Tài liệu Điều khiển tối ưu P3 ppt

Ta có: maxmax... Cho vector ng u nhiên z∈Rn... Do đó, x~t là quá trình ng u nhiên không t nh.

Ch ng 3

I U KHI N B N V NG

3.1 Gi i thi u

3.1.1 Khái ni m đi u khi n b n v ng

H th ng đi u khi n b n v ng làm cho ch t l ng c a s n ph m n đ nh, không ph thu c vào s thay đ i c a đ i t ng c ng nh c a nhi u tác đ ng lên h th ng.M c đích c a đi u khi n b n v ng là ch t l ng vòng kín đ c duy trì m c dù có nh ng s thay đ i trong đ i t ng

P0 :Mô hình chu n (mô hình danh

đ nh)

Δ

P :Mô hình th c t v i sai l ch

Δ so v i mô hình chu n

Hình 3.1 : Mô hình đi u khi n b n v ng

Cho t p mô hình có sai s PΔ và m t t p các ch tiêu ch t l ng, gi s

P0 ∈PΔlà mô hình danh đ nh dùng đ thi t k b đi u khi n K.H th ng

- Ch t l ng b n v ng: n u các m c tiêu ch t l ng đ c th a đ i v i m i

mô hình thu c PΔ

M c tiêu bài toán n đ nh b n v ng là tìm b đi u khi n không ch n đ nh

mô hình danh đ nh P0 mà còn n đ nh m t t p các mô hình có sai s PΔ

có n ng l ng l n h n hay x1(t) ch a nhi u thông tin h n x2(t)… Nói m t cách khác ,tr c khi so sánh x1(t) v i x2(t) chúng ta ph i g n cho m i m t tín hi u m t giá tr đánh giá tín hi u theo tiêu chu n so sánh đ c l a ch n

nh ngh a: Cho m t tín hi u x(t) và m t ánh x x(t) ||x(t)|| ∈R+

chuy n x(t) thành m t s th c d ng ||x(t)||.S th c d ng này s đ c g i là chu n

c a x(t) n u nó th a mãn:

a ||x(t)|| ≥ 0 và ||x(t)|| = 0 khi và ch khi x(t) =0 (3.1)

b ||x(t)+y(t)|| ≤ ||x(t)|| + ||y(t)|| ∀ x(t), y(t) (3.2)

c ||ax(t)|| = |a|.||x(t)|| ∀ x(t) và ∀a∈R (3.3) 3.1.2.2 M t s chu n th ng dùng trong đi u khi n cho m t tín hi u x(t):

x( )||2 | ( )|2

Bình ph ng chu n b c hai chính là giá tr đo n ng l ng c a tín hi u x(t)

-Chu n b c p: p p

p x t dt t

đây là biên đ hay đ nh c a tín hi u

Khái ni m chu n trong đ nh ngh a trên không b gi i h n là ch cho m t tín

hi u x(t) mà còn đ c áp d ng đ c cho c vector tín hi u g m nhi u ph n

)(

1

t x

t x

, , 2 , 1

max

=

3.1.2.3 Quan h c a chu n v i nh Fourier và nh Laplace:

ph c v m c đích s d ng khái ni m chu n vào đi u khi n ,ta c n quan tâm t i m i liên quan gi a chu n tín hi u x(t) là ||x(t)|| v i nh Fourier X(jω ) c ng nh nh Laplace X(s) c a nó

nh lí 3.1: (Parseval) Chu n b c hai c a m t tín hi u x(t) và nh Fourier

X(jω ) c a nó có quan h :

ωω

dt t x t

2

1

|)(

m m s a s

a a

s b s

b b s A

s B s

X

+++

+++

)()

(

1 0

n

n n

a a

a

a a

a

a a

a

A

BBBB

AA

2 1

2 22

21

1 12

11

(3.13)

- M t ma tr n vuông A=(aij) có aij = 0 khi i ≠ j ,t c là các ph n t không

n m trên đ ng chéo chính đ u b ng 0, đ c g i là ma tr n đ ng chéo Ma

a a

A

BBBB

AA

00

00

00

22 11

01

0

00

1

A

BBBBA

a

a a

a

A

BBBB

AA

2 1

22 21

11

0

00

a

a a

a a

a

A

BBBB

AA

00

1 12

- Phép nhân ma tr n: Cho ma tr n A=(aik) có m hàng và p c t và ma tr n B=(bkj) có p hàng và n c t ,t c là :

M t ma tr n vuông A ∈R n×n đ c g i là ma tr n tr c giao n u AT

A=AAT=I 3.1.3.3 H ng c a ma tr n:

Cho n vector vi i=1,2,…,n Chúng s đ c g i là đ c l p tuy n tính n u đ ng

th c a1v1+a2v2+…….+anvn=0 trong đó ai là nh ng s th c (ho c ph c) s đúng khi và ch khi a1 = a2 = … =an = 0

Xét m t ma tr n A=(aij) b t kì có m hàng và n c t N u trong s m vector hàng có nhi u nh t p ≤ m vector đ c l p tuy n tính và trong s n vector c t

có nhi u nh t q ≤ n vector đ c l p tuy n tính thì h ng ma tr n đ c hi u là:

- Rank(AB) ≤ rank(A) và rank(AB) ≤ rank(B) (3.18)

- Rank(A + B) ≤ rank(A) + rank(B) (3.19)

- N u B không suy bi n thì rank(AB) = rank(B) (3.20) 3.1.3.4 Ma tr n ngh ch đ o:

Cho ma tr n A=(aij),i=1,2,…,m ; j=1,2,…,n,trong đó aij là nh ng s th c (ho c ph c),nói cách khác A ∈ Rm×n(ho c A ∈ Cm×n

).N u t n t i m t ma

tr n B th a mãn :

AB = BA = I (ma tr n đ n v ) (3.21) Thì ma tr n B đ c g i là ma tr n ngh ch đ o c a A và ký hi u là B = A-1

Do ph i t n t i c hai phép nhân AA-1 và A-1A cho ra k t qu có cùng ki u nên ma tr n A ph i là m t ma tr n vuông,t c là ph i có m = n.H n n a do det(I) = 1 ≠ 0 nên:

det(A)det(A-1) ≠ 0 => det(A) ≠ 0 và det(A-1) ≠ 0 (3.22)

b d A d

c

b a A

)det(

11

2 1

A A

A A

không suy bi n,trong đó A1,A2,A3,A4

1 3 1

1 2 1 1 1 1 3 1 2 1 1 1 1

4 3

2 1 1

B A

A B

B A A A

A B A A A A

A

A A

N u A4 không suy bi n và C = A1 – A2A4-1A3 c ng không suy bi n thì

1 4 2 1 1

1

4 3

2 1 1

A A C A A A AC A A

A A C C

A A

A A

3.1.3.5 V t c a ma tr n:

Cho ma tr n vuông A=(aij) ,i,j=1,2,……,n ki u (nxn).V t c a A đ c hi u

là t ng giá tr các ph n t trên đ ng chéo chính c a A và đ c ký hi u

1

V t c a ma tr n có các tính ch t:

b trace(S-1AS) = trace(A) v i S là ma tr n không suy bi n b t kì (3.35)

3.1.3.6 Giá tr riêng và vector riêng:

S th c λ đ c g i là giá tr riêng và vector x đ c g i là vector riêng bên

=A) thì các vector riêng ng v i nh ng giá

tr riêng khác nhau s tr c giao v i nhau

Trong Matlab ,s d ng hàm eig(A) đ tìm ma tr n riêng và vector riêng

x X F

A

1 1

- Chu n 2 c a ma tr n A

)(

1 1

- Chu n Euclide c a ma tr n A (chu n Frobenius)

)(

2

A A trace a

i j ij

A A

đ l i chính c a A(s) đây chúng ta gi s r ng σi đ c s p x p theo th

t sao cho σi ≥σi+1 Nh v y, σ1 là tr suy bi n l n nh t và σk là tr suy

bi n nh nh t Ký hi u σ là tr suy bi n l n nh t và σ là tr suy bi n nh

nh t

Ta có:

