Chuyên đề bất đẳng thức lượng giác P2 new 2010

Như vậy, ựể có thể ựương ựầu với các bất ựẳng thức lượng giác, bạn ựọc cần nắm vững các phương pháp chứng minh.. Những phương pháp ựó cũng rất phong phú và ựa dạng : tổng hợp, phân tắch,

Trang 1

Chương 2 :

Các phương pháp chứng minh

Chứng minh bất ựẳng thức ựòi hỏi kỹ năng và kinh nghiệm Không thể khơi khơi mà ta ựâm ựầu vào chứng minh khi gặp một bài bất ựẳng thức Ta sẽ xem xét nó thuộc dạng bài nào, nên dùng phương pháp nào ựể chứng minh Lúc ựó việc chứng minh bất ựẳng thức mới thành công ựược

Như vậy, ựể có thể ựương ựầu với các bất ựẳng thức lượng giác, bạn ựọc cần nắm vững các phương pháp chứng minh đó sẽ là kim chỉ nam cho các bài bất ựẳng thức Những phương pháp ựó cũng rất phong phú và ựa dạng : tổng hợp, phân tắch, quy ước ựúng, ước lượng non già, ựổi biến, chọn phần tử cực trị Ầ Nhưng theo ý kiến chủ quan của mình, những phương pháp thật sự cần thiết và thông dụng sẽ ựược tác giả giới thiệu trong

chương 2 : ỘCác phương pháp chứng minhỢ

Mục lục :

2.1 Biến ựổi lượng giác tương ựương ẦẦẦ 32

2.2 Sử dụng các bước ựầu cơ sở ẦẦẦ 38

2.3 đưa về vector và tắch vô hướng ẦẦẦ 46

2.4 Kết hợp các bất ựẳng thức cổ ựiển ẦẦẦ 48

2.5 Tận dụng tắnh ựơn diệu của hàm số ẦẦẦ 57

2.6 Bài tập ẦẦẦ 64

Trang 2

Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác

Chương 2 Các phương pháp chứng minh

2.1 Biến ñổi lượng giác tương ñương :

Có thể nói phương pháp này là một phương pháp “xưa như Trái ðất” Nó sử dụng các công th ức lượng giác và sự biến ñổi qua lại giữa các bất ñẳng thức ðể có thể sử dụng

t ốt phương pháp này bạn ñọc cần trang bị cho mình những kiến thức cần thiết về biến ñổi

l ượng giác (bạn ñọc có thể tham khảo thêm phần 1.2 Các ñẳng thức,bất ñẳng thức trong tam giác)

Thông th ường thì với phương pháp này, ta sẽ ñưa bất ñẳng thức cần chứng minh về dạng bất ñẳng thức ñúng hay quen thuộc Ngoài ra, ta cũng có thể sử dụng hai kết quả quen thu ộc sinx ≤1; cosx ≤1

Ví dụ 2.1.1

CMR :

7cos314sin214sin1

ππ

3cos7

2cos7cos14

sin214sin1

7

3cos7

2cos7

cos14sin2

14

5sin14

7sin14

3sin14

5sin14

sin14

3sin14sin1

ππ

π

ππ

π

++

=

−+

cos7

3cos7

2cos7

2cos7cos

7

2cos7

4cos7

cos7

5cos7

3cos7

cos2

17cos

πππ

ππ

π

ππ

π

++

;7

2cos

;7

Trang 3

Vì x,y,z ñôi một khác nhau nên ( )4 ñúng ⇒ ñpcm

Nh ư vậy, với các bất ñẳng thức như trên thì việc biến ñổi lượng giác là quyết ñịnh

s ống còn với việc chứng minh bất ñẳng thức Sau khi sử dụng các biến ñổi thì việc giải quy ết bất ñẳng thức trở nên dễ dàng thậm chí là hiển nhiên (!)

cos2sin22sin

sin22cos2sin2cos2sin

2

cos

sin22cos2

cos2sin2cossin2cos

sin2

cos

2

sin

2 2

2 2 2

2

2 2 2 2

2

2 2

2 2 2

2

≥

−+

−

⇔

≥+

−+

+

−

−++

⇔

−+

++

≥++

++

x b x a c x b x

a

x b

x x ab x a

x bc x ca x x ab c

x b

x

a

x bc x ca

x x x

x ab c

x x

b x x

sinsin2 A+ 2 B+ 2C≤

4

12

coscos

04

1cos

coscos

04

12cos2

cos2

1cos

4

92

2cos12

2cos1cos1

2 2

2 2 2

≥

−+

−

⇔

≥++

+

⇔

≤

−+

−

C B C

B A

C B A A

C B

A

C B

A

⇒ ñpcm

ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ∆ABCñều

Trang 4

Ví dụ 2.1.4

Cho α β γ ≠ π +kπ (k∈Z)

2,

2

tantantan213

tantantan

tantan

γγ

ββ

α

γβ

α

γβ

α

γβ

α

2 2 2 2

2 2

2

2 2

2

2 2

2

2 2

2

tantantan21tantantan

tantan

tan

2tan1

1tan

1

1tan

1

2coscos

cos

1sinsin

sin

−

=+

+

⇔

=+

++

⇔

=+

+

⇔

=+

+

Khi ñó bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với :

(tan tan tan tan ) (tan tan tan tan ) (tan tan tan tan ) 0

tantantan

tantan

tan3

tantantan

tantan

tan

2 2

2

2 2 2

2 2

≥

−+

−

⇔

++

γα

γγ

βγ

ββ

α

αγγ

ββ

αα

γγ

ββ

α

⇒ ñpcm

βαα

γ

αγγ

β

γββ

α

tantan

tan

tantantan

tan

tantantan

≥+

+

2

tan2

tan2tan32

cot2

cotA+ B+ C = A B C

ðặt

2cot

;2cot

;2

>

xyz z y x

z y

x, , 0

Trang 5

( ) ( )

33

1113

2 2

≥

−+

−

⇔

++

≥++

⇔

++

≥++

x z z y y x

zx yz xy z

y x

xyz

zx yz xy z

y x

z y x z y x

2sin

3

1sin

Lời giải :

Vì −1≤sinx≤1 và cosx≥−1 nên :

3+sinx>0;3−sinx>0 và 2+cos>0

cos1218cos612

sin92cos26

2

2 2

⇔

−

≤+

x x

do cosx≤1 nên bất ñẳng thức cuối cùng luôn ñúng ⇒ ñpcm

Ví dụ 2.1.7

CMR

2

;3

πβα

11

coscos

2

βα

Lời giải :

Từ

2

1cos

;cos02

;

3 ≤ < ⇒ < ≤

Trang 6

<

4

1coscos0

1coscos

0

βα

12

2

2 3

2 2 2

b ab a

a

b a a b a

b

b a a

a b

b a a

a

Bất ñẳng thức cuối cùng ñúng vì a≤1 và 2 −4 =(cos −cos )2 ≥0⇒

βα

sin

Lời giải :

2sinsin2 2 =

;2

ππ

Mặt khác ta có :

sin2(a+b)=sin2acos2b+sin2bcos2a+2sinasinbcosacosb

nên thay cos2b=1−sin2b vào thì bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với :

(a b)

b a b

a

b a b a b

coscossin

sin

coscossinsin2sinsin

Trang 7

Ví dụ 2.1.9

Cho ∆ABC không vuông CMR :

