on tap xac suat 11

B i 12à : xác suất I/ Lý thuyết : - Tập hợp Ωtất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đợc gọi là không gian mẫu của phép thử - Một biến cố A liên quan tới phép thử T đợc mô tả bởi 1

B i 12à : xác suất

I/ Lý thuyết :

- Tập hợp Ωtất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đợc gọi là không gian mẫu của phép thử

- Một biến cố A liên quan tới phép thử T đợc mô tả bởi 1 tập con ΩA nào đó của không gian mẫu Biến cố A xảy ra khi và chỉ khi kết quả của T thuộc tập ΩA Mỗi phần tử của ΩAđợc gọi là một kết quả thuận lợi cho A

- Hai biến cố A và B đợc gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra

- Hai biến cố A và B đợc gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm

ảnh hởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia

- G/s phép thử T có không gian mẫu Ω và các kết quả của T là đồng khả năng Nếu A là một biến cố

và ΩA là tập hợp mô tả A ( Ω ⊂ ΩA ) thì xác suất của A bằng tỉ số của kết qủa thuận lợi trên tổng số kết quả có thể : P A( ) ΩA

= Ω

- Nếu A1, A2, , Ak là các biến cố đôi một xung khắc thì : P(A1∪A2∪ ∪L Ak) = P(A1) + + P(Ak)

- Nếu A1, A2, , Ak là các biến cố độc lập thì : P(A1A2LAk) = P(A1) P(A2) P(Ak)

- Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là {x1, x2, , xn} , kì vọng của X là :

i 1

=

= + + +L =∑ , ở đó pi = P(X = xi )

- Phơng sai của X là :

i 1

=

n

2 2

i i

i 1

x p

=

− à

∑

- Độ lệch chuẩn của X là : σ( )X = V X( )

II/ Các ví dụ :

VD 1: Gieo đồng thời hai con xúc sắc Tính xác suất để :

a) Tổng số chấm xuất hiện trên 2 con là 8 ?

b) Tổng số chấm xuất hiện trên 2 con là một số chẵn ?

HD : a) Ta có Ω = 36 , các kết quả thuân lợi là : ( 2 ; 6), (3 ; 5), (4 ; 4) ; ( 5 ; 3), (6 ; 2)

Vậy P = 5/36

b) C1 : Liệt kê số kết quả thuận lợi

C2 : Gọi 2 con xúc sắc đó là A và B Giả sử A xuất hiện số chấm là chẵn ( có 3 khả năng ) Khi

đó B phải xuất hiện mặt có số chấm là chẵn ( 3 KN) TH này có : 3x3 = 9 ( KN )

Nếu A xuất hiện mặt có số chấm là lẻ thì B cũng nh thế , suy ra TH này cũng có 9 (KN)

Vậy P = 18/36

VD 2 : Gieo đồng thời 3 con xúc sắc Tính xác suất để :

a)Tổng số chấm xuất hiện của 3 con là 8 ?

b)Tổng số chấm xuất hiện trên 3 con là 10 ?

HD : a)Các TH có thể : Bộ ( 1; 2; 5) có 6 cách , bộ ( 1; 3; 4 ) có 6 cách, bộ ( 1; 1; 6) có 3 cách , bộ (2;2;4) có 3 cách, bộ ( 2; 3; 3)có 3 cách Vậy P = 21/216 = 7/72

b) Tơng tự , P = 1/9

VD 3: Cho một đa giác đều 8 cạnh Chọn ngẫu nhiên một đờng chéo của đa giác Tìm xác suất để

đ-ợc một đờng chéo có độ dài nhỏ nhất ?

HD : Số đờng chéo : C - 8 = 20 Số các đờng chéo của đa giác đều 8 đỉnh có độ dài nhỏ nhất là số 28 các cạnh của hình vuông có 4 đỉnh của đa giác đang xét (hoặc ta thấy ứng mỗi đỉnh của đa giác , thì

đờng chéo nối 2 đỉnh kề bên đỉnh đó có độ dài nhỏ nhất , có 8 đỉnh nh thế này ) ⇒P = 8/20

VD 4: Ba cửa hàng bán xe Honda nh nhau Có 3 ngời khách A, B, C độc lập nhau chọn ngẫu nhiên một cửa hàng để mua xe Tính xác suất các biến cố sau :

a) Ba ngời khách vào cùng một cửa hàng ?

b) Hai ngời khách vào cùng một cửa hàng , ngời kia vào cửa hàng khác

HD : Có 27 cách để 3 ngời đó vào các cửa hàng Ta đánh số các cửa hàng đó là : 1, 2, 3

a)Có 3 cách để 3 ngời đó vào cùng một cửa hàng : ⇒P = 3/27

b) Các TH có thể : ( 1 ;1,2), (1,1,3), (2,2,1), (2,2,3), (3,3,1), (3,3,2) : mỗi bộ nh thế tơng ứng với 3 cách để 3 ngời đó vào các cửa hàng ⇒ P = 18/27

VD 5: Công ty tin học A cần tuyển 2 nhân viên Có 6 ngời nộp đơn , trong đó có 4 nam và 2 nữ Giả

sử rằng khả năng ứng cử của 6 ngời là nh nhau Tính xác suất của biến cố sau :

a) Hai ngời trúng tuyển đều là nam ?

b) Hai ngời trúng tuyển đều là nữ ?

c) Hai ngời trúng tuyển có ít nhất 1 nữ ?