)(max)(max)

c a n đ nh n i là khi đ u vào h th ng b ng không thì t t c các tr ng thái

h th ng đ u ph i v không t m i giá tr ban đ u M i h th ng t đ ng

+ +

i u ki n n đ nh n i ch t h n đi u ki n n đ nh d a trên hàm truy n

vào-ra thông th ng, vì nó tránh vi c kh các c c và zero không n đ nh gi a

các khâu liên ti p nhau Khi thành l p hàm truy n vào-ra, có th x y ra hi n

t ng kh c c và zero không n đ nh c a các khâu liên ti p nhau Nh v y,

đi u ki n n đ nh n i b o đ m các tín hi u bên trong h th ng đ u h u h n

khi tín hi u vào là h u h n

Ví d , ta kh o sát đi u ki n n đ nh n i c a h th ng hình 3.2:

2 1 1

1 2

2 1

2 1 2 2

2 1 1

1 1

1 2

1 2 1 1

)(

)(

)(

)(

w GK I Gw GK I e

GKe Gw

w Ge w

e

Kw KG I w KG I e

KGe Kw

w Ke w

−

=

⇒

++

=+

=

−+

−

=

⇒

++

=+

i v i h SISO thì

1)())(

nh lý đ l i nh ch là đi u ki n đ đ xét n đ nh c a h th ng i m

m nh c a đ nh lí này là nó không yêu c u nh ng thông tin chi ti t v h

th ng.Vì v y nó không ch ng d ng đ c cho h th ng tuy n tính b t bi n theo th i gian mà còn ng d ng đ c cho h th ng phi tuy n, thay đ i theo

v s = − +I K s G s − K s δ s w s (3.59)

v y

)]

()([

)()()

(

s G s K I

s s K s

)()(

<

+K s G s ∞I

s s

1( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) O( ) ( )

v s = − +I G s K s − G s K s δ s w s (3.64)

v y

)()(

)()()(

s K s G I

s s K s G

)()()

3.2 Ph ng pháp LQG (Linear Quadratic Gaussian)

z

t v t Cx t

y

t w t Bu t Ax t

=

)()

(

)()()

(

)()()()

()()()

E

T

T T

]()()()([

Hình 3.7 : H i ti p LQG 3.2.2 B quan sát

Xem xét h th ng quan sát :

R

t

t Cx t

y

t Bu t Ax t

(

)()()

k t n i m t b quan sát :

R t t x C t y L t Bu t x A t

x( )= ( )+ ( )+ [ ( )− ( )] ∈ (3.71) Tín hi u )x ˆ t( là m t c l ng c a tr ng thái x(t).Nó th a mãn ph ng trình

vi phân tr ng thái c a h th ng (3.70) v i thành ph n thêm vào

Hình 3.8 : C u trúc c a m t b quan sát

Hình (3.8) cho th y c u trúc c a b quan sát nh ngh a :

)()()

L

yˆ

y z

xˆ

u

+-

.Tín hi u w(t) là nhi u quá trình ch a bi t tr c tác đ ng làm nhi u

h th ng.Tín hi u v(t) là m t nhi u đo không xác đ nh đ c , làm suy gi m

vi c đo l ng ch ng h n nh nhi u c m bi n.Giá tr ban đ u x(0), nhi u w(t) ho c v(t) không bi t đ c chính xác.Gi s x(0), w(t) và v(t) đ u tr c giao qua l i v i nhau

Hình 3.9 : B quan sát tr ng thái c a Kalman

l ng ng u nhiên không bi t đ c, nh ng c n bi t m t vài đ c đi m đ h

tr vi c thi t k các b đi u khi n Ch ng h n nh có th bi t đ c giá tr trung bình ho c t ng n ng l ng c a chúng

Cho vector ng u nhiên z∈Rn

Hi p ph ng sai c a z đ c cho b i

z z z

1

z n P

2 / ) ( 2 / )

Π

đ c minh h a hình 3.10 Vì v y nh ng vector ng u nhiên l y giá tr g n

v i z có xác su t l n nh t và xác su t s gi m khi l y giá tr xa z Nhi u

bi n ng u nhiên là Gaussian

N u vector ng u nhiên là m t hàm c a th i gian đ c g i là m t quá trình

ng u nhiên đ c t ng tr ng là z(t) Khi đó PDF có th thay đ i theo th i

Nhi u quá trình ng u nhiên z(t) quan tr ng là có PDF b t bi n theo th i gian

ó là nh ng quá trình t nh, th m chí chúng là hàm th i gian ng u nhiên

chúng v n có tr trung bình và hi p ph ng sai là h ng s

c tr ng cho liên h gi a hai quá trình ng u nhiên z(t) và x(t), có th s

d ng PDF k t h p ƒzx(ς,ξ,t1,t2), t ng tr ng cho xác xu t mà (z(t1),

x(t2)) trong vùng vi phân dς× dξ gi a (ς, ) Gi s r ng các quá trình ξ

z(t) và x(t) là liên k t t nh , PDF k t h p không là hàm c a c hai th i gian

z(t) và x(t) d c g i là tr c giao v i nhau

N u

Rz(τ )=Pδ(τ) (3.90) trong đó P là ma tr n h ng và δ (t) là xung Dirac z(t) là tr c giao v i

