SILE CHUONG 6 DIEU KHIEN TOI UU

TỐI ƯU HÓA TRONG GIAO THÔNG VẬN TẢICHƯƠNG 6 ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU... ■ Ta rút ra các điều kiện sau đây cho lời giải tối ưu: Biểu thức thứ nhất có tên là đẳng thức Euler-Lagrange... Vấ

TỐI ƯU HÓA TRONG GIAO THÔNG VẬN TẢI

CHƯƠNG 6 ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU

CHƯƠNG 6

ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU

■ 6.3 Điều khiển tối ưu

6.1.Mở đầu

Điều khiển tối ưu là môôt phạm trù của lý thuyết điều khiển được phát triển mạnh me trong suốt những năm qua nhờ những sự hỗ trợ sau đây:

 Thứ nhất, giải tích toán đã coi điều khiển tối ưu là

mô ôt trong những cơ sở vốn rất khắt khe.

 Thứ hai, nhiều phương pháp mang tính kiến trúc đã hình thành cho phép tìm được lời giải khá hoàn hảo.

 Thứ ba, điều khiển tối ưu ngày càng thâm nhâ ôp vào nhiều lĩnh vực khác nhau và đem lại những thành công rất đáng ngưỡng mô ô.

6.1.Mở đầu

■ Tính chất cơ bản của điều khiển tối ưu dựa trên nhâôn thức: đa số các hêô thống trong tự nhiên (hê ô thống kinh tế,

hê ô thống sinh học, hê ô thống công nghê ô, …) là các hêô thống có sự tiến hóa theo thời gian, tuân thủ những qui luâ ôt nhất định

■ Những qui luâôt này có thể diễn tả bởi các phương trình toán học với các tham số có thể hiê ôu chỉnh từ bên ngoài (ta quen gọi là điều khiển). Bằng cách chọn những chiến lược điều khiển thích hợp ta có thể tác động vào hệ thống làm cho nó thỏa mãn những mục tiêu đặt ra Điều này có thể thực hiện được bằng nhiều cách khác nhau Trong khi chọn các điều khiển ta se chọn điều khiển nào làm cho mục tiêu đặt ra đạt giá trị tốt nhất

6.1.Mở đầu

■ Trên mạng viễn thông có rất nhiều vấn đề điều khiển đặt ra như: Điều khiển luồng (traffic control), điều khiển tắt nghẽn (congestion control), điều khiển chấp nhâ ôn cuô ôc gọi (call admission control)…Mục tiêu của các nhiêôm vụ điều khiển này là làm sao vừa đảm bảo các chỉ tiêu chất lượng dịch vụ

(lợi ích của người sử dụng), vừa đạt hiê ôu quả khai thác tài nguyên mạng mô ôt cách tốt nhất (lợi ích của nhà quản lý mạng).

■ Đó chính là các vấn đề điều khiển tối ưu Môôt vài vấn đề điều khiển tối ưu cụ thể của mạng viễn thông đã được nghiên cứu Để chuẩn bị cho viêôc làm đó, trong chương này chúng ta se đề câôp đến cơ sở lý thuyết của điều khiển tối ưu.

6.1.Mở đầu

Phiếm hàm là gì?

6.2 TỐI ƯU HÓA PHIẾM HÀM

6.2.1 Tối ưu hóa phiếm hàm không có ràng buôôc

Chúng ta khảo sát bài toán sau:

■ Tìm hàm số x(t) để cực tiểu hóa phiếm hàm:

Ở đây J và F là các phiếm hàm (hàm số của hàm số khác), t là biến đôôc lâôp và x(t) là hàm phụ thuôôc t

Ngoài ra:

Các giá trị x(t1) và x(t2) gọi là điều kiêôn biên và thường được cho trước

Để giải quyết vấn đề trên chúng ta có thể chọn môôt chuỗi các hàm x(t) làm lời giải thử

Tính J theo (6.2-1) với các lời giải thử Sau đó tìm x(t) trong các lời giải thử cho gía trị J nhỏ nhất?

6.2.1 Tối ưu hóa phiếm hàm không có ràng buôôc

■ Sau khi giải, ta tìm ra được lời giải tối ưu.

■ Ta rút ra các điều kiện sau đây cho lời giải tối ưu:

Biểu thức thứ nhất có tên là đẳng thức Euler-Lagrange Các biểu thức còn lại là xác định điều kiện biên

-

+

(δ

=0

](δx) (δ )

6.2.2 Tối ưu hóa phiếm hàm với ràng buộc

Ta có thể giải bài toán bằng phương pháp nhân tử Lagrange Trong trường hợp này hàm Lagrange có dạng:

L(x, , ,t) = F(x, , ,t) + λg(x, , ,t)

Như ta đã biết, với nhân tử Lagrange bài toán tối ưu có ràng buộc chuyển thành bài toán tối ưu không có ràng buộc Thay phiếm hàm F ở ví dụ trên bằng phiếm hàm Lagrange ta thu được kết quả.

,

,

L(x, ,

,t) = F(x, ,

,t) + λg(x, ,

,t)

6.3 ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU

6.3.1 Mô tả vấn đề điều khiển tối ưu

Xét hệ thống diễn tả bởi phương trình

■ = f(x,u,t) ; x(t 0 ) = x 0

■ y = g(x,u,t)

■ Trong đó x ϵ R n là véc tơ trạng thái, u ϵ R p là véc tơ điều khiển, y ϵ R q là véc tơ đầu ra, t là biến thời gian, f là hàm véc tơ có số chiều bằng số chiều của x Ký hiệu U là tập tất cả các điều khiển chấp nhận được Những vấn đề sau đây có thể đặt ra đối với bài toán điều khiển hệ thống:

 Xuất phát từ trạng thái x0 tại thời điểm t0 Tìm điều khiển u ϵ U để đưa hệ thống về trạng thái x(t1) = x1 với thời gian ngắn nhất Vấn đề này

gọi là điều khiển tối ưu thời gian.

 Xuất phát từ trạng thái x0 tại thời điểm t0 Tìm điều khiển u ϵ U để đưa hệ thống về trạng thái x1 với điều kiện hàm mục tiêu

✦ J = Ф1(x 0 ) + 2(x,u,t)dt

đạt giá trị nhỏ nhất Hàm mục tiêu này thường được gọi là hàm chi phí

(cost function) Vì vậy ta gọi vấn đề này là vấn đề điều khiển tối ưu

chi phí.

6.3.1 Mô tả vấn đề điều khiển tối ưu

tìm lời giải tối ưu Vì vậy thông thường người ta chỉ quan tâm đến số hạng thứ hai của biểu thức trên

■ Trong biểu thức, t 1 có thể cho trước hoặc không cho trước Nếu có thể

tìm được u ϵ U để đưa hệ thống từ trạng thái x0 về trạng thái x1 thì ta

nói rằng hệ thống đang xem xét là hệ thống điều khiển được Trường hợp ngược lại gọi là hệ thống không điều khiển được.

■ Trong thực tế, x0 và x1 không thể là các trạng thái tùy ý Tập hợp tất

cả các trạng thái của hệ thống có thể đạt được nhờ điều khiển u ϵ U gọi là trạng thái đếm được (reachable state) Ký hiệu S0(t1,x1,U) là tập hợp tất cả các trạng thái mà từ đó với điều khiển u ϵ U ta có thể đưa

điểm hệ thống có thể đi qua gọi là quĩ đạo hay S0(t1,x1,U) là quĩ đạo của hệ thống

lượt xem xét hai vấn đề điều khiển tối ưu này

6.3.2.Điều khiển tối ưu thời gian

■ Vấn đề điều khiển tối ưu thời gian là tìm u ϵ U sao cho x đạt đến x(t1) với thời gian (t1-to ) nhỏ nhất Để đơn giản cách trình bày, chúng ta có thể cho t0= 0 và x(t) = 0 (đưa hệ thống về trạng thái 0, còn gọi là trạng thái cân bằng – equilibrium state).

6.3.3 Điều khiển tối ưu chi phí

■ Tương tự cho chi phí nhỏ nhất.

6.3.4 Nguyên lý cực đại Pontryagin

Pontryagin Nguyên lý cực đại Pontryagin đóng vai trò quan trọng trong điều khiển tối ưu

cho hệ thống tiến về điểm cân bằng với thời gian lâu hơn ta cũng vẫn

có khả năng làm giảm giá trị hàm mục tiêu mặc dù khi đó tích phân được lấy trong khoản rộng hơn

■ Nói cách khác, giá trị của điều khiển u quyết định tính chất tối ưu của bài toán Tuy nhiên, giá trị tối ưu của hàm mục tiêu luôn luôn lớn hơn (x0)2 và nếu ta không cố định t1 T1 nhận một giá trị hữu hạn tùy ý thì bài toán sẽ không có lời giải tối ưu

■ Nhận xét trên đây chỉ cho ta thấy tình huống phức tạp khi t1 không được xác định trước Tuy nhiên đây chỉ là những khó khăn ở góc độ toán học hơn là đối với thực tế Bởi vì trong thực tế, không nhất thiết phải tìm được lời giải tối ưu một cách chính xác như lý thuyết toán học đòi hỏi Nói cách khác, giá trị chính xác của thời điểm cuối cùng

t1 không đóng vai trò quan trọng trong thực tế ứng dụng

TOÁN TỐI ƯU

Ứng dụng trong quy hoạch GTVT

ÔN TẬP

ÔN TẬP