Thiết kế bài toán cực trị Vật lý dựa vào các Bất đẳng thức phổ dụng

[C_n nói thêm : Thư ng nh_m Bunhiacovxki là d=n xuDt cAa Savart b>ng cách bình phương 2 v.. Thi$t ra, Bunhiacovxki công b vào năm 1859, trong khi Savart sE d@ng bDt ñRng th6c trong các c

L M BÀN V VI C THI T K BÀI TOÁN C C TR V T LÝ

D A VÀO CÁC B T ð NG TH C PH D!NG

I D#N NH P :

Cu c s ng là chu i quá trình ti n hoá và ñào th i Hoà nh p vào cu c

s ng, con ngư i luôn mong mu n nh"ng s# vi$c, hi$n tư%ng x y ra xung quanh

ta ñ)t ñ n s& t(i ưu (optimum),viên mãn; c g+ng lo)i tr, ñi nh"ng tr- ng)i, kìm hãm bư1c phát tri2n theo quy lu t t# nhiên Nh n th6c ñúng ñ+n v8 khoa h9c v t lý nói riêng và khoa h9c t# nhiên nói chung, thi2n nghĩ v=n không n>m ngoài quy lu t nêu trên M t bi2u hi$n c@ th2 ñáng k2 cAa khoa h9c v t lý là

kh o sát các bi n c ñ2 tìm s# t i ưu : xem xét ñ i lư ng nào ñó trong hi n

tư ng sao cho nó ñ t ñ n tr ng thái c c tr (maximum and minimum) XuDt phát

t, ý tư-ng này, chúng tôi c g+ng thE ñưa ra vài mFu xây d#ng bài toán c#c trI

v t lý lDy chDt li$u chính t, các b t ñ ng th c toán h9c thư ng dùng

II CƠ S7 THI T K :

1 B9t ñ;ng th>c Cauchy : (không m r ng)

Thi t l p năm 1821

ði"u ki n : Cho a, b ≥ 0

N&i dung :

2

a b

ab

+

≥ (Di)n ý : Trung bình c ng 2 s không âm sQ chRng bao gi thua trung bình nhân cAa chúng)

H qu- : DDu “=” x y ra khi a = b

2 B9t ñ;ng th>c Savart : (không m r ng)

ði"u ki n : Cho a, b, x, y bDt kỳ

ax+by ≤ ( a + b )( x + y )

H qu- : DDu “=” x y ra khi x = y = 0 hoZc ay = bx (x, y không ñ[ng th i tri$t tiêu)

3 B9t ñ;ng th>c Bunhiacovxki : (không m r ng)

ði"u ki n : Cho a, b, x, y bDt kỳ

(ax+by) ≤ ( a + b )( x + y )

H qu- : DDu “=” x y ra khi x = y = 0 hoZc ay = bx

H qu- khác : N u a = b = 1 → ( x + y ) 2 ≤ 2( x 2 + y 2 )

[C_n nói thêm : Thư ng nh_m Bunhiacovxki là d=n xuDt cAa Savart b>ng cách bình phương 2 v Thi$t ra, Bunhiacovxki công b vào năm 1859, trong khi Savart sE d@ng bDt ñRng th6c trong các công trình cAa ông mãi t n năm

1884 ! Có th2 : tư tư-ng l1n thư ng gZp nhau chăng ? (Nh/n ñ nh c0a k1 vi t bài này)]

4 B9t ñ;ng th>c Bernoulli :

ði"u ki n : Cho a > g1 và n ∈ N*

N&i dung : (1 + a )n≥ + 1 na

H qu- : DDu “=” x y ra khi a = 0 hoZc n = 1

III PHMN TRƯNG D#N :

1 Dùng b9t ñ;ng th>c Cauchy :

ð3t v4n ñ" :

Có n ñi$n tr- khác nhau : R1, R2, ……, Rn N u m+c chúng n i ti p thì ñi$n tr- tương ñương là Rtñ N u m+c chúng song song m i nhánh m t ñi$n tr- thì ñi$n tr- tương ñương là R’tñ Ch6ng minh r>ng : 2

' td td

R n

R ≥ Trư ng h%p nào x y ra dDu “=” ?

Tìm hi8u :

Ta có : Rtñ = R1 + R2 + …… + Rn

V n d@ng bñt Cauchy cho n s không âm :

R1 + R2 + …… + Rn n 1 2

n

n R R R

Ta có :

1 2

R = R + R + + R

V n d@ng bñt Cauchy cho n s không âm :

n

n

n

n

⇔ + + + ≥

(2)

LDy (1) x (2) v theo v ta ñư%c : 2

' td td

R n

R ≥ (ñpcm) DDu “=” x y ra khi n ñi$n tr- có trI s b>ng nhau

2 Dùng b9t ñ;ng th>c Bunhiacovxki :

ð3t v4n ñ" :

Dùng dây kéo v t có kh i lư%ng m trư%t ñ8u trên mZt ngang Dây nghiêng góc α lên trên so v1i phương ngang H$ s ma sát trư%t là q

Ph i kéo l#c F ít nhDt bao nhiêu ? Lúc ñó, c_n nghiêng góc α mDy ñ ?

ThE s li$u : m = 50 (kg), q = 0,5, g = 10 (m/s2)

α

Tìm hi8u :

Phân tắch l#c tác d@ng vào v t, vi t bi2u th6c ựInh lu t II Newton, chi u bi2u th6c lên 2 phương Ox, Oy phù h%p và t, ựó tìm ựư%c :

( )

os + sin

m a g F

c α α

+

=

ThDy r>ng : Fmin → (cosα + qsinα)max

V n d@ng bựt Bunhiacovxki :

2

2 max

os + sin 1+

( os + sin ) 1

c

c

≤

Do ựó :

( ) 50(0 0,5.10)

100 5 223, 6

1 0, 25 1

m a g

+

MZt khác, dDu Ộ=Ợ x y ra khi sinα = qcosα → q = tgα

→ α = arctg q = arctg 0,5 ≃ 26033Ỗ

3 Dùng b9t ự;ng th>c Bernoulli :

đ3t v4n ự" :

Xác ựInh l#c hút m)nh nhDt cAa trái ựDt ự i v1i tàu vũ tr@ ỘPhương đôngỢ ựang - ự cao h ?

ThE s li$u : m = 2 (tDn), h = 320 (km), lDy g0 = 10 (m/s2), R = 6400 (km)

Tìm hi8u :

Thi t l p các bi2u th6c g0, gh r[i suy ra :

 +   + 

Ta có : (Ph)max n u

2

1 h R

 + 

 

 

V n d@ng bñt Bernoulli :

2

1 h 1 2h

 +  ≥ +

 

 

2 min

1 h 1 2h

 

⇒ +  = +

 

ax

( )

1 2

h m

mg P

h R

= +

=

3

4

10 10 10

.10 9, 09

320 11

1 2 6400

=

(kN)

IV LTI B T :

Chúng tôi rDt mong nh n ñư%c nh"ng ch thi u sót trong chuyên ñ8 này ñ2 rút kinh nghi$m và cũng rDt mong nh?ng m@u thi t k mAi “ñBp” hơn t, các th_y trong t~ V t lý g K€ thu t

T V t lý K thu t

Trư ng THPT Tôn ð c Th#ng