z(t +τ ) v i các giá tr τ ≠ 0 i u này có ngh a là giá tr c a quá trình z(t)

t i th i đi m t không có s liên h v i giá tr t i các th i đi m ≠τ t.Vì v y

z(t) là m t nhi u tr ng Ví d nh nhi u nhi t m ch đi n nguyên nhân vì

s chuy n đ ng nhi t các electron đi n tr

gi s w(t) và v(t) có tr trung bình b ng 0 và gi s r ng nhi u quá trình và

nhi u đo là nhi u tr ng quá trình đ :

Vi c gi s w(t) và v(t) là nhi u tr ng có th là x u trong m t vài ng

d ng.Thí d nh nhi u t n s th p Tuy nhiên, gi s r ng w(t) không là

nhi u tr ng, có th xác đ nh đ c m t h th ng:

D u B x

x A

C A x

x

w w

w w w

theo các b c nh th n u v(t) không ph i là nhi u tr ng Do đó, có th mô

t m t h th ng không có nhi u tr ng d i d ng m t h th ng đi u ch nh

v i nhi u tr ng và nhi u đo l ng

Xác đ nh h th ng (3.96), (3.97) miêu t nhi u không ph i là nhi u tr ng

w(t) (ho c v(t)) d a trên phân tích m t đ ph c a nhi u w(t) Chi ti t xem

Lewis (1986 )

Bây gi thi t k b c l ng cho h th ng (3.75), (3.76) d i nh ng gi s

đã đ c li t kê Cho b quan sát có d ng nh sau:

thay đ i theo th i gian Do đó, x~(t) là quá trình ng u nhiên không t nh

Hi p ph ng sai c a sai s là th c đo s không ch c ch n trong c l ng

Tr c khi xác đ nh đ l i t i u L, chúng ta s tính toán giá tr trung bình và

hi p ph ng sai c a sai s c l ng c a ~x(t) S d ng (3.104) và s tuy n tính c a phép toán mong mu n:

sai s ban đ u x~(0) b ng v i giá tr zero n u nh b quan sát (3.101) có giá

tr đ u xˆ(0)=x v i 0 x là giá tr trung bình c a x(0) 0

N u nh nhi u quá trình w(t) ho c nhi u đo đ c v(t) có giá tr trung bình

không ph i là zero thì theo (3.107) giá tr E{ }x~ c a tr ng thái t nh c ng

không b ng zero Trong tr ng h p này xˆ(t) không đ n đ c n đ nh ti m

c n đ đ t đ c tr ng thái th t x(t), nh ng có đ c m t kho ng offset b ng

giá tr h ng- E{ }x~ Khi đó tr ng thái c l ng là b l ch

) ( 0

0

)()

∫ (3.111) Chú ý r ng

T t

(

~ =− (3.115)

T ng t ,

R w~x(t,t)=E{w(t)~x T(t)}

= { τ }γ τ τ

d e w

t w

t

T T( ) 0

0

)()

1)(

~

~

++

đi u ki n đ u là P(0)= v i P0 P là hi p ph0 ng sai c a tr ng thái đ u mà

nó t ng tr ng cho tính không ch c ch n trong c l ng đ u x(0)=x0

Th c s nh ng đ l i cho k t qu P(t) càng nh thì càng t t vì sai s ~x(t) càng g n v i tr trung bình b ng 0.Do đó P(t) là th c đo ch t l ng c a b quan sát ,và ma tr n hi p ph ng sai càng nh thì b quan sát càng t t h n Chúng ta nói r ng P là th c đo s không ch c ch n trong c l ng

P(t) ti n t i giá tr tr ng thái b n v ng P khi t→∞ ngay khi A là n 0 đ nh

ti m c n.T i tr ng thái b n v ng thì P$=0, (3.121) tr thành ph ng trình

đ i s

0=A0P+PA0T +LVL T +γWγT (3.121)

Hi p ph ng sai c a sai s tr ng thái b n v ng là ma tr n bán xác đ nh

1

gS trace P

làm t i thi u hoá J và tho mãn g=0, đi u này có th làm t ng đ ng là

t i thi u H nh ng không c n đi u ki n nào i u ki n c n thi t đ t i thi u

P A S

AP+PAT+γ Wγ T

-PCT V CP−1 = 0 (3.130) xác đ nh đ l i b quan sát t i u L, chúng ta có th gi i ph ng trình (3.130) tìm hi p ph ng sai c a sai s P và sau đó s d ng (3.128) đ tính toán L Ph ng trình ma tr n toàn ph ng (3.130) đ c g i là ph ng trình Riccati đ i s Có nhi u cách gi i (3.130) đ tìm P l i t i u L xác đ nh

nh s d ng (3.128) g i là đ l i Kalman và b quan sát đ c xây d ng g i

là b l c Kalman Tr ng thái b n v ng đây ch đ n m t s th t r ng m c

dù đ l i t i uu làm t i thi u hoá P(t) là bi n đ i theo th i gian, chúng ta đã

ch n l a đ l i t i u mà nó làm t i thi u sai s t ng quan tr ng thái b n

Gi s (C,A) là có th quan sát đ c và (A,γ W ) là có th tìm đ c Khi

đó ARE tìm đ c ma tr n xác đ nh d ng duy nh t P H n n a,sai s h

AP +PA + − −1 =0

CP V PC

ˆ

ˆ A x Bu L y C x

B l c Kalman r t c n thi t gi s r ng V>0 khi đó nhi u đo s làm sai l ch

t t c tín hi u đo N u có m t vài tín hi u nhi u t do và b l c ph c t p

đ c bi t đ n nh b l c Deyst đ c s d ng đ gi i quy t v n đ này.H n

n a gi s r ng (A, γ W tìm ) đ c có ngh a là nhi u quá trình kích thích

K t qu tính kest :chính là mô hình tr ng thái c a khâu l c Kalman

Ma tr n L :ma tr n b l c Kalman ph n h i sai l ch quan sát

P :là ma tr n hi p ph ng sai c a sai l ch t nh

3.2.3 Gi i thu t thi t k LQG

B đi u ch nh toàn ph ng tuy n tính (LQR) và b l c Kalman đ c s

d ng v i nhau đ thi t k b đi u ch nh đ ng Th t c này đ c g i là thi t

k b tuy n tính toàn ph ng Gaussian (LQG) i u thu n l i quan tr ng

c a vi c thi t k LQG là c u trúc c a b đi u khi n đ c cho b i th t c

i u này làm cho các b LQG đ c thi t k r t có ích cho vi c đi u khi n các h th ng hi n đ i (ví d nh đi u khi n không gian và hàng không ) khi

c u trúc b đi u khi n không bi t tr c đ c

Gi s ph ng trình đo l ng ngõ ra đ c cho b i

v i x(t)∈R , u(t) là b đi u khi n ngõ vào, w(t) là nhi u quá trình, và v(t) là

nhi u đo Gi s ph ng trình h i ti p tr ng thái đ y đ

x$=( − ) + +γ (3.141) Thi t k h i ti p tr ng thái đ y đ r t đ c quan tâm n u các đi u ki n

đ c gi thì h th ng vòng kín đ m b o n đ nh.H n n a,s d ng h i ti p

tr ng thái t t c các nghi m c c c a ph ng trình (A-BK) có th đ t tu ý

nh mong mu n K t qu các ph ng trình thi t k c a h i ti p tr ng thái

đ n gi n h n ph ng trình cho h i ti p ngõ ra Tuy nhiên lu t đi u khi n

(3.138) không th th c hi n khi t t c các tr ng thái không th đo đ c

Bây gi b quan sát ho c b l c Kalman

xˆ=(A−LC xˆ+Bu+Ly (3.142)