( A B C) A B B C C A C

B

2

tan tan tan

tan tan

tan 9 tan tan

tan 5 tan

cos 4 cos 4

0 1 cos 4 cos

cos 2

0 1 cos 4 2 cos 2 cos 2

4

3 cos 2

2 cos 1 2

2 cos 1

4

3 cos cos

cos

cos cos cos

1 cos

cos

1 cos

cos

1 cos

cos

1 cos

cos

4

cos cos cos

1 8

3 cos

1 cos

1 4 1 cos

1 1 cos

1 1

cos

1

4

tan 1 tan 1 tan 1 8 tan tan

tan 4 tan tan

tan

4

2 2 2

2 2

2

2 2 2 2

2 2

2

2 2 2 2

2 2

2

2 2

2

≥

− +

−

⇔

≥ +

−

⇔

≥ + +

− +

⇔

≥ + +

+

⇔

≥ +

+ + +

⇔

≥ +

+

≤

− +

+

−

B A B

A C

B A C C

C B

A B A

C B

A

C B

A

C B

A

C B A A

C C

B B

A C

B A

C B A C

B A

C B

A

C B

A C

B A

C B

A

⇒ ñpcm

Ví dụ sau ñây, theo ý kiến chủ quan của tác giả, thì lời giải của nó xứng ñáng là bậc

th ầy về biến ñổi lượng giác Những biến ñổi thật sự lắt léo kết hợp cùng bất ñẳng thức

m ột cách hợp lý ñúng chỗ ñã mang ñến cho chúng ta một bài toán thật sự ñặc sắc !!!

Ví dụ 2.1.10

Cho n ửa ñường tròn bán kính R , C là một ñiểm tùy ý trên nửa ñường tròn Trong hai hình quạt nội tiếp hai ñường tròn, gọi M và N là hai tiếp ñiểm của hai ñường tròn với ñường kính của nửa ñường tròn ñã cho CMR : MN ≥ R2 ( 2−1)

Trang 8

N

O1

O2C

= Trong ∆ vuông O1MO có :

α

αα

π

cos1

coscos

cos1

cos2

sin

1 1

R

R R O

O R

Tương tự :

( )

α

αα

α

sin1

sinsin

2 2

2

cos2

sin2cos

1

2cos2.2

cos2sin

2

cos2

sin2cos2

cos1sin1

1cossin

sin1

coscos

1

sin

cossin

1

sincos

sincos1

cos

2 2

++

=

+

++

=

⋅++

⋅+

=

αα

α

αα

α

αα

α

αα

α

αα

α

αα

ααα

R R

R

R R

22

42

cos

αα

2.2 Sử dụng các bước ñầu cơ sở :

Các bước ñầu cơ sở mà tác giả muốn nhắc ñến ở ñây là phần 1.2 Các ñẳng thức, bất ñẳng thức trong tam giác Ta sẽ ñưa các bất ñẳng thức cần chứng minh về các bất ñẳng

th ức cơ bản bắng cách biến ñổi và sử dụng các ñẳng thức cơ bản Ngoài ra, khi tham gia các kỳ thi, tác giả khuyên bạn ñọc nên chứng minh các ñẳng thức, bất ñẳng thức cơ bản

s ử dụng như một bổ ñề cho bài toán

Trang 9

sin

C B A R C B

;

1

B A C A C B C B

cos2

sin2

sin2sinsin

sin

1

C B A C

B A C B A

B A A C C B C

B A

≤

⇔

++

sin2

sin2sin

sin2sin44

7sinsinsin

sinsin

sin2sin41coscos

cosA+ B+ C= + A B C

Bất ñẳng thức ñã cho tương ñương với :

4

3sinsinsin

sinsin

sinA B+ B C+ C A≤ + A+ B+ C

mà :

Trang 10

B A B

A C

A C A

C B

C B C

B A

coscossin

sincos

coscossin

sincos

coscossin

sincos

4

3coscoscos

coscos

cosA B+ B C+ C A≤ A+ B+ C 2

Mặt khác ta có :

2

3coscos

cosA+ B+ C ≤ ⇒( )3 ñúng ⇒( )2 ñúng ⇒ ñpcm

ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC∆ ñều

Ví dụ 2.2.3

Cho ∆ABC b ất kỳ CMR :

coscos4cos21

1cos

cos4cos21

1cos

cos4cos

2

1

≥+

+

++

+

++

cosA+ B+ C≤

4

33

coscos

cos

2

≤+

+

≤+

B A

⇒3+2(cosA+cosB+cosC)+4(cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA)≤9 ( )2

Lời giải :

Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với :

Trang 11

2( ) 4 3 2 2 2 ( )1

c b a S ca

S

b a c B

S

a c b A

4cot

2 2 2

−+

=

−+

=

−+

tan2

tan2tan

3cot

sin

1cot

sin

1cot

sin1

cotcot

cot434sin

1sin

141

≥+

⇔

C B

A

C C

B B

A A

C B

A S S C

B A

C C

B B

A

48

52

sin2

sin2sin

sin2

sin A B + B C + C A− A B C ≤

Ta có :

2

sin2

sin2sin41coscos

cos4

12

sin2

2cos2cos2

sin2sin22cos2cos

2cos

2

cos

B A A

B

A B

A A

Trang 12

12

sin2sin

12

sin2sin

2

2tansin2tansin2

12

sin2sin

2

C A

A C A

C

B C

C B C

++

B A

C A

C

B C

B A

A C C

B B

A

sinsin

2tansin

sin2tansin

sin2

tan21

2

sin2

≥+

+

⇒

2

sin2

sin2sin2coscos

cos4

11coscos

cos4

1coscos

cos

2

1

1coscos

cos4

12

sin2

sin

2

sin

=+

+

=

−+

+

−+

+

≤

−+

+

−+

+

C B

A C

B A

C B

A

C B

A A

C C

B B

A

mà

2

3coscos

cosA+ B+ C≤

8

51coscos

cos4

12

sin2

tan2tancot

cotcot

2 2 2 3

2 2 2

C B A

c b a C

B A

c b a

++

Lời giải :

Ta có :

C B

A

c b a

4cotcot

cot

2 2 2

=+

+

++ nên bất ñẳng thức ñã cho tương ñương với :

Trang 13

( )1

2

tan2

tan2tan64

2 2 2 3

C B A

c b a

Mặt khác ta cũng có :

2sin4

cos22cos

2

2 2

A bc a

A bc bc a

A bc c

b a

=

bc A S

A

A bc A

a

4sin22tan2sin4

2tan

2 2

B

b

42tan

;42tan

2 2

≥

⇒( )1 ñúng ⇒ ñpcm

Ví dụ 2.2.7

CMR trong mọi tam giác ta có :

(1+b+c−bc)cosA+(1+c+a−ca)cosB+(1+a+b−ab)cosC ≤3

Lời giải :

Ta có vế trái của bất ñẳng thức cần chứng minh bằng :

(cosA+ cosB+ cosC) (+[b+c)cosA+(c+a)cosB+(a+b)cosC] (− abcosC+bccosA+cacosB) ðặt :

B ca A bc C ab

R

C b a B a c A c b

Q

C B

A

P

coscos

cos

coscos

cos

coscos

cos

++

=

+++

++

=

++

c A b B

a

b C a A

c

++

=

⇒

=+

coscos

Và ta lại có :

Trang 14

2

22

2cos

coscos

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

c b a R

b a c a c b c b a B ca A bc C

ab

++

=

⇒

−++

−+

=+

+

3

11

13

22

≤

−+

−

=++

−+++

≤++

B A

R

S p

S

r

C B A

S C

B A R S

abc

R

sinsin

sin

sinsinsin28sin

sinsin

sinsinsin28

sinsinsin24

3

++

=+

A

C B A C

B A

S C

B A

S r

R

sinsin

sin

sinsinsin28sin

sinsin22

1sinsinsin22

1

++

sinsinsinsin8

sinsinsin

C B A S

S r

R

++

≥+

mà :

8

33sinsin

sin

2

33sinsin

sin

≤

≤+

+

C B

A

C B

Trang 15

2 2

3

82

++

c

ca ca c b

bc bc b a

ab ab r

ca ca c b

bc bc b a

ab

≤+

++

62

3

8 2 a b c 2r

S pr

2

c b a ca bc

≤++

+

++

ca ca c b

bc bc b a

ab ab r

2

33sinsin

sin

sinsin

sin2

R c b a

C B

A

C B

A R c b

a

≤++

⇒

≤+

+

++

=+

(a b) (b c) (c a)

abc c

b a

abc c

b a

abc p R

S

+++++

=++

33

83

8

2 2

Một lần nữa theo AM – GM ta có :

ca ca c b

bc bc b a

ab ab a c c b b a

abc a

c c b

++

≤+++

≤++++

99

⇒vế phải chứng minh xong⇒Bất ñẳng thức ñược chứng minh hoàn toàn

2 8

2

8

362

cos2

cos2cos

+

R

abc C

c B

b A a

Trang 16

Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 2 Các phương pháp chứng minh

cos2

2 4 4 4

2 8

2

8

C B

A

c b a C

c B

b A

a

++

≥+

2

16

4

92

cos2

cos2cos

S R

abc

C B

z

a c b

y

c b a

x

−+

=

−+

=

−+

yz xy x

z z y y

x

8

2228

⇒( )3 ñúng ⇒ ñpcm

2.3 ðưa về vector và tích vô hướng :

Ph ương pháp này luôn ñưa ra cho bạn ñọc những lời giải bất ngờ và thú vị Nó ñặc

tr ưng cho sự kết hợp hoàn giữa ñại số và hình học Những tính chất của vector lại mang ñến lời giải thật sáng sủa và ñẹp mắt Nhưng số lượng các bài toán của phương pháp này không nhi ều

Ví dụ 2.3.1

Trang 17

0coscos

cos

2

3

0,cos2,cos2,cos

2

3

0

1 3 3

2 2

1

2 3

2

1

≤+

+

⇔

≥+

+

−

⇔

≥+

++

⇔

≥+

+

C B

A

C B

A

e e e

e e

cos2

cos

2

cos

02cos2

cos2

3

0,

cos,

cos2

+

⇔

≥+

++

⇔

≥+

++

⇔

≥+

+

C B

A

B A

C R

R

OA OC OC

OB OB

OA R

Trang 18

O A

cos2

2

2 2

2

12

cos2

cos

02cos22cos22cos2

0.2

2.20

z y x C

xy B zx A

yz

B zx A yz

C xy z

y

x

OA OC zx OC OB yz OB OA xy z

y

x

OC z OB

y

OA

x

++

−

≥+

+

⇔

≥+

++

+

⇔

≥+

++

+

⇔

≥+

+

⇒ ñpcm

2.4 Kết hợp các bất ñẳng thức cổ ñiển :

V ề nội dung cũng như cách thức sử dụng các bất ñẳng thức chúng ta ñã bàn ở chương

1: “Các bước ñầu cơ sở” Vì thế ở phần này, ta sẽ không nhắc lại mà xét thêm một số ví

cot2

sin2

sin3

2

sin2

sin

C B A

C B

A

≥

++

sin2sin

2

cos2

cos2cos2

cot2

cot

C B A

C B A C

B A C

B A

=

=+

+

Trang 19

2

sin2

sin2sin

2

cos2

sin2

cos2

sin2

cos2sin23

2

sin2

sin2sin2

2

cos2

sin2

cos2

sin2

cos2sin

2

sin2

sin2sin

sinsin

C C B B A A

C B A

C C B

B A

A

C B A

C B

A

⋅

≥

++

=

++

=

Suy ra :

( )12

cot2

cot29

2

sin2

sin2sin

2

cos2

sin2

cos2

sin2

cos2

sin2

sin2sin29

2

cot2

sin2

sin2sin

3

C B A

C C B B A A C B A

C B

A C

B A

2

cot2

cot2cotA B C ≥

2

39332

92

cot2

sin2

tancoscos

cosA+ B+ C A+ B+ C ≥

Lời giải :

Vì ∆ABC nhọn nên cosA,cosB,cosC,tanA,tanB,tanC ñều dương

3

coscos

cos

C B A C

B A

≥+

+

C B A

C B A C

B A C

B A

coscoscos

sinsinsintan

tantantan

tan

Trang 20

C B A

C C B B A A

C B A

C C B

B A

A C

B A

C B

A

coscoscos2

cossincossincossin23

coscoscos2

cossincos

sincos

coscos

2sin2sin2sin4

=

++

=

Suy ra :

