Một số kết quả về sự hội tụ trong lp của dãy các biến ngẫu nhiên

Trên cơ sở đọc và tìm hiểucác tài liệu tham khảo, bằng việc hạn chế giả thiết, chúng tôi nghiên cứu đề tài “Một số kết quả về sự hội tụ trong L của dãy các biến ngẫu nhiên”.. Mục p đích

Trờng Đại học Vinh

khoa toán - -

trình hoài nam

MộT Số KếT QUả về sự hội tụ trong

khoá luận tốt nghiệp đại học

ngành cử nhân s phạm toán

Vinh - 2007 Trờng Đại học Vinh

khoa toán - -

MộT Số KếT QUả về sự hội tụ trong

khoá luận tốt nghiệp đại học ngành cử nhân s phạm toán Giáo viên hớng dẫn: TH.s lê văn thành Sinh viên thực hiện : trình hoài nam Lớp : 44A1 - Toán Vinh - 2007 Mục lục Mở đầu 2

Chơng 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian L 4 p 1.2 Tính độc lập, độc lập đôi một 4

1.3 Tính m-phụ thuộc, m-phụ thuộc đôi một và m-phụ thuộc đôi một theo khối 5

1.4 Khái niệm cùng phân phối 6

1.5 Khái niệm bị chặn ngẫu nhiên 6

1.6 Khái niệm khả tích đều 7

1.7 Một số khái niệm hội tụ của các biến ngẫu nhiên 91.8 Một số bất đẳng thức 10

Chơng 2 Sự hội tụ trong L của dãy các biến ngẫu nhiên p

2.1 Sự hội tụ trong L liên quan đến khái niệm khả tích đều 17 p

2.2 Sự hội tụ trong L của dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ p

thuộc, m-phụ thuộc đôi một 22

2.3 Sự hội tụ trong L của dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ 1

thuộc đôi một theo khối 28

Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35

mở đầu

Xác suất có ba “viên ngọc quý”, đó là Định lý giới hạn trung tâm, Luật

số lớn và Luật loga lặp Luật số lớn đóng vai trò rất quan trọng trong lý thuyếtxác suất Luật số lớn là mệnh đề khẳng định trung bình số học của các biếnngẫu nhiên hội tụ theo xác suất Luật mạnh số lớn là mệnh đề khẳng địnhtrung bình số học của các biến ngẫu nhiên hội tụ hầu chắc chắn Luật số lớn

đầu tiên của James Bernoulli đợc công bố năm 1713 Về sau, kết quả này đợcPoisson, Chebyshev, Markov, Liapunov mở rộng Tuy nhiên, phải đến năm

1909 luật mạnh số lớn mới đợc E Borel phát hiện Kết quả này đợcKolmogorov hoàn thiện (năm 1926)

Trong thời gian gần đây, có nhiều bài báo nghiên cứu về giới hạn củatổng các biến ngẫu nhiên (chẳng hạn [3], [5] - [8]) Trên cơ sở đọc và tìm hiểucác tài liệu tham khảo, bằng việc hạn chế giả thiết, chúng tôi nghiên cứu đề tài

“Một số kết quả về sự hội tụ trong L của dãy các biến ngẫu nhiên” Mục p

đích chính của đề tài là nghiên cứu một số kết quả về sự hội tụ trung bình.Bằng cách sử dụng phơng pháp tơng tự nh trong một số tài liệu tham khảo,chúng tôi sẽ mở rộng một số kết quả về sự hội tụ trong L p

Khoá luận gồm 2 chơng

Chơng 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chơng này chúng tôi đa ra các khái niệm và chứng minh một sốtính chất liên quan nh: không gian L , tính độc lập, độc lập đôi một, m-phụ p thuộc, m-phụ thuộc đôi một, m-phụ thuộc đôi một theo khối, bị chặn ngẫu

nhiên, khả tích đều, sự hội tụ hầu chắc chắn, sự hội tụ theo xác suất và sự hội

tụ theo trung bình Đồng thời chúng tôi đa ra một số bất đẳng thức thờng sửdụng

Chơng 2 Sự hội tụ trong không gian L của dãy các biến ngẫu nhiên p

Đây là phần nội dung chính của khoá luận, bao gồm 3 tiết Tiết 2.1,chúng tôi làm một số bài tập về sự hội tụ trong không gian L liên quan đến p

khái niệm khả tích đều Tiết 2.2 trình bày một số bất đẳng thức cũng nh một

số kết quả liên quan đến tính m-phụ thuộc (hay m-phụ thuộc đôi một) Nội

dung chính của tiết này bắt nguồn từ bài báo [7] Bằng việc hạn chế giả thiết

từ tính độc lập (độc lập đôi một) thành tính m-phụ thuộc (m-phụ thuộc đôi

một) chúng tôi đã rút ra đợc kết quả chính trong tiết này Tiết 2.3, chúng tôi

thiết lập sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên trong L Nội dung chính của1

tiết này chính là việc mở rộng kết quả của Choi và Sung trong [3]

