Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt đáy trung với điểm H sao cho HC =2HA , biết tam giác SAC là tam giác vuông tại S.. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SA
Trang 1VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 2 KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG BẤT KÌ
Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C có BC= AC=3a Hình chiếu
vuông góc của đỉnh S trên mặt đáy trung với điểm H sao cho HC =2HA , biết tam giác SAC là tam giác vuông tại S Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SB và AC
Lời giải:
Ta có: AC=3a⇒HA=a HC; =2a
Lại có SAC∆ vuông tai S có đường cao SH nên ta có:
Dựng Bx/ /AC , dựng HE ⊥Bx , HF ⊥SE
Ta có Bx⊥SH ⇒BE⊥(SHE)⇒BE⊥HF
Mặt khác HF ⊥SE⇒H F ⊥(SBE)
Do Bx/ /AC⇒d SB AC( ; )=d AC SBE( ;( ) )
( ; )
Lại có: 1 2 12 12
HF = SH + HE , trong đó HE=BC=3a suy ra
;
HF = ⇒ SB AC =
Ví dụ 2: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB là tam giác đều cạnh 2a và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy , biết mặt phẳng (SCD) tạo với đáy một góc 60 Tính 0
khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BD
Lời giải:
Gọi H là trung điểm của AB ta có AH ⊥AB, mặt
khác (SAB) (⊥ ABCD) nên SH ⊥(ABCD)
60
HK ⊥CD⇒CD⊥ SHK ⇒SKH =
Ta có: SH =a 3, mặt khác 0
tan 60
HK =SH Suy ra HK =a; SA=AB=2a
Dựng Ax/ /BD , dựng HE ⊥Ax , HF ⊥SE
Ta có Ax⊥SH ⇒AE⊥(SHE)⇒ AE⊥HF
Mặt khác HF ⊥SE⇒H F ⊥(SAE)
Do Ax/ /ABD⇒d SA BD( ; )=d BD SAE( ;( ) )
( ; ) 2 ( ( ) ) 2
Dựng HM ⊥BD AN; ⊥BD ta có:
2 2
AB AD a
HE HM AN
AB AD
Tài liệu bài giảng (Chương trình Pro-S)
KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG – P2
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
Trang 2Khi đó: 1 2 12 12 2 3 4 3
Ví dụ 3: [ĐVH] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B AB, =a BC, =2a, cạnh 2
SA= a và SA⊥(ABC) Gọi M N lần lượt là trung điểm của , AB SC ,
b) Tính khoảng cách giữa AB SC ,
Lời giải:
SA BC
⊥
⊥
Khi đó ta có: 1
2
BN = AN= SC ( tính chất trung tuyến trong tam giác vuông)
Do đó tam giác NAB cân tại N có trung tuyến NM suy ra
b) Kẻ Cx/ /AB⇒d AB SC( ; ) (=d AB SCx; )=d A SCx( ;( ) )
Dựng AE Cx AF⊥ ; ⊥SE Do CE AE CE AF
CE SA
⊥
⊥
suy raAF⊥(SCE) Ta có: AE=BC=2a
AE SA
Ví dụ 4: [ĐVH] Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Tam giác SAD đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:
a) AC và SB
b) AD và SB
Lời giải
Mặt khác (SAD) (⊥ ABCD)⇒SH ⊥(ABCD)
Trong đó sin 600 3
2
a
SH =S A =
Dựng Bx/ /AC⇒d AC SB( ; )=d AC SBx( ;( ) )
Gọi G= AO∩BH ⇒G là trọng tâm tam giác ABD
Khi đó ( ( ) ) ( ( ) ) 3 ( ( ) )
2
d AC SBx =d G SBx = d H SBx
Dựng HE⊥Bx HF; ⊥SE Do BE HE BE HF
BE SH
⊥
⊥
từ đó suy raHF ⊥(SBE) Gọi K =AO∩HE ta có:
OB a
HE=HK+KE = OD OB+ = =
;
SH HE
Ví dụ 5: [ĐVH] Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ′ ′ ′ có đáy ABC là tam giác cân tại
0
, 120 ,
a) BB′ và AC
Trang 3b) BC và AC′
Lời giải:
a) Ta có: BB'/ /CC'⇒BB'/ /(ACC')
do vậy d BB AC( '; ) (=d BB ACC'; ')
Dựng BE⊥ AC, mặt khác BE⊥CC' suy ra
sin sin 60
2
a
BE=BA BAE=BA =
b) Dựng Ax/ /BC⇒d BC C A( ; ' )=d BC CAx( ;( ) )
( ; ' )
d C C Ax
Dựng CE⊥Ax AF; ⊥C E' Do
'
AE CE
AE CC
⊥
⊥
AE CF
⇒ ⊥ từ đó suy raCF ⊥(C AE' )
Trong đó ( ; ) sin
2
a
CE=d A BC = AB ABC=
'
CE CC
+
Ví dụ 6: [ĐVH] Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a AD; =a 3,
tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi H là trung điểm của AB Tính khoảng
cách
Lời giải:
2
AB= HB⇒d A SBD = d H SBD
Trang 4Kẻ HE⊥BD E( ∈BD)và HI ⊥SE I( ∈SE)
Ta có:
3 sin
;
4
HF AC F AC HF SH d SH AC AH HAF
d) d SB CD( ; )=d CD SAB( ;( ) )=CB=a 3
e) d BC SA( ; )=d BC SAD( ;( ) )=BA=a
f) Qua C kẻ đường thẳng song song với BD và cắt HE tại L Kẻ EM ⊥SL M( ∈SL) EG/ /SH G( ∈SL)
Ta có: d BD SC( ; )=d BD SLC( ;( ) )=d E SLC( ;( ) )=EM
2 2 2 2
EM EL EG a
Ví dụ 7: [ĐVH] Cho hình chóp tam giác SABC, đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a Gọi I là trung điểm
của BC, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc đoạn AI sao cho 1
2
=
AH HI Biết góc giữa SC và mặt đáy bằng 600 Tính khoảng cách
a) từ M tới mặt phẳng (SAI), với M là trung điểm của SC
b) giữa hai đường SA và BC
c) giữa hai đường SB và AM, với M là trung điểm của SC
Lời giải:
Hướng dẫn:
Ta tính được: 3 3
3
a
Tam giác HCI vuông tại I
3
a
→ = =
a) Từ M tới mặt phẳng (SAI), với M là trung điểm của SC
Từ M kẻ MF / / SA(→AF=FC)⇒MF / / SAI( )⇒d M ; SAI( ( ) )=d F ; SAI( ( ) )
⊥
⊥
b) Khoảng cách giữa hai đường SA và BC
Từ A kẻ AD / / BC AD=BC⇒BC / / SAD( )
Khi đó d SA;BC( )=d BC; SAD( ( ) )=d I , SAD( ( ) )=3d H ; SAD( ( ) )
Trang 5Kẻ HK⊥SA ta có: ( ) ( ) ( ( ) ) 7
22
⊥ → ⊥ ⇒
⊥ → = =
⊥
3 22
c) Khoảng cách giữa hai đường SB và AM, với M là trung điểm của SC
Ta có:
SB / / AMI
SBE / / AMI
MI / / SB
→
⇒
→
15
⊥
→ ⊥ → ⊥ → ⊥ → = =
⊥
Ví dụ 8: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a 2; AD=2a Biết tam giác SAB là tam giác cân tại S và có diện tích bằng
2 6 6
a Gọi H là trung điểm của AB Tính khoảng
cách
a) từ A đến (SBD)
b) giữa hai đường thẳng SH và BD
c) giữa hai đường thẳng BC và SA
Lời giải:
Hướng dẫn:
a)Khoảng cách từ A đến (SBD)
Tam giác SAB cân tại S, H là trung điểm AB nên SH ⊥AB⇒SH ⊥(ABCD)
Ta có: d A; SBD( ( ) )=2d H ; SBD( ( ) )
Kẻ HE BD HE BD BD (SHE) BD HI
SH BD
⊥
⊥
Trang 6Lại có: BD HI ( ) ( ( ) )
HI SBD d H ; SBD HI
HI SE
⊥
⊥
Dễ dàng tính được: 3; .sin 3
SH = HE=HB ABD=
Xét tam giác vuông SHE có: 12 12 12 ( ( ) ) 2
HI d A; SBD
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng SH và BD
3
a
HF∈ SHF →BD / / SHF ⇒d SH ; BD =d BD; SHF =HE=
c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SA
Ta có: BC / / SAD( )→d BC; SA( )=d BC; SAD( ( ) )=d B; SAD( ( ) )=2d H , SAD( ( ) )
Kẻ HK⊥SA K( ∈SA)
Khi đó: AD (SHA) AD HK ( )
⊥ → ⊥
→ ⊥
⊥
d H ; SAD HK d BC; SA
Thầy Đặng Việt Hùng