KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC Ví dụ 1: [ĐVH].. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh 2a , tam giác ABC đều, hai mặt phẳng SAB và SAC cùng vuông góc với đáy và mặt
Trang 1VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 1 KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh 2a , tam giác ABC đều, hai mặt phẳng
(SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy và mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60 Tính khoảng 0 cách giữa các đường thẳng sau:
a) SA và BD
b) BD và SC
Lời giải:
a) Ta có: ( ) ( )
⊥
⊥
Gọi I là tâm hình thoi ta có: AI BD
⊥
⊥
nên AI là đường vuông góc chung do vậy ta có:
2
AC
b) Ta có: BD SA ( )
⊥
⊥
Dựng IK ⊥SC ta có IK là đường vuông góc
chung của BD và SC Dựng AE⊥BC, ta có
60
Do ABC∆ đều nên AE=ABsin 600 =a 3
Suy ra SA= AEtan 600 =3a
Khi đó dựng AF ⊥SC suy ra
2
AF
13
a AF
;
13
a
Ví dụ 2: [ĐVH] Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có AB=2 ;a AD=a, hình chiếu
vuông góc của S trên mặt đáy là trung điểm H của AB Biết SC tạo với đáy một góc 60 , tính khoảng cách 0
giữa 2 đường thẳng SD và HC
Lời giải:
KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG – P1
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
Trang 2Ta có H là trung điểm của AB nên HA=HB=a
Khi đó HC= HB2+BC2 =a 2
Lại có SCH=600 ⇔SH =HCtan 600 =a 6
Dễ thấy HD=HC=a 2;CD= AB=2a nên tam
giác DHC vuông cân tại H ta có CH DH
⊥
⊥
CH ⊥ SHD , dựng HK ⊥SD suy ra HK là đường
vuông góc cung của HC và SD
3
a HK
3
a
Ví dụ 3: [ĐVH] Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD)
cùng vuông góc với đáy Biết góc giữa SB và mặt phẳng đáy bằng 60 Tính: 0
a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SA , AD và SB
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC
Lời giải:
a) Ta có ( ) ( )
⊥
SA ABCD
Ta có AB BC AB d SA BC( , ) a
⊥
⊥
Kẻ AH ⊥SB
⊥
⊥
⊥
⊥
2
Kẻ AK ⊥SC
Ta có Cx SA Cx (SAC) Cx AK
⊥
⊥
mà AK ⊥SC⇒ AK ⊥(SCx)⇒ AK =d A SCx( ,( ) )
Ta có SA= AB tanSBA =a tan 600 =a 3 , AC = AB2 +BC2 = a2 +a2 =a 2
,
Ví dụ 4: [ĐVH] Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a Gọi M N P Q, , , lần lượt là trung điểm của
a) Chứng minh rằng MN ⊥PQ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN PQ,
b) Gọi G là trọng tâm tam giác BCD Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AG BC,
Trang 3Lời giải:
a) Gọi K là trung điễm của BC , O là giao điễm của
PK và MN
Ta có MD=MC⇒MN ⊥DC⇒MN ⊥PQ( )1
( )2
NA=NB⇒MN ⊥ AB⇒MN ⊥KQ
Từ ( ) ( )1 , 2 ⇒MN ⊥(PQK)
Kẻ OH ⊥PQ
Vì MN ⊥(PQK)⇒MN ⊥OH mà OH ⊥PQ
OH d MN PQ
2
a
Tam giác PQK cân tại Q ⇒QO⊥PK
2 2
2 2
a
Xét POQ∆ : 1 2 12 12 12
4
OH a d MN PQ
b) G là trọng tâm tam giác BCD⇒AG ⊥(BCD)
Ta có GK AG GK d AG BC( , )
⊥
⊥
2
a
,
a
Ví dụ 5: [ĐVH] Cho hình lập phương ABCDA B C D′ ′ ′ ′ cạnh a Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:
a) AC′ và BD
b) AC′ và DA′
Lời giải:
a) Gọi O là giao điễm của AC và
BD , M là trung điễm của CC '
Ta có OM / /AC '
d AC BD d AC MBD
d A MBD d C MBD
Kẻ CH ⊥MO
CH d C MBD
', 6
a
b) Kẻ AN / / 'A D⇒d AC DA( ', ')=d A D ANC( ' ,( ') )=d A( ',(ANC') )
Kẻ A E' ⊥C N' , A F' ⊥ AE⇒ A F' ⊥(ANC')⇒ A F' =d A( ',(ANC') )
a
Trang 4Ví dụ 6: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với
AB BC a AD a Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc AB với
AH =HB Biết góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 600
a) tính góc giữa CD và SB
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD)
c) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC)
d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB
e) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SE với E là điêm thuộc AD sao cho AE = a
Lời giải:
a) Dựng HI ⊥CD dễ thấy CD⊥(SHI) Gọi K =AB∩CD
Ta có :KB=4 ,a AB=2 ,a AH =a⇒KH =5a
HI
Mặt khác: HC= 5, dễ dàng suy ra I ≡C
(Chú ý: ở đây các e có thể sử dụng ∆HCD để c/m HCD=900, cách trên tổng quát hơn)
Xét ∆SHI vuông tại H ta có: tanSHI SH tan 600 SH 15a
HC
Dựng BE//CD tính SBE : Xét ∆SBE SB, =4 ,a BE =a 5,SE=a 17
cos
2 5
SBE
c) Do AD // BC ta có: ( ; ( )) ( ; ( )) ( ; ) 2 ( ; ) 15
2
2
e) Dễ thấy HE // BJ mặt khác BJ ⊥AC ( do ABCJ là hình vuông (CJ//AB))
d AC SE =d N SE = d H SE = a
Trang 5Ví dụ 7*: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AD > AB = 2a Gọi M là trung điểm cạnh CD, tam giác SAM cân và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Biết
SD ABCD = với cos α 7
13
= và khoảng cách từ A tới mặt phẳng (SCD) bằng 6
5
a
a) Tính khoảng cách từ C đến (SAD)
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và DN, với : 2
7
Lời giải:
a) Gọi H là trung điểm của AM do tam giác SAM cân và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên ta có:
SH ⊥ AM ⇒SH ⊥ ABCD
Ta có: d A SCD( ;( ) )=2d H SCD( ;( ) )=2HK
Khi đó: 3
5
a
HK = và có SDH=α
Đặt SH =h HM; =x có 1
2
7
HD x và 2 2 2
9
Khi đó: d C SAD( ;( ) )=2d M( ;(SAD) )=4d H SAD( ;( ) )
a
HI ⊥ AD⇒HI = CD= , dựng HJ ⊥SI ta có
4226
HI SH
+
b) Lại có : 1 2 2 2 1 2
Do đó: AM ⊥DN , gọi F =DN∩AM khi đó dựng FG⊥SA ta có FG là đường vuông góc chung của
13
a
Khi đó:
9 13 9
2
3289
a
+