Phương trình, bất phương trình logarit: ▪ Trước hết ta cần đặt điều kiện để phương trình có nghĩa... ▪ Nếu bậc của Px < bậc của Qx ta phân tích Qx thành nhân tử sau đó ta phân tích fx t
Trang 1−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−-§6 HÀM SỐ MŨ và HÀM SỐ LÔGARÍT
-o O
o -☻ Tóm tắt lý thuyết:
◙ Hàm số mũ:
● Tính chất của lũy thừa:
▪ Về cơ số; khi xét lũy thừa aα:
+ α Î ¥ a: α xác định a ¡
+ α Î ¢- : aα xác định khi a ≠ 0
+ α Î ¡ ¢ a\ : α xác định khi a > 0.
▪ a m n =n a m (a>0; ,m nÎ ¢;n>0)
▪ 2k x xác định khi x³ 0
▪ 2k+1x xác định x ¡
▪ Tính chất:
m
m n m n m n
n
a
a
∗ ( )a m n =a m n. ; ∗ ( )a b m =a b m m ∗
m m m
æö÷
ç ÷ =
ç ÷
● Hàm số mũ:
▪ Hàm số mũ y = a x có tập xác định là ¡ ; tập giá trị là *
+
¡ ; liên tục trên ¡
▪ Khi a > 1 hàm số y = a x đồng biến trên ¡
▪ Khi 0 < a < 1 hàm số y = a x nghịch biến trên ¡
▪ a 0 = 1 ∀a ≠ 0 , a 1 = a , a x > 0, ∀x ∈ ¡
▪ Khi a > 1: lim x®+¥ a x= +¥ ; lim x 0
x a
®- ¥ =
▪ Khi 0 < a < 1: lim x®+¥ a x = ; lim0 x
x a
®- ¥ = +¥
▪ a > b > 0: a x > b x⇔ x > 0 và a x < b x⇔ x < 0
(Vẽ đồ thị của hàm số trong hai trường hợp a > 1 và
0 < < a 1để nhớ các tính chất )
◙ Hàm số logarit:
Chú ý: Khi xét log a x phải chú ý điều kiện a>0; a¹ 1vµ x>0
▪ Cho 0 < a ≠ 1 , x > 0: logax = y ⇔ a y = x.
▪ aloga n = ( n > 0 ) ; log n a a m = (∀ m m ∈ ¡ ); log a1 = 0 ; loga a= 1
▪ loga (x1.x2) = logax1 + logax2 và 1
2
loga x
x = logax1 - logax2 ( x1; x2 > 0 ).
▪ logaxα = α.logax và log 1.loga
aα x x
α
= (x > 0).
▪ Đổi cơ số: log log
log
b a
b
x x
a
= hay logax = logab.logbx
▪ logab = 1
logb a và log loga b b a= 1
Trang 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−-▪ Hàm số y = log ax xác định và liên tục trên
(0 ;+ ∞ )
0 ; + ∞ )
▪ Khi 0 < a < 1 hàm số y = log ax nghịch
biến trên ( 0; + ∞ )
▪ Nếu a > 1:
lim loga ; lim loga
▪ Nếu 0 < a < 1:
lim loga ; lim loga
(Vẽ đồ thị của hàm số trong hai trường hợp a > 1 và 0 < a < 1 để nhớ các tính chất )
☻ Các dạng toán:
1 Chứng minh, tính, so sánh:
∗ Ví dụ 1: Đơn giản biểu thức
2
∗ Ví dụ 2: Không dùng máy tính và bảng số, hãy tính 3 847 3 847
-Từ đó hãy tìm hai số a, b để 6 847 ( )3
log sin 70 +log sin 50 +log sin10 < 1
* Ví dụ 4: Tìm tập xác định của hàm số log2 1 1
y
ç
çè - + ø.
* Ví dụ 5: Tính:
25
3
3 9 5log 3 ⓒ loga(a a3 2 5 a a) (a>0, a¹ 1)
∗ Ví dụ 6: ⓐ Cho loga b= 5, tính loga b b
a .