Khoá luận đợc thực hiện tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn củaThạc sỹ Lê Văn Thành Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy về sựnhiệt tình hớng dẫn đã dành cho tác giả trong suốt quá trình hoàn thành khoáluận

Nhân dịp này, tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Chủ nhiệm khoa Toán,các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán trờng Đại học Vinh, gia đình và bạn bè

đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả đợc học tập và hoàn thành khoá luận

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới Thầy giáo PGS TS Nguyễn VănQuảng đã luôn động viên và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập vànghiên cứu

Trong quá trình hoàn thành khoá luận, mặc dù đã rất cố gắng, song tácgiả không thể tránh khỏi những hạn chế Tác giả rất mong những ý kiến đónggóp từ các thầy giáo, cô giáo, các bạn sinh viên cũng nh tất cả các bạn đọckhác

Vinh, tháng 5 năm 2007.

Tác giả

đợc gọi là  -đại số sinh bởi X.

Họ hữu hạn Fi, 1 i n các  -đại số con của F đợc gọi là độc lập

nếu

1

P A P A ,

đối với mọi A  i F i 1 i  bất kỳ.n

Họ vô hạn Fi,i I  các  -đại số con của F đợc gọi là độc lập nếu

mọi họ con hữu hạn của nó độc lập

Họ các biến ngẫu nhiên  X i I i,   đợc gọi là độc lập nếu họ các  -đại

X X , lim

n n

Y Y , lim

n n n

1.2.3 Định nghĩa Tập các biến ngẫu nhiên  X i I i,   đợc gọi là độc lập đôi

một nếu X và i X độc lập, với mọi , , j i j i j I

1.3 Tính m-phụ thuộc, m-phụ thuộc đôi một và m-phụ thuộc đôi

một theo khối.

Giả sử m là một số nguyên không âm.

1.3.1 Định nghĩa Một họ các biến ngẫu nhiên  X i, 1 i n đợc gọi là

m-phụ thuộc nếu n m 1 hoặc n m 1 và họ  X i, 1 i k độc lập với họ

1.3.2 Định nghĩa Một họ các biến ngẫu nhiên  X i, 1 i n đợc gọi là

m-phụ thuộc đôi một nếu n m 1 hoặc n m 1 và 2 biến ngẫu nhiên X và i X j

độc lập với nhau khi j i m 

Một dãy các biến ngẫu nhiên  X n, n1 đợc gọi là m-phụ thuộc đôi

một nếu X và i X độc lập với nhau khi j j i m 

1.3.3 Định nghĩa Một dãy các biến ngẫu nhiên  X n, n1 đợc gọi là m-phụ

thuộc đôi một theo khối nếu với mỗi số nguyên dơng p, họ

, 2p  2p

i

X i là m-phụ thuộc đôi một.

1.4 Khái niệm cùng phân phối

1.4.1 Định nghĩa Hàm số

F x P X x xR

đợc gọi là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X

1.4.2 Định nghĩa Dãy các biến ngẫu nhiên  X n, n 1 đợc gọi là cùng phân

phối nếu chúng có cùng hàm phân phối.

1.5 Khái niệm bị chặn ngẫu nhiên

1.5.1 Định nghĩa Dãy các biến ngẫu nhiên  X n, n 1 đợc gọi là bị chặn

ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X nếu tồn tại hằng số D   sao cho

 n 

P X t D P DX t , t 0, n1

1.5.2 Nhận xét Nếu dãy các biến ngẫu nhiên X n, n 1 cùng phân phối thì

nó bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X 1

1.6 Khái niệm khả tích đều

1.6.1 Định nghĩa Dãy các biến ngẫu nhiên  , 1

0 1

1.6.2 Định lý Dãy X n, n 1 khả tích đều nếu và chỉ nếu thỏa mãn 2 điềukiện sau đây

Điều kiện cần Giả sử dãy  X n , n1 khả tích đều Với mọi  0,0

Điều kiên đủ Giả sử dãy các biến ngẫu nhiên  X n, n1 thỏa mãn a)

và b) Với mọi  0 từ b) ta suy ra   0 sao cho với AF , P A( )  thì

KÕt hîp víi §Þnh nghÜa 1.6.1 ta suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh 

1.7 Mét sè kh¸i niÖm héi tô cña c¸c biÕn ngÉu nhiªn

Giả sử  X n, n 1 là các biến ngẫu nhiên cùng xác định trên không gianxác suất , F , P.

1.7.1 Sự hội tụ theo xác suất Dãy các biến ngẫu nhiên  X n, n 1 đợc gọi là

hội tụ theo xác suất tới biến ngẫu nhiên X nếu với  0 bất kỳ ta đều có

   n    

Sự hội tụ theo xác suất ký hiệu là X n P X .

1.7.2 Sự hội tụ hầu chắc chắn Dãy các biến ngẫu nhiên  X n, n 1 đợc gọi

là hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên X nếu

1.7.3 Sự hội tụ theo trung bình Dãy các biến ngẫu nhiên  X n, n 1 đợc gọi

là hội tụ theo trung bình bậc p 0 p  đến biến ngẫu nhiên  X , ký hiệu

theo trung bình bậc p) suy ra hội tụ theo xác suất Tuy nhiên các điều ngợc

lại nói chung không đúng

1.8 Một số bất đẳng thức

Sau đây ta sẽ đa ra một bất đẳng thức thuộc về Bahr-Esseen [2] Bất

đẳng thức này rất quan trọng trong việc chứng minh kết quả chính ở tiết 2.2trong chơng 2

1.8.1 Bất đẳng thức von Bahr-Esseen

Giả sử  X i, 1 i n là họ các biến ngẫu nhiên độc lập, kỳ vọng 0 và

1 p 2 Khi đó

a x x , khi n   

Chứng minh.

Trớc hết ta chứng minh bất đẳng thức sơ cấp: nếu a b , 0 và p 1 thì

a b p 2p1a p b p.Thật vậy, xét hàm f x   a x p  2p1a p x p

1 1

X Y  X  Y X Y (vì (p 1)q ) p (1.6)Nếu X Y p 0 thì (1.4) hiển nhiên đúng.

Từ đây ta suy ra điều phải chứng minh 

1.8.7 Định lý Cho biến ngẫu nhiên X và r 0 bất kỳ Khi đó

   lµ d·y gi¶m nªn víi mäi n 1, ta cã

0 limsup n lim m lim ( m) 0

Sự hội tụ trong Lp

của dãy các biến ngẫu nhiên

Trong chơng này, ký hiệu C chỉ một hằng số Hằng số đó không nhấtthiết giống nhau giữa các dòng

2.1 Sự hội tụ trong L liên quan đến khái niệm khả tích đềup

2.1.1 Định lý Giả sử  X n L p, p  Điều kiện cần và đủ để 1 X hội tụ n

theo trung bình bậc p (hội tụ theo chuẩn p ) tới XL p là: X là dãy n

Điều kiện cần Giả sử X hội tụ tới n X , nghĩa là: X n  X p  0, khi

n   Khi đó, theo Bất đẳng thức Minkowski

 n m 1 n m

p p

Nh vËy Lp

n

X    X . 

Tõ §Þnh lý 2.1.1, ta suy ra kh«ng gian L p, p lµ kh«ng gian Banach Sau

®©y ta nghiªn cøu mèi liªn quan gi÷a héi tô trong L vµ héi tô theo x¸c suÊt p

Với  0 bất kỳ, tồn tại n sao cho 0 E X n  X p   với n n 0.

Tập hữu hạn  X p, X1 p, , X n0 p khả tích đều nên tồn tại  0 sao chokhi AF và P A( ) ta có

với mọi n 1, 2, Vậy  X n p khả tích đều

Hơn nữa, theo Bất đẳng thức Markov, với mọi  0

0,

p n

Để chứng minh hệ quả này ta sử dụng các bổ đề sau đây

2.1.4 Bổ đề Nếu dãy các biến ngẫu nhiên  X n  : n, 1 X n   h c c . X thì

 n h c c .  

g X    g X , với mọi hàm liên tục g .

Chứng minh.