HD : a) P (A) = 6/15 = 2/5; b) tơng tự : P (B) = 1/15 c) P(C) = 1 – P(A)

VD 6: Có 6 quả cầu giống hệt nhau đợc đánh số từ 1 đến 6 và đựng trong một hộp Sau khi xáo trộn , ngời ta lấy ra ngẫu nhiên lần lợt 4 quả

a) Sắp xếp chúng theo thứ tự lấy ra thành một hàng ngang từ trái sang phải Tìm xác suất để có

đợc số 1234 ?

b) Tìm xác suất để tổng các chữ số bằng 10 ?

HD : a) Gọi A là biến cố để có đợc số 1234 Số TH có thể là : A = 360 Số TH thuận lợi là 1 46

⇒ P(A) = 1/ 360

b) Các số đó đợc lập bởi {1,2,3,4} Có 4! = 24 số P = 24/360=1/15

VD 7: Gọi M là tập hợp các số tự nhiên có 2 chữ số khác nhau đợc lập thành từ các số : 1,2,3,4,5,6 Lấy ngẫu nhiên 2 phần tử của M Tính xác suất để 1 trong 2 phần tử đó chia hết cho 6

HD : Số có 2 chữ số có thể lập đợc là : A = 36 Số TH có thể là : 26 C = 630 Số các số chia hết cho 236

6 : 12, 24, 36, 42, 54, 66 Số TH thuận lợi : 6x30 + C = 195 Suy ra : P = 195/ 630=13/42 26

VD 8: Trong 100 vé số có 1 vé trúng 10 triệu đồng , 5 vé trúng 5 triệu đồng và 10 vé trúng 3 triệu

đồng Một ngời mua ngẫu nhiên 3 vé Tính xác suất các biến cố :

a) Ngời đó trúng đúng 3 triệu đồng

b) Ngời đó trúng ít nhất 3 triệu đồng

HD : a) Số TH có thể : C1003 Ngời đó trúng 3 triệu đồng , nên có 1 vé trúng 3 triệu và 2 vé kia không trúng số TH thuận lợi : C C Suy ra : P = 83/385110 284

b)Gọi A là biến cố ngời đó trúng ít nhất 3 triệu và B là biến cố ngời đó không trúng vé nào Ta có : P(A) = 1 – P(B) = 1 -

3 84 3 100

5775

VD 9: Một công ty cần tuyển 2 nhân viên Có 6 ngời nộp đơn trong đó có 4 nữ và 2 nam Khả năng

đợc tuyển của 6 ngời là nh nhau , Giả sử Mai là một trong 4 nữ

a) Tính xác suất để Mai đợc chọn ?

b) Tính xác suất để Mai đợc chọn nếu đã có ít nhất một nữ đã chọn

HD : a) Số TH thuận lợi : C , số TH có thể : 15 C Vậy P = 1/326

b)Số TH để có ít nhất một nữ đợc chọn là : 4.2 + C = 14 số TH thuận lợi là : 24 C Vậy P = 5/1415

VD 10: Xếp ngẫu nhiên 5 ngời vào 1 bàn có 5 chỗ ngồi Tính xác suất các biến cố sau :

a) A và B ngồi đầu bàn

b) A và B ngồi cạnh nhau

HD : a) Số TH đồng khả năng là : 5! , Xếp A, B ngồi đầu bàn có 2 cách , xếp 3 ngời còn lại có 3! cách Vậy P = 3!.2/5! = 0,1

b) Số TH đồng khả năng là : 5! , xếp 5 ngời mà A và B ngồi cạnh nhau có : 2!.4! P = 0,4

VD 11: Bỏ ngẫu nhiên 5 lá th vào 5 phong bì Tính xác suất để :

a) Có 5 là th đến đúng ngời nhận

b) Lá thứ 1 đến đúng ngời nhận

c) Lá thứ 1 và thứ 2 đến đúng ngời nhận

d) Có 1 lá đến đúng ngời nhận , các lá còn lại đều sai

HD : a) P(A) = 1/5! , b)P(B) = 4!/5! , c) P(C) = 3!/5! d) P(D) = C /5!15

VD 12: Một cỗ bài tú lơ khơ có 52 quân Rút ngẫu nhiên ra 6 quân Tính xác suất để có :

a) 4 con bích và 2 co chuồn

b) 3 quân át và 3 con 5

c) 2 quân át

VD 1:

VD 1:

VD 1:

VD 1:

VD 1:

VD 1:

VD 1:

VD 1:

VD 1:

VD 1:

VD 1:

VD 1:

VD 1: