Một số định lý về sự hội tụ của dãy hàm

Mối liên hệ giữa các sự hội tụ của dãy hàm đo được

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HÀ ANH QUỐC

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ SỰ HỘI

TỤ CỦA DÃY HÀM ĐO ĐƯỢC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Huế, Khóa học: 2013-2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HÀ ANH QUỐC

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ SỰ HỘI

TỤ CỦA DÃY HÀM ĐO ĐƯỢC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Ngành học: Sư phạm Toán Cán bộ hướng dẫn: TS Trương Văn Thương

Huế, Khóa học: 2013-2017

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏ lòng biết ơnđến thầy Trương Văn Thương đã giúp đỡ, hướng dẫn chu đáo để tôi có thể hoànthành khóa luận này Xin phép được gửi đến Thầy sự kính trọng và lòng biết ơnsâu sắc về sự tận tâm của Thầy đối với bản thân tôi không chỉ trong thời gian làmkhóa luận mà còn trong suốt quá trình học tập.

Tôi xin phép được gửi lời cám ơn chân thành đến quý thầy cô giáo đã giảng dạylớp Toán B, cũng như toàn thể quý thầy cô Khoa Toán Trường Đại học Sư phạmHuế, những người đã truyền tải kiến thức, kinh nghiệm cho bản thân tôi và giúp đỡtôi trong thời gian thực hiện đề tài này

Cuối cùng, xin phép được gửi lời cảm ơn đến người thân, bạn bè đã quan tâmđộng viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập vừa qua

Tôi xin chân thành cám ơn!

Huế, tháng 5 năm 2017

HÀ ANH QUỐC

Danh mục kí hiệu 3

1.1 Không gian độ đo 7

1.1.1 Đại số tập hợp 7

1.1.2 Không gian độ đo 8

1.1.3 Độ đo Lebesgue 10

1.2 Hàm đo được, hàm khả tích 11

1.2.1 Hàm đo được 11

1.2.2 Hàm khả tích 12

1.3 Không gian Lp 17

1.3.1 Không gian định chuẩn 17

1.3.2 Không gian Lp 17

2 Một số định lý về sự hội tụ của các dãy hàm 18 2.1 Sự hội tụ của các dãy hàm 18

2.1.1 Sự hội tụ đều của dãy hàm đo được 19

2.1.2 Sự hội tụ hầu khắp nơi của dãy hàm đo được 21

2.1.3 Sự hội tụ hầu như đều của dãy hàm đo được 24

2.1.4 Sự hội tụ theo độ đo của dãy hàm đo được 25

2.1.5 Sự hội tụ trung bình của dãy hàm khả tích 28

2.2 Mối liên hệ giữa các sự hội tụ 31

2.2.1 Mối liên hệ giữa sự hội tụ đều và hội tụ hầu khắp nơi 31

2.2.3 Mối liên hệ giữa sự hội tụ theo độ đo và hội tụ trung bình 352.2.4 Mối liên hệ giữa sự hội tụ trung bình và hội tụ hầu khắp nơi 372.2.5 Mối liên hệ giữa sự hội tụ hầu khắp nơi và hội tụ hầu như đều 402.2.6 Mối liên hệ giữa sự hội tụ hầu như đều và hội tụ theo độ đo 422.2.7 Mối liên hệ giữa sự hội tụ hầu như đều và hội tụ trung bình 442.2.8 Mối liên hệ giữa sự hội tụ trung bình và hội tụ đều 452.2.9 Lược đồ thể hiện mối liên hệ giữa các dạng hội tụ 472.2.10 Mối liên hệ giữa các dạng hội tụ được mở rộng trên không