Giả sử g là 1 hàm liên tục Đặt

liên tục nên lim  n( )  ( )

Điều đó dẫn tới P B  Từ đây ta suy ra điều phải chứng minh.  1 

2.1.5 Bổ đề Nếu mọi dãy con của  X n  có một dãy con hội tụ hầu n, 1

chắc chắn đến biến ngẫu nhiên X thì X n  P X .

Chứng minh.

Dùng phản chứng ta chứng minh Bổ đề 2.1.5 Thật vậy, giả sử

 X n  không hội tụ theo xác suất đến n, 1 X Khi đó tồn tại  0 và một

Bởi vì X n P X nên theo Bổ đề 2 ta suy ra Y   áp dụng Định lý n P 0

2.1.2.a) với p 1 ta thu đợc Y   do vậy mà n L1 0 E Y n  0, n  Từ

đây ta suy ra điều phải chứng minh 

2.2 Sự hội tụ trong L của dãy các biến ngẫu nhiên m-phụpthuộc, m-phụ thuộc đôi một

Trong tiết này chúng tôi sẽ thiết lập sự hội tụ trong L của dãy các biến p ngẫu nhiên m-phụ thuộc và m-phụ thuộc đôi một dới điều kiện về tính khả tích

đều Kết quả chính trong tiết này là Định lý 2.2.6 Định lý này bắt nguồn từmột kết quả về dãy nhiều chỉ số của Thanh [7] Tuy nhiên trong [7], Thanh xétcho trờng hợp dãy các biến ngẫu nhiên độc lập (hoặc độc lập đôi một) Bằng

kỹ thuật tơng tự nh trong [7], chúng tôi thấy rằng kết quả đó có thể mở rộng

đ-ợc cho trờng hợp m-phụ thuộc (hoặc m-phụ thuộc đôi một)

Trớc khi đa ra kết quả chính, ta cần sử dụng một số bổ đề sau

2.2.1 Bổ đề Giả sử 0 p1 và a i, 1 i n là các số thực Khi đó

1 2 n p 1 p 2 p n p

a a  a a  a   a .Chứng minh.

Thật vậy, trớc hết ta chứng minh: nếu a0, b 0,0 p1 thì

a b p a p b p

Ta thấy với p 1 hiển nhiên

Với 0 p 1, xét hàm số f x( ) ( x1)p  x p  với 1 x 0, 0 p1.Khi đó f x( )p x( 1)p1 x p1

i

i

a f

2.2.3 Bổ đề Giả sử  X n, 1 i n là các biến ngẫu nhiên có mô men bậc p với 0 p 1 Khi đó

Lấy kỳ vọng 2 vế ta suy ra điều phải chứng minh 

Sử dụng Bất đẳng thức von Bahr-Esseen và hạn chế giả thiết từ tính độc lập

thành tính m-phụ thuộc, ta thu đợc bổ đề sau.

2.2.4 Bổ đề Nếu  X n, 1 i n là tập các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc, kỳ vọng 0 và 1 p 2 thì

1 1

j m k k

1 1

1 0, ( 1)

m k

Bây giờ chúng ta sẽ nghiên cứu sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên

m-phụ thuộc (m-phụ thuộc đôi một) Định lý 2.2.6 bắt nguồn từ kết quả về sự

hội tụ trong L của dãy nhiều chỉ số độc lập (độc lập đôi một) trong [7] của p

Thanh

2.2.6 Định lý Cho  X n, n  là dãy các biến ngẫu nhiên và 1  X n p, n 1

khả tích đều với 0 p2 Giả sử rằng dãy  X n, n  m-phụ thuộc đôi một1

với p 1 và  X n, n  m-phụ thuộc với 1 1 p2 Khi đó

X a n

m nM

Do vËy

p p

1

1

p n

p

i i

2.2.7 Hệ quả Cho dãy các biến ngẫu nhiên  X n, n  bị chặn ngẫu nhiên1

bởi biến ngẫu nhiên X với E X p  , 0 p  Giả sử rằng dãy2

 X n, n  m-phụ thuộc đôi một với 1 p 1 và  X n, n  m-phụ thuộc với1

p

X a n

trong đó a  nếu i 0 0 p1 và a i EX i nếu 1 p 2

2.3 Sự hội tụ trong L của dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc1

đôi một theo khối

Trong tiết này chúng tôi sẽ thiết lập sự hội tụ trong L của dãy các biến1

ngẫu nhiên m-phụ thuộc đôi một theo khối Về sự hội tụ hầu chắc chắn đã đợc

Thanh đa ra trong [8] Kết quả chính trong tiết này là Định lý 2.3.1 Định lýnày mở rộng kết quả của Choi và Sung [3]

2.3.1 Định lý Cho dãy các biến ngẫu nhiên  X n, n  m-phụ thuộc đôi1

một theo khối Giả sử rằng  X n, n  bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu1

nhiên X và E X   r với 1 r 2. Khi đó

X EX n

i i

r

r i i

D xP DX x dx i

n

n

r r

i i

EY m

2 2

p

r

i i

( 1)

r

i i

EY m

i

r Y EY trong L khi 1 p  .Víi 2p1 n 2p, ta cã

r r

D P DX x dx i

n n

r

r r

n n

E Z C

r

i i

2

0

r

n i i

Kết hợp (2.13), (2.16) và chú ý X i Y i Z i ta thu đợc (2.11) 

2.3.2 Hệ quả Cho dãy các biến ngẫu nhiên cùng phân phối  X n, n  m-1

phụ thuộc đôi một theo khối và E X1r   với 1 r 2 Khi đó

Bởi vì độc lập đôi một là trờng hợp riêng của m-phụ thuộc đôi một theo khối

nên ta thu đợc hệ quả sau Đây chính là kết quả của Choi và Sung [3]

2.3.3 Hệ quả Cho dãy các biến ngẫu nhiên  X n, n  độc lập đôi một Giả1

sử rằng  X n, n  bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên 1 X và E X   r

X EX n

Kết luận

1 Các kết quả chính.

Khoá luận nghiên cứu về sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên trongkhông gian L p

1.1 Thiết lập đợc sự hội tụ trong L p 0 p2 cho dãy các biến ngẫu nhiên

m-phụ thuộc (m-phụ thuộc đôi một) Đó là Định lý 2.2.6, Hệ quả 2.2.7.

1.2 Đa ra đợc điều kiện đủ để một dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc đôi

một theo khối hội tụ trong L , đó là Định lý 2.3.1, Hệ quả 2.3.2 Kết quả1

này mở rộng kết quả của Choi và Sung [1985]

2 Hớng phát triển khoá luận:

2.1 Tìm ra các ví dụ minh hoạ các kết quả thu đợc Đồng thời, tìm các phản

ví dụ để chứng tỏ rằng, nếu các điều kiện cần đã nêu ra ở Định lý 2.2.6 và

Định lý 2.3.1 vi phạm thì các định lý đó không còn đúng nữa

2.2 Nghiên cứu các kết quả đã thu đợc cho dãy d-chỉ số các biến ngẫu nhiên

Tµi liÖu tham kh¶o

tiÕng ViÖt

[1] NguyÔn Duy TiÕn, Vò ViÕt Yªn (2003), Lý thuyÕt x¸c suÊt, NXB Gi¸o

dôc, ViÖt Nam

tiÕng anh

[2] B von Bahr and C G Esseen, Intequalities for the rth absolute moment

of a sum of random variables, 1 r 2, Ann Math Statist 36 (1965),

299- 303

[3] B D Choi and S H Sung, On convergence of S n  ES n n1 r,

1 r 2, for pairwise independent random variables, Bull Korean

Math Soc 22 (1985), no 2, 79- 82

[4] P Hall and C C Heyde, Martingale limit theory and its application,

Academic Press New York - London – Cantelli Toronto – Cantelli Sidney – Cantelli SanFrancisco - 1980

[5] Dug Hun Hong and Seok Yoon Hwang, Marcinkiewicz – Cantelli Type strong law of large numbers for double arrays of pairwise indenpendent random variables, International Journal of Mathematices and

Mathematical Sciences, 22 (1999), No 1, 171- 177

[6] Nguyen Van Quang and Le Van Thanh (2006), Marcinkiewicz-Zygmund

law of large numbers for blockwise adapted sequences, Bulletin of the

Korean Mathematical Society, 43 (2006), No 1, 213- 223.

[7] Le Van Thanh (2005), On the L - Convergence for multidimensional p arrays of random variables, International Journal of Mathematices and

Mathematical Sciences, 8 (2005) , 1317- 1320.

[8] Le Van Thanh, Strong laws of large numbers for sequences of blockwise

and pairwise m-dependent random variables, Bulletin of the Institute of

Mathematics Academia Sinica, 4 (2005), 397- 405.