( )1 tan tan tan 2 9

cos cos cos

cos sin cos sin cos sin cos cos cos 2

9 tan tan tan cos cos

cos

3 3

C B A

C C B B A A C B A C

B A C B

A

=

⋅

≥ +

+ +

9tantantan2

tancoscos

12tan2

tan

12tan2

tan

12

B A

x x x

tan2tanA+ B + C ≥

x x x

cotcot12

x x

g

Theo Jensen thì : 3 3 ( )2

2

cot2

cot2cot A+ B + C ≥

Vậy ( ) ( )1 + 2 ⇒ñpcm

Trang 21

11sin

C B

S z

y x

Ch ứng minh bổ ñề :

Ta có :

( )1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( )2

xyz zx

yz xy z

y x

=

Theo AM – GM ta có :

1 1 1 9 9 ( )3

S z y x z y

++

≥++

Dấu bằng xảy ra trong ( )

xyz zx

Dấu bằng trong ( )6 xảy ra ⇔ ñồng thời có dấu bằng trong ( )( )

35

4 ⇔x= y=z = S

Từ ( )( )( )( )2 3 4 6 ta có :

Trang 22

( )

3 3

2

31272791

=+++

≥

S S

S S VT

Bổ ñề ñược chứng minh Dấu bằng xảy ra ⇔ ñồng thời có dấu bằng trong ( )( )( )3 4 6

3

S z y

sinA+ B+ C≤ vậy ở ñây

2

33

11sin

C B

A

Dấu bằng xảy ra

2

3sin

22cos2

a p p c b

bc bc

a p p c b

bc c

b

A bc

+

=

−+

=+

b p p l

Trang 23

( ) ( )

( )63

33

2

p c

p b p a p

c b a p c

p b p a p

≤

−+

c b

4

3 3 3

−

≥++

b a ca a c bc c b ab b a abc

c b a b a c

c p b p a p p pabc

8

2

3 3 3 2 2

2 2 2 2

=

−+

a a

c b

c c

b a

b b

a abc

c b a R

−+++

c a C

c B

b c B

b A

a

27cos

coscos

Lời giải :

Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với :

C B A B

A

A C

C A

C

C B

B C

cos

sincos

sinsin

cos

sincos

sinsin

Trang 24

27cos

cos

coscos1coscos

coscos1cos

coscos

sinsin

coscos

sinsin

A C C

B

C B B

A

B A

C B A B

A C

B A

C B

A C

B A

−

=+

1

1cos

1

1cos

1

1cos

1,,0

2tan2tan2tan

z

z C

y

y B

x

x A

z y x

C z

B y

A x

1

2tan

1

2tan

1

2tan

z

z C

y

y B

x

x A

2 2

11

2

11

111cos

cos

coscos1

y x

y x y

x

y x

B A

−

+

=+

+

−

++

2cos

cos

coscos1

2

y

y x

x B

A

B A

coscos1

C B C

B

C B

≥

−

tan tan ( )3

coscos

coscos1

A C A

C

A C

≥

− Nhân vế theo vế ba bất ñẳng thức ( )( )( )1 2 3 ta ñược :

A C

A C C

B

C B B

A

B

tantantancos

cos

coscos1coscos

coscos

coscos1coscos

coscos

A C C

B

C B B

A

B A

≥++

p

abc p

c b

3536

Tiêu đề	Chuyên đề bất đẳng thức lượng giác P2 new 2010
Trường học	Trường Thpt Chuyên Lý Tự Trọng Ờ Cần Thơ
Chuyên ngành	Chuyên đề bất đẳng thức lượng giác
Thể loại	Giáo trình
Năm xuất bản	2010
Thành phố	Cần Thơ

Định dạng
Số trang	35
Dung lượng	363,54 KB