đã đ c thi t k ó là đ l i L c a b l c đ c tìm ra b ng nh ng k thu t

đã th o lu n cung c p c l ng tr ng thái.Khi đó t t c các tr ng thái

không th đo và đi u khi n (3.138) không th th c hi n trong th c t , gi s

r ng c l ng h i ti p x ˆ t( ) thay th các tr ng thái th c x(t) lu t đi u khi n

i u quan tr ng c a các k t qu này là tr ng thái h i ti p c a K và đ l i

c a b quan sát L có th đ c thi t k riêng r

3.2.4 Ví d :

Mô hình con l c ng c:

Xét h th ng con l c ng c nh hình sau.Con l c ng c đ c g n vào xe kéo b i đ ng c đi n.Chúng ta ch xét bài toán hai chi u,ngh a là con l c ch

di chuy n trong m t ph ng.Con l c ng c không n đ nh vì nó luôn ngã

xu ng tr khi có l c tác đ ng thích h p.Gi s kh i l ng con l c t p trung

đ u thanh nh hình v (kh i l ng thanh không đáng k ).L c đi u khi n u tác đ ng vào xe.Yêu c u c a bài toán là đi u khi n v trí c a xe và gi cho con l c ng c luôn th ng đ ng Bài toán đi u khi n h con l c ng c chính

là mô hình c a bài toán đi u khi n đ nh h ng tàu v tr khi đ c phóng vào không gian

d

2 2

2

mgl l

dt

y d m l

θθ

sin(

2 2 2

2

mgl l

l dt

d m l

l x dt

l m M ml

ml g

m M u

m m M

mg ml

u x

mgl ml

x

m

)(

)(cos

)sin(cos)

(sin)(

cos

)(cos

sincos)

(sin

sincos

2

2 2

+

−

++

=

⇒

=+

θθ

θ

θθθ

θ

θθ

θ

Chúng ta s vi t ch ng trình mô ph ng đ c tính đ ng c a đ i t ng

Chúng ta th y r ng h con l c ng c là h phi tuy n , đ có th đi u khi n

h con l c ng c b ng ph ng pháp LQG chúng ta c n mô hình tuy n

tính.Gi s góc θ nh đ chúng ta có th x p x sinθ b ng 0,cosθ b ng 1

θθ

θ

mg ml

x

m

u ml x m

M

=+

=++

•

•

•

•)(

x x x x

4 3 2

gx Ml

m x

x x

u Ml

gx Ml

m M x

x x

11

1 4

4 3

1 2

2 1

x x x

g M m

g Ml

m M

10

000

1000

000

0010

4 3 2 1

1000

0100

0010

0001

x x x x

N u ch đo đ c hai bi n tr ng thái(v trí x và góc l ch θ)thì :

0100

0001

x x x x

x x x

00098

0

1000

00078

10

0010

4 3 2 1

V E

T

T

ωω

νν

ˆ$

(3.151)

Hình 3.12 B l c Kalman

νγω

νγω

νγω

L x

LC

A

x

x C L x

A

x

x C Cx

L x

A x

x

x

x

−+

=

⇒

−+

−+

~

)

~(

~

~

)(

T

T

T T

(3.154)

B đi u khi n LQG (Linear Quard Gaussian):

Trong b đi u khi n LQ ta h i ti p tr ng thái tuy nhiên trong th c t nhi u khi ta ph i quan sát đ l y đ c bi n tr ng thái c l ng (do không đo

đ c) và h i ti p tr ng thái c l ng => LQG

v Du Cx y

Bu x x

+ +

=

+ + Α

Hình 3.13: B đi u khi n LQG

i u khi n LQG là k t h p đi u khi n LQR v i l c Kalman

B c 1:Thi t k đi u khi n LQR=>KC

B c 2:Thi t k b l c Kalman =>L

3.3.1 Bi u Bode a Bi n (Multivariable Bode Plot)

Biên đ c a ma tr n hàm truy n toàn ph ng )H(j t i b t k m t t n s

ω

j nào, ph thu c vào h ng tín hi u kích thích đ u vào.Biên đ c a ma

tr n hàm truy n H( jω) đ c bao phía trên b i giá tr suy bi n c c đ i, kí

hi u σ(H(jω)), phía d i b i giá tr suy bi n c c ti u c a nó, kí hi u

))

(

σ H j Chính vì v y,chúng ta c n tính toán hai giá tr ràng bu c này

Ví d : Bi u Bode Biên H MIMO:

++

-

B

K c

Cx y

Bu Ax x

=

+ +

=

•

γω