một số định lý về sự phân nhánh nghiệm của phương trình phi tuyến

HỒ CHÍ MINH Phan Hữu Hớn MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ SỰ PHÂN NHÁNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TR ƯỜNG

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TR ƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Phan Hữu Hớn

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ SỰ PHÂN NHÁNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH PHI

TUYẾN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TR ƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Phan Hữu Hớn

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ SỰ PHÂN NHÁNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH PHI

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS TS NGUYỄN BÍCH HUY

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011

Tôi xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp, các bạn học viên cao học Toán Giải tích K19 và gia đình đã luôn động viên, khuyến khích và giúp đỡ tôi trong thời gian tôi học tập và làm luận văn

Do kiến thức bản thân tôi còn hạn chế nên luận văn sẽ khó tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được sự nhận xét và chỉ bảo của Quí Thầy Cô và sự góp

ý chân thành của các bạn đồng nghiệp

Tp Hồ Chí Minh, ngày 20/08/2011 Học viên cao học khoá 19 Phan Hữu Hớn

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 3

MỤC LỤC 4

MỞ ĐẦU 5

1.Lý do chọn đề tài 5

2.Mục tiêu của đề tài 5

3.Phương pháp nghiên cứu 5

4.Nội dung luận văn 5

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7

1.1.Đạo hàm Fréchet 7

1.2.Công thức Taylor 7

1.3.Định lý hàm ẩn 8

1.4.Bổ đề Whyburn (xem tài liệu tham khảo [3]) 8

1.5.Định lý mở rộng Dugundji 8

1.6.Bậc tôpô của ánh xạ compắc 8

Chương 2 SỰ PHÂN NHÁNH TỪ GIÁ TRỊ RIÊNG ĐƠN 12

2.1.Phép chiếu Liapunov-Schmit 12

2.2.Định lý Crandal-Rabinowitz 14

2.3.Ứng dụng 15

Chương 3 SỰ PHÂN NHÁNH TOÀN CỤC 18

3.1.Nguyên lý nối dài 18

3.2.Định lý hàm ẩn toàn cục 21

3.3.Định lý Rabinowitz về sự phân nhánh toàn cục 23

Chương 4 SỰ PHÂN NHÁNH NGHIỆM DƯƠNG 26

4.1.Không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón 26

4.2.Định lý phân nhánh nghiệm dương 31

KẾT LUẬN 39

TÀI LIỆU THAM KHẢO 40

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Các hệ thống trong tự nhiên hoặc xã hội được phát triển dưới tác động của nhiều yếu tố Khi tác động các yếu tố này đạt tới một ngưỡng nào đó thì trong sự phát triển của hệ thống xảy ra một đột biến lớn Phát biểu ở dạng toán học, ta có một họ phương trình dạng F x,( )λ = 0 phụ thuộc tham số λ thuộc một không gian L nào đó

và ∀ ∈λ L, phương trình có nghiệm tầm thường 0 nhưng tồn tại λ0 sao cho trong lân cận (λ ε λ ε0 − ; 0 + ) có thêm nghiệm x( )λ ≠0 Ta nói họ nghiệm (x( )λ λ, ) phân nhánh từ họ nghiệm tầm thường ( )0,λ tại điểm (0,λ0) và λ0 gọi là điểm phân nhánh

Nghiên cứu sự phân nhánh của các phương trình phi tuyến được bắt đầu từ những năm 1930, được phát triển và hoàn thiện cho đến ngày nay Chúng ta tìm được các ứng dụng quan trọng trong việc nghiên cứu, phân tích nhiều hiện tượng của tự nhiên và xã hội

2 Mục tiêu của đề tài

• Trình bày một cách hệ thống, chi tiết một số định lý cơ bản về sự phân nhánh nghiệm, như định lý Crandal-Rabinowitz; định lý Krasnoselskii; định lý Rabinowitz

• Giới thiệu các phương pháp khác nhau nghiên cứu sự phân nhánh

• Xét một số ứng dụng đơn giản

3.Phương pháp nghiên cứu

Chỉ nghiên cứu về mặt lý thuyết Từ các tài liệu do giảng viên hướng dẫn giới thiệu và học viên tự tìm; học viên tự tìm hiểu vấn đề và trình bày kết quả theo hiểu biết của mình một cách chi tiết, theo hệ thống khoa học

Các phương pháp chứng minh cụ thể: sử dụng định lý hàm ẩn, bậc tôpô

4 Nội dung luận văn

Nội dung luận văn gồm 4 chương:

Chương 1 Trình bày các kiến thức chuẩn bị cho các chương sau như: đạo hàm Fréchet, c ông thức Taylor (trong không gian Banach), định lý hàm ẩn, bổ đề Whyburn, định lý mở rộng Dugundji và các kết quả về bậc tôpô của ánh xạ compắc

Chương 2 Trình bày về sự phân nhánh nghiệm của phương trình

F ,λ = ∀ ∈ từ giá trị riêng đơn , λ

Phần 2.1 trình bày phép chiếu Liapunov-Schmit để từ đó nhờ Bổ đề 2.1.2, ta sẽ

tìm được nghiệm không tầm thường của phương trình F u,( )λ = 0 ngay lập tức

Phần 2.2 trình bày định lý Crandal-Rabinowitz

Phần 2.3 trình bày một ứng dụng của định lý Crandal-Rabinowitz vào bài toán tìm điểm phân nhánh của phương trình vi phân thường với điều kiện biên tuần hoàn

Chương 3 Trình bày về tính đồng luân của bậc Leray-Schauder liên quan đến mặt trụ đồng luân có biến là thiết diện và từ đó đi đến nguyên lý nối dài Leray- Schauder và một áp dụng của nó; trình bày định lý hàm ẩn toàn cục, từ đó đi đến sự

mở rộng của định lý phân nhánh địa phương ở Chương 2, đó là định lý Rabinowitz

về sự phân nhánh toàn cục và ứng dụng của định lý này

Chương 4 Trình bày các khái niệm về nón và các kết quả thu được trong

không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón Định lý về sự phân nhánh nghiệm dương

và một ứng dụng của nó

Trong luận văn này, một số kết quả sử dụng sẽ được phát biểu dưới dạng định

lí hoặc bổ đề mà không chứng minh

Các ký hiệu được dùng trong luận văn

L(X,Y) : không gian các hàm số tuyến tính liên tục từ X vào Y

L(X) = L(X,X)

I : á nh xạ đơn vị trên không gian Banach X

C(X,Y) : khôn g gian các hàm số liên tục từ X vào Y

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Đạo hàm Fréchet

Cho E và X là các không gian Banach, U là một tập mở con của E, x0∈U và

hàm số Ùf :U →X Khi đó:

+ f được gọi là khả vi Fréchet (F-khả vi) tại x0 nếu tồn tại T∈L E , X( )

(không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào X) sao cho với mọi h E∈ mà

o h lim

B∈L E ,L E , X (không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào L E , X ) sao ( )

cho với mọi h E∈ mà x0 + ∈h U , ta có

o h lim

h

Ánh xạ B nếu tồn tại sẽ duy nhất Đặt ( )2 ( )

f x = và gọi là đạo hàm Fréchet B

bậc hai của f tại x0

Bằng cách tương tự ta có đạo hàm bậc cao k của f tại x0 là ( )( )0

k

1.2 Công thức Taylor

Cho E và X là các không gian Banach, U là một tập mở con của E, x0∈U và

hàm số Ùf :U → X khả vi bậc m Khi đó, với mọi h∈E sao cho x0 + ∈th U với mọi

k k

o h lim

Tx = y và F x;Tx( )= trên 0 B x ,r( 0 ) Ánh xạ T này liên tục

1.4.Bổ đề Whyburn (xem tài liệu tham khảo [3])

Cho A và B là các tập con đóng, rời nhau của không gian tôpô compắc X Khi

đó, hoặc

(i) tồn tại một tập đóng, liên thông C AB ⊂ X sao cho

AB AB

A∩C ≠ ∅ ≠ ∩B C , hoặc

(ii) tồn tại hai tập đóng, rời nhau D ,D A B ⊂ X sao cho

A B A B

A⊂D , B⊂D , D ∪D =X

1.5 Định lý mở rộng Dugundji

Cho E và X là các không gian Banach, C là một tập đóng trong E, K là một tập

l ồi trong X và f : C → K là một ánh xạ liên tục

Khi đó, tồn tại một ánh xạ liên tục f : E K→ sao cho

f u( )= f u ,u( ) ∈ C

1.6 Bậc tôpô của ánh xạ compắc

Định nghĩa 1.6.1 Cho Ω là một tập mở, bị chặn trong n

f :Ω →  là một ánh xạ thoả

• d f , , y( Ω )= 0 nếu phương trình f x( )= y vô nghiệm trên Ω

v à ta gọi d f , , y( Ω ) là bậc tôpô của ánh xạ f trên Ω tại y

Định nghĩa 1.6.2 Cho E là một không gian Banach thực với chuẩn và Ω ⊂ E là một tập mở, bị chặn Lấy F : Ω → E liên tục và F( )Ω chứa trong một không gian con hữu hạn chiều của E Khi đó, ánh xạ

được gọi là một nhiễu loạn hữu hạn chiều của ánh xạ đồng nhất trên E

Định nghĩa 1.6.3 Ánh xạ F :Ω →E được gọi là hoàn toàn liên tục (hay ánh xạ compắc) nếu F liên tục và F( )Ω là tiền compắc (tức là F( )Ω compắc)

Định nghĩa 1.6.4 Cho E là một không gian Banach thực với chuẩn và Ω ⊂ E là một tập mở, bị chặn Lấy F : Ω → hoàn toàn liên E tục Khi đó, ánh xạ

được gọi là một nhiễu loạn hoàn toàn liên tục của ánh xạ đồng nhất trên E

Bổ đề 1.6.1 Cho f : Ω → E là một nhiễu loạn hoàn toàn liên tục của ánh xạ đồng nhất và y∉ f ( )∂Ω Khi đó, tồn tại một số nguyên d thoả tính chất sau:

Nếu h : Ω → E là một nhiễu loạn liên tục hữu hạn chiều của ánh xạ đồng nhất sao cho

và

y

µλ

µ

=

Do tất cả µi ,i=1, ,n không đồng thời triệt tiêu nên λi( )y không âm và liên

tục trên M, hơn nữa ( )

1

1

n i i

d I +P F , , yε Ω =d , ở đây d là một số nguyên được xác định bởi bổ đề 1.6.1

Định nghĩa 1.6.6 Số nguyên d được xác định bởi bổ đề 1.6.3 được gọi là bậc

Leray-Schauder của f trên Ω tại điểm y và được ký hiệu là: d f , , y( Ω )

Mệnh đề 1.6.1 (Nguyên lý bất biến đồng luân)

Cho f ,g∈C( )Ω,E với f x( ) và g x( ) khác y, với x∈∂Ω Lấy

Giả sử Ω = Ω × Ω1 2 là một tập mở, bị chặn trong E với Ω1 mở trong E1 và Ω2

mở trong E1, dim E1+dim E2 =dim E Với x∈E ta viết x=(x ,x ,1 2) x1∈E ,1 x2∈E2

Giả sử f x( )=( f x , f1( ) ( )1 2 x2 ) ở đây f :1 Ω →1 E ;1 f :2 Ω →2 E2 liên tục và

( 1 2)

y= y , y ∈ sao cho E y i∉ f i( )∂Ωi , i =1 2, Khi đó,

d f , , yΩ =d f ,Ω, y d f ,Ω , y

Chương 2 SỰ PHÂN NHÁNH TỪ GIÁ TRỊ RIÊNG ĐƠN

F u,λ = (2.1)

Ta gọi λ0 là giá trị phân nhánh hoặc (0,λ0) là điểm phân nhánh của phương

rình (2.1) nếu mọi lân cận của (0,λ0) trong X ×  chứa nghiệm của (2.1) với u≠ 0

Bổ đề 2.1.1 Cho F u(0,λ0) là ánh xạ Fredholm từ X vào Y với nhân là V và đối nhân

là Z Khi đó, tồn tại một không gian con đóng W của X và một không gian con đóng T của Y sao cho

Từ Bổ đề 2.1.1, ta suy ra: ∀ ∈u X và F duy nhất phân tích như sau:

λλ

Đặt Q :Y → và I Q :Y Z − → là các T phép chiếu được xác định bởi toán tử phân

hoạch Khi đó, (2.3) suy ra

Từ Bổ đề 2.1.1, L W :W → T có ánh xạ ngược là 1

L : T− →W , ta có (2.4) tương đương với hệ

1

u +L− I −Q N u +u ,λ =

Do Z là hữu hạn chiều nên phương trình (2.5) là một phuơng trình trong không

gian hữu hạn chiều, do vậy, nếu u 2 được xác định như là một hàm số của u và 1 λ thì

phương trình (2.5) này sẽ là một tập hợp hữu hạn các phương trình hữu hạn biến

(u1∈V , với V là hữu hạn chiều)

Liên quan đến phương trình (2.5), chúng ta xét kết quả sau

Bổ đề 2.1.2 Giả sử F u(0,λ0) là một ánh xạ Fredholm với W không tầm thường Khi

đó tồn tại ε >0,δ >0 và một nghiệm duy nhất u u ,2( 1 λ) của phương trình

Do đạo hàm Fréchet F u2(0,λ0) là ánh xạ đơn vị trên W nên theo Bổ đề 2.1.1, ta

có F u2 (0,λ0) là một đồng cấu tuyến tính, và do F(0,λ0)= nên theo 0 Định lý hàm

ẩn, tồn tại ε >0,δ >0 và tồn tại duy nhất u2 =u u ,2( 1 λ) sao cho:

Do F u( 1+u u ,2( 1 λ λ), )= 0 với λ λ− 0 + u1 < và do ε u u ,2( 1 λ) < δ nên phương trình F u ,u u ,2( 1 2( 1 λ λ), )= 0 có nghiệm u2 =u u ,2( 1 λ) thoả u u ,2( 1 λ) <δ Bổ đề được chứng minh □

Do vậy, dùng Bổ đề 2.1.2, ta sẽ tìm được nghiệm không tầm thường của phương trình F u,( )λ = 0 ngay lập tức, bằng cách ta giải

V =span φ và Q là phép chiếu của Y lên Z

Giả sử đạo hàm Fréchet cấp hai F uλ thoả mãn

g α µ, =QF αφ +u α λ λ, ,

Khi đó 2

g : → Dùng định lý Taylor ta có thể viết:

22

F u,λ =F u+Fλµ + F u,u + Fλ u,µ +Fλλ µ µ, +R, (2.6)

với R là phần dư bậc cao và tất cả các đạo hàm Fréchet ở trên được tính tại (0,λ0)

Theo định lý hàm ẩn, tồn tại duy nhất một hàm µ µ α= ( ) xác định trong một

lân cận của 0 sao cho

C với đạo hàm Fréchet

u

F ,λ u =u''+λu Thật vậy, ( ) ( 3) ( ) 3

Suy ra: F u(0,λ0)( )u =u''+λ0u

Toán tử tuyến tính này có nhân V không tầm thường mỗi khi

dimV = khi và chỉ khi λ0 =0

Ta có: h∈KerF u( )0 0, khi và chỉ khi 2 ( )

Điều ngược lại tương tự ta cũng có

Do đó, đối nhân Z của F u(0,λ0) có số chiều là 1

Xét phép chiếu Q :Y → Z được cho bởi ( ) 2 ( )

0

12

Chương 3 SỰ PHÂN NHÁNH TOÀN CỤC

3.1 Nguyên lý nối dài

Trong phần này chúng ta sẽ đưa ra tính đồng luân của bậc Leray-Schauder

liên quan đến mặt trụ đồng luân có biến là thiết diện và từ đó đi đến nguyên lý nối dài

Leray-Schauder Kết quả này cũng cho phép ta suy ra định lý hàm ẩn toàn cục và kết quả về sự phân nhánh toàn cục trong phương trình phi tuyến

Cho O là một tập con mở, bị chặn của E×[ ]a,b , ở đây E là không gian Banach

thực và F : O→E là một ánh xạ hoàn toàn liên tục

Khi đó, O là một tập con mở bị chặn của E×  Lấy F là mở rộng của F lên

E×  (điều này luôn bảo đảm tồn tại do định lý mở rộng Dugundji (ĐL 1.5))

Đặt:

( ) ( ( ) *)

f u,λ = u−F u,λ λ λ, − , với *

a≤λ ≤ b cố định

Khi đó, f là một nhiễu loạn hoàn toàn liên tục của ánh xạ đồng nhất trên E× 

Hơn nữa, với mọi λ* như thế, ta có:

f t( )u,λ =(u−t F u,( ) (λ − −1 t F u,)( )λ λ λ* , − *) Khi đó:

+ f u, t( )λ = khi và chỉ khi 0 λ λ= và * ( )*

u=F u,λ , + f u,1( )λ =f u,( ) ( )λ , u,λ ∈ × E ⇒d f ,O,( 1 0)=d f ,O,(  0), (2)

Định lý 3.1.2 ( Nguyên lý nối dài Leray-Schauder)

Cho O là một tập con mở bị chặn của E×[ ]a,b và f : O→E được cho bởi

Chứng minh

Từ định lý 3.1.1, ta có:

( )

( b 0) ( ( ) a 0) 0

Suy ra, phương trình f u,( )λ = 0 có nghiệm u trên O a Do đó,

Do F hoàn toàn liên tục nên S là không gian mêtric compắc con của E×[ ]a,b

Hơn nữa, S là tập liên thông Thật vậy, nếu S không liên thông thì áp dụng bổ

đề Whyburn (xem tài liệu tham khảo [3]) với X = S, sẽ tồn tại các tập compắc

Do S là không gian mêtric compắc và S liên thông nên theo bổ đề Whyburn

(xem tài liệu tham khảo [3]), tồn tại một tập con C đóng, liên thông trong S sao cho

C∩ ≠ ∅ ≠ ∩ A C B

Suy ra

a a b b

C ∩O ≠ ∅ ≠C ∩O Định lý được chứng minh □

Ví dụ Cho g :[ ]0 1, × →  liên tục Xét bài toán Dirichlet phi tuyến sau:

0

trong J treân

Theo Định lý 3.1.2 suy ra tồn tại một tập liên thông C các nghiệm của (***), cũng là

của (**) sao cho C∩ ×E { } { }0 = 0 và C∩ ×E { }1 ≠ ∅

Khi đó, có một đường cong nghiệm { (u( )λ λ, ) } xác định trong lân cận của λ0,

đi qua (u ,0 λ0) Hơn nữa, từ điều kiện của định lý hàm ẩn suy ra nghiệm u0 là một

nghiệm cô lập của (3.1) tại λ λ= 0, và nếu O là một lân cận cô lập của u0, ta có:

( )

( 0 0) 0

Bây giờ, ta sẽ thấy chỉ cần điều kiện (3.2) là bảo đảm rằng phương trình (3.1)

sẽ có nhánh nghiệm toàn cục trong nữa không gian E×[λ0,∞ và ) E× −∞( ,λ0]

Bây giờ, ta sẽ chứng minh C+ thoả (ii)

Lấy C+ là tập con, liên thông lớn nhất của Ω + thoả (i) Giả sử trái lại

0

Cλ+ ∩ E \ O = ∅ và C+ là tập bị chặn trong E×[λ0,∞ Kh) i đó, tồn tại một hằng số 0

R> sao cho với mỗi ( )u,λ ∈C+, ta có

+ Có hai khả năng xẩy ra: hoặc Ω =2 R+ C+ hoặc tồn tại ( )u,λ ∈Ω2 R+ sao cho

( )u,λ ∉C+, tức là: C+ ⊆ Ω 2 R+

Nếu C+ ⊂ Ω2+R ,C+ ≠ Ω 2+R thì sẽ mâu thuẫn với tính lớn nhất của C+

Nếu Ω =2 R+ C+ thì ta có thể tìm một tập hợp mở bị chặn U ⊂ ×E [λ0,∞ sao )

Ví dụ Cho p z ,z( ) ∈ là một đa thức bậc n với hệ số là 1 và ( ) ( )

1

n

i i

Khi đó, f có thể được xem là một ánh xạ liên tục 2 2

f : × → Hơn nữa, với

ở đây O i là một lân cận độc lập của a i Do đó, theo định lý hàm ẩn toàn cục, với mỗi

i, tồn tại một tập liên thông C i+ gồm các nghiệm của f z,( )λ = 0 là không bị chặn theo phương λ Ta kết luận rằng: mỗi 0 của p z ( ) phải nối với a i nào đó

3.3 Định lý Rabinowitz về sự phân nhánh toàn cục

Cho E là không gian Banach thực và f : E× → E là một ánh xạ xác định bởi

Chúng ta sẽ xét vấn đề: sự phân nhánh từ nhánh tầm thường của nghiệm và chứng minh sự tồn tại các nhánh toàn cục của nghiệm không tầm thường phân nhánh

từ nhánh nghiệm tầm thường Chúng ta sẽ dùng bậc Leyray-Schauder và bổ đề Whyburn để làm công cụ chứng minh

Sau đây, chúng ta sẽ thấy kết quả này là sự mở rộng của định lý phân nhánh

địa phương ở Chương II