Một số định lý về sự tồn tại nghiệm của bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp 1: Khóa luận toán học

16 3 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ MỞ RỘNG 21 3.1 Sự tồn tại nghiệm lớn nhất của bài toán Cauchy dưới điều kiện Carathéodory... Có nhiều kết quả liên quan đến sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán

ĐẠI HỌC HUẾTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Huế, Khóa học 2007 - 2011

LỜI CẢM ƠN

Dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của PGS TS Lê Văn Hạp,tôi đã nhận được đề tài để tìm hiểu và hoàn tất khóa luận tốt nghiệpcủa mình Tôi xin phép được gửi lời cám ơn chân thành và lòng biết ơnsâu sắc đến Thầy, người đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trìnhthực hiện khóa luận và học tập của mình

Bên cạnh đó, tôi xin chân thành cảm ơn đến quý thầy cô trong khoaToán, những người đã truyền thụ kiến thức cho tôi trong suốt nhữngnăm học vừa qua

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đặc biệt là các bạn lớpToán B, đã quan tâm, giúp đỡ và động viên tôi trong suốt chặng đườnghọc tập vừa qua

Huế, tháng 5 năm 2011Hoàng Như Quỳnh

MỤC LỤC

1.1 Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp 1 3

1.2 Hàm liên tục tuyệt đối và một số tính chất liên quan 3

1.3 Nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 4

1.4 Hàm Carathéodory 5

1.5 Đường gấp khúc Euler ứng với phép phân hoạch trên một đoạn 5

1.6 Bổ đề Zorn 6

1.7 Định lý Azella - Ascoli 7

1.8 Định lý Lebesgue về mật độ 7

1.9 Định lý Picard 7

2 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM 9 2.1 Định lý Peano 9

2.2 Định lý Carathéodory 13

2.3 Định lý thác triển nghiệm 16

3 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ MỞ RỘNG 21 3.1 Sự tồn tại nghiệm lớn nhất của bài toán Cauchy dưới điều kiện Carathéodory 21 3.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán Cauchy dưới điều kiện hàm tựa tăng 33

Có nhiều kết quả liên quan đến sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (1) (2) này và chúng phụ thuộc vào từng lớp hàm f được khảo sát Năm 1885, Peanođưa ra kết quả đầu tiên về sự tồn tại nghiệm địa phương của bài toán (1) - (2) vềphía bên phải khi f là hàm liên tục Giảm nhẹ điều kiện liên tục của f , năm 1918Carathéodory chỉ ra sự tồn tại nghiệm địa phương hầu khắp nơi của bài toán trên.Vào năm 1968, sử dụng phương pháp hàm dưới, G S Goodman cải thiện kết quảcủa Carathéodory bằng cách chỉ ra sự tồn tại nghiệm lớn nhất của bài toán (1) -(2) Trong những năm gần đây, nhiều kết quả mới đã được đưa ra, trong đó đángchú ý là kết quả nghiên cứu của D C Biles và P A Binding với giả thiết f là hàmtựa tăng.

-Khóa luận này nhằm mục đích khảo sát tổng quan một số định lý về sự tồn tạinghiệm của bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp một và các dạng

mở rộng của chúng, đưa ra một số ví dụ để so sánh các điều kiện của các lớp hàm

f đã được khảo sát Nội dung khóa luận chia làm ba chương

Chương I trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho các chương tiếptheo

Chương II tổng quan các kết quả của Peano, Carathéodory và các định lý vềthác triển nghiệm, đưa ra một số ví dụ so sánh và áp dụng

Chương III trình bày kết quả của G S Goodman về sự tồn tại nghiệm lớn nhấtvới giả thiết Carathéodory; kết quả của D C Biles và P A Binding về sự tồn tạinghiệm với giả thiết hàm tựa tăng

trong đó f: G ⊂ R2 → R.

Đối với phương trình vi phân, người ta thường quan tâm đến bài toán với điềukiện ban đầu cho trước Trong khóa luận này, chúng ta tìm hiểu sự tồn tại và duynhất nghiệm của bài toán Cauchy được phát biểu như sau:

Tìm nghiệm của phương trình x0 =f(t, x) (1) và thỏa mãn điều kiện đầu cho trước

Định nghĩa 1.2.1 (Hàm liên tục tuyệt đối) Cho hàm F: [a, b]→ R

Hàm F được gọi là liên tục tuyệt đối trên đoạn [a, b] nếu với mọi  > 0 cho trướcđều tồn tại δ >0 sao cho với mọi hệ khoảng (a1, b1),(a2, b2), ,(an, bn) rời nhau

nXi=1

(bi− ai)< δ ⇒

nXi=1

|F(bi)− F(ai)| < 

Ta quan niệm một hàm F liên tục tuyệt đối trên khoảng mở I nếu nó liên tụctuyệt đối trên mọi đoạn con của I Trong phần này, chúng ta giả sử µ là một độ

đo Lebesgue trên R Chúng ta có một số định lý liên quan đến hàm liên tục tuyệtđối được sử dụng trong khóa luận này.

Định lý 1.2.1 [6] (tính liên tục tuyệt đối của tích phân)

Định lý 1.2.2 [6] Hàm F xác định trên [a, b] có thể viết dưới dạng

F(t) =F(a) +

tZ

a

f(s)ds

khả vi hầu khắp nơi trên [a, b] và F0(t) =f(t), với hầu khắp t ∈[a, b]

Nhận xét 1.2.4

• Hàm liên tục tuyệt đối thì liên tục (theo nghĩa thông thường)

• Tích phân bất định của một hàm số khả tích là liên tục tuyệt đối

• Tổng, hiệu của hai hàm liên tục tuyệt đối là hàm liên tục tuyệt đối

Đối với phương trình vi phân cấp một dạng x0 = f(t, x) (1.1.1), với f : G ⊂

R2 → R, người ta thường quan tâm đến hai loại nghiệm sau đây

Định nghĩa 1.3.1 Nghiệm cổ điển (hay còn gọi là nghiệm) của phương trình viphân dạng (1.1.1) là hàm khả vi liên tục

ϕ : (a, b)⊂R → R

t 7→ x= ϕ(t)

sao cho với mọi t ∈(a, b) thì (t, x)∈ G ⊂ R2 và thoả mãn phương trình (1.1.1)

Định nghĩa 1.3.2 Hàm liên tục tuyệt đối ϕ(t)xác định trên khoảng mở I ⊂ Rthỏa mãn

i (t, ϕ(t)) ∈ G, với t ∈ I,

ii ϕ0(t) =f(t, ϕ(t)) , với t ∈ I, ngoại trừ tập có độ đo Lebesgue bằng 0,

được gọi là nghiệm hầu khắp nơi của (1.1.1)

Hàm x(t) = |t| liên tục tuyệt đối trên R thỏa mãn x0 = f(t, x) ngoại trừ tập {0}

Do đó x(t) =|t| là nghiệm hầu khắp nơi của bài toán trên

Định nghĩa 1.4.1 Cho hàm

f : D ⊂ R2 → R

(t, x)7→ f(t, x).Hàm f được gọi là hàm Carathéodory nếu f thoả mãn các điều kiện Carathéodorysau đây

(C1) f(t, ) là hàm liên tục theo biến x với mỗi t cố định,

(C2) f(., x) là đo được theo t với mỗi x cố định,

(C3) Tồn tại hàm m(t)khả tích Lebesgue thỏa |f(t, x)| ≤ m(t), với mọi(t, x)∈ D

trên một đoạn

Xét I = [t0, t0+a] ⊂ R, với a >0 Khi đó ta xây dựng phép phân hoạch P =

{t0, t1, , tn} trên I với t0 < t1 < t2 < < tn =t0+a Đặt Ii= [ti−1, ti], i = 1, n.Đường gấp khúc ứng với P là đồ thị hàm số ϕ xác định bởi đẳng thức sau

ϕ(t) =ϕ(ti−1) +mi−1(t − ti−1), t ∈ Ii, i= 1, ntrong đó m0, m1, m2, , mn−1 và ϕ(t0) là các số thực cho trước

Hàm ϕ xác định như trên liên tục trên I

Mệnh đề 1.5.1 Cho ϕ được xác định như trên Với mọi t, t0 ∈ I, t < t0 ta luôn có

ϕ(t0)− ϕ(t) = (t0− t)

j−1Xl=i−1

trong đó t ∈ Ii, t0 ∈ Ij, ql ≥0, l =i −1, j −1 và

j−1Pl=i−1

ql = 1.Chứng minh Với t, t0 ∈ I, t < t0 và t ∈ Ii, t0 ∈ Ij ta xét các trường hợp sau

ϕ(ti) =ϕ(ti−1) +mi−1(ti− ti−1)

ϕ(t) =ϕ(ti−1) +mi−1(t − ti−1).Suy ra

qlml

trong đó ql ≥0, l=i −1, j −1 và

j−1Pl=i−1

ql = 1

Giả sử S là một tập với quan hệ thứ tự  Một tập A ⊂ S được gọi là đượcsắp toàn phần nếu với bất kì u, v ∈ A, ta có u  v hay v  u

Phần tử s ∈ S được gọi là một cận trên của tập A nếu u  s với mọi u ∈ A Phần

tử s ∈ S được gọi là một phần tử tối đại của S nếu với bất kì u ∈ S mà s  u thì

u = s Mệnh đề dưới đây cho ta điều kiện đủ để tồn tại trong S một phần tử tốiđại

Bổ đề 1.6.1 [1](Bổ đề Zorn) Cho S là tập được sắp bởi quan hệ thứ tự .Nếu mọi tập con được sắp toàn phần của S đều có một cận trên thì S có một phần

tử tối đại

1.7 Định lý Azella - Ascoli

Định nghĩa 1.7.1 Cho M ⊂ R, F = {fi : M → R}i∈I được gọi là họ liên tụcđồng bậc nếu với mọi ε >0, tồn tại δ >0sao cho với mọi t, t0 ∈ M mà |t − t0| < δthì |fi(t)− fi(t0)| < ε với mọi i ∈ I

F gọi là bị chặn đều nếu tồn tại K >0 sao cho |fi(t)| ≤ K, ∀i ∈ I, ∀t ∈ M Định lý 1.7.1 [3](Định lý Azella - Ascoli)

Nếu dãy F = {fn : [a, b] → R}n∈N liên tục đồng bậc và bị chặn đều trên [a, b] thìtồn tại một dãy con hội tụ đều trên [a, b]

Cho µ là độ đo Lebesgue trên R và A là tập đo được

Định nghĩa 1.8.1 Mật độ của A trên một lân cận của điểm t ∈ R được cho bởicông thức

d(t) = µ(A ∩ B(t, ))

µ(B(t, ))

với B(t, ) là hình cầu đóng bán kính  >0, tâm t trong R

Định lý 1.8.1 [9] Với hầu khắp các điểm t thuộc A, ta có d(t) = lim

|f(t, x1)− f(t, x2)| ≤ K|x1− x2|, ∀(t, x1),(t, x2)∈ R

Khi đó tồn tại duy nhất nghiệm (cổ điển) x = ϕ(t) của phương trình(1.1.1), liêntục trên [t0− h, t0+h] ⊂[t0− a, t0+a] và thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0) =x0.Như vậy trên lớp hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz bài toán Cauchy tồn tạinghiệm và nghiệm đó là duy nhất Vấn đề đặt ra là liệu trên các lớp hàm khác thìbài toán Cauchy có tồn tại nghiệm không và tính duy nhất nghiệm có còn đúngkhông Để giải quyết vấn đề đó, người ta đã tìm cách để làm yếu các điều kiện

của hàm f Trên một số lớp hàm, người ta đã thu được nghiệm địa phương hoặcnghiệm hầu khắp của bài toán Cauchy Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp tínhduy nhất nghiệm không còn được bảo đảm Trong các chương tiếp theo, chúng ta

sẽ khảo sát vấn đề này trên một số lớp hàm cụ thể

Chương 2

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ SỰ TỒN TẠI

NGHIỆM

Trong chương này, chúng tôi khảo sát định lý Peano và định lý Carathéodory Cả hai định

lý đó đều khẳng định sự tồn tại nghiệm địa phương của bài toán Cauchy, đó có thể là nghiệm

cổ điển hoặc nghiệm hầu khắp tùy vào việc làm yếu hàm f(t, x) Tuy nhiên lúc này tính duy nhất nghiệm không còn đúng nữa Bên cạnh đó, chúng tôi cũng đưa ra một số ví dụ để thấy được các điều kiện đưa ra thực sự đã được làm nhẹ Phần cuối của chương, chúng tôi trình bày vấn đề thác triển nghiệm để thu được nghiệm của bài toán Cauchy trên khoảng lớn hơn.

Định lý 2.1.1 [3] Giả sử (t0, x0)∈ R2, a và r là các số dương,

D ={(t, x) : t0 ≤ t ≤ t0+a, |x − x0| ≤ r} ⊂ R2 Xét bài toán:

b Chứng minh hàm ϕ khả vi và thoả điều kiện bài toán

Dưới đây là chứng minh chi tiết

Trước hết, ta xây dựng họ phân hoạch P trên I và xác định hàm ϕ Dựng phépphân hoạch P = {t0, t1, , tn} trên I Khi đó ta xác định được đường gấp khúc

Euler tương ứng với P có phương trình ϕ(t) =ϕ(t, P) xác định như sau:

Áp dụng Mệnh đề 1.5.1 với hàm ϕk cho t ∈ Ii và t0, ta có

|ϕk(t)− x0|=|t − t0|

i−1Xl=0

(t,x)∈D

|f(t, x)| nên |f(tl, ϕ(tl))| ≤ K, ∀l = 0, i −1.Hơn nữa

ql| ≤ K|t − t0| (2.1.2)

Theo giả thiết x ∈ I nên |x − x0| ≤ a và aK < r, do đó

|ϕk(t)− x0| ≤ K|t − t0| ≤ Ka ≤ rhay

|ϕk(t)| − |x0| ≤ |ϕk(t)− x0| ≤ r

Suy ra (ϕk)k là dãy hàm liên tục đồng bậc

Theo Định lý Ascoli, dãy hàm (ϕk)k bị chặn đều và liên tục đồng bậc, do đótồn tại dãy con (ϕkn)n hội tụ đều trên I, đặt lim

n→∞ϕkn =ϕ

Ta có lim

n→∞ϕk n(t) =ϕ(t) Do ϕk n(t0) =x0 với mọi n ∈ N nên ϕ(t0) =x0

Tiếp theo, ta chứng minh hàm ϕ là nghiệm của bài toán Điều này có nghĩa là

Việc chứng minh ϕ khả vi được quy về chứng minh h liên tục tại t1

Với mọi ε > 0, do f liên tục trên D nên f liên tục tại (t1, x1) Do đó tồn tại lâncận S((t1, x1), η)⊂ D sao cho ∀(t, x)∈ S thì |f(t, x)− f(t1, x1)| < ε

Ta phân hoạch[t1, t1+δ] thành kn đoạn Khi đó tồn tại Ik(i)n chứa t Áp dụng (2.1.1)với hàm ϕk n và t, t1 ta có

ϕk n(t)− ϕk n(t1) = (t − t1)

i−1Xl=1

qlf(tl, ϕk n(tl)), 1≤ l ≤ i −1≤ kn (2.1.5)Hơn nữa ta có

Lúc này ta xét

|h(t)− h(t1)|= |h(t)|

=

i−1Xl=1

i−1Xl=1

ql f(tl, ϕk n(tl))− f(t1, ϕk n(t1))

≤

i−1Xl=1

ql = 1)

< ε theo (2.1.6) và (2.1.7) ta có(tl, ϕ(tl)) ∈ S((t1, x1), η).Trong trường hợp t thoả t1− δ ≤ t ≤ t1, chứng minh tương tự ta có

|h(t)− h(t1)|=|h(t)| < ε

Do đó ∀ t ∈ I : |t1− t| < δ ⇒ |h(t)| < ε, tức là h liên tục tại t1 Vậy h liên tụctrên I Tóm lại ϕ là hàm khả vi và ϕ0(t) =f(t, ϕ(t))

Ví dụ 2.1.2 Xét bài toán x0= √3x2 với điều kiện x0 =x(t0) = 0

Trong lân cận của điểm 0, bài toán có hai nghiệm, đó là x(t) = 0, x(t) = t

3

27.

Do f là hàm liên tục nên bị chặn trên |x −0| < r, ∀r > 0 Điều này có nghĩa với

K = sup|f(t, x)| < +∞, ∀r > 0 ta có a > 0 đủ nhỏ thỏa aK ≤ r Vậy các điềukiện của Định lý Peano được đảm bảo Ví dụ này cho thấy Định lý Peano chỉ

ra được sự tồn tại nghiệm địa phương của bài toán Cauchy, nhưng sự tồn tại đó làkhông duy nhất Trường hợp này không thỏa mãn điều kiện của định lý Picard.Thật vậy, với mọi x1, x2, ta có

Vậy điều kiện Lipschitz bị phá vỡ.

Trong một số trường hợp, nghiệm của bài toán Cauchy thu được không khả

vi trên toàn bộ tập xác định, mà chỉ khả vi hầu khắp nơi Sau đây chúng ta sẽtìm hiểu cụ thể việc chứng minh sự tồn tại nghiệm hầu khắp đối với lớp hàm fCarathéodory của bài toán Cauchy

tZ

t 0

m(s)ds

... vỡ.

Trong số trường hợp, nghiệm toán Cauchy thu khơng khả

vi tồn tập xác định, mà khả vi hầu khắp nơi Sau sẽtìm hiểu cụ thể vi? ??c chứng minh tồn nghiệm hầu khắp lớp hàm fCarathéodory toán Cauchy. .. Vậy điềukiện Định lý Peano đảm bảo Ví dụ cho thấy Định lý Peano

ra tồn nghiệm địa phương tốn Cauchy, tồn làkhơng Trường hợp không thỏa mãn điều kiện định lý Picard.Thật vậy, với x1,... hiểu định lý hệ mà từ cho phép

ta thác triển nghiệm toán lên khoảng lớn Với giả thiết D đượcxác định Bổ đề 2.3.1 ta có định lý sau:

Định lý 2.3.3 [13] Giả sử f : D → R liên tục x nghiệm