z , ϕ = arg ω chính là tích vô hướng của hai véc tơ OM (z) và OP(ω) được ký hiệu là (z,ω) Như vậy nếu

0 ,

được gọi là tích lệch của hai véc tơ OM( )z , OP( )ω và ký hiệu là [ ω]

,

z Như vậy, O, M, P thẳng hàng khi và chỉ khi [z , ω]=0

Khi O, M, P không thẳng hàng thì [z,ω]bằng hai lần diện tích đại số của tam giác định hướng OMP : [z,ω] là số thực mà giá trị tuyệt đối của nó là hai lần diện tích tam giác OMP, nó dương khi hướng đi dọc chu vi O → M → P ngược chiều quay kim đồng hồ và nó âm khi định hướng ngược lại )

1.1.2 Phương trình đường tròn và đường thẳng trong mặt phẳng phức

Tập hợp các điểm M trên đường thẳng d có các tọa vị thỏa mãn phương trình

điểm M( )z0 qua đường thẳng z = λ z + δ thì z0' = λ z0 + δ

Tập hợp các điểm M trên đường tròn C có tọa vị thỏa mãn phương trình

( + )+ = 0

z β β , β ∈ C, p ∈ R, β β − p 〉 0 Đó là đường tròn có tâm (−β)

0 2

z z

z z

0 2

M M

M M

M M M

=

ω được gọi là tỷ số kép của bộ bốn điểm M1, M2, M3, M4 và

ký hiệu là [M1, M2, M3, M4].Bốn điểm M1,M2,M3,M4 thuộc một đường tròn khi

và chỉ khi [M M M ]∉ R

3 2

4 2

1 , , nhưng [M M M M ]∈ R

4 3 2

1.1.4 Các phép biến hình của mặt phẳng phức

7

Các phép biến hình của mặt phẳng E là các song ánh từ E vào E Phép biến hình của E bảo tồn tính chất thẳng hàng của các điểm ( gọi là phép biến đổi afin ) được cho bởi z → z' = α z + β z + γ

Nếu f bảo tồn khoảng cách ( gọi là phép dời hình) thì biểu thức của f là :

z'→ z = αz + β , α = 1 phép dời hình bảo toàn hướng

hoặc z'→ z = α z + β , α = 1 phép dời hình đảo hướng

Mỗi phép dời hình bảo toàn hướng là phép tịnh tiến hoặc phép quay

) ( ,

β z → z = z +

T (phép tịnh tiến theo véc tơ v)

β α

ϕ = Q ϕ z → z = z + A

Q ( , ) A: ' , là phép quay tâm )

1

( α

β

−

A và góc quay ϕ = arg α Mỗi phép dời hình đảo hướng là phép đối xứng trượt

1 , : z → z' = α z + β α = f

Đối xứng trượt là tích ,

v v

oT Đ oĐ T

∆

∆ = trong đó ∆ là đường thẳng có phương trình

, δ +

= z u

, , = + < >= =

z = ∈ rõ ràng là phép vị tự tâm 0, hệ số vị tự k, từ đó biến đổi xác định bởi:

V là biến đổi đồng nhất

1 ,−

của nó nếu k< 0 bảo tồn hướng của nó nếu k> 0 ) , biến đường thẳng không qua J thành đường thẳng song song với nó

b) Công thức của phép vị tự :

Từ công thức : z '−z0 =k(z−z0) (k ∈ R \{ }0 )

⇒ ' ( ) 0

1 k z kz

z = + − (k ∈ R \{ }0)

z' = kz+β với β =(1−k)z0

Ngược lại, xét biến đổi của mặt phẳng phức xác định bởi :

β +

−

= 1

γ +

= lz

z' (k , l ∈ R \{ }0 )

d) Nhận xét

+ Tích 2 phép vị tự V k

, và

k K

V

1 , là một phép tịnh tiến ( do 1 =1

k

k ) Cụ thể là:

k K

V

1 ,

o V k , =

V

,

o

k K

V

1 , =

T : → ' = + , V k

1 k z kz

z

0 '

1

nên là phép vị tự tâm K có tọa vị

k

u z

−

+ 1

0 tức là : u

k

k JK

−

+ 1

k

k JL

−

= 1

+ Tập hợp các phép vị tự tâm J làm thành một nhóm giao hoán,

1.2.2 Biến đổi đồng dạng

a) Xét biến đổi f của mặt phẳng E mà có số k > 0 để với mọi cặp điểm M, N

độ dài đoạn thẳng f (M) f (N) bằng k lần độ dài đoạn thẳng MN Gọi g là một phép vị tự hệ số vị tự

Các biến đổi như thế của E gọi là biến đổi đồng dạng, hệ số (đồng dạng ) k >

0 của mặt phẳng Rõ ràng khi k =1, ta được phép dời hình Biến đổi đồng

dạng là một biến đổi afin và từ lí luận trên suy ra: Mọi biến đổi đồng dạng bảo tồn hướng ( gọi là đồng dạng loại một ) xác định bởi công thức ( coi 2

E là mặt phẳng phức):

0 ,

→ z αz β α

z ( biến đổi đồng dạng loại 1)

và mọi biến đổi đồng dạng đảo hướng ( gọi là đồng dạng loại hai) Xác định bởi công thức:

0 ,

f , ( ) ( )'

2

z N f

( 1 2)

' 2

11

Phép đồng dạng là một phép afin Qua một phép đồng dạng ảnh của đường thẳng là đường thẳng, ảnh của tia là tia, ảnh của đoạn thẳng là đoạn thẳng, ảnh của một góc là một góc có cùng số đo, ảnh của tam giác là một tam giác đồng dạng với nó, ảnh của đường tròn có bán kính R là đường tròn có bán kính k R

1

A, A2 thành '

2

A Chứng minh

Tìm phép biến đổi đồng dạng loại 1

' 2

' 1

z z

z z

' 2

' 1

z z

z z

Chứng minh:

Trước tiên chứng minh rằng nếu A, B, C thẳng hàng cùng thuộc đường thẳng thì A =' f( )A , B =' f( )B , C =' f( )C thẳng hàng

Giả sử A', B', C' không thẳng hàng Lấy D' là một điểm tùy ý của đường thẳng A'B' thì D f − 1( )D '

= phải thuộc đường thẳng AB vì nếu A, B, D không thẳng hàng thì đường tròn C đi qua A, B, D có ảnh là đường tròn C' đi qua A', B',

D' Điều này vô lý vì A', B', D' thẳng hàng

Tương tự, mọi điểm trên đường thẳng B'C', C'A' đều có tạo ảnh thuộc d Từ

đó suy ra rằng tạo ảnh M của mọi điểm M' của mặt phẳng đều thuộc d và do

đó f không còn là song ảnh

Vậy A', B', C' thẳng hàng Điều đó có nghĩa f là biến đổi afin

Bây giờ chứng minh rằng biến đổi afin biến đường tròn thành đường tròn là một biến đổi đồng dạng

Biến đổi afin f cho bởi

γ β

α γ β α γ β α

Suy ra

R

R e

= + − ϕ ϕ

β α

Đẳng thức này tương đương với

R

R e e e

= +

ϕ

β α β

0 '

R

R e

Chứng minh

Cho biến đổi đồng dạng loại 1 f: z' = z α + β (α ≠ 0)

và cho ba điểm M0( )z0 , M1( )z1 , M2( )z2 Khi đó

( ) ( ) ( )

1 2

0 2 1 2

0 2 '

1

' 2

' 0

' 2 2 1

z z

z z z z

z z z

z

z z M f M f M

Tương tự, nếu f là biến đổi đồng dạng loại hai thì

( ) ( ) ( )

( ) [ 0 1 2]

1 2

0 2 '

1

' 2

' 0

' 2 2 1

z z

z z z

z

z z M f M f M

* Ngược lại, song ánh f bảo toàn tỉ số đơn của ba điểm phân biệt thì f là biến đổi đồng dạng loại 1