gian Lp 49

(X, F ) Không gian đo được

(X, F , µ) Không gian độ đo

PHẦN MỞ ĐẦU

Lịch sử vấn đề

Các hàm số liên tục trên một khoảng có nhiều tính chất tốt, nhưng không đóngkín đối với một phép toán cơ bản của giải tích là phép toán lấy giới hạn, vì vậy cầnmột lớp hàm mới có các tính chất tốt của hàm liên tục và đóng kín đối với phéptoán lấy giới hạn, đó là lớp các hàm đo được Từ cuối thế kỷ XIX đầu thế kỷ XX,các nhà toán học đã xây dựng lớp các hàm đo được và các định lý về sự hội tụ củacác dãy hàm đo được, từ đó xây dựng nên các dãy hàm cơ bản và tiếp cận các kháiniệm mới hàm khả tích Lebesgue, chuyển giới hạn qua dấu tích phân Sự hội tụ củacác dãy hàm có ý nghĩa quan trọng, đáp ứng yêu cầu phát triển trong các vấn đềliên quan giải tích lồi, không gian Orlicz và các lĩnh vực: lý thuyết xác suất, cơ họclượng tử

Lý do chọn đề tài

Lý thuyết Độ đo và Tích phân là một phần quan trọng trong lý thuyết hàm sốthực và cùng với Giải tích hàm tạo nên kiến thức giải tích hiện đại cơ bản, thôngqua nghiên cứu lĩnh vực này người học có thể tiếp cận các kiến thức cao hơn củagiải tích hiện đại Trong đó, các định lý về sự hội tụ của các dãy hàm đo được haydãy hàm khả tích là một phần nhỏ của lý thuyết độ đo và tích phân nhưng rất quantrọng Ngoài việc, đọc và hệ thống lại các định nghĩa, định lý về sự hội tụ đề tài cònlàm rõ mối liên hệ giữa chúng thông qua việc lập lược đồ thể hiện mối liên hệ giữacác dạng hội tụ và chỉ ra các ví dụ hay phản ví dụ cụ thể

Đã có nhiều tài liệu hay một số nghiên cứu nói về sự hội tụ của các dãy hàm,các định lý về sự hội tụ của dãy hàm và mối liên hệ giữa các dạng hội tụ Sau đây,tôi xin hệ thống lại kiến thức về sự hội tụ của dãy hàm và mối liên hệ giữa các dạnghội tụ, các mối liên hệ đó thay đổi hay không khi xét trên không gian độ đo vô hạnhay hữu hạn Do đó, tôi đã quyết định thực hiện đề tài: "Một số định lý về sựhội tụ của dãy hàm đo được" để làm rõ các vấn đề trên

Mục đích nghiên cứu

Hệ thống lại các dạng hội tụ quen thuộc của các dãy hàm như hội tụ điểm, hội

tụ đều, hội tụ hầu khắp nơi và hội tụ theo độ đo Ngoài ra, đề tài còn tìm hiểu cáckiểu hội tụ khác như hội tụ trung bình, hội tụ hầu như đều, hội tụ đều hầu khắpnơi và các dãy hàm cơ bản

Chỉ ra mối liên hệ giữa các dạng hội tụ và các dãy cơ bản thông qua các ví dụhay phản ví dụ đồng thời cũng xem xét mối liên hệ đó thay đổi như thế nào khi đặttrong không gian độ đo hữu hạn hay vô hạn Chẳng hạn, trong không gian độ đohữu hạn và độ đo đang xét là độ đo đủ thì mọi dãy hàm đo được hội tụ hầu khắpnơi thì hội tụ theo độ đo.Vấn đề đặt ra là đối với các dạng hội tụ khác có mối liên

hệ với nhau như thế nào? Và các mối liên hệ này có thay đổi không khi ta xét chúngtrong không gian độ đo hữu hạn? Đề tài sẽ làm rõ vấn đề này

Nhiệm vụ nghiên cứu

Cần trình bày các kiến thức bổ trợ cần thiết về đại số tập hợp, không gian độ đo,định nghĩa hàm đo được, hàm khả tích Lebesgue và không gian định chuẩn, khônggian Lp

Hệ thống lại các định nghĩa sự hội tụ của dãy hàm, các dãy cơ bản và thiết lậpmối liên hệ giữa các dạng hội tụ thông qua sơ đồ, tìm hiểu mối liên hệ giữa các dạnghội tụ và các dãy cơ bản khi xét trên không gian độ đo vô hạn hay hữu hạn với độ

đo đủ Chọn các ví dụ, phản ví dụ hay bài tập cần thiết để làm rõ các định nghĩa

sự hội tụ của dãy hàm và mối liên hệ giữa các dạng hội tụ

Phương pháp nghiên cứu

Trước tiên, khảo sát các tài liệu đã có, các nghiên cứu về chủ đề sự hội tụ củadãy hàm đã làm được những gì và còn những thiếu sót gì Sau đó, tìm và chọn lựanhững tài liệu cần thiết, đọc tài liệu và hệ thống lại kiến thức về định nghĩa, cácđịnh lý về sự hội tụ của dãy hàm đo được, dãy hàm khả tích

Phạm vi của đề tài

Đề tài: "Một số định lý về sự hội tụ của dãy hàm đo được" nghiên cứu

sự hội tụ của dãy hàm đo được, khả tích Đồng thời, chỉ ra mối liên hệ giữa các sựhội tụ của dãy hàm và mối liên hệ này thay đổi như thế nào khi xét trên không gian

độ đo vô hạn hay hữu hạn(hoặc khi bổ sung vào các điều kiện cần thiết ) Bên cạnh

đó, tôi đã lập ra lược đồ mối liên hệ giữa các dạng hội tụ kèm theo các ví dụ hayphản ví dụ để minh chứng cho các mối liên hệ trên, đề tài còn mở rộng lên khônggian Lp, tức là chỉ ra mối liên hệ giữa các dạng hội tụ trên không gian này

Bố cục đề tài

Từ mục đích và nhiệm vụ đặt ra, đề tài trình bày một cách có hệ thống kiếnthức liên quan và chi tiết các định nghĩa, định lý sự hội tụ của dãy hàm đo đượckhả tích và mối liên hệ giữa chúng Đồng thời, đề tài còn đưa ra các bài tập bổ sungcho các định lý và mở rộng trình bày các kết quả trên không gian Lp

Bố cục được sắp xếp như sau:

Ngoài phần mở đầu, phần kết luân, mục lục và danh mục kí hiệu Nội dung chínhcủa đề tài gồm hai chương:

Trong chương 1, trình bày các kiến thức cơ bản về đại số, σ-đại số, σ-đại sốBorel Tiếp theo, định nghĩa độ đo trên đại số, độ đo ngoài và các tính chất, khônggian độ đo và độ đo Lebesgue Trình bày khái niệm hàm đo được, hàm khả tích vàcác tính chất của hai hàm này Phần cuối, định nghĩa không gian định chuẩn vàkhông gian Lp

Chương 2, đưa ra khái niệm như: sự hội tụ đều, hội tụ hầu như đều, hội tụ hầukhắp nơi, hội tụ theo độ đo và hội tụ trung bình Lấy các ví dụ về sự hội tụ của dãyhàm và đưa ra định nghĩa các dãy cơ bản ứng với sự hội tụ đã nêu Tìm mối liên hệgiữa các dạng hội tụ và lập sơ đồ thể hiện mối liên hệ giữa các sự hội tụ của dãyhàm, kèm theo đó là các ví dụ hay phản ví dụ minh chứng cho các mối liên hệ đó.Các định lý liên quan đến sự hội tụ của dãy hàm cũng được đưa vào và còn mở rộngcác kết quả về mối liên hệ giữa các dạng hội tụ trong không gian Lp

Kiến thức cần thiết

Chương này trình bày các kiến thức cơ bản về đại số, σ-đại số Định nghĩa độ đotrên đại số tập hợp, độ đo ngoài và các tính chất quan trọng, cách xây dựng độ đoLebesgue Tiếp theo, đưa ra định nghĩa hàm đo được, hàm khả tích cùng các tínhchất quan trọng và cách kiểm tra tính đo được khả tích của hàm Phần cuối, trìnhbày không gian định chuẩn và không gian Lp

1.1.1 Đại số tập hợp

Định nghĩa 1.1 [1] Cho X là một tập không rỗng

Xét C ⊂ P(X) là một lớp khác rỗng những tập con của X, lớp C được gọi là mộtđại số trên X nếu:

Nhận xét:

