cac dang bai tap ve the tich khoi da dien

CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN A.LÝ THUYẾT 1.. Các công thức tính thể tích của khối đa diện a.. h; h là chiều cao của khối lăng trụ B.CÁC DẠNG BÀI TẬP DẠNG 1: TÍNH THỂ TÍCH C

CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN A.LÝ THUYẾT

1 Khái niệm thể tích của 1 khối đa diện

2 Các công thức tính thể tích của khối đa diện

a Thể tích khối hộp chữ nhật: V = abc với a, b, c là 3 kích thước của khối hộp chữ nhật

b Thể tích khối chóp : V = Sđáy h Với h là chiều cao của khối chóp

c Thể tích của khối lăng trụ V = Sđáy h; h là chiều cao của khối lăng trụ

B.CÁC DẠNG BÀI TẬP

DẠNG 1: TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN

* PHƯƠNG PHÁP: Để tính thể tích của khối đa diện ta có thể

SABC = a √ = √

Tam giác ABC có SA = SB; ̂ = 600 SA = AB = SB =a

SO OA (vì SO (ABC)) tam giác vuông SOA có

SO2 = SA2 – OA2 = a2 – ( √ )2 = a2 – =

SO = a √

Vậy VSABC = sABC SO = √ a √ √

b Tương tự câu a đáp số : VSABC = √ a √ √

c Gọi O là tâm tam giác ABC, Gọi A’ là trung điểm của BC

Dễ thấy ((SBC), (ABC)) = ̂ = o’

Tam giác vuông SOA có SO2 = 12 – OA2 = 12 – AA’2

Tam giác vuông SOA’ có sin =

SO = sin = l2

AA’2

(sin2o’ + 4) = 9l2

AA’ = √

Bài 2: Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên = 2a, tam giác ABC vuông tại A, AB

= a, AC = a√ Hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm BC Tính VA’ABC

theo a

Giải

Gọi H là trung điểm của BC suy ra A’H (ABC) (gt)

Ta có SABC = AB AC = a2 √

Vì A’H (ABC) A’H AH

Tam giác vuông A’HA có A’H2 = A’A2 – AH2 = (2a)2 - (a2 + 3a2)

Hay A’H2 = 4a2 – a2 = 3a2 A’H = a√

VA’ABC = SABC A’H = a2 √ a√ =

Bài 3: Hình chóp S ABCD có SA vuông góc (ABC), SA = a, tam giác ABC vuông cân

có AB = BC = a, B’ là trung điểm SB, C’ là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC

=

= √ √

VSA’B’C’ = a3

=

Bài 4: Hình chóp SABC có SA (ABC) Tam giác ABC cân tại A, D là trung điểm của

BC, AD = a , (SB,(ABC)) = ỏ; (SB,(SAD)) = õ Tính VSABC

Giải

Dễ thấy (SB,(ABC)) = ỏ = ̂

(SB,(SAD)) = õ = ̂

Tam giác ABC cân; DB = DC AD BC

Vậy VAMNC= SAMNC BI = √ √ = (m+n)

* Nếu khối chóp cần tính thể tích chưa biết chiều cao thì ta phải xác định được vị trí chân đường cao trên đáy

* Nếu khối chóp là khối tứ diện thì ta cần khéo chọn mặt đáy thích hợp

Bài 6: SABCD có đáy là tam giác cân tại A, BC = a, ̂ = ỏ, các cạnh bên nghiêng trên đáy một góc ỏ Tính VSABC

Giải

Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC)

Vì các cạnh bên nghiêng đều trên đáy suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Ta có ABC = AB.AC.sin

Mà BC2 = 2AB2 – 2AB2 cos ỏ = 2AB2(1-cos ỏ) = a2 AB = a√

SH =

tan =

VSABC = SABC SH = cos

=

Bài 7: SABC có đáy ABCD là hình bình hành và SABCD = √ và góc giữa 2 đường chéo

= 600, các cạnh bên nghiêng đều trên đáy 1 góc 450 Tính VSABCD

Giải

Hạ SO (ABCD)

Vì khối chóp có các bên nghiêng đều trên đáy suy ra O là tâm đường tròn đi qua 4 đỉnh

A, B, C, D suy ra tứ giác ABCD là hình chữ nhật và {O} = AC BD

Đặt AC = BD = x

Ta có ShcnABCD = AC BD sin600 = x2.√ = √ x2 x =3

(SA,(ABCD)) = (SA, AO) = ̂ = 450 = ̂ = (SC,(ABCD)) ASC vuông cân tại S

a

{ ̂ AB = a

Tam giác vuông SBC có BC2 = SB2 + SC2 = 2a2

Tam giác SAC có AC2

= a2 + a2 – 2a2 cos 1200 = 2a2 – 2a2 (- ) = 3a2Tam giác có AC2 = AB2 + BC2 Tam giác ABC vuông tại B

(Hoặc SAC là nửa đều tam giác đều SH = = )

VSABC = SABC SH = AB.BC.SH = a a√ √ = √

Bài 9: SABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB = 2, ACB = 900 Tam giác SAC và SBD là các tam giác đều có cạnh = √ Tính thể tích khối chóp SABCD

Đáp số: VSABCD = √

Bài 10: SABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, SAD đều cạnh = 2a, BC = 3a

Các mặt bên lập với đáy các góc bằng nhau Tính VSABCD

Giải

Bài 13: Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SCD cân tại S và nằm trong

mặt phẳng vuông góc với (ABCD) Tam giác SAB có SA = a, ̂ = 2 ỏ và nằm trong mặt phẳng lập với (SCD) một góc ỏ Tính thể tích khối chóp SABCD

Gọi K là trung điểm AB ta có HK AB; AB SH (vì SH (ABD))

AB (SKH) AB SK SAB cân tại S

Dễ thấy ((SAB, (SCD)) = ̂ = ỏ

Tam giác SAB có Sk = a cos ỏ; AB = 2AK = 2a sin ỏ

SHK vuông tại H có SH = SK Cos ỏ = a cos2 ỏ

KH = SK sin ỏ = a sin ỏ cos ỏ SABCD = AB BC = 2a sin ỏ a sinỏ cosỏ

= 2a 2 sin2ỏ cosỏ

VSABCD =

SABCD = a3 sin2 ỏ

Bài 14: Hình chop SABCD có tam giác ABC vuông tại B, ̂ ; ̂ = 600 BC

= a, SA = a√ , M là trung điểm SB Tính VMABC

Giải

Cách 1: SA (ABC) Từ M kẻ MH // AS cắt AB tại H suy ra MH (ABC)

Bài 16: Hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a√ , SA =

a, SA (ABCD) M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC {I} = BM AC

SANIB = NO SAIB = √ √

Gọi F là hình chiếu của M lên (ABCD) MF // SE Dễ thấy F

Ta có MF = SE = √ = √

SCNP = SCBD = SABCD = a2

VCMNP = SNCP = a2 √ = √

Nhận xét: có thể dùng phương pháp tọa độ để giải với gốc tọa độ O

Ox

Bài 18: Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’ bán kính đáy bằng

chiều cao bằng a trên đường tròn tâm O lấy A, Trên đường tròn tâm O’ lấy B sao

cho AB = 2a Tính thể tích hình chóp OO’AB

SAOO’ = , A’B = √ = a√

Tam giác A’BD vuông ở B suy ra BD = a

Tam giác O’BD đều suy ra BH = √ VBAOO’ = BH SAOO’ = √

Bài 19: Cho hình chóp có ABCD là hình chữ nhật; AB = a; AD = 2a, SA

(ABCD), (SA, (ABCD)) = 600 Điểm M thuộc cạnh SA, AM = √ (BCM) SD = {N} Tính thể tích hình chóp S.BCMN

Giải

Ta có ̂ = 600 Tam giác SAB vuông tại A có AM = √ ; AB = a

̂ = 300 Kẻ SH BM thì SH là đường cao của hình chóp S.BCMN

Bài 20: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình thang, ̂ ̂ ;

AB = BC = a; AD = 20; SA (ABCD); SA = 2a M, N lần lượt là trung điểm của

SA và SD Chứng minh rằng BCMN là hình chữ nhật và tính thể tích hình chóp

Bài 22: Tứ diện ABCD có AB = x có các cạnh còn lại bằng 1

a Tính thể tích tứ diện theo x

b Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ACD

c Tìm x để thể ABCD đạt giá trị lớn nhất

Giải

Cách 1: Gọi H là hình chiếu của D lên (ABC) vì DA = DC = DB = 1 H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cân tại H CC’ với C’ là trung điểm AB

Gọi M là trung điểm CD CD ABM

Vì tam giác ACD và ABCD đều AM = BM = √

VABCD = 2 VCBMA = 2 CM SABC = SABM

Bài 23: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với

mặt đáy ABCD và SA = h Điểm M thuộc cạnh CD Đặt CM = x, Hạ SH vuông góc với

BM Tính thể tích khối tứ diện SABH Tìm x để thể tích khối này là lớn nhất

Tam giác BAH vuông ở H có BH = √ = √ -

Bài 24: Hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với đáy

ABC và SA = a Điểm M thuộc cạnh AB Đặt góc ACM bằng Hạ SH vuông góc với

CM

a Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện SAHC

b Hạ AI vuông góc với SC, AK vuông góc với SH Tính thể tích khối tứ diện SAKI

VAPQR = SPQR AR

Bài 26: VABCD = AD BC MN Sin ỏ Trong đó ABCD là tứ diện có MN là độ dài của đoạn vuông góc chung của các cặp cạnh đối AD và CB, ỏ =(AD, BC)

Hướng dẫn: Dùng hình hộp ngoại tiếp tứ diện này

Bài 27: Cho hình chóp SABC có tất cả các góc phẳng ở đỉnh A và B của tam diện đều

bằng ỏ AB = a Tính thể tích hình chóp SABC

Giải

Dễ thấy tam giác SAB, CAB là các tam giác cân tại S và C

Gọi E là trung điểm của AB } AB (SCE)

VSABC = VASEC + VBSEC = SSEC(AE + BE) = SSEC AB

Tam giác SEC cân tại E vì ES = EC (tam giác SAB = tam giác ACB (g.c.g))

Gọi F là trung điểm SC EF SC

Tam giác SBC cân tại B vì BC = BS (vì tam giác SAB = tam giác CAB (g.c.g)); FS = FC FBC =

Tam giác vuông EBC có CE = tan

Tam giác vuông FBC có BC = √ = (

=

=

sin =

FC = BC sin =

sinTam giác vuông EFC có EF2