Thật vậy, lấy M1( )z1 , M2( )z2 phân biệt thì với mọi điểm M( )z ta có

1 2

2 ' 1

' 2

' ' 2

z z

z z z z

z z

z , '

z lần lượt là tọa vị của f ( M1), f ( M2),

) (M f

1 2

' 1 2 ' ' 2 1 2

' 1

' 2

z z

z z z z z z

z z z

−

−

− +

' 2

' 1

' 2

z z

1 2

' 1

' 2 '

z z

z z z

−

−

−

= β

Tương tự, đối với song ánh biến tỉ số đơn thành số phức liên hợp thì song ánh

đó là biến đổi đồng dạng loại 2

1.2.3 Điểm bất động và dạng chính tắc của phép biến đổi đồng dạng

a) Điểm bất động

Biến đổi đồng dạng khác dời hình có một và chỉ một điểm bất động

Thực vậy: Nếu f là biến đổi đồng dạng loại một xác định bởi z' = z α + β , α ≠ 0

β β α

−

+

= 1

2) Tích của phép đối xứng trục Đ∆ và một phép vị tự VJ,k giao hoán được

Đ∆ o VJ,k = VJ,k o Đ∆ khi và chỉ khi J phải thuộc ∆

Chứng minh

(1)

15

Gọi J là tâm của phép vị tự V ta có Q * V( )J = V * Q( )J ⇒ Q( )J = V(Q( )J ) Do

đó Q( )J là điểm bất động của phép vị tự V, vậy Q( )J =J

Do đó J là điểm bất động của phép quay Q, vậy J là tâm quay

Ngược lại, nếu J là tâm quay và tâm vị tự thì :

VoQ QoV = Thực vậy, coi J là gốc tọa độ thì

Đ∆ o VJ,k đều được xác định bởi z → z ' = k z

Định lí Mỗi biến đổi đồng dạng loại một khác dời hình là tích giao hoán được của một phép quay và phép vị tự ( vị tự - quay)

Mỗi biến đổi đồng dạng loại II là tích giao hoán được của phép đối xứng trục

0

z thì f xác định bởi ' 0 ( 0)

z z z

z − = α −

Vậy f là tích của phép vị tự tâm J, tỉ số k = α và phép quay tâm J góc quay

argα

Tích đó giao hoán được do nhận xét 1

Nếu biến đổi đồng dạng loại hai g xác định bởi z' = α + z β và J( )z0 là điểm

bất động duy nhất với

α α

β β α

−

+

= 1

0

z và công thức của g có thể viết

) ( 0

Tích đó giao hoán được do nhận xét 2

Phép vị tự quay thường kí hiệu Z ( J ,ϕ, k ),J là tâm của phép quay và tâm vị

tự,ϕ là góc quay,k là tỉ số vị tự.Phép vị tự đối xứng thường kí hiệuZ ( J , ∆ , k ),J

là tâm vị tự thuộc ∆,∆là trục đối xứng,k là tỉ số vị tự

1.3 MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG GIẢI BẰNG CÁCH DÙNG SỐ PHỨC VÀ BIỂU THỨC TỌA VỊ CỦA PHÉP ĐỒNG DẠNG Bài toán 1 Trong mặt phẳng cho hai cặp điểm A, B và A', B' ( A ≠B, A' ≠ B')

mà độ dài các đoạn AB và A'B' không bằng nhau Gọi f là biến đổi đồng

dạng loại 1, biến A thành A', B thành B' Hãy dựng điểm bất động J1 của f

1

z

* Khi đó J1 là điểm trên tia AC1 sao cho

AC

AA AB

AJ1 '

=

Ta có thể dựng như sau:

Lấy E1 trên tia AC1, sao cho AE1 = AB

Lấy C2 trên tia AA', sao cho AC2 = AC

Khi đó đường thẳng qua A' song song với E1C2 cắt AC1 tại J1

Chú ý :

Dùng phương pháp tổng hợp

Ta có

B J

B J A J

A J

1

1 1

= Vậy J1 là một giao của đường tròn Apollonius chia cặp (A', A) theo tỉ số k với đường tròn Apolloninus chia cặp (B',B) theo tỉ số k

Bài toán 2 Trong mặt phẳng cho tam giác A0A1A2 và đường thẳng l Qua A0 ,

A1 , A2kẻ các đường thẳng song song với nhau cắt l theo thứ tự tại P0, P1, P2 ,

số đo góc định hướng giữa l và các đường thẳng đó là ϕ ( sai khác cộng kπ) Qua P0, P1, P2 lần lượt kẻ các đường thẳng l0 , l1 , l2 sao cho các góc định

hướng giữa A1A2 với l0 , giữa A2A0 với l1 , giữa A0A1 với l2 đều có số đo là ψ

( sai khác cộng kπ)

a) Với điều kiện nào của ϕ và ψ thì các đường thẳng l0 , l1 , l2 đồng quy

b) Khi các đường thẳng đó không đồng quy, gọi Q0, Q1, Q2 theo thứ tự là giao của l1 với l2 , giao của l2 với l0 , giao của l0 với l1 , thì tam giác Q0Q1Q2 đồng dạng với tam giác A0A1A2 Tính hệ số đồng dạng

Tương tự, P1( )z1 , 1 1 (µ(δ λα1) λα1)

λ

= z

Các đường thẳng l0 , l1 , l2 có phương trình lần lượt là

( 0)

1 2

1 2

α α ν

( 1)

2 0

2 0

α α ν

( 2)

0 1

0 1

α α

λ µ

νδ λδ µδ α λ µ

µν λ

−

−

− +

−

−

' 2

z của Q0 và Q1.Như vậy ánh xạ f của mặt phẳng

phức xác định bởi công thức

λ µ

νδ λδ µδ λ

µ

µν λ

−

−

− +

λ µ

µν λ

i i

µ

µ λ

sin

) sin( +

) sin( + (Khiψ = 0 thì f là phép dời hình loại 1.Ta vẽ hình trong trường hợp này

Khi ϕ + ψ = k π và chỉ khi đó f là ánh xạ hằng,tứcQ0, Q1, Q2trùng nhau,hay

2 1

0 , l , l

l đồng quy

Bài toán 3

Điểm P nằm trên đường tròn C tâm O ngoại tiếp tam giác không vuông

A0A1A2 Các đường cao của tam giác A0A1A2 xuất phát theo thứ tự từ A0 , A1 ,

A2lại cắt C tại A'0 , A'1 , A'2 Các điểm P0, P1, P2 là điểm đối xứng của P theo thứ tự qua các đường thẳng OA0 , OA1 , OA2 Các điểm P'0, P'1, P'2 là các

điểm đối xứng của P theo thứ tự qua các đường thẳng OP0 , OP1 , OP2 Các

điểm P"0, P"1, P"2 là các điểm đối xứng của P'0, P'1, P'2 qua đường thẳng OP Các điểm thẳng Q0 , Q1 , Q2là các điểm đối xứng của P"0, P"1, P"2 qua tiếp

tuyến của C tại A'0 , A'1 , A'2

a) ∆ Q0 Q1 Q2 vị tự với tam giác A'0 A'1 A'2với hệ số 2

b) Tìm quỹ tích tâm phép vị tự nói trên khi điểm P chạy trên C

Giải

21

Gọi C là đường tròn đơn vị trong mặt phẳng phức, A0 (α0), A1 (α1), A2 (α2), trực tâm H của ∆A0A1A2 có tọa vị α0+α1+α2

Tọa vị của A'0 , A'1 , A'2

Phương trình của đường thẳng A1A2 : z = − α1α2z + α1+ α2

A'0 (α'0) là điểm đối xứng của H qua A1A2 nên

2 1 0 0

0 ω α

0 3 4 0 2

' 0

5 2 3

' 0

"

0 2 ' 0

0 = − α ω + 2 α = − δ ω + 2 α

z , trong đó δ3 =α0α1α2

Tương tự Q1(z1), Q2(z2)

' 1

5 2 3

1 = − δ ω + 2α

2

5 2 3

2 = − δ ω + 2α z

a) Xét biến đổi đồng dạng f xác định bởi 2 5

3

2 ' = − δ ω

→ z z z

' − δ ω = z − δ ω z

nên f là phép vị tự hệ số 2, tâm J có tọa vị 2 5

3 ω

δ b) Khi P( )ω thay đổi trên C thì quỹ tích J cũng chính là C vì 2. 5 1

23

Chương 2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN DÙNG PHÉP BIẾN HÌNH ĐỒNG DẠNG

MỞ ĐẦU CHƯƠNG II

* Để giải các bài toán hình học ta có thể dùng nhiều phương pháp: phương pháp tọa độ, phương pháp tổng hợp, phương pháp véc tơ, phương pháp xạ ảnh, phương pháp dùng phép biến hình, phương pháp số phức, Về nguyên tắc, bất kỳ bài toán hình học nào cũng có thể giải bằng phương pháp tọa độ hoặc phương pháp tổng hợp, còn các phương pháp khác không phải bài toán hình học nào cũng sử dụng được

Giải một bài toán bằng phép biến hình cần:

• Nhận biết lớp các bài toán có khả năng giải được bằng cách dùng phép biến hình Để nhận biết được điều đó, cần phân tích giả thiết và kết luận của bài toán để tìm các yếu tố có liên quan đến một phép biến hình cụ thể nào đó Nếu có các yếu tố bằng nhau ta nghĩ đến phép dời hình, có các yếu tố đồng dạng ta nghĩ đến vị tự quay, vị tự đối xứng

• Kỹ thuật quan trọng nhất khi dùng phép biến hình để giải toán là : Cho hình H, cho phép biến hình f, căn cứ vào định nghĩa và tính chất của f ta dựng được hình :

( )H f

H =' là ảnh của H qua phép biến hình f

( ) {f M M H}

Trong chương này, chủ yếu ta dùng phép biến đổi đồng dạng để giải các bài toán của hình học phẳng

2.1 CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH

Bài toán 1

Cho hình vuông ABCD tâm I, cạnh 6 cm và hình vuông AEFH tâm J có cạnh

3 cm Đỉnh E là trung điểm của AD H nằm ngoài đoạn AB và 3 điểm H, A, B thẳng hàng

và một phép quay )

Giả sử ∆ ABC có các đường cao

AH, BI và CK Tam giác A'B'C' có các đường cao A'H', B'I' và C'K' thỏa mãn

AH = A'H', BI = B'I', CK = C'K'

Trong ∆ ABC có AB.CK = BC.AH = CA.BI = 2S

Tương tự: A'B' C'K' = B'C'.A'H' = C'A'.B'I' = 2S'

k C A

AC C

B

BC B

Vậy hai ∆ ABC và A'B'C' đồng dạng Do đó phép đồng dạng f tỷ sổ k biến ∆ ABC thành ∆ A'B'C' Phép f biến AH thành A'H' với AH = A'H' ⇒ k = 1 Vậy f là phép dời hình → ∆ ABC = ∆ A'B'C'

Bài toán 3 Cho 3 đường tròn ( )O1 , ( )O2 , ( )O3 đôi một tiếp xúc ngoài với nhau

A, B, C lần lượt là các tiếp điểm của ( )O1 và ( )O2 , ( )O2 và ( )O3 ; ( )O3 và ( )O1 Đường thẳng AB cắt ( )O3 tại điểm thứ hai B', AC cắt ( )O3 tại điểm C' CMR : B'C' là đường kính của ( )O3

Chú ý:

Hai đường tròn bất kỳ là ảnh vị tự của nhau Có hai phép vị tự biến đường

tròn này thành đường tròn kia Nếu hai đường tròn tiếp xúc thì điểm tiếp xúc

là một trong hai tâm vị tự

Bài toán 4

Cho đường tròn (O,R) tiếp xúc ngoài với hai đường tròn bằng nhau (O,r

1 ) và (O 2 , r) tại các điểm M1 , M2 tương ứng ( R ≠ r) M di động trên (O,R)

Bài toán 5

Cho 2 chất điểm A, B chuyển động đều với cùng vận tốc tương ứng trên tia

Ox và Oy đã cho xuất phát từ các điểm A0,B0 không trùng với O và OA ≠0 OB0

theo hướng xa dần điểm O

CMR luôn tồn tại 1 điểm P cố định sao cho ta luôn có : PA = PB

Giải

Đặt góc định hướng giữa 2 tia

(Ox , Oy)=α +2 k π (k ∈ Z)

Giả sử có điểm P sao cho :

PA = PB với mọi vị trí của A, B khi di

chuyển tương ứng trên tia Ox và Oy, do

PA nên P phải là tâm của phép quay Q có góc quay

α , biến điểm A0 thành B0 Vậy P là giao điểm của cung A0B0 chứa điểm O của đường tròn ngoại tiếp ∆ OA0B0 và đường trung trực của A0

0

B Do đó P là điểm cố định.Ta chứng minh PA=PB với mọi vị trí của A,B

B0 = 0 (gt)

P B O

29

Bài toán 6

Cho ∆ ABC Hình vuông BCDE nằm trên nửa mặt phẳng không chứa A có bờ

là BC Từ D và E lần lượt dựng DI ⊥ AB, EK ⊥ AC

CMR : EK, DI và AH ( đường cao) đồng quy

Chứng minh :

+ Ta muốn dời ∆ ABC đến một vị trí mới nhận 3 đường thẳng trên là 3 đường cao

Bài toán 7 Bài toán Napoleon

Lấy các cạnh của một ∆ ABC bất kỳ làm đáy, dựng ra phía ngoài ∆ ABC ba

∆ đều BCA', CAB' và ABC'

CMR các tâm A0 , B0,C0 của ba ∆ đều vừa dựng là các đỉnh của một ∆ đều

0 0

1 : ' , và

0 0

31

0 0 2

1 2

3

1 3

K

Nên Z2oZ1 là một phép dời hình D Đó là phép quay góc quay 600

tâm A0 Biến B0 thành C0

Vậy A0B0C0 là một ∆ đều

Bài toán 8 Chứng minh định lý Mê nê la uyt

Định lý: Điều kiện cần và đủ để 3 điểm A', B', C' nằm trên 3 đường thẳng chứa các cạnh BC, CA, AB của một ∆ ABC thẳng hàng là:

1 '

' '

' '

'

= B C

A C A B

C B C A

B A

A C K

'

'

A B

C B K

'

'

B A

C A K

'

'

3 = (1) Vậy ta có kết quả sau:

A B

V : →

1

C A

V2: →

C B

Vì B ' C ' ∩ BC = A ' nên tâm của phép vị tự tích V2oV1 phải là giao điểm A' của 2 đường thẳng BC và B'C' Hay V2oV1= V3

Vậy ta phải có : K1 K2 = K3

hay là . 1 1

3 2

K (2) Thay (1) vào (2) ta có

B C

A C '

'

A B

C B '

'

B A

C A ' ' =1

2.2 CÁC BÀI TOÁN QUỸ TÍCH

1

; I

1

; I

V ,đó là đường tròn tâm O’ bán kính R R

3

1 ' = trong đó O’ là

điểm xác định bởi IO IO

3

1' = Bài toán 2:Cho điểm A cố định chạy trên đường tròn (O) và ∆ ABC vuông cân tại C, B di động trên đường tròn (O)

a) CMR đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định

Vậy đường thẳng BC luôn đi qua điểm cố định I

b) Ta có: Phép hợp thành 2 ( 0)

; , 45 : 2

a) Tìm quỹ tích của điểm M

b) Tìm quỹ tích trung điểm N của AM

Giải

a) ∆ CAM vuông cân tại C nên ( AC, AM) = 450

.AM = 2 AC

Vậy M là ảnh của C qua phép vị tự quay F =Z(A ,−450, 2) ⇒ Quỹ tích điểm

M là đường tròn (O1) là ảnh của (O) qua phép đồng dạng F với F:(O;R) →

(O1; R 2) với O1 là trung điểm của cung AB

b) Tìm quỹ tích trung điểm N của AM