Tìm Hiểu Lịch Sử Phát Triển Tích Phân

CHƯƠNG 1 TÌM HIỂU LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN TRƯỚC NEWTON VÀ LEIBNIZ Toán học thực sự được hình thành, phát triển và có ứng dụng thực tế khoảng thế kỷ thứ V trước Công nguy

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

–––––––––––––––––

TRẦN ĐẠI DƯƠNG

TÌM HIỂU LICH SỬ PHÁT TRIỂN TÍCH PHÂN

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số : 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, năm 2013

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU……….……….……….1

CHƯƠNG 1 TÌM HIỂU LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN TRƯỚC NEWTON VÀ LEIBNIZ 3

1.1 Diện tích, số và khái niệm giới hạn thời cổ đại 3

1.1.1 Hình học Babilon và Hình học Ai cập 3

1.1.2 Hình học Hy Lạp thời cổ đại 6

1.1.3 Đoạn thẳng vô ước và Phương pháp hình học giải toán đại số 7

1.1.4 Eudoxus và Phương pháp vét cạn 8

1.2 Những đóng góp của Archimedes trong hình thành các khái niệm tích phân 11

1.2.1 Đo hình tròn 12

1.2.2 Cầu phương parabola 13

1.2.3 Archimedes và calculus 16

1.3 Tính không chia nhỏ được và kĩ thuật vô cùng bé 17

1.3.1 Kĩ thuật vô cùng bé của Johannes Kepler 17

1.3.2 Tính không chia nhỏ được của Bonavetura Cavalieri 18

1.3.3 Cầu phương số học (Arithmetical Quadratures) 19

1.4 Tiếp tuyến 21

1.4.1 Phương pháp giả phương trình của Fermat 21

1.4.2 Quan hệ giữa tiếp tuyến và cầu phương 23

CHƯƠNG 2 TÌM HIỂU LỊCH SỬ HOÀN CHỈNH KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN SAU NEWTON VÀLEIBNIZ…….……….……… …26

2.1 Phát triển tích phân của Asaac Newton 26

2.1.1 Khái niệm vi phân và đạo hàm của Newton 26

2.1.2 Nguyên lí cơ bản của phép tính tích phân 28

2.1.3 Quy tắc xích và phép lấy tích phân bằng phép thế 29

2.2 Phát triển tích phân của Gottfriend Wilhelm Leibniz 34

2.2.1 Khởi đầu: Tổng và Sai phân 34

2.2.2 Tam giác đặc trƣng 35

2.2.3 Sự phát minh ra calculus giải tích 38

2.2.4 Các kết quả của Newton và Leibniz 40

2.3 Thời đại của Euler 41

2.3.1 Khái niệm hàm số 41

2.3.2 Tính vi phân của các hàm cơ bản Euler 43

2.4 Hoàn thiện tích phân bởi Cauchy và Riemann 44

2.4.1 Đóng góp của Cauchy trong hoàn thiện khái niệm tích phân 47

2.4.2 Đóng góp của Riemann trong hoàn thiện khái niệm tích phân …51 KẾT LUẬN 52

TÀI LIỆU THAM KHẢO 53

LỜI NÓI ĐẦU

Trong chương trình Toán Trung học Phổ thông, sách giáo khoa hiện hành thường giới thiệu sơ lược về các nhà toán học và một số kiến thức lịch

sử toán học liên quan đến nội dung bài học

Tìm hiểu những kiến thức về lịch sử toán nói chung, kiến thức lịch sử tích phân liên quan đến chương trình toán Trung học Phổ thông nói riêng, theo tôi, là rất cần thiết Hơn nữa, giảng dạy toán học thông qua lịch sử toán học có lẽ cũng là vấn đề rất thú vị và đáng quan tâm

Với mong muốn tìm hiểu và trang bị cho mình một số kiến thức về lịch

sử tích phân liên quan đến chương trình Trung học Phổ thông và một số biện pháp để cung cấp kiến thức này cho học sinh Trung học Phổ thông, nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn toán của cá nhân ở trường Trung học,

tôi chọn đề tài Tìm hiểu lịch sử phát triển tích phân làm Luận văn Cao học Luận văn có mục đích tìm hiểu quá trình hình thành, phát triển và định hình

khái niệm tích phân, các nội dung trong tính toán tích phân và ứng dụng của tích phân Chúng tôi cũng cố gắng sử dụng những hiểu biết về lịch sử tích

phân trong dạy học toán ở trường Trung học Phổ thông

Luận văn gồm hai chương:

Chương 1: Tìm hiểu lịch sử phát triển khái niệm tích phân trước Newton

và Leibniz

Chương 2: Tìm hiểu lịch sử hoàn chỉnh lí thuyết tích phân sau Newton

và Leibniz

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái

Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS TS Tạ Duy Phượng (Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam) Trong suốt quá trình làm luận văn, tôi đã nhận được sự hướng dẫn tỉ mỉ, nghiêm túc của Thầy Một số

nội dung trong Luận văn được tham khảo từ bản dịch của Thầy hướng dẫn

Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy

Tôi cũng xin cảm ơn các quý thầy, cô giảng dạy Cao học của Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, đã mang đến cho tôi nhiều kiến thức bổ ích trong khoa học và cuộc sống

Xin chân thành cảm ơn Trường Trung học Phổ thông Kim Sơn C, Ninh Bình, nơi tôi công tác, đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành nhiệm vụ Xin chân thành cảm ơn các bạn đồng môn đã giúp đỡ tôi trong thời gian học tập tại Đại học Thái Nguyên và trong quá trình hoàn thành luận văn Cuối cùng, tác giả xin được cảm ơn mẹ và người vợ yêu dấu, cùng những người thân trong gia đình đã luôn luôn ủng hộ và động viên để tác giả

có thể hoàn thành luận văn một cách tốt nhất

Thái Nguyên, tháng 5- 2013

Người viết Luận văn

Trần Đại Dương

CHƯƠNG 1 TÌM HIỂU LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN TRƯỚC

NEWTON VÀ LEIBNIZ

Toán học thực sự được hình thành, phát triển và có ứng dụng thực tế khoảng thế kỷ thứ V trước Công nguyên, vào thời đại của các nền văn minh

cổ đại: Nền văn minh Ai Cập, Babylone, nền văn minh Hy Lạp, Ngay trong các thành tựu toán học thời kì này đã có những mầm mống của phép toán vi phân và tích phân (calculus) Chương này trình bày ý tưởng sơ khai hình thành khái niệm tích phân và những đóng góp của Archimedes, sau đó trình bày sự phát triển khái niệm tích phân thời kì trước Newton và Leibniz

1.1 Diện tích, số và khái niệm giới hạn thời cổ đại

1.1.1 Hình học Babilon và Hình học Ai cập

Lịch sử phát triển toán học nằm trong và gắn liền với lịch sử phát triển của văn minh nhân loại Toán học thời sơ khai phát triển và góp phần giải

quyết các bài toán thực tế do xã hội đặt ra dựa trên các khái niệm số và hình

Hai lĩnh vực này tuy phát triển độc lập, nhưng nói chung liên quan mật thiết với nhau Thí dụ, hình học phải sử dụng số để biểu diễn các đại lượng (diện tích, thể tích,…), phương trình đại số được giải bằng phương pháp hình học

Hình học Ai Cập

Những thành tựu hình học trong toán học Ai Cập và Hy Lạp là cơ sở cho

sự phát triển của rất nhiều ngành toán học hiện đại, trong đó có calculus (phép

tính vi phân và tích phân) Nói chung các nhà nghiên cứu lịch sử đều thống nhất rằng hình học có nguồn gốc từ Ai Cập Thí dụ, nhà Lịch sử Hy Lạp Herodotus (thế kỉ 5 trước công nguyên) đã viết rằng, việc thu thuế của những thửa ruộng trên những cánh đồng dọc theo sông Nile được tính theo diện tích, nhưng hàng năm nhà quản lí phải biết số diện tích ruộng bị lấp đi do phù sa

sông Nile bồi đắp, để trừ thuế Rõ ràng, điều này đòi hỏi phát triển những kĩ thuật đo đạc và tính toán diện tích

Những bảng đất sét của người Hy Lạp cổ đại sau khi được giải mã, đã cho chúng ta biết nhiều thông tin về hiểu biết hình học của người xưa Thí dụ,

các bảng đất sét Rhind Papyrus chứa một số bài toán và lời giải, trong đó có

khoảng 20 bài toán tính diện tích cánh đồng và thể tích các kho thóc Mỗi bài toán được phát biểu dưới ngôn ngữ các số cụ thể, đúng hơn là bằng các chữ,

và lời giải của chúng được viết dưới dạng đơn thuốc (in recipe fashion), mà không chỉ rõ công thức tổng quát hoặc phương pháp chung