ⓑ Cho log 52 =a, log 32 = Tính b log 135 theo a và b.3
ⓒ Cho log 5, log 727 8 =b, log 32 = Tính c log 35 theo a, b và c.6
* Ví dụ 7: Biết log1227 = a , tính log616 theo a.
* Ví dụ 8: Tính
A
với x = 2009! = 1.2.3.4…2009.
* Ví dụ 9: ⓐ Cho hàm số y=e4x+2e-x; chứng minh rằng ''' 13 ' 12y - y- y=0
ⓑ Cho hàm số y=x e - x Chứng minh x y3 ''+ =y xy'
ⓒ Cho hàm số y=cose x+sin e x Chứng minh ''y +y e x=y'
2 Phương trình và bất phương trình mũ:
▪ Phương trình a x = b có nghiệm ⇔ b > 0.
▪ a f(x) = a g(x)⇔ f(x) = g(x) (0 < a ≠ 1)
Trang 3−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−-▪ Nếu 0 < a < 1 thì: a f(x) > a g(x)⇔ f(x) < g(x).
▪ a f(x) = b ⇔ f(x) = logab
▪ a f(x) < b (với b > 0) ⇔ ( ) logf x < a b nếu a > 1; ( )f x >loga b nếu 0 < a < 1.
▪ a f(x) > b ⇔
0 ( ) 0 ( ) loga khi 1; ( ) loga khi 0 1
b
f x R b
éì £ïïêí
êïïîê Î
êì >ïêï
êïîë
a) Phương pháp logarit hóa:
Để làm cho ẩn số không nằm ở số mũ lũy thừa, ta có thể logarit hai vế theo cùng một cơ số
▪ Ví dụ 1: Giải phương trình 2x + 3 = 5 x
▪ Ví dụ 2: Giải phương trình 2 2 2 3 3
2
x - x x=
▪ Ví dụ 3: Giải phương trình 7x + 7x + 1 + 7x + 2 = 5x + 5x + 1 + 5x + 2
▪ Ví dụ 4: Giải phương trình 2 3 5x x-1 x-2= 12
b) Phương pháp đặt ẩn phụ:
▪ Ví dụ 1: Giải bất phương trình 21 2 1
x x x
▪ Ví dụ 2: Giải pt: ( 2- 3) (x+ 2+ 3)x = 4
▪ Ví dụ 3: Giải bất phương trình 252x x- 2+1+92x x- 2+1³ 34.152x x- 2
c) Phương pháp hàm số:
▪ Ví dụ: Giải phương trình : 3x + 4x = 5x
d) Bài tập làm thêm:
1) Giải bất phương trình ( 5 2) 1 ( 5 2) 11
x
2) Giải phương trình 2x=32x + 1
3) Giải phương trình : 4x = 2.14x + 3.49x
n Bài tập:
① Giải hệ phương trình:
1
x
x x x
y
+
-ïïï
ïî
② Giải bất phương trình: 8 2+ 1 +x- 4x +21 +x> 5
③ Giải phương trình: 2x2-x- 22+ -x x2 = 3
④ Giải phương trình: 4x- x2 - 5 - 12.2x- - 1 x2 - 5 + = 8 0
⑤ Giải phương trình: ( )tan ( )tan
3 2 2+ x+ -3 2 2 x =6
3 Phương trình, bất phương trình logarit:
▪ Trước hết ta cần đặt điều kiện để phương trình có nghĩa
logab có nghĩa ⇔ 0 < a ≠ 1 và b > 0
Trang 4−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−-▪ log n m log
a a
m
n
= ( b > 0 ; 0 < a ≠ 1 ) ▪ loga b 2k = 2k.log a |b| với k ∈
▪ loga x1 = loga x2⇔ x1 = x2 ▪ loga f(x) ≥ loga g(x) ⇔ (a - 1)(f(x) - g(x)) ≥ 0
( ) 0 , ( ) 1
( ) ( )
g x g x
f x h x
ïï
= ïî
a) Phương pháp logarit hóa và đưa về cùng cơ số:
▪ Ví dụ 1: Giải phương trình: log2x + log3x + log4x = log10x
▪ Ví dụ 2: Giải phương trình 3(log 3x)2 +xlog 3x£ 6
▪ Ví dụ 3 : Giải pt : logx (x + 6) = 3.
b) Phương pháp biến đổi hoặc đặt ẩn phụ:
▪ Ví dụ 1: Giải phương trình (x- 1)log [4( 2 x-1)]=8(x- 1)3
▪ Ví dụ 2: Giải pt: log3(3x - 1).log3(3x + 1 - 3) = 6
▪ Ví dụ 3: Giải bất pt : logx 7 logx 7x< 1
n Bài tập:
log x+ log x+ -1 5= 0
② Giải bất phương trình: log log 9( 3( x 72) ) 1
x - £
log 4x+ ³4 log 2 x+ - 3.2 x
④ Giải bất phương trình:
log ( 3) log ( 3)
0 1
x
>
+
⑤ Giải bất phương trình: 4 1
4
log (3 1)log
x
x
y
ïï
log x+2log (x- 1) log 6+ £ 0.
⑧ Giải phương trình: log (55 x- 4) 1= - x
1
25
y x
y
ïï íï
ïï + = ïî
log (x +2x+ =2) log (x +2 )x .
( )
2 2
,
3x xy y 81
x y
- +
íï
ïî
¡
§7 NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN và ỨNG DỤNG
Trang 5① Khái niệm nguyên hàm: Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x)
trên K Û F’(x)= f(x), " Îx K Û ò f x dx( ) =F x( )+C C, Î R.
▪ ( ò f x dx( ) )'= f x( ); ▪ ò ( f x( )±g x dx( )) =òf x dx( ) ±òg x dx( ) .
▪ òk f x dx ( ) =kòf x dx k( ) ( ¹ 0)
② Bảng các nguyên hàm:
Cho k, b là các số thực (k¹ 0)
▪ òdx= +x C
1
x
α
+
-+ ò
▪ dx ln | |x C
ò
▪ òkdx=kx C+
1
1
kx b
k
α
α α
+
+
-+ ò
▪ dx 1ln kx b C
+ ò
▪ òsinxdx=- cosx C+
▪ òcosxdx=sinx C+
2
1
2
1
▪ sin(kx b dx) 1cos(kx b) C
k
ò
▪ cos(kx b dx) 1sin(kx b) C
k
ò
▪ 2 1 1tan( ) cos (kx b)dx=k kx b+ +C
+ ò
▪ 2
sin (kx b)dx=- k kx b+ +C
+ ò
▪ òe dx x =e x+C
ln
x
x a
a
ò
▪ e kx b dx 1e kx b C
k
ò
ln
kx b
kx b a
+
ò
③ Một số phương pháp tìm nguyên hàm:
ⓐ Phương pháp phân tích và sử dụng bảng nguyên hàm:
Ta phân tích hàm số dưới dấu tích phân thành tổng hoặc hiệu các hàm số mà
ta đã biết nguyên hàm.
Ví dụ: Tìm các nguyên hàm sau:
4
2x 3x 5
x
2
x
I =ò dx I3=òtan2xdx
4
1 sin cos
ⓑ Phương pháp đổi biến số: Nếu f x( )=g u x u x[ ( ) '( )] mà òg t dt( ) dễ tìm thì ta thực hiện các bước sau:
+ Đặt t=u x( ).
+ Tìm dt=u x dx'( ) .
+ ò f x dx( ) =òg u x u x dxêë( ) '( )úû =òg t dt( ) .
Trang 6−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−-+ Tìm òg t dt( ) =G t( )+ =C G u x[ ( )]+C.
Ví dụ: Tìm các nguyên hàm sau:
4
1
x
x
=
+ ò
3 2
1
dx I
=
+
4
cos
dx I
x
=ò
3
I =ò xdx.
ⓒ Phương pháp tính nguyên hàm từng phần:
òudv=uv- òvdu
Ví dụ: Tìm các nguyên hàm sau:
I =òx xdx I2 =ò (2x- 1 cos) xdx I3=òx e dx x
ln ln x
x
=ò
I =ò x + dx
n Bài tập: Tìm các nguyên hàm sau:
( )2 1
ln x
x
cos
x
x e
x
1
x
x
=
+
1
x
dx B
e
=
+ ò
2
cos
x
e
x
10
sin
4 sin 2 2(1 sin cos )
x
π
=
ln x
x
=ò
④ Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:
Ⓐ Nguyên hàm của hàm số hữu tỉ: ( ) ( )
( )
P x
f x
Q x
=
▪ Nếu bậc của P(x) > bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức P(x) cho Q(x).
▪ Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) ta phân tích Q(x) thành nhân tử sau đó ta phân tích f(x) thành tổng nhiều phân thức bẳng phương pháp hệ số bất định hoặc phương
pháp giá trị riêng Ví dụ như:
(1)
+
-2
x d
Trang 7
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−- Đối với 2Bx C dx
+
ò ta chia ba trường hợp:
i) Nếu tam thức ax2+ +bx c có hai nghiệm x x1; 2 thì
2
ax + + =bx c a x x x x- - ta sử dụng công thức (1) ở trên để phân tích.
0
ax + + =bx c a x x
0
÷
ç
Chú ý rằng 2ax+ b là đạo hàm của ax2+bx+c
iii) Nếu tam thức ax2+ +bx c vô nghiệm thì
2
2
b
a
+ + = êêëççè + ÷÷ø + úúû
chọn k > 0 thì 2 2
2
2
a
ç
biến số với tan
b
a
ç + = ççè- < < ÷÷ø
Với 2dx 2
x +k
ò → đặt tan
x t æç π t πö÷
= ççè- < < ÷÷ø
Ví dụ: Tìm các nguyên hàm sau:
1
( 1)
dx I
x x
=
+
dx I
=
dx
x- x -ò
dx I
=
1
x dx I
x
=
-ò
Ⓑ Nguyên hàm của hàm số vô tỉ: ò f x dx( )
▪ 2
1
dx
x
x t æç π t πö÷
= ççè- £ £ ÷÷ø ▪ òg(n u x u x dx( )) '( ) → đặt t=n u x( )
x a x b
ò → đặt t= x a+ + x b+
▪ ,n ax b
cx d
ò → đặt n ax b
t
cx d
+
=
dx
x ±a
ò → đặt t= +x x2±a2
▪ ò x2±kdx → dùng pp tích phân từng phần.
▪ 2dx 2
x - a
cos
x
t
=
Ví dụ: Tìm các nguyên hàm sau:
Trang 8−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−-1
dx I
x
=
dx I
=
ò
dx I
=
+
1 1
x dx I
x x
-=
+
4
dx I
x
=
+ ò
n Bài tập: Tìm các nguyên hàm sau:
x
+
=
ò
x
=
ò
( )
dx B
=
dx B
x
=
ò
dx B
=
dx B
=
ò
Ⓒ Nguyên hàm của hàm số lượng giác: òf x dx( ) trong đó f(x) là hàm số lượng giác.
Ta dùng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa về các nguyên hàm cơ bản Như:
▪ Các công thức hạ bậc nâng cung, công thức nhân đôi, công thức biến đổi, …
● Khi ( )f x =g(sin ,cos )x x
+ ( sin ,cos )g - x x =- g(sin ,cos )x x (hàm lẻ đ/v sinx) t=cosx
+ (sin , cos )g x - x =- g(sin ,cos )x x (hàm lẻ đ/v cosx) t=sinx
+ ( sin , cos )g - x - x =g(sin ,cos )x x (hàm chẵn theo sinx và cosx) t=tanx hoặc cot
t= x
● Ngoài ra ta có thể đưa tích phân hàm số lượng giác về tích phân hàm số hữu tỉ bằng phép đặt tan
2
x
t = , khi đó 2 2 ; sin 2 2; cos 1 22
Ví dụ: Tìm các nguyên hàm sau:
3
cos
dx I
x
=ò
4
sin
dx
I
x
sin
dx I
x
cos
dx I
x
=ò
7
1 cos
dx I
x
=
+
sin 2 (2 sin )
x
x
=
+
sin sin cos 2
x
-=ò
Trang 9sin cos
dx I
=ò
Định nghĩa: Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên K và ,a b thuộc K Nếu F(x) là một
nguyên hàm của f(x) trên K thì ( ) ( ) ( )
b
a
f x dx=F b - F a
ò
Các phương pháp túnh tích phân: Ta cần tính ( )
b
a
I =ò f x dx
Để tính tích phân ta có thể phân tích f(x) thành tổng (hiệu) các hàm số có mặt trong
bảng nguyên hàm sau đó dùng định nghĩa để tính
ⓐ Đổi biến số:
• Dạng 1: Nếu f x( )=g u x u x[ ( ) '( )] mà hàm số ( )g t có nguyên hàm là G(t) dễ tìm
hơn hàm số ( )f t thì ta thực hiện theo các bước sau:
o Đặt t =u x( ), tính dt=u x dx'( )
o Đổi cận x= Þ =a t u a x( ); = Þ =b t u b( )
( ) ( )
u b
u b
u a
u a
I= ò g t dt=G t =G u b - G u a
● Dạng 2: * Đặt x=x t( )Þ dx=x t dt'( )
* Đổi cận x= Þa x t( )= giải PT tìm t a = ; α x= Þb x t( )= b Þ =t β
* I f x t x t dt( ( ) '( )) g t dt( ) G t( )
β α
=ò =ò = trong đó g t( )= f x t x t( ( ) '( ))
Dạng 2 thường gặp các trường hợp sau:
hoặc x=| | cos , 0a t £ £t π
1
ⓑ Tích phân từng phần: Sử dụng công thức b ( )b a b
I =òudv= uv - òvdu
Ví dụ và bài tập: Tính các tích phân sau:
2
1
3x 2
x
+
=ò
5 2
dx I
=
0 1 sin
dx I
x
π
= + ò
4
1
ln
e
1
1 ln
x
+
0
cos sin
1 sin
I
x
π
=
+ ò
Trang 100 4
x
x
=
8 0
( sin )cos
π
2 2
1
1
x
x
-=ò
4
10 1 2
(1 )
dx I
=
+
0
(4 11)
x
+
=
0
sin 2 cos
1 cos
x
π
=
+ ò
3
6
sin cos
dx I
π
π
dx I
x x
=
-ò
1
2 15
0
1
I =ò +x dx
1
1 1
x
x
-=
+
4
tan cos 1 cos
x
π
π
=
+ ò
1 2
dx
x + ò
Một số bài toán tích phân đặc biệt:
① Nếu ( )f x là hàm số lẻ và liên tục trên [- a a; ] (a> thì: 0) ( ) 0
a
a
f x dx
-=
② Nếu ( )f x là hàm chẵn và liên tục trên [- a a; ] (a> thì: 0)
0
a
f x dx f x dx
-=
③ Nếu ( )f x là hàm số liên tục trên đoạn 0;1[ ] thì:
=
④ Nếu ( )f x là hàm số chẵn và liên tục trên ¡ thì
0
( )
1
x
f x
a
α
+
▪ Ngoài ra ta còn có thể dùng tích phân liên kết để giải các bài toán về tích phân
Ví dụ và bài tập: Tính các tích phân sau:
2
1
0
cos
n
n n
x
π
+
+
0
sin
π
=ò
3
12x 1
x
-=
+
0
sin
4 cos
x
π
= -ò
Ⓐ Tính diện tích hình phẳng: ● Công thức:
+ Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y= f x y( ); =g x( ); x=a x; =b
(a< với các hàm số ( ), ( )b) f x g x liên tục trên ;[a b là: ] | ( ) ( ) |
b
a
S=ò f x - g x dx
Trang 11+ Diện tích hình phẳng gới hạn bởi các đường x=g y x( ); =h y( ); y=a y, =b
(a< với các hàm số b) x=g y x h y( ), = ( ) liên tục trên ;[a b là: ] | ( ) ( ) |
b
a