1 Giả sử C là một đại số trên X Khi đó, các tập ∅ và X đều thuộc C Ngoài ra,nếu A ∈ C và B ∈ C thì A ∩ B ∈ C và A \ B ∈ C

2 Các lớp C = {∅, X} và C = P(X) là những σ-đại số Nếu X là tập vô hạn thì

họ C gồm các tập con A của X sao cho A không quá đếm được(hoặc Ac không quáđếm được) cũng là một σ-đại số

3 Giả sử C là một σ-đại số trên X thì C là một đại số trên X Hơn nữa, nếu dãy(An)n ⊂ C thì

∞

T

n=1

An ∈ CĐịnh lý 1.2 [1] Cho C ⊂ P(X) là một lớp khác rỗng Lúc đó, tồn tại duy nhấtmột σ-đại số F (C) chứa C và chứa trong mọi σ-đại số chứa C

Định nghĩa 1.3 [1] Cho X là một không gian tôpô Lúc đó, σ-đại số sinh ra bởi

họ các tập mở của X được gọi là σ-đại số Borel trên X, kí hiệu: BX Mỗi phần tửcủa BX được gọi là một tập Borel

Nhận xét:

Tập Borel là những tập xuất phát từ tập mở và thực hiện một số hữu hạn hayđếm được các phép toán hợp, giao trên tập đó Ngoài ra, mỗi tập đóng là phần bùcủa một tập mở nên mỗi tập đóng cũng là một tập Borel

1.1.2 Không gian độ đo

Định nghĩa 1.4 (Độ đo trên đại số tập hợp) [1] Cho C là một đại số trên X Mộtánh xạ µ : C → R được gọi là một độ đo nếu thỏa các điều kiện sau:

1 µA ≥ 0 với mọi A ∈ C;

1 Độ đo µ xác định trên σ-đại số F được định nghĩa tương tự độ đo trên đại sốtập hợp

2 Độ đo µ gọi là hữu hạn nếu µX < +∞ Hơn nữa, độ đo µ gọi là σ-hữu hạnnếu X =

∞

S

n=1

Xn mà Xn ∈ C và µXn< +∞ với mọi n ∈ N

3 Độ đo µ xác định trên σ-đại số F được gọi là độ đo đủ nếu A ∈ F sao cho

µA = 0 thì mọi tập con B ⊂ A cũng thuộc về F và µB = 0

Khi đó, cặp (X, F ) được gọi là một không gian đo được, còn bộ ba (X, F , µ)được gọi là một không gian độ đo

Định lý 1.5 (Tính liên tục của độ đo) [1] Cho µ là độ đo trên C

1 Cho (An)n ⊂ C mà An ⊂ An+1 với mỗi n ∈ N và

đo ngoài nếu thỏa các điều kiện sau:

1 µ∗(∅) = 0 và µ∗(A) ≥ 0 với mọi A ∈ P(X);

Nhận xét: Tính chất của độ đo và độ đo ngoài

1 Nếu A, B ∈ C mà A ⊂ B thì µA ≤ µB Đặc biệt, khi µA < +∞ thì µ(B \A) =

µB − µA

2 Nếu A, B ∈ C mà µB = 0 thì µ(A ∪ B) = µ(A \ B) = µA

3 µ là cộng được Ngoài ra, nếu (An)n ⊂ C mà µAn = 0 với mỗi n ∈ N và

Định nghĩa 1.7 [1] Cho µ∗ là một độ đo ngoài trên X Một tập A ⊂ X được gọi

là µ∗-đo được(hay còn gọi là đo được) nếu thỏa:

µ∗E = µ∗(E ∩ A) + µ∗(E \ A) với mọi E ⊂ X

Mỗi phần tử của σ-đại số F trên X là một tập đo được

Định lý 1.8 (Định lý Caratheodory) [2] Cho µ∗ là một độ đo ngoài trên X, kíhiệu L là lớp tất cả các tập µ∗-đo được Khi đó, L là một σ-đại số trên X và hàm

µ = µ∗|L(thu hẹp của µ∗ trên L) là độ đo trên L

1.1.3 Độ đo Lebesgue

Một tập con của R được gọi là một gian nếu thuộc một trong các dạng sau:(a; b), (a; b], [a; b), [a; b], (−∞; a), (−∞; a], (a; +∞), [a; +∞), (−∞; +∞),với a, b là những số thực và a ≤ b Kí hiệu: ∆ = (a; b) trong đó a, b ∈ R

Tập ∅ cũng là một gian Độ dài của một gian ∆ = (a; b) kí hiệu |∆|, được địnhnghĩa như sau: |∆| =

được gọi là độ đo ngoài Lebesgue trên R

Hàm µ∗ là độ đo ngoài trên R như vậy có thể áp dụng định lý Caratheodory đểxây dựng một độ đo trên R, đó chính là độ đo Lebesgue Kí hiệu độ đo này là µ.Một tập A ⊂ R gọi là đo được đối với độ đo Lebesgue nếu

µ∗E = µ∗(E ∩ A) + µ∗(E \ A) với mọi E ⊂ R

Kí hiệu L là σ-đại số các tập µ∗-đo được(Lebesgue đo được) Ngoài ra, nếu A ∈ Lthì µA = µ∗A

Định lý 1.10 [1] Độ đo Lebesgue là đủ và σ-hữu hạn Mỗi gian trên R là một tập

đo được và độ đo của một gian bằng độ dài của gian đó

Mệnh đề 1.11 [1] Mọi tập con hữu hạn hoặc đếm được của R thì đo được và có

độ đo không

Nhận xét:

Mọi tập Borel đều đo được Lebesgue Ngoài ra, mỗi tập đo được Lebesgue làmột tập Borel thêm hay bớt một tập có độ đo không

Định lý 1.12 [1] Cho A ⊂ R Lúc đó, A là đo được khi và chỉ khi:

1 Với mỗi ε > 0, tồn tại tập mở G mà A ⊂ G sao cho µ∗(G \ A) < ε

2 Với mỗi ε > 0, tồn tại tập đóng F mà F ⊂ A sao cho µ∗(A \ F ) < ε

Nếu trên F có một độ đo µ thì ta nói hàm f là đo được đối với độ đo µ

Nếu xét X = Rn và F là σ-đại số các tập Lebesgue đo được (hoặc F là σ-đại sốBorel ) thì ta nói f là Lebesgue đo được (hoặc f là Borel đo được)

Định lý 1.14 [1] Cho A ∈ F và f : A −→ R Khi đó, f là đo được nếu và chỉ nếu

nó thỏa mãn một trong các mệnh đề sau đây:

1 Tập {x ∈ A : f (x) ≥ a} là đo được với mỗi a ∈ R

2 Tập {x ∈ A : f (x) < a} là đo được với mỗi a ∈ R

3 Tập {x ∈ A : f (x) ≤ a} là đo được với mỗi a ∈ R.

Nhận xét:

Nếu f là đo được thì các tập {a < f < b}, {a ≤ f ≤ b}, {a ≤ f < b},{a < f ≤ b}, {f = +∞}, {f = −∞} là đo được

Định lý 1.15 [1] Cho A ∈ F và f : A −→ R

1 Nếu µA = 0 và độ đo µ là đủ thì f là đo được trên A

2 Nếu f đo được trên A thì f đo được trên B, B là tập con bất kỳ đo được của A

3 Nếu f và g là đo được trên A thì các hàm k.f với k ∈ R; f + g; f g và f

g với

g 6= 0 cũng đo được trên A

4 Giả sử (An)n là một dãy những tập đo được Nếu hàm f đo được trên mỗi Anthì hàm f đo được trên T

n

An và S

n

An.Định lý 1.16 [1] Cho A ∈ F và (fn)n là một dãy hàm thực đo được trên A Lúc đó,các hàm số sup

Cho A ⊂ X Hàm đặc trưng của A(kí hiệu XA) là một hàm xác định trên X,định nghĩa như sau:

1.2.2 Hàm khả tích

Cho không gian độ đo (X, F , µ) và A ∈ F , kí hiệu L+(A) để chỉ tập các hàm đođược nhận giá trị không âm trên A

Định nghĩa 1.18 (Tích phân của hàm đơn giản không âm) Cho f là một hàm đơngiản, không âm Giả sử rằng f (A) = {a1, a2, , am} ⊂ R Đặt Ai = {x ∈ A : f (x) =

ai} với i = 1, 2, , m Lúc đó, các tập Ai này là rời nhau đôi một và A =

m

S

i=1

Ai.Khi đó, ta có thể biểu diễn f thành một tổ hợp tuyến tính: f =

Định nghĩa 1.21 (Tích phân hàm đo được bất kỳ) Cho hàm f đo được trên A,

f = f+− f− trong đó f+ = max{f, 0}, f−= −min{f, 0} và hiệu R

2 Do |f | = f++ f− nên f khả tích trên A khi và chỉ khi |f | là khả tích trên A

Định lý 1.22 [1] Cho f là hàm đo được trên A.

1 Nếu f có tích phân trên A ∪ B thì f có tích phân trên A và trên B

2 Nếu f có tích phân trên A và trên B đồng thời tổng R

A

f dµ +R

B

f dµ có nghĩathì f có tích phân trên A ∪ B Hơn nữa, R

2 Nếu hàm f khả tích trên A thì f nhận giá trị hữu hạn hầu khắp A

Đẳng thức thứ hai trong định lý trên còn đúng cho n hàm f1, f2, , fn.

Định lý 1.26 (Tính liên tục tuyệt đối) [1] Cho f là hàm khả tích trên A Lúc đó,với mỗi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho |R

E

f dµ| < ε với mọi E ⊂ A mà µE < δ

Bổ đề 1.27 (Bổ đề Fatou) [1] Nếu (fn)n⊂ L+(A) thì

Trong trường hợp tổng quát, theo định lý về cấu trúc của hàm đo được, với mỗi

n ∈ N, tồn tại dãy hàm đơn giản (g(n)m )m sao cho 0 ≤ gm(n) đơn điệu tăng hội tụ về

fn sao cho gm(n)≤ g(n+1)m với mọi m, n Do đó, với k ≤ n, ta có: gn(k≤ g(n)n ≤ fn.Khi đó,

fndµ Nhưng, mỗi hàm gn(n) là đơn giản và

0 ≤ gn(n) đơn điệu tăng nên

Như vậy, lim

• Trường hợp (fn)n hội tụ hầu khắp nơi về hàm f trên A

Vì |fn| ≤ g nên |f | < g hầu khắp A Do đó, f khả tích trên A

Ngoài ra, −g ≤ fn ≤ g với mọi n nên

A

fndµ ≤ lim

n supZ

A

fndµ ≤ lim

n supZ

• Trường hợp (fn)n hội tụ theo độ đo về hàm f trên A

Theo định nghĩa giới hạn, tồn tại dãy con (fnk)k của (fn)n sao cho

1.3 Không gian Lp

1.3.1 Không gian định chuẩn

Giả sử X là không gian tuyến tính trên trường thực R

Định nghĩa 1.30 [3] Một chuẩn trên không gian tuyến tính X(kí hiệu k.k) là mộtánh xạ: k.k : X → R thỏa mãn các tiên đề sau:

1 kxk ≥ 0 với mọi x ∈ X và kxk = 0 ⇔ x = 0;

2 kαxk = |α|.kxk với mọi x ∈ X và α ∈ R;

3 kx + yk ≤ kxk + kyk với mọi x, y ∈ X

Khi đó, (X, k.k) là không gian tuyến tính định chuẩn(hay gọi tắt là không gianđịnh chuẩn) Không gian định chuẩn được gọi là không gian Banach nếu mọi dãyCauchy chứa trong nó đều hội tụ

1.3.2 Không gian Lp

Giả sử (X, B, µ) là không gian độ đo, A ∈ B

Định nghĩa 1.31 (Không gian Lp) [2] Cho 1 ≤ p < +∞, gọi Lp(A) là tập tất

cả các hàm đo được trên A sao cho R

A

|f |pdµ < +∞

Nếu A = Rn và µ là độ đo Lebesgue thì ta kí hiệu Lp

Hàm f (x) đo được trên A được gọi là bị chặn cốt yếu nếu tồn tại tập B có độ

đo 0 sao cho f (x) bị chặn trên tập A \ B, tức là tồn tại K > 0 mà

Một số định lý về sự hội tụ của

các dãy hàm

Chương này trình bày định nghĩa sự hội tụ đều, hội tụ hầu như đều, hội tụ hầukhắp nơi, hội tụ theo độ đo, hội tụ trung bình và lấy các ví dụ về sự hội tụ của dãyhàm, đưa ra khái niệm các dãy cơ bản ứng với sự hội tụ đã nêu Tiếp theo, tìm hiểumối liên hệ giữa các dạng hội tụ và lập sơ đồ thể hiện mối liên hệ giữa các sự hội tụcủa dãy hàm Trong đó, chỉ rõ mối liên hệ này thay đổi như thế nào khi ta bổ sungcác điều kiện cần thiết hay khi xét trên không gian độ đo hữu hạn, kèm theo đó làcác ví dụ hay phản ví dụ minh chứng cho các mối liên hệ Phần cuối, mở rộng cáckết quả về mối liên hệ giữa các dạng hội tụ trong không gian Lp

Trong chương này, ta xét tập A ⊂ Rn là tập đo được Lebesgue

Với mỗi n ∈ N∗ có một hàm fn: A → R Khi đó, (fn)nđược gọi là một dãy hàmxác định trên A Nếu tại x0 ∈ A, dãy số (fn(x0))n hội tụ thì x0 được gọi là điểmhội tụ của dãy hàm đã cho và tập tất cả các điểm hội tụ gọi là miền hội tụ của dãyhàm đó

Dãy hàm (fn)n được gọi là hội tụ điểm về hàm f trên A nếu với mỗi x ∈ A, vớimọi ε > 0, tồn tại n0 ∈ N(n0 phụ thuộc vào ε và mỗi điểm x ∈ A) sao cho với mọi

n ∈ N mà n ≥ n0 thì |fn(x) − f (x)| < ε Ta viết: lim

n fn(x) = f (x) với mọi x ∈ A

Chẳng hạn, dãy hàm (fn)n với fn(x) = 2n

2x3

1 + n2x2 hội tụ đến hàm f (x) = 2x trên R.Thật vậy, với mọi ε > 0, tồn tại n0 =1ε + 1 sao cho với mọi n ≥ n0, ta có:

|fn(x)−f (x)| =

1 ε

i+ 1

2.1.1 Sự hội tụ đều của dãy hàm đo được

Định nghĩa 2.1 Cho dãy hàm (fn)n và hàm f đo được trên A Dãy hàm (fn)n

được gọi là hội tụ đều (converges uniformly) về hàm f trên A nếu với mọi ε > 0,tồn tại no ∈ N, với mọi n ∈ N sao cho n ≥ no thì |fn(x) − f (x)| < ε với mọi x ∈ A

Kí hiệu: fn ⇒ f trên A

Như vậy, dãy hàm fn⇒ f trên A khi và chỉ khi:

• ∀ε > 0, ∃no∈ N, ∀n ∈ N sao cho n ≥ no ⇒ sup

Hàm fn(x) liên tục trên [0; 1] nên fn(x) đo được trên A = [0; 1]

Với mỗi x ∈ [0; 1], lim

xnn

= max

x∈A

... (fn)n hội tụ hàm g A

2.1.4 Sự hội tụ theo độ đo dãy hàm đo được

Định nghĩa 2.10 Cho dãy hàm (fn)n hàm f đo A Dãy hàm (fn)nđược...

2.1.2 Sự hội tụ hầu khắp nơi dãy hàm đo được

Định nghĩa 2.5 Cho dãy hàm (fn)n hàm f đo A Dãy hàm (fn)nđược gọi hội tụ hầu khắp nơi...

2.1.1 Sự hội tụ dãy hàm đo được

Định nghĩa 2.1 Cho dãy hàm (fn)n hàm f đo A Dãy hàm (fn)n

được gọi hội tụ (converges