Diện tích hình chữ nhật bằng tích của đáy nhân chiều cao coi như đã biết Diện tích hình bình hành được tính bằng cách đưa về hình chữ nhật nhờ

cắt và dán tam giác Diện tích tam giác được tính bằng cách nhân một nửa

cạnh đáy với chiều cao, bằng nửa diện tích hình bình hành (hình bình hành là hai tam giác bằng nhau ghép lại) Bài toán tính diện tích hình thang cân có đáy bằng 4, 6 và chiều cao 20 đã được tính như nửa tổng hai đáy “giống như hình chữ nhật” và nhân với chiều cao, kết quả được đáp số đúng là 100 (Hình 1.1) Bài toán này và các bài toán tương tự cho phép giả thiết rằng cách tính

diện tích của người Ai Cập dựa trên phương pháp cắt cơ bản (elementary

dissection method), hay kĩ thuật cắt các hình (đa giác) thành tam giác và dán các tam giác này lại để được hình chữ nhật (Hình 1.1)

b h

Hình 1.1

Người Ai Cập đã biết gần đúng số  Một bảng đất sét đã mô tả cách

tính diện tích hình tròn bằng bình phương của 8

9 đường kính như sau:

Chia mỗi cạnh hình vuông ngoại tiếp đường tròn đường kính d làm ba phần

và cắt đi bốn tam giác ở bốn góc (Hình 1.2)

Khi ấy diện tích của bát giác đều (xấp xỉ diện tích

Ngày nay, khi nghiên cứu thành tựu về đại số của người Babilon, người

ta cho rằng sở dĩ họ đạt được những thành tựu như vậy là vì họ biết dựa vào

hệ đếm cơ số 60 Thí dụ, họ đã tính gần đúng giá trị của 2 (chỉ sai khác 0.000001 đơn vị):

1.1.2 Hình học Hy Lạp thời cổ đại

Khoảng 2500 về trước, người Hy Lạp đã tiếp thu được những kiến thức toán học, đặc biệt là hình học, của người Ai Cập và người Babilon Những kiến thức đó lần đầu tiên đã được ứng dụng một cách hiệu quả để đo diện tích các mảnh đất Tiếng Hy Lạp chữ “hình học” nghĩa là “đo đất”

Các nhà toán học Hy Lạp, tiêu biểu là Thales (nửa đầu thế kỉ 6 trước công nguyên) và Pythagoras (500 năm trước công nguyên), đã có những đóng

góp lớn trong hình học Trường phái Pythagoras đã đưa vào khái niệm tỉ số (ratios) và tỉ lệ (proportion) giữa các đại lượng (có thể là các số hoặc các đại

lượng hình học), có ứng dụng thiết thực trong tính toán số học và buôn bán Khái niệm tỉ số và tỉ lệ giữa các số được mở rộng và áp dụng cho tỉ số độ dài, diện tích Thí dụ, Hyppocrates (khoảng năm 430 trước công nguyên) đã chứng minh rằng tỉ số diện tích giữa hai hình tròn bằng bình phương tỉ số đường kính (hoặc bán kính) của chúng Ông suy ra kết quả này bằng cách vẽ hai đa giác đều đồng dạng nội tiếp trong hai đường tròn đã cho và diện tích hình tròn nhận được bằng cách tăng vô hạn số cạnh của đa giác đều nội tiếp

Như vậy, Hyppocrates đã có những cảm nhận về khái niệm giới hạn (limit) và

đại lượng vô cùng bé (infinitesimal), tuy nhiên, các khái niệm này ở Ông có lẽ

còn chưa thật rõ ràng

Vì diện tích hình tròn có thể xấp xỉ bởi diện tích hình đa giác đều nội tiếp khi số cạnh đủ lớn, diện tích hình tròn không thể bằng diện tích của bất cứ đa giác đều cụ thể nào nội tiếp trong nó Xuất hiện bài toán cầu phương hình

tròn: Tìm hình vuông có diện tích bằng diện tích hình tròn đã cho Đây cũng

là ví dụ của bài toán, trong đó phân biệt rõ ràng sự khác nhau giữa tính toán chính xác và tính toán xấp xỉ, khác với toán học thời kì Ai Cập và Babilon

1.1.3 Đoạn thẳng vô ước và Phương pháp hình học giải toán đại số

Trường phái Pytagoras đã xây dựng hình học trên cơ sở tỉ số và tỉ lệ Từ

đó phát hiện ra rằng độ dài cạnh hình vuông và đường chéo của nó là vô ước (tỉ số của chúng không biểu diễn được qua một số hữu tỉ), nghĩa là tồn tại các

số, thí dụ, 2, không phải là số hữu tỉ

Khoảng 300 năm trước công nguyên, hệ thống suy luận lôgic và phép diễn dịch (the consciously logical and explicitly deductive approach) đã được

trình bày khá hoàn hảo trong 13 tập Elements, tác phẩm Cơ bản của Euclid

Cho tới nay, đây vẫn là nét đặc trưng tuyệt vời của toán học Hy Lạp

Sách giáo khoa hình học của các trường phổ thông hiện nay về nội dung và chặt chẽ lôgic trong trình bày cơ bản gần như trùng với các chương hình học

của Elements Qua đây thấy được sức sống mạnh mẽ của Elements và thiên tài

của Euclid

Nhờ cách dựng hình (bằng thước và compass), Euclid đã chứng minh sự

tồn tại đoạn thẳng, độ dài của nó là trung bình nhân (Hình 1.3) của độ dài hai đoạn thẳng a và b Từ đó suy ra sự tồn tại nghiệm (hình học) của phương

trình x2 ab, trong khi đó phương trình x2 2 đã bị các nhà toán học Hy

Lạp coi là không có nghiệm (nghiệm hữu tỉ theo ngôn ngữ hiện đại)

Như vậy, Euclid đã đưa phương pháp hình học vào giải các bài toán đại số

(giải các phương trình)

1.1.4 Eudoxus và Phương pháp vét cạn

Các nhà toán học Hy Lạp giả thiết một cách cảm tính rằng, các hình cong như hình tròn và ellipses, có diện tích bằng diện tích của các đa giác Và các diện tích này, kí hiệu là ( ),a S thỏa mãn các tính chất tự nhiên sau đây

(i) Tính đơn điệu: Nếu S chứa trong T, thì ( )a S a T( )

(ii) Tính cộng: Nếu S là hợp của hai hình S1 và S2 rời nhau, thì

Tương tự như Hyppocrates đã tăng số cạnh của đa giác đều nội tiếp để

tính diện tích hình tròn, Eudoxus (408-355 trước CN) đã đưa ra phương pháp

vét cạn (method of exhaustion) để tính diện tích của một hình phẳng S bất kì

Bổ đề Cho trước hình tròn C và một số  0, tồn tại một đa giác đều P nội tiếp trong C sao cho ( ) a C a P( )

Dựa trên Bổ đề này, có thể chứng minh

Định lí Cho hai hình tròn C1 và C2 bán kính r1 và r2. Khi ấy

Nguyên lí vét cạn của Eudoxus còn cho phép chứng minh

Định lí Hai hình chóp tam giác có chiều cao bằng nhau thì tỉ số thể tích V1

và V2 bằng tỉ số hai diện tích đáy A1 và A2: 1 1

A là diện tích đáy, còn h là chiều cao hình chóp (hình nón), mặc dù, theo

Archimedes, công thức này đã đƣợc phát hiện bởi Democritus

Chứng minh của Euduxus nhƣ sau

Kí hiệu chiều cao của hình chóp OBCD là h và diện tích đáy BCD là

hai hình chóp OEFG và EBKM Bởi vì cả hai hình chóp OEFG và EBKM

đều có chiều cao

hình chóp Tại bước thứ k, ta có 2k hình chóp nhỏ với chiều cao

Sử dụng công thức tổng của cấp số nhân

Lưu ý rằng, mặc dù người Hy Lạp đã biết công thức tính tổng các số

hạng đầu tiên của cấp số nhân, họ đã sử dụng reductio ad absurdum để tránh

tính tổng hình thức của chuỗi vô hạn

Chứng minh công thức thể tích hình chóp của Eudoxus là lí do để Hilbert

phát biểu Bài toán thứ ba của Hilbert như sau (dưới dạng phù hợp với trình

bày ở đây): Có thể có chứng minh sơ cấp (không dùng giới hạn) cho công thức tính thể tích hình chóp không?-Câu trả lời là không

Nhờ nguyên lí vét cạn, nhiều khẳng định hình học được chứng minh Tuy các chứng minh này không sử dụng trực tiếp khái niệm giới hạn, nhưng các ví dụ

trên cho thấy, các nhà toán học Hy Lạp đã tiếp cận đến khái niệm giới hạn và

đại lượng vô cùng bé, hai khái niệm cơ bản của phép tính vi tích phân

1.2 Những đóng góp của Archimedes trong hình thành các khái niệm tích phân

Archimedes (287 - 212 trước công nguyên) đã phát triển phương pháp vét cạn thành một kĩ thuật có sức mạnh phi thường để giải một lượng lớn các bài

toán mà ngày nay là những ứng dụng điển hình của phép tính tích phân Những nghiên cứu của Archimedes là điểm khởi đầu của sự phát triển

calculus hiện đại Với calculus, Ông để lại 6 tác phẩm chính:

1) Measurment of a Circle

2) Quadrature of the Parabola 3) On the Sphere and Cylinder 4) On Spirals

5) On Conoids and Spheroids 6) The Method

là hai tỉ lệ này có chung hằng số,  1  2 . Trong tác phẩm Measurement

of a Circle (đo hình tròn), Archimedes lần đầu tiên đã chứng minh điều này

một cách chặt chẽ bằng cách chỉ ra rằng diện tích hình tròn bằng diện tích tam giác có đáy bằng chu vi đường tròn và chiều cao bằng bán kính của nó,

Archimedes cũng đã mở rộng phương pháp vét cạn thành phương pháp

nén (method of compression) Thay vì chỉ xét một đa giác đều nội tiếp đường

tròn, Ông đã xét hai đa giác đều nội ngoại tiếp đường tròn Diện tích hình tròn khi ấy bị nén (compressed) giữa diện tích các đa giác đều nội, ngoại tiếp Diện tích của hai đa giác đều cho xấp xỉ gần đúng thiếu và gần đúng thừa diện tích hình tròn

1.2.2 Cầu phương parabola

Trong Lời nói đầu của tác phẩm Về phép cầu phương parabola

(Quadrature of the Parabola), Archimedes đã lưu ý rằng, các nhà toán học trước kia đã tìm được diện tích của hình giới hạn bởi cung tròn hoặc cung hyperbola và đường thẳng, nhưng chưa ai tìm được diện tích của hình giới hạn bởi cung parabola và đường thẳng (viên phân parabola)

Parabola đã được các nhà toán học Hy Lạp định nghĩa như là thiết diện của một hình nón với một mặt phẳng song song với hai đường sinh của hình nón Các vị trí khác của mặt phẳng sẽ sinh ra thiết diện là ellips (hình tròn trong trường hợp riêng) hay hyperbola Rõ ràng parabola đối xứng với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng parabola Đường thẳng này được gọi là

trục của parabola

Giả sử BAC là hình viên phân parabola, giới hạn bởi cát tuyến BC (được gọi là đáy) và parabola A là điểm trên parabola xa BC nhất (có khoảng cách đến BC là lớn nhất trong số các điểm nằm trên parabola) Ta gọi A là đỉnh của viên phân và khoảng cách từ A tới BC là chiều cao của viên phân

Những điều sau đây đã biết vào thời Archimedes:

1) Tiếp tuyến tại A song song với cát tuyến BC

2) Đường thẳng đi qua A và song song với trục cắt đáy tại M là trung điểm của đáy BC

3) Mọi dây PQ song song với BC bị chia đôi bởi đường kính AM

4) Nếu V là điểm giữa của PQ thì V nằm trên AM và

lưu ý rằng công thức (1.2.1) đã được chứng minh trong các công trình trước đây của Euclid và Aristaeus về thiết diện cônic

Nhờ phương pháp vét cạn, Archimedes đã chứng minh chặt chẽ rằng:

một hình viên phân giới hạn bởi một đường thẳng và một parabola có diện

tích bằng 4

3 diện tích của tam giác có cùng đáy và chiều cao với viên phân

Chứng minh Vì diện tích ∆ABC bằng một nửa diện tích hình bình hành

bBCc mà diện tích hình viên phân nhỏ hơn diện tích hình bình hành (ngoại tiếp nó) nên diện tích ∆ABC lớn hơn một nửa diện tích viên phân Xét hai parabola nhỏ với đáy là AB và AC và đỉnh tương ứng của chúng là H và G Tương tự như trên, ta có tổng diện tích hai tam giác GAB và HAC lớn hơn một nửa tổng diện tích hai viên phân này (Hình 1.5)

Ta bắt đầu vét cạn diện tích parabola ban đầu bằng tam giác ABC nội tiếp nó Bước thứ là là đa giác BGAHC Tiếp tục quá trình này, ta dựng được

đa giác có diện tích xấp xỉ diện tích viên phân parabola với sai số bé tùy ý

Ta sẽ chứng minh rằng tổng diện tích hai tam giác AGB và AHC bằng 1

4diện tích tam giác ABC Thật vậy, giả sử E là điểm giữa BM , F là điểm giữa MC, K là giao điểm của HF và AC Từ H kẻ HV song song với BC (V nằm trên AM) Vì MC2FC nên từ công thức (1.2.1) ta có

Tiếp tục, hoàn toàn tương tự, ta có thể chứng minh rằng, tổng diện tích của

tam giác tại mỗi bước bằng 1

4 tổng diện tích của các tam giác ở bước trước Nếu kí hiệu :a  a( ABC) và n là hợp của tất cả các tam giác tại bước thứ n thì

Nhận xét Hình 1.5 mô tả trường hợp trục của parabola trùng với AM Các

bước chứng minh vẫn đúng khi trục của parabola chỉ song song (mà không trùng với) AM

 và

3 2

0

.3

Trên đây chỉ là hai trong số rất nhiều bài toán mà Archimedes đã giải nhờ phương pháp vét cạn hoặc phương pháp nén Các bài toán này vẫn được

xếp trong chương trình calculus hiện đại Trên thực tế, lời giải của chúng thường được minh họa cho tính toán tích phân xác định dạng 2

Nhiều tác giả coi Archimedes là người đầu tiên phát minh ra calculus

1.3 Tính không chia nhỏ được và kĩ thuật vô cùng bé

1.3.1 Kĩ thuật vô cùng bé của Johannes Kepler

Ngoài những cống hiến xuất sắc trong nghiên cứu thiên văn, Johannes Kepler (1571 - 1630) đã có nhiều đóng góp cho tính toán diện tích và thể tích

dựa trên kĩ thuật vô cùng bé (infinitesimal techniques) và tính không chia nhỏ

được của các đại lượng

Trong tác phẩm stereometria, Ông đã chia vật rắn (solid) đã cho thành vô

số mảnh riêng biệt vô cùng bé, hay các vật rắn không chia nhỏ được (solid

indivisibles) có kích thước và hình dáng, khuôn mẫu thuận tiện cho việc giải các bài toán thực tế Thí dụ, Ông đồng nhất đường tròn với một đa giác đều

vô hạn cạnh nội tiếp đường tròn và tính diện tích hình tròn bằng cách lấy tổng

vô hạn diện tích các tam giác vô cùng bé có đáy là cạnh đa giác đều và đỉnh là tâm hình tròn Theo cách viết hiện đại, ông thu được kết quả sau:

1.3.2 Tính không chia nhỏ được của Bonavetura Cavalieri

Sử dụng kĩ thuật vô cùng bé để tính diện tích và thể tích được phổ biến

rộng rãi nhờ những quyển sách Geometria indivisibilibus (Hình học không chia nhỏ được, 1635) và Exercitationes geometricae sex (Sáu bài tập hình

học, 1647) của Bonavetura Cavalieri (1598 - 1647) Bonavetura Cavalieri

đề xuất phương pháp sử dụng những cái không thể phân chia được Theo ông,

bề mặt được tạo thành bởi việc sắp xếp sát nhau những “đường” song song

“Đường” ở đây được hiểu là đoạn thẳng hoặc cung tròn đồng tâm Mỗi

“đường” được gọi là một cái không thể phân chia được của bề mặt cần tính

diện tích Hai hình phẳng cùng tạo thành bởi những “đường” cùng độ dài có diện tích bằng nhau Nguyên lý tương tự cho thể tích phát biểu rằng thể tích của hai vật thể bằng nhau nếu các thiết diện thẳng tương đương của chúng luôn bằng nhau (hai thiết diện thẳng gọi là tương đương nếu chúng cùng là giao của vật thể với một mặt phẳng cách đều mặt phẳng đáy cho trước)

Hình 1.6 Tính diện tích hình tròn bán kính R theo Cavalieri

Hình tròn được phủ kín bởi những đường tròn đồng tâm có độ dài 2πr với r biến thiên từ 0 đến R Các đường tròn này là những cái không thể phân

chia được của hình tròn Tam giác có đáy 2πR và chiều cao R được phủ kín

bởi các đoạn thẳng có độ dài 2πr với r biến thiên từ 0 đến R Các đoạn thẳng này là những cái không thể phân chia được của tam giác Hai hình phẳng

đang xét được tạo thành từ những cái không thể phân chia được có cùng độ

dài nên có cùng diện tích Diện tích của chúng là 2 ²

2

R

1.3.3 Cầu phương số học (Arithmetical Quadratures)

3 2

0

.3

k Trong một bức thư viết năm 1636, Fermat đã phát biểu không chứng minh rằng số tạo hình thứ n loại k được cho bởi công thức

k i

n i k

parabol yx2, tại các điểm trên trục hoành có hoành độ lập thành cấp số

cộng công sai d, Ông dựng các hình chữ nhật có hai kích thước là d và (id)2

(với i 1, 2, ., n ), tính diện tích và xác định tổng S của chúng:

3

.6

quát và cho phép phát triển khía cạnh thuật tốn của giải tích các vơ cùng bé Độc lập với Cavalieri, khi xác định diện tích giới hạn bởi một cung

cyclọde, Roberval (1602 - 1775) đã phát triển một phương pháp những cái

khơng thể phân chia được, dựa trên quan điểm gần như số học với các cấp số

cộng vơ hạn thay cho cách tiếp cận hình học của Cavalieri Trái với Cavalieri xem hình phẳng được tạo từ các đường, Roberval cho rằng nĩ được tạo từ các mặt

1.4 Tiếp tuyến

1.4.1 Phương pháp giả phương trình của Fermat

Fermat là người đầu tiên giải bài tốn cực đại - cực tiểu bằng cách xét tính chất của hàm số xung quanh điểm cực trị Thí dụ, để xác định xem chia

đoạn cĩ độ dài b thành hai đoạn x và bx sao cho tích   2

y f x đạt cực đại (hay cực tiểu) tại điểm x0, thì giá trị của hàm f thay

đổi rất chậm gần điểm x0 Như vậy, nếu e đủ nhỏ, thì f x( )0 và f x( 0 e)

xấp xỉ bằng nhau, tức là

f x e  f x hay f x( 0 e) f x( )0 0

Nếu ( )f x là đa thức, khi ấy f x( 0 e) f x( )0 chia hết cho e Chia hai vế cho

Cũng cần lưu ý, Fermat không nói rõ là đòi hỏi e đủ nhỏ, và cũng không nói

gì về giới hạn khi e tiến tới 0

Fermat đã sử dụng kĩ thuật giả phương trình tương tự như trên để xây dựng đường tiếp tuyến

f x



 hay

( )( ) f x

f x

s

Bởi vì độ dốc của tiếp tuyến chính là f x( )

s nên ta đi đến kết luận: Độ dốc của

tiếp tuyến với đường cong y  f x( ) chính là đạo hàm f x( ) tại điểm x

1.4.2 Quan hệ giữa tiếp tuyến và cầu phương

Ứng dụng khái niệm thời gian và chuyển động trong nghiên cứu đường

cong dẫn Torricelli và Barrow đến nhận thức về quan hệ thuận-đảo giữa tiếp

tuyến và bài toán cầu phương, có nghĩa là quan hệ giữa hai phép toán vi phân

và tích phân

Một mặt, từ những nghiên cứu của Galileo, có thể đi đến nhận xét:

chuyển động của một điểm trên một đường thẳng với vận tốc thay đổi, có thể

biểu diễn như là đồ thị của vận tốc theo thời gian Tính chất không chia nhỏ

được chỉ ra rằng, quãng đường đi được chính bằng diện tích phần mặt phẳng

nằm dưới đường cong vận tốc và trục hoành, bởi vì khoảng cách đi được

trong một lượng thời gian vô cùng bé bằng tích của thời gian nhân với vận tốc

tương ứng (Hình 1.8)

Hình 1.8

Thí dụ, nếu điểm bắt đầu tại thời điểm t  0 và chuyển động với vận tốc

n

v  t tại thời điểm t thì quãng đường đi được phải bằng diện tích dưới đường cong v  tn, tức là

1 1

n

t y n

là v Như vậy, độ dốc của tiếp tuyến với đường cong y  y t ( ) tại điểm t

t chính là hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong

11

n

t y n