Phương pháp đạo hàm và các bài toán về tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Nguyễn Minh Tuấn, người thầy đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảotận tình và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn này.Tôi cũng xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy gi

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN MINH TUẤN

Hà Nội- 2015

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chânthành tới PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn, người thầy đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảotận tình và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn này.

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo trong khoaToán Cơ Tin học, Trương Đại học Khoa học Tự Nhiên-Đại học Quốc gia Hà Nội vàKhoa sau đại học, đã nhiệt tình giúp đỡ tôi hoàn thành khóa Cao học

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè đã luôn động viên và khuyến khíchtôi rất nhiều trong thời gian nghiên cứu và học tập

Do mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên luận văn còn nhiều thiếusót Tác giả kính mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn để luậnvăn hoàn thiện hơn

Hà Nội, năm 2015

Nguyễn Thị Diệp

2

Lời mở đầu 4

1.1 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm 6

1.2 Cực trị của hàm số 7

1.3 Các định lí cơ bản về hàm khả vi 8

1.4 Hàm lồi và hàm lõm 9

2 Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 11 2.1 Khảo sát trực tiếp hàm số trên miền xác định 11

2.2 Khảo sát hàm số theo từng biến 17

2.3 Đặt biến phụ chuyển về đánh giá hàm số một biến 30

2.4 Đánh giá gián tiếp thông qua biểu thức bậc nhất 44

2.5 Phương pháp sử dụng tính chất của hàm lồi, hàm lõm 51

3 Cực trị hàm nhiều biến 59 3.1 Cực trị tự do 59

3.2 Cực trị có điều kiện 63

3

Trong những năm gần đây, các kỳ khảo sát chất lượng, thi học sinh giỏi bậc trunghọc phổ thông thường gặp những bài toán yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớnnhất của một đại lượng nào đó Các bài toán cực trị rất phong phú và đa dạng mangnội dung vô cùng sâu sắc, có ý nghĩa rất quan trọng đối với các em học sinh Các bàitoán về cực trị góp phần không nhỏ vào việc rèn luyện tư duy cho học sinh Bài toán

đi tìm cái tốt nhất, rẻ nhất, ngắn nhất, dài nhất trong một bài toán Để dần dầnhình thành cho học sinh thói quen đi tìm giải pháp tối ưu cho một công việc nào đótrong cuộc sống sau này

Luận văn trình bày một số ứng dụng của đạo hàm để giải các bài toán cực trị Luậnvăn chỉ đề cập tới một số phương pháp giải một số loại toán cực trị đại số thường gặptrong chương trình toán học trung học phổ thông Luận văn hệ thống hóa, phân loạitoán và trình bày theo từng ý tưởng cũng như các kỹ năng vận dụng đạo hàm vào việcgiải một lớp các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất Luận văn gồm có 3chương với các nội dung sau:

Chương 1: Luận văn trình bày các kiến thức khái niệm cần thiết như đạo hàm, tínhđơn điệu và hàm lồi và được tham khảo trong [3]

Chương 2: Luận văn trình bày phương pháp sử dụng đạo hàm vào giải các bài toántìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Chương 2 luận văn trình bày phương pháp khảosát trực tiếp hàm số trên tập xác định của hàm số, khảo sát theo hàm số từng biến,đặt biến phụ chuyển về đánh giá hàm một biến, đánh giá thông qua biểu thức bậcnhất, hay phương pháp sử dụng tính chất hàm lồi, hàm lõm được tham khảo trong[1, 5, 6, 2, 7, 4]

4

Chương 3 Luận văn trình bày phương pháp để tìm cực trị tự do và cực trị có điềukiện của hàm nhiều biến số Từ đó tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

và được tham khảo trong [3]

Một số kiến thức chuẩn bị

Định nghĩa 1.1 Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a, b) và x0 ∈ (a, b) Nếugiới hạn sau tồn tại và hữu hạn

lim

x→x 0

f (x) − f (x0)

x − x0thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm số f tại điểm x0 và được ký hiệu là

f0(x0) Khi đó ta nói rằng f khả vi tại x0

Chú ý Nếu kí hiệu ∆x = x − x0, ∆y = f (x0+ ∆x) − f (x0) thì

Ý nghĩa hình học Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C) Khi đó, f0(x0) là hệ số góccủa tiếp tuyến đồ thị (C) của hàm số y = f (x) tại M (x0, y0) ∈ (C) Phương trình tiếptuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm M (x0, y0) ∈ (C) là

y = f0(x0)(x − x0) + y0

6

1.2 Cực trị của hàm số

Định nghĩa 1.2 Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập hợp D ⊂ R và x0 ∈ D Điểm

x0 được gọi là một điểm cực đại của hàm số f (x) nếu tồn tại một khoảng (a, b) chứađiểm x0 sao cho f (x) ≤ f (x0) với ∀x ∈ (a, b) ∩ D Khi đó f (x0) được gọi là giá trị cựcđại của f (x) và điểm (x0, f (x0)) được gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số y = f (x).Điểm x0 được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f (x) nếu tồn tại một khoảng (a, b)chứa điểm x0 sao cho f (x) ≥ f (x0) với ∀x ∈ (a, b) ∩ D

Khi đó f (x0) được gọi là giá trị cực tiểu của f (x) và điểm (x0, f (x0)) được gọi là điểmcực tiểu của đồ thị hàm số y = f (x)

Điểm cực đại, cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị Giá trị cực đại, giá trị cực tiểuđược gọi chung là cực trị

Định lý 1.3 Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên [a, b]

Nếu f0(x) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b] thì f (x) đồng biến trên [a, b] và khi đó ta có

Ta có kết quả sau về điều kiện cần của cực trị

Định lý 1.4 ( Định lý Fermat) Cho hàm f xác định trên (a, b) và x0 ∈ (a, b) Nếuhàm số f có cực trị tại x0 và hàm f có đạo hàm tại x0 thì

f0(x0) = 0

Chú ý Điều ngược lại không đúng: Nếu hàm f có f0(x0) = 0 nhưng chưa chắc x0 làđiểm cực trị, ví dụ hàm y = x3 có y0(0) = 0 nhưng hàm số không có cực trị tại x = 0

Nếu hàm số f có cực trị tại x0 thì có thể tại x0 đạo hàm không xác định, ví dụ hàm

y = |x| có cực tiểu tại x = 0 nhưng dễ chứng minh được hàm số không có đạo hàm tại

x = 0

Định lý 1.5 Giả sử hàm số f khả vi trên khoảng (a, b) chứa x0, và f0(x0) = 0.Nếu f0(x) ≥ 0 với mọi x ∈ (a, x0) và f0(x) ≤ 0 với mọi x ∈ (x0, b) ( tức đạo hàm đổidấu từ (+) sang (-) khi đi qua x0) thì x0 là điểm cực tiểu của hàm f

Nếu f0(x) ≤ 0 với mọi x ∈ (a, x0) và f0(x) ≥ 0 với mọi x ∈ (x0, b) ( tức đạo hàm đổidấu từ (-) sang (+) khi đi qua x0) thì x0 là điểm cực đại của hàm f

Định lý 1.6 Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a, b) chứa x0, có đạohàm cấp hai khác 0 tại x0

Nếu f0(x0) = 0 và f00(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm f

Nếu f0(x0) = 0 và f00(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại của hàm f

Trong phần này, luận văn trình bày hai định lý quan trọng về đạo hàm Đó là định

lí Lagrange, định lí Rolle (xem [3])

Định lý 1.7 (Định lý Rolle) Nếu f (x) là hàm liên tục trên đoạn [a, b], có đạo hàmtrên khoảng (a, b) và f (a) = f (b) thì tồn tại c ∈ (a, b) sao cho f0(c) = 0

Chứng minh Vì f (x) liên tục trên [a, b] nên theo định lí Weierstrass f (x) nhận giá trịlớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m trên [a, b]

- Khi M = m ta có f (x) là hàm hằng trên [a, b], do đó với mọi c ∈ (a, b) luôn có

Hệ quả 1.9 Nếu hàm số f (x) có đạo hàm trên (a, b) và f0(x) vô nghiệm trên (a, b)thì f (x) có nhiều nhất 1 nghiệm trên (a, b).

Hệ quả 1.10 Nếu f (x) có đạo hàm trên (a, b) và f0(x) có nhiều nhất n nghiệm (nlà

số nguyên dương) trên (a, b) thì f (x) có nhiều nhất n + 1 nghiệm trên (a, b)

Định lý 1.11 (Định lí Lagrange) Nếu f (x) là hàm liên tục trên đoạn [a, b], có đạohàm trên khoảng (a, b) thì tồn tại c ∈ (a, b) sao cho

Khi đó F (x) là hàm liên tục trên đoạn[a, b], có đạo hàm trên khoảng (a, b) và

F (a) = F (b) Theo định lí Rolle tồn tại c ∈ (a, b) sao cho F0(c) = 0 Mà

F0(x) = f0(x) −f (b) − f (a)

b − a ,suy ra

Định nghĩa 1.13 Hàm số f (x) được gọi là lõm trên tập I(a, b) nếu với mọi

x1, x2 ∈ I(a, b) và với mọi cặp số dương α, β có tổng α + β = 1, ta đều có

f (αx1+ βx2) ≥ αf (x1) + βf (x2) (1.2)Nếu dấu đẳng thức trong (1.2) xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 thì ta nói hàm số f (x) làhàm lõm thực sự (chặt) trên I(a, b)

Định lý 1.14 Nếu f (x) khả vi bậc hai trên I(a, b) thì f (x) lồi (lõm) trên I(a, b) khi

và chỉ khi f00(x) ≥ 0(f00(x) ≤ 0) trên I(a, b)

Nếu f (x) lồi khả vi trên I(a, b) thì với mọi cặp x0, x ∈ I(a, b), ta đều có

Ứng dụng đạo hàm giải các bài

toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị

nhỏ nhất của hàm số

Bài toán 1 ( Thi HSG Quốc gia, 1992) Cho số tự nhiên n > 1 Tìm giá trị lớn nhất

và nhỏ nhất của hàm số

f (x) = √n

1 + x +√n

1 − xvới x thuộc [0, 1]

Bài toán 2 a Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

và do đó f0(x) = 0 khi và chỉ khi x = 1, limx→+∞f (x) = 1, limx→−∞f (x) = −1, và

f0(x) đổi dấu từ + sang − khi đi qua 1 Do đó

Vì x ∈ (0, π/2) nên f0(x) = 0 khi 2 cos x − 1 = 0 hay x = π/3 Ta thấy f0(x) đổi dấu

từ − sang + khi đi qua π/3 Nên ta được

Bài toán 4 Giả sử x > 0, y > 0 và x + y = 1 Chứng minh rằng giá trị lớn nhất củabiểu thức

Chứng minh Theo giả thiết thì y = 1 − x Ta sẽ chứng minh rằng



= 12

 1 + (1 − x)(1 − x)√

1 − x −1 + x

x√x

f (x) =√

x2+ x + 1 +√

x2− x + 1

Chứng minh Tập xác định R Xét hàm số

f (x) =√

x2+ x + 1 +√

x2 − x + 1trên R Ta có

f0(x) = x +

1 2

q(x + 12)2+ 34

1 2

q(x −12)2+ 34

2sin x+ 2tan x ≥ 2√2sin x2tan x.

Ta chứng minh

sin x + tan x ≥ 2x

Thật vậy, xét hàm số

f (x) = sin x + tan x − 2xliên tục trên [0,π2], và có

f0(x) = cos x + 1

cos2x− 2 > cos2x + 1

cos2x − 2 ≥ 0 ∀x ∈ [0,π

2].

Do đó f (x) đồng biến trên [0,π2] Suy ra f (x) ≥ f (0) = 0, hay

sin x + tan x ≥ 2x với mọi x ∈ [0,π

2]

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2sin x+ 2tan x− 2x+1 với 0 ≤ x ≤ π

2

là 0 đạt được khi x = 0

Đối với các BĐT nhiều biến, ta có thể chọn một biến là biến số biến thiên và cốđịnh các biến còn lại, bài toán lúc này trở thành BĐT một biến

Bài toán 8 Giả sử A, B, C là ba góc của một tam giác Tìm giá trị nhỏ nhất của biểuthức

Q = 2 1

sin A +

1sin B +

1sin C

Dấu đẳng thức khi tam giác ABC đều Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Q = 2

sin A+

1sin B +

1sin C

2 a

2, b

1 − b2 ≥ 3

√3

2 b

2, c

1 − c2 ≥ 3

√3

2 c

2.Hay phải chứng minh

f (x) = x(1 − x2) với x ∈ (0, 1)

Ta có

f0(x) = 1 − 3x2.Khi đó, hàm f0(x) trong khoảng (0, 1) sẽ chuyển từ − sang + khi đi qua điểm 1/√

3.Nên giá trị lớn nhất của f (x) trên khoảng (0, 1) là 3√2

3 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểuthức b2 +ca 2 + c2 +ab 2 +a2 +bc 2 là 3

√ 3

2 đạt được khi a = b = c = 1/√

3

Bài toán 10 Chứng minh rằng giá trị lớn nhất của biểu thức

Trường hợp 2 Nếu x2 ∈ (0, 1) thì do x1 ≤ 0 < x2 nên trên [0, 1] hàm f0(x) sẽ đổi dấu

từ − sang + khi đi qua x2 Do đó

Ta sẽ chứng minh f (1) ≤ 3 Thật vậy, đặt

f (1) = g(y) = 2(y3+ z3) − y2z + (2 − y − z2)

Khi đó

g0(y) = 6y2− 2zy − 1 = 0và

y∈[0,1]g(y) = max{g(0), g(1)}

Nếu y2 ∈ (0, 1) thì trên [0, 1] hàm g0(y) sẽ đổi dấu từ − sang + khi đi qua y2 Do vậy

max

y∈[0,1]g(y) = max{g(0), g(1)}

Như vậy trong cả hai trường hợp ta đều có

max

y∈[0,1]g(y) = max{g(0), g(1)}

Ta có

g(0) = 2z3+ 2 − z2 ≤ 2z3+ 2 − z2+ (1 − z) = g(1) = z(z − 1)(2z + 1) + 3 ≤ 3với mọi x, y, z ∈ [0, 1] Do đó

Xét hai trường hợp sau

S(a, b, c) ≤ S(3, 1,1

3) =

8

5.Trường hợp 2 c ≥ b ≥ a Áp dụng trường hợp 1 ta nhận được

S(c, b, a) ≤ 8

5.Mặt khác

3− 2c3)(a3+ c3+ 6)2 ≤ 0.

Nên f0(c) giảm trên [0, 1] Suy ra

(a3+ b3+ 7)2

và

g00(a) = 6ab(7 − 2a

3)(a3+ 7)3 −6a(b

3+ 6 − 2a3)(a3+ b3+ 7)3 ≤ 0

Nên g0(a) giảm trên [0, 1] Suy ra

64 > 0.Suy ra g(a) tăng trên [0, 1] Do đó

Bài toán 13 Xét hàm số

f (x, y) = (1 − x)(2 − y)(4x − 2y)trên miền D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2} Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm f trênmiền D

Chứng minh Biến đổi hàm số đã cho thành

f (x, y) = 2(1 − x)(2 − y)((2 − y) − 2(1 − x))Đặt u = 1 − x, v = 2 − y, thì bài toán đã cho trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàmsố

F (u, v) = −2uv2 + u2vtrên miền E = {(u, v) : 0 ≤ u ≤ 2, 0 ≤ v ≤ 1}, nghĩa là

min

E F (u, v) = min

0≤u≤2[ min

0≤v≤1(−2uv2+ u2v)]

Xét hàm số g(v) = −2uv2+ u2v với 0 ≤ v ≤ 1, coi u là tham số Ta có

g0(v) = −4uv + u2 = u(−4v + u)

Ta thấy g0(v) = 0 khi v0 = u4, và qua v0 = u4 thì g0(v) đổi dấu từ dương sang âm, mà

min

D f (x, y) = 2 min

E F (u, v) = −2khi x = 0, y = 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của f (x, y) trên miền D là −2

Bài toán 14 (Đề thi HSG THPT toàn quốc bảng A, 1999) Xét các số thực dương

a, b, c thỏa mãn abc + a + c = b Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Chứng minh Biến đổi giả thiết thành a + c = b(1 − ac) > 0, suy ra

f0(x) = 2c(x

2+ 2cx − 1)(1 + c2)(1 + x2)2.Trên (0,1c) thì f0(x) = 0 có nghiệm duy nhất là

c2+ 1).Với c > 0, thì ta thấy g0(c) = 0 tại c0 = √1

8 và g0(c) đổi dấu từ dương sang âm khi điqua c0 nên g(c0) là giá trị cực đại, suy ra

Bài toán 15 (VMO, 2001) Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn hệ điều kiện

z ≤ 4

h(y) = 1

y +

1zvới tham số z ≥ 25 Từ điều kiện (2.8) suy ra

c.

Chứng minh Ta đổi biến

P (x, y, z) = x + 2y + 3z

Từ giả thiết z(12xy − 21 ≥ 2x + 8y) > 0 suy ra

z ≥ 2x + 8y12xy − 21 với x >

f (x) = x + 2x + 8y

4xy − 7 =

4x2y − 5x + 8y4xy − 7với biến x > 4y7 và y là tham số dương Ta có

và qua x0 thì f0(x) đổi dấu từ âm sang dương nên f (x) đạt cực tiểu tại x0 nên

f (x) ≥ f (x0) = 2x0− 5

4y.Suy ra

p32y2+ 14

Ta có

g0(y) = 0 ⇔ (8y2− 9)p32y2+ 14 − 28 = 0

Đặt t =p32y2+ 14 với t > 0, thì phương trình trên trở thành

Bài toán 17 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Q = −2xy2+ x2ytrên miền E = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1}

Chứng minh Coi x là tham số ta có hàm số

f (y) = −2xy2+ x2y với y ∈ [0, 1]

Ta có

f0(y) = −4xy + x2và

Khảo sát hàm số g(x) = x2− 2x x ∈ [0, 2] ta tìm được min g(x) = g(1) = −1 Kếtquả giá trị nhỏ nhất của Q là −1 đạt khi x = 1 , y = 1.

Bài toán 18 Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện 12xyz ≥ 2x + 8y + 21z.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = x + 2y + 3z

Chứng minh Từ giả thiết z(12xy − 21) ≥ 2x + 8y > 0 suy ra

z ≥ 2x + 8y12xy − 21, x >

74y.

Do đó

Q ≥ x + 2y + 2x + 8y

4xy − 7.Xét hàm số

f (x) = x + 2x + 8y

4xy − 7 với x >

74y.Khi đó

f0(x) = 1 − 32y

2+ 14(4xy − 7)2

trên khoảng (4y7 , +∞) thì

f0(x) = 0 ⇔ x = x0 = 7

4y +

p32y2+ 144y

và f0(x) đổi dấu từ âm qua dương khi x qua x0 Do vậy f (x) ≥ f (x0) = 2x0− 5

4y Suyra

Q ≥ g(y) ≥ g(y0) = 15

2 .Đẳng thức xảy ra khi x = 3, y = 5/4, z = 2/3 Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 152

f = (xy)3− [(x + y)3− 3xy(x + y)] + 1 = (xy)3+ 12xy − 63

Đặt t = xy ta đưa về hàm theo một biến t là

Bài toán 20 Giả sử x, y, z là hai số thực không âm thỏa mãn x2+ y2+ z2 = 3 Tìmgiá trị lớn nhất của biểu thức

x + y + z.Chứng minh Đặt t = x + y + z Khi đó t2 = x2+ y2+ z2+ 2(xy + yz + zx) Kết hợpvới giả thiết x2+ y2+ z2 = 3 ta nhận được

2 đạt được khi x = y = 12, giá trị nhỏ nhất của P là

−√2 đạt được khi (x, y) = (0, 1), (1, 0)

Bài toán 22 Giả sử hai số x, y khác 0 thay đổi thỏa mãn

f (u) ≤ f (1) = 4 ∀u ≥ 1

S2 = (xy)2(x2+ y2− 2xy) = (xy)2(1 − 3xy).

Bài toán 25 (Trích đề thi Đại học khối A năm 2006) Giả sử hai số thực x, y 6= 0thay đổi thỏa mãn (x + y)xy = x2+ y2− xy Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

x3 + 1

y3

Chứng minh Từ giả thiết ta có

1

y.Đặt

Vì (3 − x)2 ≥ 4(x2− 3x + 1) nên

3x2− 6x − 5 ≤ 0kết hợp x ≥ 0 ta được

x ∈ [0,3 + 2

√6

Khảo sát hàm số

s = g(x) = x3− 3x2+ x với x ∈ [0,3 + 2

√6

3 , y = z = (3 −√

6)/3 thì Q = 105+16

√ 6

3 Vậy giá trị nhỏ nhất của

Q là 47, giá trị lớn nhất là 105+16

√ 6

3 Bài toán 27 Giả sử các số thực x, y, z > 0 thỏa mãn







xy + yz + zx = 8xyz = 4

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức Q = x4+ y4+ z4

Chứng minh Từ giả thiết ta có

Kết hợp với x > 0 ta được

x ∈ (0, 3 −

√5

2 ] ∪ [1,

3 +√5

2 ].

Đặt

s = x + y + zthì

s = g(x) = x + 8

x − 4

x2 với x ∈ (0,3 −

√5

2 ] ∪ [1,

3 +√5

2 ].

Khảo sát hàm số g(x) với x ∈ (0,3−

√ 5

2 ] ∪ [1,3+

√ 5

2 Bài toán 28 Giả sử các số thực x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z ≤ 2 Tìm giá trị nhỏnhất của biểu thức

Q =

r4x2+ 1

x2 +

r4y2+ 1

y2 +

r4z2+ 1

z2.Chứng minh Trước hết ta chứng minh

Q ≥

r4(x + y + z)2+ (1

(x + y + z)2