Một số định lý về giao khác rỗng của họ tập lồng nhau và ứng dụng

Nguyễn Năng Tâm, luận vănThạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Một số định lý vềgiao khác rỗng của họ tập lồng nhau và ứng dụng” được hoànthành bởi chính sự nhận thức của bản t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Năng Tâm

Hà Nội, 2012

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày

tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Năng Tâm người đã địnhhướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành khóaluận này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học,các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làmluận văn

Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè, đồng nghiệp đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôihoàn thành bản luận văn này

Hà Nội, tháng 07 năm 2012

Hoàng Thị Vân

Dưới sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Năng Tâm, luận vănThạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Một số định lý vềgiao khác rỗng của họ tập lồng nhau và ứng dụng” được hoànthành bởi chính sự nhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ luậnvăn nào khác.

Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựucủa các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 07 năm 2012

Hoàng Thị Vân

Bảng kí hiệu 5

Mở đầu 7 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 9 1.1 Nguyên lý Cantor về dãy hình cầu thắt dần 9

1.1.1 Nguyên lý Cantor về dãy hình cầu thắt dần 9

1.2 Tập lồi, hàm lồi 11

1.2.1 Tập lồi 11

1.2.2 Hàm lồi 17

1.3 Bài toán tối ưu, Định lý Frank-Wolfe 23

1.3.1 Bài toán tối ưu 23

1.3.2 Các loại bài toán tối ưu 24

1.3.3 Sự tồn tại lời giải tối ưu 25

1.3.4 Định lý Frank- Wolfe cổ điển 27

1.4 Kết luận 28

Chương 2 Một số định lý về giao khác rỗng của họ tập lồng nhau 29 2.1 Giao khác rỗng của một số họ tập lồng nhau 29

2.1.1 Bài toán 1 29

2.1.2 Bài toán 2 29

2.1.3 Bài toán 3 30

2.2 Phương tiệm cận và phương co lại được 32

2.2.1 Phương tiệm cận của các tập đóng 36

2.3 Phương ngang và định lý tập giao liên quan 41

2.3.1 Phương tới hạn 46

2.4 Kết luận 58

Chương 3 Ứng dụng 59 3.1 Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu 59

3.2 Tổng quát hóa định lý Frank-Wolfe 63

3.3 Kết luận 66

Kết luận 67

Tài liệu tham khảo 68

R đường thẳng thực

R đường thẳng thực mở rộng

Rn không gian Euclid n - chiều

hx, yi tích vô hướng của x và y

kxk chuẩn của x

conv C bao lồi của tập C

aff C bao affine của tập C

pos C bao dương của tập C

intC phần trong của tập C

C bao đóng của tập C

ri C phần trong tương đối của tập Cext C tập các điểm biên của tập Cextray C tập các tia cực biên của tập C

f∗, f∗∗ liên hợp, liên hợp bậc hai của f

lev(f, λ) tập mức của hàm f

inf f cận dưới đúng của hàm f

sup f cận trên đúng của hàm f

min f giá trị nhỏ nhất của hàm f

max f giá trị lớn nhất của hàm f

Ker f hạt nhân, hạch của hàm f

rge f ảnh của hàm f

dom f miền hữu hiệu của hàm f

epi f trên đồ thị của hàm f

Lf không gian tuyến tính của f

adc hằng số theo phương tiệm cận

als hàm ổn định mức tiệm cận

1 Lí do chọn đề tài

Vấn đề về giao khác rỗng của một họ tập đóng lồng nhau là mộtchủ đề cơ bản trong những chủ đề quan trọng trong lý thuyết tối ưu, baogồm sự tồn tại nghiệm tối ưu, sự thỏa mãn của bất đẳng thức minimaxtrong lý thuyết trò chơi tổng zero và sự triệt tiêu khoảng cách đối ngẫutrong tối ưu có ràng buộc Do đó, sau khi học xong chương trình cao họcgiải tích, được sự gợi ý của các thầy giảng dạy chuyên ngành Toán giảitích cùng với sự giúp đỡ của thầy Nguyễn Năng Tâm, với mong muốnhiểu sâu hơn về những kiến thức đã học và ứng dụng của nó, tôi chọn

đề tài “Một số định lý về giao khác rỗng của họ tập lồng nhau

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu "Một số định lý về giao khác rỗng của họ tập lồng nhau

và ứng dụng"

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Một số định lý về giao khác rỗng của họ tập lồng nhau trong khônggian Euclid và ứng dụng

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu tài liệu tham khảo có liên quan

Sử dụng các phương pháp của giải tích, đại số tuyến tính và tối ưuhóa

Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu.

6 Những đóng góp mới của đề tài

Nghiên cứu, tổng hợp, hệ thống và làm rõ một số định lý về giaokhác rỗng của họ tập lồng nhau và ứng dụng

Một số kiến thức chuẩn bị

Giải tích lồi xuất hiện như một công cụ có sự ảnh hưởng mạnh mẽtới sự phát triển của tối ưu hóa và giải tích biến phân Các kết quả đượcđưa ra một cách tổng quát trong chương này nhằm mục đích giới thiệucác kiến thức cần thiết của giải tích lồi sẽ được sử dụng trong luận văn.Phần chi tiết và chứng minh cho các kết quả tham khảo trong tài liệu

số [1], [2], [3] và [4]

1.1.1 Nguyên lý Cantor về dãy hình cầu thắt dần

Định nghĩa 1.1.1 Cho không gian metric M = (X, d), dãy hình cầu

Sn = S(an, rn), n = 1, 2, tâm an, bán kính rn trong không gian M gọi

là thắt dần nếu Sn ⊃ Sn+1, n = 1, 2, và lim

n →∞rn = 0

Định lý 1.1.1 (Nguyên lý Cantor về dãy hình cầu thắt dần)

Không gian metric M = (X, d) là không gian đầy khi và chỉ khimọi dãy hình cầu đóng thắt dần đều có điểm chung duy nhất

Chứng minh

Điều kiện cần

Giả sử M = (X, d) là không gian đầy và Sn0 = S0(an, rn), n = 1, 2,

là một dãy hình cầu đóng thắt dần tùy ý trong M Với mọi m, n; m ≥ n

ta có Sn0 ⊃ Sm0 , d(am, an) ≤ rn, n = 1, 2,

Vì lim

n →∞rn = 0 nên dãy tâm {an} là dãy cơ bản trong không gian

metric đầy M , do đó phải tồn tại giới hạn

n →∞rn = 0 nênd(a, b) = 0⇔ a = b

Vì vậy dãy hình cầu đóng (Sn0) đã cho có điểm chung duy nhất

Theo giả thiết tồn tại duy nhất phần tử a ∈ T∞

k=1Sk0 Như trong chứngminh điều kiện cần, a = lim

k →∞xnk Ta lại cód(xn, a)≤ d(xn, xnk) + d(xnk, a)−→ 0 khi k, n → ∞

Định nghĩa 1.2.4 Giao của tất cả các tập affine chứa tập C ⊂ Rn

được gọi là bao affine của C, kí hiệu aff A

Nhận xét 1.2.1 aff A là tập affine nhỏ nhất chứa A.

Mệnh đề 1.2.2 (Xem [2]) Giả sử C ⊂ Rn khi đó,

(a) conv C là tổ hợp lồi của các phần tử thuộc C, tức là,

Ci lồi với ni = n, ∀i

(d) Ảnh của tập lồi qua ánh xạ tuyến tính là một tập lồi

Định lý 1.2.1 (Định lý Caratheodory) (Xem [3])

Cho C ⊂ Rn, khi đó với mọi x ∈ conv C, là tổ hợp lồi của không quá

n + 1 điểm khác nhau của C, tức là ∃ a0, , am ∈ C và λ0, , λm ≥ 0 với

int C = {x ∈ Rn| ∃ε > 0, x + εB ⊂ C}

C = \

ε>0

(C + εB)lần lượt được gọi là phần trong và bao đóng của C

Định nghĩa 1.2.6 Phần trong tương đối của C ⊂ Rn là phần trongcủa C trong aff C, kí hiệu ri C

ri C ={x ∈ aff C | ∃ε > 0, (x + εB) ∩ aff C ⊂ C}

Nhận xét 1.2.2 x ∈ ri A khi và chỉ khi tồn tại lân cận mở V của xtrong Rn sao cho V ∩ aff A ⊂ A.

Ví dụ 1.2.1 Trong R2, A = [a, b], khi đó ri A = (a, b)

Định nghĩa 1.2.7 Tập K ⊂ Rn được gọi là nón nếu

∀x ∈ K, ∀t ≥ 0 ⇒ tx ∈ K

Nếu K là nón và là tập lồi thì ta nói K là nón lồi

Ví dụ 1.2.2 Các tập sau đây trong Rn

Lưỡng cực (hay là song cực) của K là nón K∗∗ = (K∗)∗

Tính trực giao của các không gian con là một trường hợp đặc biệtcủa cực của nón Cho M là không gian con của Rn

Cho K ⊂ Rn là nón lồi Khi đó

int K 6= ∅ khi và chỉ khi K∗ là nón nhọn

Định nghĩa 1.2.9 Cho C ⊂ Rn là tập lồi khác rỗng, nón pháp tuyếncủa C tại x, kí hiệu NC(x) được định nghĩa

Định nghĩa 1.2.12 Cho C là tập lồi khác rỗng trong Rn Ta nói véc

tơ d là một phương lùi xa của C nếu

Định nghĩa 1.2.13 Cho C ⊂ Rn là tập khác rỗng, nón nhỏ nhất chứa

C được gọi là bao dương (hay bao conic) của C, kí hiệu pos C

pos C = {λx | x ∈ C, λ > 0} ∪ {0}

Bao dương pos C cũng được gọi là nón sinh bởi C

Định nghĩa 1.2.14 Tập P ⊂ Rn được gọi là tập đa diện nếu nó códạng

P = {x ∈ Rn| hai, xi ≤ bi, i = 1, , p}trong đó ai ∈ Rn, bi ∈ R, i = 1, , p

Khi bi = 0, ∀i = 1, , p thì P được gọi là nón đa diện

Định nghĩa 1.2.15 Cho C ⊂ Rn là tập lồi khác rỗng Tập F ⊂ C đượcgọi là mặt (hay diện, bề mặt) của C nếu

∀x, y ∈ C, F ∩ [x, y] 6= ∅ thì [x, y] ⊂ F

Định nghĩa 1.2.16 Điểm z ∈ C được gọi là biên của C nếu {z} làmặt, tức z không thể viết được dưới dạng

z = λx + (1− λ)y, x, y ∈ C, x 6= y, λ ∈ (0, 1)

Tập các điểm biên của C, kí hiệu ext C

Định nghĩa 1.2.17 Tia cực biên của C là hướng của nửa đường thẳng

là mặt của C

Tập các tia cực biên của C kí hiệu là extray C

Định lý 1.2.2 (Định lý Krein - Milman) (Xem [2])

Cho C là tập lồi đóng khác rỗng không chứa đường thẳng nào Khi đó

được gọi lần lượt là miền hữu hiệu và trên đồ thị của f

Định nghĩa 1.2.19 Hàm f được gọi là chính thường nếu dom f 6= ∅

và f (x) > −∞, ∀x ∈ Rn

Trái lại, f được gọi là phi chính

Định nghĩa 1.2.20 Với mỗi α ∈ R ta gọi tập hợp sau là tập mức củaf

lev(f, α) = {x ∈ Rn| f(x) ≤ α}

Cho f : Rn → R, kí hiệu

inf f = inf{f(x) | x ∈ Rn}argmin f = argmin{f(x) | x ∈ Rn}

= {x ∈ Rn| f(x) = inf f}

Định lý 1.2.4 (Xem [2])

Cho f : Rn → R, các mệnh đề sau tương đương:

(a) f nửa liên tục dưới trên Rn;

Hàm f được gọi là lõm nếu −f lồi

Định lý 1.2.5 (Xem [3])

Hàm f : Rn → R được gọi là lồi khi và chỉ khi

∀x, y ∈ Rn,∀t ∈ (0, 1) ⇒ f(tx + (1 − t)y) ≤ tf(x) + (1 − t)f(y).Định lý 1.2.6 (Bất đẳng thức Jensen) (Xem [3])

Cho f : Rn → R Khi đó f là hàm lồi khi và chỉ khi ∀λi ≥ 0,

Ví dụ 1.2.4 Hàm chỉ δC(.) của tập lồi C ⊂ Rn là hàm lồi

conv f (x) = inf{r ∈ R | (x, r) ∈ conv(epi f)}

f∗(y) = sup

x {hx, yi − f(x)}

được gọi là hàm liên hợp của f

Hàm liên hợp bậc hai của f được xác định

thường, nửa liên tục dưới và lồi khi và chỉ khi f chính thường.

Hơn nữa,

(f )∗ = f∗ và f∗∗ = f Định nghĩa 1.2.26 Giả sử fi : Rn → R ∪ {+∞}, i = 1, , m là cáchàm chính thường, tổng chập infimal của f1, , fm là hàm h được xácđịnh

∂f (x) = {g ∈ Rn| f(y) − f(x) ≥ hg, y − xi ∀y ∈ Rn}

Định nghĩa 1.2.30 Hàm f được gọi là khả dưới vi phân nếu ∂f (x) 6= ∅.Mệnh đề 1.2.14 (Xem [2])

Cho hàm f : Rn → R là hàm lồi, chính thường Khi đó

∂f (x) 6= ∅, bị chặn khi và chỉ khi x ∈ int (dom f)

Định nghĩa 1.2.31 Cho C là tập khác rỗng trong Rn định nghĩa hàm

σC : Rn → R ∪ {+∞} như sau:

σC(d) = sup{hx, di | x ∈ C}

được gọi là hàm giá của C

Định nghĩa 1.2.32 Miền xác định của σC được định nghĩa bởi

dom σC = {x ∈ Rn| σC(x) < ∞}

được gọi là nón chắn của C, kí hiệu là b(C)

Định nghĩa 1.2.33 Hàm π : Rn → R ∪ {+∞} thuần nhất dương nếu

(a) x ∈ affC ⇔ hx, di = σC(d), ∀d với B(d) = 0

Nếu C là tập lồi đóng thì

σC∗(.) = δC(.)

1.3.1 Bài toán tối ưu

Định nghĩa 1.3.1 (Xem [3])

Một bài toán tối ưu là một bài toán có dạng:

min{f(x) : x ∈ C} (P )trong đó C ⊂ X, là tập chấp nhận được (tập ràng buộc), (X là mộtkhông gian nào đó); f : C → R là hàm mục tiêu Mỗi véctơ x ∈ C gọi

là một phương án (lời giải) chấp nhận được Một lời giải x∗ gọi là tối ưu(hay chính xác hơn, tối ưu toàn cục) nếu

x∗ ∈ C, f(x∗) ≤ f(x), ∀x ∈ CMột lời giải x ∈ C gọi là tối ưu địa phương (cục bộ) nếu có mộtlân cận W của x (tập mở chứa x) sao cho:

f (x) ≤ f(x), ∀x ∈ W ∩ CNhiều khi C được cho bởi



C = {x ∈ Rn : gi(x) ≤ 0, (i = 1, 2, , m)} (1.1)với gi : Rn → R Khi ấy các hệ thức gi(x) ≤ 0, (i = 1, 2, , m) gọi là cácràng buộc

Chú ý: max{f(x) : x ∈ C} = − min{−f(x) : x ∈ C} vì vậy chỉ cần bàn

về các bài toán cực tiểu

1.3.2 Các loại bài toán tối ưu

(1) Tối ưu trong không gian hữu hạn chiều (Giả sử X là khônggian véctơ hữu hạn chiều)

a, Tối ưu tuyến tính: f (x) tuyến tính và C là một tập đa diện, tức làđược cho bởi (1.1) trong đó các gi(x) afin

b, Tối ưu phi tuyến: lồi, không lồi, trơn, không trơn, địa phương, toàncục

c, Tối ưu rời rạc (tổ hợp): C là một cấu trúc rời rạc

d, Tối ưu đa mục tiêu: không phải chỉ có một hàm mục tiêu duy nhấtnhư trong bài toán P mà có một số mục tiêu không tương thích với nhau(nghĩa là không có lời giải nào tối ưu theo mọi mục tiêu), cho nên cần

"dung hòa" các hàm mục tiêu theo cách nào hợp lí, hữu hiệu nhất

e, Tối ưu nhiều cấp: bài toán gặp trong một hệ thống phân cấp, mà hàmmục tiêu của cấp cao là f (x, y) phụ thuộc hai nhóm biến: x ∈ Rp và

y ∈ Rq Cấp cao chỉ trực tiếp kiểm soát x, còn y do cấp dưới quyết định.Khi cấp cao quyết định một trị cụ thể của x thì cấp dưới căn cứ theotrị đó để lựa chọn phương án tối ưu cho bản thân họ Cấp cao biết bàitoán tối ưu của cấp dưới, tức là biết rằng khi cho x thì y là lời giải tối

ưu của bài toán này Vấn đề đặt ra là cấp cao phải tìm x để đạt tối ưumục tiêu của mình

(2) Tối ưu trong không gian vô số chiều (Giả sử X là một khônggian véctơ định chuẩn)

a, Các bài toán biến phân:

X là không gian các hàm liên tục x : [0, T ] → R

b, Các bài toán điều khiển tối ưu.

Tìm u : [0, T ] → Rn (hàm điều khiển) sao cho u(t) ∈ U hầu khắpnơi trên [0, T ] và quỹ đạo x : [0, T ] → Rn tương ứng điều khiển ấy, tức

là nghiệm x(t) của phương trình vi phân x(t) = g(t, x(t), u(t)) đạt cựctiểu của hàm phí tổn

ở đây U, g(t, x(t), u(t)), h(., ) và J (t, x(t), u(t)) cho trước

Như vậy, f (u) = h(x(0), x(T )) +

T

R

0

J (t, x(t), u(t))dt và C là tậpcác hàm u : [0, T ] → U sao cho u(t) ∈ U hầu khắp nơi trên [0, T ] vàx(t) = g(t, x(t), u(t))

1.3.3 Sự tồn tại lời giải tối ưu

Sau đây là những điều kiện tổng quát bảo đảm có lời giải tối ưu.(1) Hàm nửa liên tục

Nhắc lại định nghĩa về giới hạn trên và giới hạn dưới:

ra f (x) > f (x0)− ε

Hàm nửa liên tục trên tại x0 nếu

limx∈C

x →x 0f (x) ≤ f(x0)

với mỗi ε > 0 có một δ > 0 sao cho x ∈ C, ||x − x0|| ≤ δ suy ra

f (x) < f (x0) + ε

Một hàm f nửa liên tục dưới (nửa liên tục trên) trên một tập Cnếu nó là nửa liên tục dưới (nửa liên tục trên) tại mọi điểm x ∈ C.Định lý 1.3.1 Một hàm f : C → R là nửa liên tục dưới trên tập đóng

C ⊂ Rn khi và chỉ khi với mọi α ∈ R tập mức dưới {x ∈ C : f(x) ≤ α}

là tập đóng Nó là nửa liên tục trên khi với mọi α ∈ R tập mức trên{x ∈ C : f(x) ≥ α} là tập đóng

Chứng minh Chỉ cần chứng minh phần đầu của định lý, nếu f (x) nửaliên tục dưới trên C thì với mọi dãy xk → x0 mà xk ∈ C, f(xk) ≤ α ta

có f (x0) ≤ limx k →x 0f (xk) ≤ α cho nên x0 ∈ C, f(x0) ≤ α, chứng tỏ tậpmức dưới đóng Ngược lại nếu với mọi α ∈ R tập {x ∈ C : f(x) ≤ α}đóng thì với mọi dãy xk ∈ C, xk → x0 ∈ C mà lim f(xk) < f (x0) phải có

ε > 0 để với mọi k đủ lớn f (xk) ≤ f(x0)− ε do đó f(x0) ≤ f(x0)− ε,mâu thuẫn

(2) Cực trị hàm nửa liên tục

Định lý 1.3.2 Một hàm f (x) nửa liên tục dưới trên một tập compact

C phải đạt cực tiểu trên tập ấy Một hàm f (x) nửa liên tục dưới trênmột tập compact C phải đạt cực đại trên tập ấy

Chứng minh Chỉ cần chứng minh cho trường hợp nửa liên tục dưới.Theo định nghĩa của số α = inf{f(x) : x ∈ C} (có thể = −∞), có mộtdãy xk ∈ C sao cho limk →+∞f (xk) = α Do C compact, không giảm tínhtổng quát có thể cho rằng xk → x0 ∈ C Theo giả thiết nửa liên tục dướicủa f (x) ta có α ≥ f(x0) Vì f (x0) ∈ R điều này cho thấy α > −∞,nhưng x0 ∈ C nên theo định nghĩa của α, ta phải có f(x0) ≥ α Vậy

f (x0) = α = infx∈Cf (x)

Hệ quả 1.3.1 Một hàm tuyến tính bị chặn trên (hay dưới) trên mộttập afin thì chỉ có thể đồng nhất hằng

(3) Điều kiện bức.

Nếu tập C chỉ đóng mà không compact thì nói chung một hàm

f (x) nửa liên tục dưới (nửa liên tục trên) trên C cũng có thể không đạtcực tiểu (cực đại) trên C

Định lý 1.3.3 (Xem [3])

(1) Một hàm f : C → R nửa liên tục dưới trên một tập đóng C 6= ∅ màbức trên C, nghĩa là

f (x) → +∞ khi x ∈ C, ||x|| → +∞

thì f phải có cực tiểu trên C

(2) Một hàm f : C → R nửa liên tục trên trên một tập đóng C mà −fbức trên C

1.3.4 Định lý Frank- Wolfe cổ điển

Xét bài toán tối ưu toàn phương dạng:

Tập ràng buộc và giá trị tối ưu của hệ (1.2), ta có thể viết gọn lạinhư sau:

C = {x ∈ Rn :< ai, x >≤ bi, i = 1, m},

¯

θ = inf{f(x) : x ∈ C}

Định lý 1.3.4 Nếu ¯θ = inf{f(x) : x ∈ C} > −∞ là số thực xác địnhthì bài toán (1.2) có nghiệm

Chương này trình bày: nguyên lý Cantor về dãy hình cầu thắt dần,tập lồi, hàm lồi, bài toán tối ưu, định lý Frank-Wolfe cổ điểm

Một số định lý về giao khác rỗng

của họ tập lồng nhau

Trong phần này, chúng ta thảo luận câu hỏi tập giao T∞k=0Sk có

là tập rỗng hay không trong đó {Sk} là tập đóng khác rỗng trong Rn với

Sk+1 ⊂ Sk với mọi k Đây là một vấn đề cơ bản của tối ưu hóa, là trọngtâm của một số câu hỏi quan trọng Những nội dung trình bày trongchương này tham khảo trong [8]

và Sk = C ∩ Nk, ta có thể chứng minh tập giao T∞

k=0Sk khác rỗng.2.1.3 Bài toán 3

Cho một hàm đóng F : Rn+m 7−→ (−∞; ∞] ( Ví dụ có một

đồ thị đóng) là hàm f : Rn 7−→ (−∞; ∞] được xác định bằng f(x) =infz∈RmF (x, z) có đóng không? Biết rằng đây là một bài toán quantrọng trong lý thuyết đối ngẫu (nhị nguyên) và lý thuyết minimax (xem[5,9,15]) Tính chất của epi(f ), đồ thị f , có thể được suy ra từ tính chấtcủa epi(F ), đồ thị F khi sử dụng hệ thức

P (epi(F )) ⊂ epi(f) ⊂ cl(P (epi(F )))trong đó cl(.) là tập đóng và P (.) là hình chiếu lên không gian (x, w), ví

dụ P (x, z, w) = (x, w) [Phía bên trái hệ thức theo định nghĩa sau:

k=0Sktrong trường hợp nói chung, trong đó các tập Sk có thể không bị chặn

hay không lồi.

Phân tích này dựa trên sự mở rộng khái niệm phương lùi xa rection of recession), khái niệm phương tiệm cận của một dãy tập {Sk},

(di-là véctơ khác không theo giới hạn ngang (the horizon limits) của {Sk}được nghiên cứu bởi Rockafellar và Wets [16] Khái niệm hướng co lạiđược (retractive direction) phần (2.2) là khái niệm mới dưới dạng này,nhưng gắn bó chặt chẽ với ý tưởng đã phát triển, đặc biệt trong ngữcảnh tối ưu hóa, nghiên cứu bởi Auslender [6,7] và Teboulle [5] Luậnvăn tập trung vào nghiên cứu các phương tiệm cận của một chuỗi hàm

Ta thấy rằng khái niệm phương tiệm cận đơn giản và thuận tiện hơncác ứng dụng tối ưu hóa đề cập ở phần trên Chúng ta cũng phát triểnkhái niệm giới hạn ngang và phương tới hạn (criticel direction) (Chúng

đã được viết thành công thức với cả hai trường hợp là tập đơn và dãycác tập (hơn một tập hay một hàm)) Các khái niệm này được sử dụng

để nghiên cứu một số trường hợp quan trọng trong đó tập Sk có phươngtiệm cận không co lại được, đó là khi Sk được cho bằng bất đẳng thứcbậc 2 Ta chứng minh được rằng các giới hạn ngang, hướng tiệm cận colại được và phương tới hạn cung cấp nền tảng cơ bản cho định lý tậpgiao mới, các lời giải tối ưu và là bằng chứng đơn giản và thống nhất

về các kết quả đã biết Một số phân tích liên quan có trong Tseng vàOzdaglar [17], trong đó các biểu thức phương tiệm cận và phương co lạiđược được sử dụng để tối ưu hóa các kết quả hiện tại của Auslender vàLuo và Zhang [14]

Xin lưu ý trong trường hợp các tập Sk lồi hoặc đóng, tập phươngtiệm cận {Sk} sẽ ảnh hưởng đến tập giao nón các phương lùi xa củatập Sk và tập phương tiệm cận Sk, tập phương co lại được liên quanđến (nhưng không bằng) tập giao của các tập con tuyến tính của tập Sk(xem phần 2.3)

Chúng ta cũng lưu ý tập phương tiệm cận khi được cho bởi các tập

đóng và không lồi (không phải là dãy các tập đóng lồng vào nhau) lànón ngang theo mô tả của Rockafellar và Wets [16], nón tiệm cận theo

mô tả của Auslender và Teboulle [5] Các nón này đã được giới thiệutrong công trình nghiên cứu của Dedieu [10,11] và là chủ đề được chú ýgần đây (xem [5,16])

Chương 2 của luận văn giới thiệu các phương tiệm cận, phương colại được và chứng minh một kết quả quan trọng về tính khác rỗng củamột tập giao đóng Tiếp theo là giới thiệu các phương ngang và phươngtới hạn sử dụng chúng để đưa ra kết quả về tính khác rỗng trong trườnghợp Sk là giao của một số tập đóng xác định Một số kết quả này liênquan đến tập hàm bẹt song phương, một loại hàm bậc hai lồi và kháiquát hơn là hàm đa thức lồi

Cuối cùng là thống nhất và mở rộng các kết quả về lời giải tối ưugồm việc tổng quát hóa định lý Frank-Wolfe về phương trình bậc hai(không lồi) Chúng ta không thảo luận chi tiết các ứng dụng của bàitoán về tính đóng khi chuyển hóa tuyến tính và cực tiểu hóa từng phần,các kết quả có thể được sử dụng để phân tích vấn đề này, như đã thảoluận ở phần trước (xem thảo luận cuối phần 2.2)

Trong luận văn này phân tích được thực hiện trong không gianEuclidean Rn chiều Do đó nếu không có thông tin nào khác thì véctơ

và các tập con được tính trong Rn Mọi véctơ được xem như là véctơcột và yếu tố biểu hiện sự biến đổi định mức Euclidean tiêu chuẩn,kxk = √< x, x > được sử dụng liên tục

Đầu tiên ta giới thiệu phương tiệm cận của một dãy tập lồngnhau {Sk}, ví dụ một dãy Sk+1 ⊂ Sk với mọi k

Định nghĩa 2.2.1 Cho {Sk} là một dãy các tập đóng, khác rỗng, lồngvào nhau Ta nói rằng, một véctơ khác không d là một phương tiệm cậncủa {Sk} nếu tồn tại một dãy {xk} sao cho xk ∈ Sk, k = 0, 1,

kxkk → ∞; xk

kxkk →

dkdkdãy {xk} gắn với phương tiệm cận đã nói trên được gọi là một dãy tiệmcận tương ứng với d

Định nghĩa 2.2.2 Một phương tiện cận d của {Sk} được gọi là co lạiđược nếu với mọi dãy tiệm cận tương ứng {xk} tồn tại một số nguyên ksao cho