Lịch sử phát triển số nguyên tố

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCNINH VĂN QUÝ LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN SỐ NGUYÊN TỐ CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn kho

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NINH VĂN QUÝ

LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN SỐ NGUYÊN TỐ

CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

MÃ SỐ: 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI

THÁI NGUYÊN - 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Công trình được hoàn thành tại TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

Người hướng dẫn khoa học:GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI

Phản biện 1:

Phản biện 2:

Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

Ngày tháng năm 2011

Có thể tìm hiểu tại THƯ VIỆN ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêmkhắc của GS.TSKH Hà Huy Khoái Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng vàbiết ơn sâu sắc tới Thầy và gia đình

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học,Phòng đào tạo và nghiên cứu khoa học đã quan tâm giúp đỡ, tạo mọiđiều kiện thuận lợi cho tôi được học tập tốt

Tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Bắc Giang,Trường Trung học phổ thông Bố Hạ, đặc biệt là tổ Toán Tin đã giúp đỡtôi về tinh thần và vật chất trong suốt quá trình học tập

Thái Nguyên, ngày 20 tháng 5 năm 2011

Tác giả

3

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Mở đầu

Số nguyên tố là một trong những khái niệm xưa nhất của toán học,

và với mỗi học sinh, khái niệm số nguyên tố cũng là một trong nhữngkhái niệm được biết đến đầu tiên.Tưởng như chúng ta đã biết tất cảnhững điều cần biết về số nguyên tố vậy mà thực tế con người còn biếtquá ít về các số nguyên tố, và việc nghiên cứu các số nguyên tố khó đếnnỗi dường như câu hỏi nào đặt ra cho các số nguyên tố cũng sẽ là câuhỏi vĩnh cửu của toán học Mặc dù vậy, sau hàng thế kỷ chỉ được biếtđến như là vấn đề của toán học lý thuyết, trong khoảng 30 năm trở lạiđây, số nguyên tố tham gia vào những ứng dụng thiết thực nhất của xãhội hiện đại: vấn đề bảo mật thông tin Và cũng chính khi đó, người tamới chợt nhận ra rằng, con người chưa biết gì về các số nguyên tố!Luận văn gồm hai chương Chương 1, chúng tôi trình bày các giaiđoạn phát triển của số nguyên tố Những định lý quan trọng liên quanđến số nguyên tố Chương 2, chúng tôi sẽ trình bày 1 số ứng dụng của

số nguyên tố trong xã hội hiện đại

Nhận thức được lí thuyết số nguyên tố là nền tảng của số học, chúng

ta đã được học về số nguyên tố từ rất sớm, ngay từ bậc học phổ thông

cơ sở, nhưng rất ít tài liệu viết về số nguyên tố Bản luận văn này sẽcung cấp thêm một tài liệu về lịch sử nghiên cứu lí thuyết số nguyên tố

và quá trình tìm ra các số nguyên tố lớn Chúng tôi hy vọng luận vănnày sẽ đáp ứng được phần nào lòng yêu thích nghiên cứu số nguyên tốcủa các bạn đồng nghiệp, của các em học sinh

Sau một thời gian nghiên cứu luận văn được hoàn thành Tuy nhiên

sẽ không tránh khỏi nhiều sai sót Kính mong sự góp ý của quý thầy cô,

các bạn đồng nghiệp Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày 20 tháng 5 năm 2011

Tác giả

5

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Mục lục

Lời cảm ơn 3

Mở đầu 4

Mục lục 6

Chương 1 Các giai đoạn phát triển của lý thuyết số nguyên tố 8 1.1 Định nghĩa 8

1.2 Giai đoạn 1:(Trước công nguyên) 8

1.2.1 Định lý 1 (Euclid, thế kỉ III trước công nguyên) 8 1.2.2 Sàng Eratosthenes 9

1.3 Giai đoạn 2(Trước thế kỷ 17) 10

1.4 Giai đoạn 3:(Sau thế kỷ 17) 10

1.4.1 Định lý 2(Fermat bé) 11

1.4.2 Định lý 3(Wilson) 11

1.4.3 Định lý 4(Định lý cơ bản của số học) 13

1.4.4 Định lý 5 14

1.4.5 Sự phân bố các số nguyên tố: 14

1.4.6 Số nguyên tố Mersenne 17

1.4.7 Số nguyên tố Fermat 20

1.4.8 Một số số nguyên tố lớn được biết đến 21

1.4.9 Một số vấn đề chưa được giải quyết 23

1.4.10 Số giả nguyên tố 24

1.4.11 Thuật toán đa thức kiểm tra tính nguyên tố 26

Chương 2 Một số ứng dụng của số nguyên tố trong xã hội

2.1 Lý thuyết mật mã (Mã hóa thông tin) 28

2.1.1 Hệ mã mũ 29

2.1.2 Các hệ mật mã khóa công khai 31

Kết luận 35

Tài liệu tham khảo 36

7

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

1.2 Giai đoạn 1:(Trước công nguyên)

Số nguyên tố và các tính chất của nó lần đầu tiên được nghiên cứurộng rãi bởi các nhà toán học Hylạp cổ đại Các nhà toán học của trườnghọc của Pythagoras (500 TCN đến 300 TCN) đã quan tâm đến các tínhchất của số nguyên tố Họ đã quan tâm đến sự hoàn hảo và thân thiệncon số

Cho đến thời gian xuất hiện cuốn "Nguyên lý" của Euclid (Khoảng300TCN), một số kết quả quan trọng về số nguyên tố đã được chứngminh Trong sách Nguyên lý IX đã chứng minh rằng có vô hạn số nguyên

tố Đây là một trong những bằng chứng được biết từ rất sớm trong đó

Xét k là tích của tất cả các số nguyên tố cộng thêm 1:

k = 2 · 3 · 5 · · · ·p + 1

Số k không có ước nguyên tố bởi vì khi chia cho số nguyên tố tùy ý tađược phần dư bằng 1 Trong khi đó dễ thấy rằng ước số bé nhất m > 1của số tự nhiên k là số nguyên tố Mâu thuẫn này chứng minh định lí

Euclid cũng đưa ra một bằng chứng của Định lý cơ bản của số học làmỗi số nguyên có thể viết thành tích của các số nguyên tố

Euclid cũng cho thấy nếu 2n− 1 là số nguyên tố thì 2n−1· (2n− 1) làmột số hoàn hảo Nhà toán học Euler(Năm 1747) đã chỉ ra rằng tất cảcác số hoàn hảo đều có dạng trên

Ta lại gạch đi khỏi dãy còn lại những số nào chia hết cho 3 Tiếp tụcnhư thế, ta lại gạch khỏi dãy những số chia hết cho mọi số nguyên tố béhơn √

n Các số còn lại của dãy là tất cả các số nguyên tố không vượtquá n

Sàng Eratosthenes, mặc dù cho ta thuật toán xác định mọi số nguyên

9

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

tố không vượt quá một số cho trước, rất ít được sử dụng để xác địnhxem một số đã cho có phải là số nguyên tố hay không Nguyên nhân là

vì thuật toán có độ phức tạp quá lớn

1.3 Giai đoạn 2(Trước thế kỷ 17)

Sau những kết quả đạt được về việc nghiên cứu lý thuyết số nguyên

tố của các nhà toán học Hylạp (Trước công nguyên) Thì sau đó mộtkhoảng cách dài trong lịch sử lý thuyết số nguyên tố không đạt đượcthành tựu nào đáng kể, thường được gọi là thời kỳ đen tối

1.4 Giai đoạn 3:(Sau thế kỷ 17)

Những phát triển quan trọng tiếp theo được thực hiện bởi Fermatvào đầu thế kỷ 17 Ông chứng minh một sự suy đoán của Albert Giardrằng mỗi số nguyên tố có dạng 4n − 1 có thể được viết theo một cáchduy nhất dưới dạng tổng bình phương

Ông nghĩ ra một phương pháp mới để tìm thừa số của những số lớn

và khai triển số 2027651281 = 44021.46061

Ông lần đầu thông báo định lý trong một bức thư đề ngày 18/10/1640cho bạn ông là Frénicle de Bessy Như thường lệ Fermat không chứngminh Euler lần đầu tiên công bố một chứng minh vào 1736 trong mộtbài báo, nhưng Leibniz đã có chứng minh với ý tưởng tương tự trongbản thảo không được công bố vào khoảng trước năm 1683 Điều màngày nay được biết đến như là Định lý Fermat bé (để phân biệt vớiđịnh lý cuối cùng của Ông)

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read