De tai ung dung dinh ly viet de giai toan

Biện pháp 2: Dạy học theo các dạng bài tập- Tái hiện các kiến thức cơ bản trong SGK về Định lí Vi-et và ứng dụng của Định lí Vi-et: Điều kiện để có hai số đó là S2  4P 0 - Hướng dẫn và

II Biện pháp 2: Dạy học theo các dạng bài tập

- Tái hiện các kiến thức cơ bản trong SGK về Định lí Vi-et và ứng dụng của Định lí Vi-et:

Điều kiện để có hai số đó là S2  4P 0

- Hướng dẫn và lưu ý cho học sinh các bài toán có chứa tham số và phân loại các dạng bài tập nhất là các bài toán có thể đưa về bài toán bậc hai quen thuộc đối với học sinh

- Phân tích nhận biết các dấu hiệu chung, nhận biết các tính chất để làm xuất hiện các hệ thức có chứa các dấu hiệu cần tìm

- Trong quá trình tìm tòi và giải bài tập tôi đã hướng dẫn và phân loại

cho các em một số dạng bài tập có ứng dụng Định lí Vi-et như:

1 Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

1.1 Dạng đặc biệt: Phương trình bậc hai có một nghiệm là 1 hoặc – 1

Cách làm: Xét tổng a + b + c hoặc a – b + c

Ví dụ 1: Nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a) 3x2  8x 11  0 b) 2x2  5x 3  0

a) Ta có: abc 3  8  (  11 )  0 nên phương trình có một nghiệm là x1  1, nghiệm còn lại là 2   113

a

c x

b) Ta có: a bc 2  5  3  0 nên phương trình có một nghiệm là x1   1,nghiệm còn lại là 2  23

a

c x

1.2 Cho phương trình bậc hai, có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm, tìm nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số chưa biết của phương trình:

- Câu a và b ta làm như sau:

+ Thay giá trị nghiệm vào phương trình để tìm hệ số p hoặc q

+ Áp dụng định lí Vi-et viết hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm (tổng hoặc tíchhai nghiệm) để tính nghiệm còn lại

Giải:

a) Thay x1  2 vào phương trình ta được 4  4p 5  0

4

9 0





 x x

Từ 5 5 25

1 2 2

x x x

2

9 2

9 2

9

1 2

2

1 x   x   x   

Câu b tương tự

- Câu c và d: vì vai trò của hai nghiệm là như nhau nên ta làm như sau:

+ Viết hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm theo đề bài kết hợp với một hệ thức của Định lí Vi-et để tìm các nghiệm đó

1 2 1

x x x x

50 2

50

2

2 2

2 2

2 2

x x

x x

2.1.Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm

Ví dụ 3: Lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm là 3 và 2

5 2 3 2

1 2 1

x x P

x x S

Vậy 3 và 2 là hai nghiệm của phương trình: x2  Sx P   0

hay 2 5 6



 x x

Bài 3: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là:

c) 1  2 và 1  2 d) 2  3 và

3 2

Cho phương trình x2  3x 2  0có hai nghiệm x1; x2

Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm

2 1 2 1 2 1

1

;

1

x x y x x

2 1 2 1

2

1          

x x y x

x y

+ Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm y1; y2 (dạng 2.1)

2

9 2

3 3

2

9 2

3 3

2

1

2 1

9 2





 y y

9 2

3 3 )

( 1 1 ) ( 1 1

2 1

2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 2 2

x x x x x x x x x

x x x y y

S

2

9 2

1 1 1 2 1 1 1 )

1 ).(

1

(

2 1 2

1 2

1

1

x x x

x x

1

;

1

x x y x x

Nhận xét:

- Nếu làm theo Cách 1: Phương trình 3x2  5x 6  0 có

97 ) 6 (

; 6

97 5

2 1

6 1

; 97 5

6 1

1 2 2 2

5

2 1 2

- Cách 1 chỉ thích hợp khi phương trình ban đầu có nghiệm x1; x2 là hữu tỉ

do đó nên chọn Cách 2 để việc tính toán đơn giản và nhanh hơn, cụ thể:

Theo Định lí Vi-et, ta có:

5 2 3 5 3

5 )

( 1 1 ) (

1 1

2 1

2 1 2 1 2 1 2 1 1

2 2 1 2

x x x x x x x x x

x x x

1 1 1 2

1 1 1 )

1 ).(

1 (

2 1 2

1 1

2 2

x x

x x x

5 2

4 1

Bài 7 : Cho phương trình 2 2 2 0

3 3

2 1

x x

x x

Hướng dẫn: - Giải hệ phương trình tìm x1; x2

- Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1; x2tìm được

3 Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

Giải phương trình trên ta được x1 1 ;x2   4

Vậy nếu a = 1 thì b = - 4; nếu a = - 4 thì b = 1

* Lưu ý: không phải lúc nào ta cũng tìm được hai số thỏa mãn yêu cầu đề bài

Ví dụ 7: Tìm hai số a và b biết S = a + b = 3, P = ab = 6

Giải:

Hai số a và b là nghiệm của phương trình x2  3x 6  0

0 15 24 9 6 1 4

Phương trình vô nghiệm nên không tồn tại hai số a và b thỏa mãn đề bài

* Lưu ý: Với trường hợp này ta cũng có thể nhận xét ngay

0 15 24 9 6 4 3

cầu đề bài mà chưa cần lập phương trình

Bài tập áp dụng:

Bài 9 : Tìm hai số biết tổng S = 9 và tích P = 20

Bài 10: Tìm hai số x, y biết:

a) x + y = 11; xy = 28 b) x – y = 5; xy = 66

Bài 11: Tìm hai số x, y biết: x2 y2  25;xy 12

4 Dạng toán về biểu thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai

* Cách biến đổi một số biểu thức thường gặp:

Và tương tự học sinh có thể biến đổi được nhiều biểu thức theoS x1 x P x x2 ;  1 2

4.1 Tính giá trị của biểu thức chứa nghiệm

Với dạng toán này ta không giải phương trình để tìm nghiệm mà biến đổi biểu thức cần tính giá trị theo tổng và tích các nghiệm, sau đó áp dụng Định lí Vi-et

Ta lần lượt làm theo các bước sau:

+ Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm x x1 ; 2 (a   0; 0)+ Viết hệ thức Sx1 x P x x2 ;  1 2

Nếu S và P không chứa tham số thì ta có hệ thức cần tìm

Nếu S và P chứa tham số thì khử tham số từ S và P sau đó đồng nhất các vế ta được hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số

Ví dụ 9: Cho Phương trình mx2  (2m 3)x m  4 0  ( m là tham số)

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1 ; 2

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x x1 ; 2 không phụ thuộc vào m

Ví dụ 10: Gọi x x1 ; 2 là nghiệm của phương trình (m 1)x2  2mx m  4 0 

Chứng minh biểu thức A 3(x1 x2 ) 2  x x1 2  8 không phụ thuộc giá trị của m

Nhận xét:

Bài toán này cho trước biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình nhưng về nội dung không khác Ví dụ 9 Khi làm bài cần lưu ý:

+ Ta vẫn tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm

+ Biểu thức A có giá trị là một số xác định với mọi m thỏa mãn điều kiện

m

x x

m m

x x m

Bài 12 : Cho phương trình x2  (m 2)x 2m 1 0  có hai nghiệm x x1 ; 2 Hãy lập

hệ thức liên hệ giữa x x1 ; 2sao cho chúng độc lập (không phụ thuộc) với m

Bài 13: ( Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2008 – 2009)

+ Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm x x1 ; 2

+ Từ biểu thức chứa nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức Vi-et để giải phương trình tìm m

