TỔNG ôn CHUYÊN đề số PHỨC OXYZ

Tính giá trị của M.n phức... Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z i... Kí hiệu z z1, 2 là hai số phức thuộc S và là những số phức có môđun lần lượt nhỏ nhấ

Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn z  1 Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thứcP  z 1 z2  z 1 Tính giá trị của M.n

phức

Bài 3: Cho số phức z thỏa mãn z  1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  z 1 2z 1

A Pmax  2 5 B Pmax  2 10 C Pmax  3 5 D Pmax  3 2

 Giải: Theo BĐT Bunhiacopxki:

A min z  2 B min z  1 C min z  0 D 1

 Cách 2: Cách này của bạn Trịnh Văn Thoại

Bài 9: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn hai điều kiện z  1 và z z 1

1 cos 2

2

1

 Vậy có 8 số phức thỏa 2 điều kiện đề cho

Bài 10: Cho các số phức z z z1, ,2 3 thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z1  z2  z3  1999 và

1 2 3 0

1 2 3

z z z z z z P

          

 Mặc khác:

2 1

1 2 2

2 2 3

z z z

 Gọi M và m lần lượt là giá

trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z 3 3i Tính M m.

  

 Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất của z i Tính M m.

2 1

42

1; 1; 4

422

Bài 15: Cho số phức z x yi với x, y là các số thực không âm thỏa mãn  

 

31

P   i    

Bài 19: Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i 1 Gọi Mmax z 1 i , m min z  1 i

Tính giá trị của biểu thức M2n2

Thay vào (1) :

A ( ) 2z  10081 C ( ) 2z  1008

B ( ) 2z  10083 D ( ) 2z  10082

 Giải:

 Giải: Chuẩn hóa n1,z1 1,z2 i z, 3  i Suy ra đ{p {p A

Bài 29: Cho ba số phức z z z thỏa mãn 1, ,2 3 z1  z2  z3 1 Tính giá trị nhỏ nhất của

iz





 :

Bài 32: Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn z i  3 và z  2 2i  5 Kí hiệu z z1, 2 là hai số phức thuộc S và là những số phức có môđun lần lượt nhỏ nhất và lớn nhất Tính giá trị của biểu thức P z2 2z1

o Dấu “=” xảy ra khi:   2 2



P B Pmax  2 3 C max

13 2

Bài 37: Cho phương trình: z4az3bz2   cz d 0, a b c d, , ,   có bốn nghiệm phức là

Bài 42: Cho hai số phức z z thỏa mãn 1, 2 1 2

1 2

1 2

Bài 43: Trong mặt phẳng phức với gốc tọa độ O, cho hai điểm A, B (khác O) biểu diễn

hai số phức z z thỏa mãn 1, 2 z12z22 z z1 2 Khẳng định n|o sau đ}y đúng?

A OAB vuông cân tại A

B OAB đều

C OAB c}n, không đều

D OAB cân tại A

Bài 44: Cho ba số phức z z z thỏa mãn 1, ,2 3 1 2 3 2

2

z  z  z  và z1 z2 z30 Tính giá trị lớn nhất của biểu thức P z1z2 2z2z3 2z3z1

Bài 46: Cho bốn số phức a b c z, , , thỏa mãn az2 bz c 0 và a  b  c 0 Gọi

 Dấu “=” xảy ra khi z1  z2  3

Bài 49: Cho số phức z thỏa mãn 3

3 2

z z

Mmax z và m min z 2, tính môđun của số phức w M mi 

33

z z

z z



 Tính giá trị của biểu thức M.n :

 Giải:

 Chuẩn hóa: w1 Theo đề ta có:

a a

b a

Bài 60: Cho hai số phức z z thỏa mãn điều kiện 1, 2 z1  z2 2017 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

B 2

2017 D 2

1

2017 Đặt z1 2017 cos 2 x i sin 2x và z2 2017 cos 2 y i sin 2y

1 2

sin

2017 sin2017

z z w

Bài 65: Cho ba số phức z z z thỏa mãn điều kiện 1, ,2 3 z1 z2 z30 và z z1 2z z2 3z z3 1  0

Tính giá trị của biểu thức 1 2 2 32 3 1

Câu 1: Tìm m để góc giữa hai vectơ: u1;log 5;log 2 , 3 m  v3;log 3;4 5  là góc nhọn Chọn phương {n đúng v| đầy đủ nhất

u v u v Do mẫu số luôn lớn hơn 0 nên ta

đi tìm điều kiện để tử số dương

 Mặt khác 3 log 5.log 3 4log 2 0 3 5  m  4log 2m  4 log 2m   1 log 2 logm  m 1

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x 3y 2z 37  0 các điểm A4;1;5, B3;0;1, C 1; 2;0 Điểm M a b c ; ;  thuộc (P) sao cho biểu thức

MA MB nhỏ nhất, khi đó gi{ trị của biểu thức P  a b c là:

 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 1 2 8 3 6

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' có

A trùng với gốc của hệ tọa độ Cho B a ;0;0, D0; ;0a , A' 0;0; b với a b,  0 Gọi M là trung điểm của cạnh CC’ X{c định tỉ số a

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A0;1;1, B1;0; 3  , C   1; 2; 3

và mặt cầu (S): x2 y2 z2  2x 2z  2 0 Điểm D a b c ; ; trên mặt cầu (S) sao cho tứ diện ABCD có thể tích lớn nhất, khi đó a b c  bằng:

V d D ABD S khi đó V ABCD max khi và chỉ khi d D ABC ;   max

 Gọi D D1 2 l| đường kính của (S) vuông góc với (ABC) Ta thấy với D l| điểm bất

kỳ thuộc (S) thì d D ABC ;  max d D  1 ;ABC ,d D 2 ;ABC  

 Dấu “=” xảy ra khi D trùng với D1 hoặc D2

Câu 9: Cho mặt cầu   2 2 2

 Bình luận: Ta có nếu hai mặt phẳng tiếp diện của  S tại A và B vuông góc với

nhau thì hai vtpt của hai mặt phẳng n|y cũng vuông góc với nhau Mà hai vtpt của hai mặt phẳng này chính là IA IB, Với I1; 0; 2   là tâm của mặt cầu  S Vậy ta có hai điều kiện sau:

1 d cắt  S tại hai điểm phân biệt

 Do 2AD2  3BD2  4DC2 không đổi nên P nhỏ nhất khi MD nhỏ nhất Mà M thuộc

 nên MD nhỏ nhất khi M là hình chiếu của D lên 

Câu 12: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A1;1;1 , B  1; 2;0 , C 3; 1; 2   Điểm

 Phương trình đường thẳng AA’:

1 2 1

 Giải:

 M a b c ; ;  Đặt f M  2a b  2c 8

 Ta có f A f C     0 nên A và C nằm về hai phía so với  

 Gọi A’ l| điểm đối xứng của A qua  

 Phương trình đường thẳng AA’:

1 2 1

2x y  2z      3 0 a b c 1

Câu 15: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng : 1 1

, chọn C2; 1; 2  d C, A Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của

C lên  Q và , khi đó ACH vàsin sinACH AH AK

AC không đổi nên suy ra  nhỏ nhất HK hay  Q là mặt phẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng ACK

 Mặt phẳng ACK đi qua  và vuông góc với   nên:    ,

B 33 D 11

 Giải:

 Công thức giải nhanh: n     n NM,n  ,n NM 

 Chứng mình tương tự câu 15: n  1;10; 22 suy ra

 Dấu “=” xảy ra khi: a  11;b 25;c     1 a b c 15

Câu 18: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A1; 2; 3 , B  1;0; 3 ,   C 2; 3; 1    Điểm

Câu 19: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A1; 2; 3 , B  1;0; 3 ,   C 2; 3; 1    Điểm

Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng  P :x2y2z 1 0,

 Q :x y 2z 1 0 v| điểm I1;1 2   Mặt cầu  S tâm I, tiếp xúc với  P và mặt phẳng   :ax by   cz m 0vuông góc với    P , Q sao cho khoảng cách từ I đến (α)

bằng 29 Biết rằng tổng hệ số a b c m   dương

Cho các mệnh đề sau đ}y:

(1) Điểm A1;1; 0 và B1;1; 2  thuộc mặt cầu  S

(2) Mặt phẳng (α) đi qua C0; 5; 3   

(3) Mặt phẳng (α) song song với đường thẳng

x 2t(d) y 5 t

Hỏi có bao nhiêu mệnh đề sai ?

(1) Đúng: Thay tọa độ điêm v|o mặt cầu ta thấy

(2) Đúng: Thay tọa độ điêm v|o mặt phẳng

(3) Sai: Thực chất ta tưởng lầm rằng mặt phẳng phẳng (α) song song (d) nhưng

thực chất là (d) thuộc phẳng phẳng (α), c{c em kiểm tra bằng cách tính khoảng c{ch 2 điểm bất kỳ đến (α) đều bằng 0

(4) Đúng

(5) Sai: Do khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng lớn hơn b{n kính mặt cầu

nên hai mặt không giao nhau

Câu 23: Trong không gian Oxyz, cho c{c điểm A2; 3; 0 , B0;  2; 0 v| đường thẳng d

có phương trình 0

2

x t y

Câu 24: Trong không gian Oxyz, cho điểm M a b c ; ;  với c 0 thuộc mặt cầu

2

b a c

mặt phẳng  P : 2x2y z 16 0 Điểm M a b c ; ;  di động trên (S) v| điểm N m n p ; ; 

di động trên (P) sao cho độ d|i đoạn thẳng MN là ngắn nhất, khi đó

?

a b c m n p     

 Trong trường hợp này, M ở vị trí M và N ở vị trí 0 N Dễ thấy 0 N là hình chiếu 0

vuông góc của I lên mặt phẳng (P) và M l| giao điểm của đoạn thẳng 0 IN với 0

mặt cầu (S) Gọi d l| đường thẳng đi qua I v| vuông góc với (P) thì N0  d  P , khi đó

 Gọi d l| đường thẳng đi qua I v| vuông góc với (P),

3 : 4 1

2 2 2

3

4; 5; 0 4

 Trong mặt phẳng ; EF mọi điểm I thuộc  ta có IE IF EF

 Dấu “=” xảy ra khi I, E, F thẳng hàng, suy ra IA1; 0; 3

Câu 30: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A  1; 1; 2, B  2; 2;1 và mặt phẳng

 P :x3y z  2 0 Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB,  là giao tuyến của (P) v| (Q) Điểm M a b c ; ;  thuộc  sao cho độ d|i đoạn thẳng OM là nhỏ nhất, khi đó

14

Câu 33: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A1; 5; 0, B3; 3; 6v| đường thẳng

11

 Dấu “=” xảy ra khi t 1 M1; 0; 2

Câu 34: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A1; 1; 2  , B3; 4; 2  v| đường thẳng

 Giải:

 AB2; 3; 4   AB/ /d Gọi A’ l| điểm đối xứng của A qua d

 IA IB IA  'IBA B' Dấu “=” xảy ra khi A’, I, B thẳng hàng suy ra IA B' d

Vì AB//d nên I l| trung điểm của A’B

 Gọi H là hình chiếu của A lên d suy ra 36 33 15; ;

Câu 35: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng