Một số phương pháp trong hướng dẫn học sinh khai thác bài toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình, bất phương trình có chứa tham số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH YÊN BÁITRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN BÁO CÁO SÁNG KIẾN ĐỀ NGHỊ CÔNG NHẬN CẤP CƠ SỞ MỘT SỐ KINH NGHIỆM TRONG VIỆC HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHAI THÁC BÀI TOÁN GIÁ TRỊ LỚN NH

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH YÊN BÁI

TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN

BÁO CÁO SÁNG KIẾN ĐỀ NGHỊ CÔNG NHẬN CẤP CƠ SỞ

MỘT SỐ KINH NGHIỆM TRONG VIỆC HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHAI THÁC BÀI TOÁN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ ĐỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT

PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA THAM SỐ

Tác giả : Nguyễn Thị Kim ChangTrình độ chuyên môn: Cử nhân Toán họcChức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác:Trường THPT Lê Quý Đôn

I THÔNG TIN CHUNG.

1 Tên sáng kiến: “Một số kinh nghiệm trong hướng dẫn học sinh khai thác bài toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình, bất phương trình có chứa tham số”

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục và Đào tạo

3 Phạm vi áp dụng sáng kiến: Sáng kiến có thể áp dụng cho các trường THPT

Trình độ chuyên môn: Cử nhân Toán

Chức vụ công tác: Giáo viên

Nơi làm việc: Trường THPT Lê Quý Đôn

Địa chỉ liên hệ: Trường THPT Lê Quý Đôn

Đối với học sinh thường có tâm lý thỏa mãn, thụ động trong học tập, phần lớncác em chỉ học thuộc lòng phần nổi của các khái niệm, định lý ít khi vận dụngkhai thác sâu nên chỉ có thể làm được các bài tập nhận biết và đôi khi còn mắc sailầm ở các dạng câu hỏi đơn giản; việc tìm hiểu một vấn đề một cách thấu đáo đốihọc sinh thực sự khó khăn Chính vì vậy người học thường mắc sai lầm và gặp khókhăn trong khi giải toán, đặc biệt là các bài toán về toán Giải tích

Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số là một phần củachương trình bộ môn Toán mà học sinh được tiếp cận bắt đầu từ chương trìnhToán THCS và các kết quả của nó được chính xác hóa trong chương trình lớp 11

và lớp 12 đặc biệt sau khi tiếp cận khái niệm giới hạn của hàm số, hàm số liên tụcđược phát triển đến hết bậc THPT, CĐ-ĐH; các tính chất, khái niệm và ứng dụngcủa bài toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số xuất hiện trong đề thiĐH-CĐ các năm trước đây và thi THPTQG và thi TN THPT hiện nay và trong đềthi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 THPT cấp tỉnh tùy vào tính chất, mục tiêu củacuộc thi có độ khó dễ khác nhau Khi học, giải toán về nội dung này qua thực tiễn

ở trường THPT các tác giả nhận thấy học thường gặp khó khăn trong tiếp cận vấn

đề, thường mắc những sai lầm căn bản trong đánh giá để xác định giá trị lớn nhất,

Có thể chỉ ra sai lầm như câu hỏi : Hãy tìm giá trị nhỏ nhất hàm số

suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 2

Từ nhận thức sai lệch nội dung và hiểu sai các khái niệm cơ bản dẫn tới kết quảhọc tập và thi của học sinh không tốt khi thực hiện các bài thi và kiểm tra

Môn toán nói chung là một môn học khó với một số người học và Giải tíchtoán nói riêng là một nội dung khó đối với đa số người học Nhưng cũng như nhiều

bộ môn học khác nếu người thầy có phương pháp sư phạm phù hợp sẽ truyền đượccảm hứng cho người học trong đó có toán học, nó là môn học rất quan trọng khôngthể thiếu trong quá trình học tập, nghiên cứu và cả cuộc sống hàng ngày

Như các môn học khác người học phải nắm vững các kiến thức từ thấp đến cao,với môn toán yêu cầu cần phải cao hơn phải học toán thường xuyên liên tục, biếtquan sát, dự đoán, phối hợp và sáng tạo, phải tự lực tiếp thu qua hoạt động đíchthực của bản thân

Trong các môn học ở trường phổ thông, môn toán được xem là môn học cơ bản,

là nền tảng, là công cụ để học sinh tiếp thu và học tập các môn học khác đặc biệttrực tiếp là các môn khoa học tự nhiên như Tin học, Vật lí, Hóa học, Sinh học, Côngnghệ, Địa lí… Tuy nhiên để học sinh học tập tốt môn toán thì mỗi người thầy, mỗigiáo viên xây dựng được một kế hoạch bài học khoa học, cần đổi mới các phươngpháp dạy học, làm cho các em trở nên yêu thích toán học hơn, vì chỉ có yêu thíchmôn nào đó thì người ta mới dành nhiều thời gian để tìm hiểu nghiên cứu cặn kẽ

Từ đó người học thấy được nhiệm vụ của bản thân để xây dựng được kế hoạch họctập và phân bổ thời gian hợp lý đảm bảo yêu cầu trong hiện tại và tương lai

Để có thể phát huy tối đa các khả năng vốn có, củng cố, nâng cao chất lượngcủa nhà trường nhằm nâng cao chất lượng giáo dục nói chung và kết quả học tậpcủa bộ môn nói riêng Muốn khắc sâu các khái niệm, tính chất của mỗi môn họcnói chung và Toán học nói riêng ngoài các kỹ thuật dạy học người giáo viên căn cứđặc thù bộ môn cần xây dựng được các hoạt dộng học tập thông qua các một hệthống các ví dụ, bài tập từ dễ đến khó, lôgic phù hợp với đặc thù bộ môn học vàcác môn , các hoạt động giáo dục khác trong một thể thống nhất, thể hiện sự liênkết, để môn học hay hoạt động giáo dục này hỗ trợ tốt cho các hoạt động giáo dục

và môn học khác

1.2 Các tồn tại, hạn chế

khăn, đó là không mô tả được khái niệm, không hiểu đúng khái niệm dẫn tới kếtquả giải toán về nội dung này chỉ ở mức độ hạn chế nhất định Khi giải toán họcsinh đôi khi không xem xét kỹ về các giả thiết của bài toán nên dẫn tới giải sai

Chẳng hạn khi : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y=f(u(x)) liên tục

trên đoạn a b; Phần lớn học sinh khi đặt t= u(x) thì kết luận t thuộc đoạn [u(a);u(b)] hoặc [u(b);u(a)] Trong thực tế giảng dạy chúng tôi nhận thấy sai lầm như trên khá phổ biến

Tác giả đã khảo sát các thầy cô giáo dạy toán của trường THPT Lê Quý Đônnhững khó mà học sinh gặp phải khi tiếp cận nội dung về GTLN, GTNN của hàm số

Bảng 1 Khảo sát về mức độ khó khăn trong tiếp cận nội dung GTLN, GTTN của hàm số đối với học sinh

TT Nội dung khảo sát

Mức độ đánh giá Hoàn

toàn không đồng ý

Không đồng ý thường Đồng Bình ý

Hoàn toàn đồng ý

1 Học sinh gặp khó khăn

trong tiếp cận khái niệm

GTLN, GTNN hàm số

2 Học sinh không mô tả

được sự liên tục của hàm

số trên khoảng, trên đoạn

6 Khó khăn trong việc

chuyển bài toán về phương

1.3 Nguyên nhân của các tồn tại hạn chế

Có nhiều nguyên nhân dẫn tới các sai lầm của người học, tuy nhiên cơ bản có các nguyên nhân sau:

Thứ nhất: Các khái niệm mô tả chưa tường minh cụ thể, các kết quả cô đọng

không phải người học nào cũng tiếp cận được với khả năng như nhau.

Thứ hai: Người học tiếp cận khái niệm không đầy đủ nên dẫn tới người học

chưa hiếu đúng khái niệm, không hiểu đầy đủ các khái niệm.

Thứ ba: Thiếu một hệ thống ví dụ, bài tập từ dễ đến khó một cách tương đối

tường minh để người học tham khảo, vận dụng khi tiếp cận các nội dung lý thuyết.

1.4 Phân tích, đánh giá tính cấp thiết cần tạo ra sáng kiến

sai lầm ở trên để người học tiếp cận được các nội dung về GTLN, GTNN của hàm

số vận dụng trong giải toán từ đó làm tiền đề để người học học tập các nội dungtiếp theo của môn học cũng như các môn học khác

2 Nội dung các giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến:

Các biện pháp giải quyết vấn đề: “Một số kinh nghiệm trong hướng dẫn học sinh khai thác bài toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình, bất phương trình có chứa tham số”

2.1 Giải pháp thứ nhất: Khắc sâu khái niệm GTLN, GTNN của hàm

số và các hệ quả ứng dụng của nó

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên D

( ) , Max ( )

y f x trên miền D thì bắt buộc phải thỏa mãn cả hai điều kiện trên

Hệ quả của định nghĩa:

m f x Mthì phương trình f x( ) k có nghiệm trên D khi km M; 

2.2 Giải pháp thứ hai: Xây dựng hệ thống các bài tập cơ bản, ví dụ

cụ thể.

a Một số ví dụ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Ví dụ 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y x  3 6 x

Dấu “=” xảy ra khi x  3 hoặc x 6

Ta lại có theo bất đẳng thức Bunhiacopxki:

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 3 2 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là 3

Nhận xét: Ta cũng có thể sử dụng đạo hàm của hàm số để tìm giá trị lớn nhất, giá

Ví dụ 4: Cho hàm số f x  liên tục trên đoạn  2;3 có đồ thị như hình vẽ dướiđây Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x   trên đoạn. 2;3và

Ta có bảng biến thiên của hàm số y x 3  9x2  24x 68 trên 1;4 như sau

Suy ra BBT của hàm số y x 3  9x2  24x 68 trên đoạn  1;4 là

Vậy GTNN , GTLN của hàm số y x 3  9x2  24x 68 trên đoạn  1;4 bằng 48và

Nhận xét.

Từ đây ta thấy để tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x 

trên miền K ( K có thể là   ;  hoặc a;  ,  ; , ; , ;b a b a b     ) ta có thể làm như sau

Bước 1: Ta tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y f x  trên K

Bước 2 Từ giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số số y f x   trên K ta suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x  trên K .

Ví dụ 5: Cho hàm sốy f x ( )liên tục trên và có đồ thị như hình dưới:

Tìm GTLN, GTNN của hàm sốy f x 2 ( ) 3  trên đoạn 0;2

Ví dụ 7 Cho hàm số y f x   có bảng xét dấu biến thiên như sau:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y f sinx 1  

Lời giải

Đặt sinx  1 , 2t   t 0

Bài toán quy về tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm sốy f t  trên đoạn 2;0

Từ bảng biến thiên ta có giá trị lớn nhất của hàm số y f t  trên đoạn 2;0là

 khi t 0 hay sinx 0   x k k Z, 

Ví dụ 8 Cho hàm số f x( ) liên tục trên  1;5 và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y f x  2  2x 4trên  0;2

Nhận xét : Ví dụ 5,6,7,8 là các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm

số trên miền K bằng phương pháp đặt ẩn phụ gồm Bài toán này có thể thực hiện 2 bước sau.

Bước 1 Đặt ẩn phụ t u x   và tìm điều kiện cho ẩn phụ Việc đi tìm điều kiện của ẩn phụ chính là bài toán đi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm trên miền K ( Học sinh cần chú ý đến tính chất của hàm đặt ẩn chụ Nếu là các hàm cơ bản như hàm số bậc hai, hàm số lượng giác, hàm số mũ, hàm số logarit nên học sinh cần nhớ được tính chất đơn điệu, miền giá trị của các hàm số cơ bản này thì lời giải bài toán sẽ ngắn gọn hơn nhiều )

Bước 2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y f t   trên miền K vừa xác định ở bước 1.

Ví dụ 9 Cho hàm số y f x   có bảng biến thiên như hình dưới đây Tìm giá trị

Những ví dụ trên đây giúp cho học sinh

- Hiểu rõ khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.

- Có cái nhìn đầy đủ hơn về các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.

- Học sinh được tiếp cận với một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số xuất hiện trong đề thi trắc nghiệm trong các năm gần đây.

b Mối liên hệ giữa bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm

số và bài toán giải phương trình, bất phương trình có chứa tham số.

Bài toán 1:Tìm tất cả giá trị của m để phương trình f x m có nghiệm thực

x D

Cách giải :

Bài toán tìm tất cả giá trị của m để phương trình : f x m có nghiệm thực

x D có thể được phát biểu như sau Tìm tất cả các giá trị của m để đườngthẳng y m cắt đồ thị hàm số y f x   trên D tại ít nhất một điểm Dựa vào

đồ thị hàm số ta thấy yêu cầu bài toán được thỏa mãn khi

tiến dần đến các cận biên Đặc biệt chú ý đến việc kết luận về giá trị của m

trong trường hợp này

Bài toán 2:

Tìm tất cả giá trị của m để bất phương trình : f x m có nghiệm thực x D

Bài toán này có thể được phát biểu như sau Tìm tất cả các giá trị của m đểđường thẳng y m nằm trên ít nhất một điểm thuộc đồ thị hàm số y f x  .

Sử dụng đồ thị hàm số minh họa ta có thể chỉ ra yêu cầu bài toán được thỏamãn khi f 

dễ nhớ đối với bài toán này.

Bài toán 4: Tìm tất cả giá trị của m để f x m vô nghiệm với x D

Cách giải :

Bài toán này có thể được phát biểu như sau : Tìm các giá trị của m để không cóđiểm nào thuộc đồ thị hàm số y f x   , x D nằm dưới đường thẳng y m Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy yêu cầu bài toán được thỏa mãn khi

Nhận xét: Có thể thay các bài toán 2, 3, 4 bởi bài toán : f x m f x;  m

học sinh có thể tìm được lời giải tương tự

c Một số ví dụ.

Ví dụ 1: Cho hàm số liên tục trên có bảng biến thiên:

Tìm các giá trị nguyên của tham số m để phương trình 2f x m   0 có nghiệmthuộc đoạn  2;4 ?

Ví dụ 2 (Đề minh họa môn toán 2019) Cho hàm số y f x   liên tục trên và

có đồ thị như hình vẽ dưới đây Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m đểphương trình f sinxm có nghiệm thuộc khoảng  0; là

Từ đồ thị ta có: Phương trình fsinxm có nghiệm thuộc khoảng  0;

phương trình f t m có nghiệm trên nửa khoảng 0;1  m  1;1

Nhận xét: Trong bài toán này học sinh dễ bị nhầm lẫn điều kiện của Từ đó

đúng học sinh cần viết được chính xác điều kiện của t và kết luận đúng về giá trị của m Điều này yêu cầu học sinh hiểu rõ khái niệm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số và bài toán cơ bản đã trình bày ở trên.

Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình :

Suy ra hàm số y f t   đồng biến trên đoạn [1;3]

Vậy phương trình có nghiệm khi f  1  m f  3  1 7

Ví dụ 4 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình sau nghiệm đúngvới mọi x  

x2  4x 3x2  4x 6m

Lời giải

Đặt t x 2  4x 3 Dox2 4x  3 x 22    1 1nên t  1

Bài toán trở thành tìm tất cả các giá trị của tham số mđể t t   3 m t,    1

Xét hàm số f t  t t 3trên    1; 

Ta có bảng biến thiên:

Yêu cầu bài toán tương đương với m min1;  f t    m 2

Vậy với m  2thì bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x 

Ví dụ 5 :Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm:

3 8 2 3 2

Giải :

Điều kiện xác định của phương trình là: x ≥ -2

 Xét x  2 dễ thấy không là nghiệm của phương trình

lập bảng biến thiên suy ra: g x( )    6 4 3    t 6 4 3(*)

Ta được phương trình: m t  1 f t( )với t thỏa `mãn điều kiện (*) trên

Nhận xét : Đối với bài toán này một số học sinh mắc sai lầm cho rằng t 0

hoặc không tìm được điều kiện của t

Để tìm được điều kiện đúng của t học sinh có thể sử dụng công cụ đạo hàm hoặc sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình Tuy nhiên đối với bài toán này việc sử dụng đạo hàm sẽ đơn giản và ngắn gọn hơn

Ví dụ 6 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình

x x

2 5 2 2 2 2 5 2 2 2

mx  x   x x mx  x   x x .

Đây là lỗi sai thường gặp của học sinh Do đó để có thể giải đúng bài toán này học sinh cần hiểu rõ được cách giải bất phương trình chứa căn cơ bản, đồng thời áp dụng thành thạo các kiến thức về giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất trong giải bất phương trình đã trình bày ở trên.

Bất phương trình f x e x m đúng với mọix  1;1 khi và chỉ khi

Giải : Ta có : y'  x2  2x m để hàm số đồng biến trên 0; thì

số có cực đại, cực tiểu trên một miền cho trước.

Ví dụ 11 Cho hàm số y f x   Hàm sốy f x  ( )có bảng biến thiên như hình dưới

Bất phương trình x f x.  mx 1nghiệm đúng với mọix1;2019khi

Mà h x mvới mọi x1;2019nên m h  1  m f  1 1 

Nhận xét : Trong thực tế giảng dạy chúng tôi nhận thấy nhiều học sinh trong trường hợp này đều kết luận m h  1  m f  1 1 

Nguyên nhân hàm số h x  ) chỉ xét trên khoảng nên không nhận giá trị đầu mút điều đó có nghĩa khi hàm số h x  đồng biến với x1;2019h   1 h x

vì vậy h x m với mọi x1;2019 suy ra m h  1  m f  1 1 

Đây là một trong các sai lầm mà người học thường mắc phải

Ví dụ 12 Cho hàm số y= f x( ) Hàm sốy= f x¢( )có đồ thị như hình vẽ sau

Nhận xét:

+) Với- < < 1 x 0thì 1 1   x 2 nên (f¢ - < 1 x) 0và 2

. x 0

x e  suy ra ( )g x¢ >0.+) Với0 < <x 1 thì0 1 < - <x 1nên (f¢ - > 1 x) 0và 2

x > suy ra ( )g x¢ < 0.+) Với x 0 thì 1  x 1 nên (f¢ - = 1 x) 0và 2

x = suy ra ( )g x¢ =0.Bảng biến thiên

1 ex

m f> - -x nghiệm đúng với mọix  -( 1;1)suy ra m f> ( )1 1 -

Nhận xét: Với ví dụ này ta có thể thay đổi cách hỏi : Bất phương trình ( ) 2

m x  x  x x  vô nghiệm với x  1 2 2;1  3

Câu 4 Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình :

2

m x  x  x x  có nghiệm x  1 2 2;1  3