+ Đối chiếu với điều kiện để xác định m

Ví dụ 11: Cho phương trình mx2  6(m 1)x 9(m 3) 0  Tìm giá trị của tham số

m để phương trình có hai nghiệm x x1 ; 2 thỏa mãn x1 x2 x x1 2

m

x x

m m

Vậy với m = 7 thì phương trình có hai nghiệm x x1 ; 2 thỏa mãn x1 x2 x x1 2

Ví dụ 12: Cho phương trình mx2  2(m 4)x m   7 0 Tìm giá trị của tham số m

để phương trình có hai nghiệm x x1 ; 2 thỏa mãn x1  2x2  0

Nhận xét:

Ví dụ này khác ví dụ 11 ở chỗ hệ thức không chứa sẵn x1 x2 và x x1 2 nên

ta không thể áp dụng ngay hệ thức Vi –et để tìm tham số m

Vấn đề đặt ra là ta phải biến đổi biểu thức đã cho về biểu thức chứa x1 x2 và

m m

m

x x

m m

Hai vế của đẳng thức đều chứa x1 x2 nờn rỳt gọn đi để được 2 x x 1 2

Điều này sai vỡ cú thể cú trường hợp x1 x2 = 0

Do đú ta phải chuyển vế để đưa về dạng tớch:

- Ta thấy m = - 1 khụng thỏa món (*) nờn loại

Vậy m = 1 hoặc m = 5 là giỏ trị cần tỡm

m để hai nghiệm x x1 ; 2 thỏa món x1 2x2  1

Bài 16: Cho phương trỡnh x2  (2m 1)x m  0

a) Chứng tỏ rằng phương trỡnh luụn cú nghiệm với mội m

b) Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm x x1 ; 2 thỏa món x1  x2  1

Bài 17: Cho phương trỡnh x2  (2m 1)x m 2   2 0 Tỡm giỏ trị của tham số m để hai nghiệm x x1 ; 2 thỏa món 3x x1 2  5(x1 x2 ) 7 0  

4.4 Tỡm giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

Cỏch làm: Cũng tương tự như những dạng bài trờn ta ỏp dụng hệ thức Vi – et để

biến đổi biểu thức đó cho rồi tỡm giỏ trị lớn nhất( nhỏ nhất)

Vớ dụ 14: Cho phơng trình : x2 (m 1)x m 2m 2 0

Gọi 2 nghiệm là x1 và x2 tìm giá trị của m để x12x22 đạt giá trị nhỏ nhất

Giải:

Cho phương trình m4  1x2  m x2  (m2  2m 2) 0  (1)

a) Giải phương trình (1) khi m = 1

b) Gọi x x1 ; 2 là nghiệm của phương trình (1).Tìm giá trị lớn nhất của x1 x2Bài 21: (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2008 – 2009)

Cho phương trình x2  (3m 1)x 2(m2  1) 0  (1) ,(m là tham số)

a) Giải phương trình (1) khi m = 2

b) Chứng minh (1) luôn có nghiệm với mọi m

c) Gọi x x1 ; 2 là hai nghiệm của (1), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Khi xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai có thể xảy ra cáctrường hợp sau: hai nghiệm trái dấu, cùng dấu ( cùng dương hoặc cùng âm) Dấucủa các nghiệm liên quan với ; S; P như thế nào?

  nên hai nghiệm cùng dấu âmTương tự với phần b và c

b) P = 40 > 0; S= 13 > 0 nên hai nghiệm cùng dấu dương

Bài tập áp dụng:

Bài 23: Cho phương trình x2  2(m 1)x 2m 3 0  (1)

a) Chứng minh (1) luôn có nghiệm với mọi m

b) Tìm giá trị của m để (1) có hai nghiệm trái dấu

c) Tìm giá trị của m để (1) có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia

Bài 24: (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2007 – 2008 )

Cho phương trình x2  5x m  0

a) Giải phương trình với m = 6

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương

Bài 25: Cho phương trình x2  2(m 3)x 4m 1 0 

a) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

Bài 26 : Xác định m để phương trình

a) mx2  2(m2)x3(m 2)0 có hai nghiệm cùng dấu

b) (m 1)x2  2x m 0 có ít nhất một nghiệm không âm

* Lưu ý: phần b: xét các trường hợp phương trình có:

+ hai nghiệm cùng dương

CHƯƠNG III: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

1 Mục đích thực nghiệm

- Kiểm tra, đánh giá hiệu quả đạt được của đề tài nghiên cứu

- Thấy được những hạn chế, tồn tại để có những bổ xung, biện pháp khắc phục để đề tài được hoàn thiện và có chất lượng

2 Nội dung thực nghiệm

KẾ HOẠCH DẠY HỌC

Giáo án: HỆ THỨC VI – ÉT VÀ ỨNG DỤNG ( TIẾT 1)

I MỤC TIÊU

- Tái hiện, giúp học sinh nắm vững Định lí Vi –ét và các ứng dụng đã biết

- Thực hiện thành thạo các dạng toán ứng dụng của Định lí Vi-ét như:Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai, lập phương trình bậc hai, tìmhai số biết tổng và tích của chúng

- Rèn kĩ năng vận dụng kiến thức linh hoạt để giải bài tập

II CHUẨN BỊ

Giáo viên: SGK, hệ thống bài tập

Học sinh: SGK, ôn tập kiến thức về phương trình bậc hai

III CÁC HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC

lí Vi-ét đã đưa ra trong sách giáo khoa

HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH

- Yêu cầu HS nêu định lí Vi-ét - Nêu định lí: Nếu x x1 ; 2 là nghiệm của

- Yêu cầu HS nhắc lại cách nhẩm

nghiệm của phương trình bậc hai

trong trường hợp này

b) Ta có: a bc 2  5  3  0nên phương trình có một nghiệm là

- Nhận xét

* Cho phương trình bậc hai, có một

hệ số chưa biết, cho trước một

nghiệm, tìm nghiệm còn lại và hệ số

chưa biết của phương trình như thế

nào?

Ví dụ 2: Cho phương trình

0 5

(?) Cách làm bài như thế nào? + Thay x = 2 vào phương trình để tìm p

+ Viết hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm

để tính nghiệm còn lại

- Gọi HS lên bảng làm bài Thay x1  2 vào phương trình ta được

0 5 4

4  p 

4

9 0





 x x

Theo Định lí Vi-ét ta có:

2

5 5 5

1 2 2

x x x

x

2

9 2

9 2

9

1 2

hai có nghiệm ta có thể tính được tổng

và tích của chúng Ngược lại biết hai

số có tìm được phương trình bậc hai

nào nhận chúng làm nghiệm hay

2 0

x  Sx P   hay x2 5x  24= 0

Bài tập nâng cao: Lập phương trình

bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu

thức chứa hai nghiệm của một

phương trình cho trước

Ví dụ 4: Phương trình 2 2 8 0





 x x

có hai nghiệm x1; x2.Hãy lập phương

(?) Muôn lập được phương trình bậc

hai có nghiệm y y1 ; 2 ta phải làm gì? - Tính tổng và tích hai nghiệm

- Giới thiệu các cách giải:

cách 2: không trực tiếp tính các nghiệm2

Hay y2  4y 5 0 

Dạng 3 Tìm hai số biết tổng và tích

của chúng

(?) Muốn tìm hai số biết tổng và ích

của chúng ta làm như thế nào?

- NÕu hai sè cã tæng bằng S vµ tÝch bằng

P th× hai số đó lµ hai nghiÖm cñaph¬ng tr×nh: x2  Sx P   0 Điều kiện để có hai số đó là 2 4 0



 P S

- Gọi HS lên bảng làm bài

- Lưu ý: Với trường hợp này ta cũng

có thể nhận xét ngay

0 15 24 9 6 4 3

2  P      

S

nên không tồn tại hai số a và b thỏa

mãn yêu cầu đề bài mà không cần lập

0 15 24 9 6 1 4

3 2      



Phương trình vô nghiệm nên không tồntại hai số a và b thỏa mãn đề bài

- Ôn tập các dạng toán ứng dụng Định lí Vi-ét

Bài 2: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1; x2thỏa mãn

3 3

2 1

x x

x x

Hướng dẫn: - Giải hệ phương trình tìm x1; x2

- Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1; x2tìm được

Giáo án: HỆ THỨC VI – ÉT VÀ ỨNG DỤNG ( TIẾT 2)

I MỤC TIÊU

- Giúp học sinh nắm vững Định lí Vi-ét và các ứng dụng của định lí để giải bài toán bậc hai

- Thực hiện thành thạo các dạng toán ứng dụng của Định lí Vi-ét về liên

hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai, xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

- Rèn kĩ năng vận dụng kiến thức linh hoạt để giải bài tập

II CHUẨN BỊ

Giáo viên: Hệ thống bài tập

Học sinh: SGK, ôn tập kiến thức về phương trình bậc hai

III CÁC HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC

3 3

2 1

x x

x x

3 Bài mới

Đặt vấn đề: Định lí Vi-ét có ứng dụng rất đa dạng trong việc giải bài toán bậc hai Ngoài các dạng toán cơ bản đã đưa ra trong sách giáo khoa chúng ta sẽ tìm hiểu thêm các ứng dụng khác của định lí Vi-ét

HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH

Dạng 4: Liên hệ giữa các nghiệm của

phương trình bậc hai

- Hướng dẫn HS thực hiện một số cách

biến đổi các biểu thức nghiệm theo tổng

và tích các nghiệm của phương trình

- Ghi bài, suy nghĩ làm bài

- Không giải phương trình do đó ta

không trực tiếp tính được các nghiệm

của nó Vậy làm thế nào để tính giá trị

các biểu thức trên?

- Áp dụng định lí Vi-ét viết hệ thứcliên hệ giữa hai nghiệm

- Biến đổi các biểu thức theo x1 x2 và

thể tính giá trị các biểu thức nghiệm dễ

dạng mà không cần biết giá trị các

nghiệm đó

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm

của phương trình không phụ thuộc

tham số

c)Tìm giá trị của tham số thỏa mãn

biểu thức nghiệm cho trước

m

x x

m m

(?) Muôn tìm giá trị nhỏ nhất của A ta

1 2

1 2

4 1 2( 4)

(?) Khi xét dấu các nghiệm của phương

trình bậc hai xảy ra các trường hợp nào?

hai nghiệm trái dấu, cùng dấu ( cùng dương hoặc cùng âm)

Dấu của các nghiệm liên quan với ;

S; P như thế nào?

- Hai nghiệm trái dấu khi nào? Hai nghiệm trái dấu : P < 0

Hai nghiệm cùng dấu khi nào? Hai nghiệm cùng dấu :

dương:  0, S > 0 ; P > 0âm:  0, S < 0 ; P > 0

- Nắm vững các dạng bài tập ứng dụng định lí Vi-ét và cách giải

- Bài tập: Cho phương trình x2  2(m 3)x 4m 1 0 

a) Giải phương trình với m = -1

b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu

Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn?

c) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phương trình (1) thỏa mãn3

Bài 4: ( 3 điểm)

Cho phương trình x2  (3m 1)x 2(m2  1) 0  (1)

a) Giải phương trình (1) với m = 2

b) Chứng minh (1) luôn có nghiệm với mọi m

c) Gọi x x1 ; 2 là hai nghiệm của (1), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Phương trình có nghiệm khi  '  0  m  61

Vậy với m  16 thì (1) có nghiệm

b)

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

m

m P m

m

S 2( 1);   4

Để (1) có hai nghiệm trái dấu thì P < 0   4 0  0 m 4

m m

Khi đó S > 0 do đó nghiệm dương có giá trị tuyệt đối

) 4 ( 3 4

) 3 ( 4

) 2 ( 1 2

2 1

2 1

2 1

m

x x

m m x

x

m m x

Từ (2) và (4) ta được x m m

m

m x

3

8 5

; 3

2 1 2







Thay vào (3) ta được

8 0

8 12 2

4 9

8 5

m m

m m

m m

m m

m x x m m

m x

với m nên phương trình (1) luôn có nghiệm với m