S=ò g y - h y dy
Để tính diện tích hình (H) cần xác định đủ phương trình 4 đường trong đó có 2
đương y=… và hai đường x =…
| ( ) ( ) |
b
a
S=ò f x - g x dx
| ( ) ( ) | | ( ) ( ) |
S=ò g x - h x dx+ò f x - h x dx
| ( ) ( ) |
b
a
S=ò h y - g y dy
Ⓑ Tính thể tích vật thể:
● Công thức:
thể tích được tính theo công thức:
( )
b
a
V =òS x dx
▪ Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi
hình (H) giới hạn bởi các đường y= f x( ),
trục hoành, x = a, x =b quay quanh trục Ox là:
[ ( )]2
b
a
V =πò f x dx
▪ Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi
hình (H) giới hạn bởi các đường x=g y( ),
trục hoành, y = a, y =b quay quanh trục Oy là:
Trang 12−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−-[ ]2
( )
b
a
V =πò g y dy
Ví dụ và bài tập:
① Tính diện tích của các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
1) y=x e ,x trôc hoµnh,x=- 1, x= 2
3
y= x y= x=π x=
3) sin cos ;2 3 0; 0;
2
1
x
x
-=
8) y=x2- 2 ;x y=- x2+4x 9) y=- x2+2 ;x y=- 3x
;
8 vµ
x
x
12) x=- 2 ;y2 x= -1 3y2 13) y=|x2- 4x+3 |; y= + (ĐH k.A − 2002)x 3
14) Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y=x2- 4x+ và hai tiếp tuyến của 5 (P) tại các điểm A(1; 2), B(4;5)
15) Cho parabol (P): y=x2và hai điểm A, B thuộc (P) sao cho AB = 2 Tìm A, B sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng AB đạt giá trị lớn nhất
② Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0, x = 3, biết rằng thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 < x < 3) là một hình chữ nhật có chiều rộng và chiều dài là x và 2 9 x- 2 .
③ Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục Ox mỗi hình phẳng giới hạn
bởi các đường sau:
a) y=ln ;x y=0; x=1; x= 2. b) 1 sin4 cos4 , 0; 0;
2
y= + x+ x y= x= x=π c) y=cos ;x y=0;x=0; x=π. d) y2=x y3; =0;x=1
e) y=sin2 x y, =0, x=0, x=π f) x2+ -y 5=0;x+ - = y 3 0
g) y=2 ;x y2 =2x+4
④ Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục Oy mỗi hình phẳng giới hạn
bởi các đường sau:
1
y
y
2
y= - x Oy y=
CÁC BÀI TOÁN TRONG ĐỀ THI TUYỂN SINH TRONG CÁC NĂM QUA
−−−−−−−−
▪ Khối B − 2002: Tính diện tích hình (H) giới hạn bởi các đường: 4 2, 2
Trang 13−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−-▪ Khối A−2003:
2 3
2
dx I
x x
=
+
0
1 2sin
1 sin 2
x
x
-=
+ ò
▪ Khối D − 2003: I=
2 2 0
x - x dx
2
x dx x
-ò
▪ Khối B − 2004: I =
1
1 3ln ln
e
x x dx x
+
3 2 2
ln(x - x dx) ò
▪ Khối A − 2005: I =
/2 0
sin 2 sin
1 3cos
dx x
+
/2 0
sin 2 cos
1 cos
dx x
π + ò
▪ Khối D − 2005: I =
/2 sin 0
(e x cos )cosx x dx
π
+
/2
0
sin 2
x
dx
π
+
ò
▪ Khối B − 2006: I =
ln 5
ln 3 x 2 x 3
dx
e + e-
1
2 0
(x- 2)e dx x
ò
▪ Khối A − 2007: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường
y= +e x y= +e x
▪ Khối B − 2007: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y=x x yln , =0, x= Tính e
của thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục Ox
▪ Khối D − 2007: 3 2
1
ln
e
0
tan cos 2
x
x
π
=ò
▪ Khối B − 2008: 4
0
sin
4 sin 2 2(1 sin cos )
I
=
▪ Khối A − 2009: Tính tích phân: 2( 3 ) 2
0
cos 1 cos
π
-▪ Khối B − 2009: Tính tích phân:
( )
3
2 1
3 ln 1
x
x
+
=
+
3 1
1
x
dx I
e
=
-ò