Hãy tính thể tích của khối lăng trụ nếu biết chiều cao của nó bằng 2... Hãy tính thể tích của khối lăng trụ.. Tính tanα và tính thể tích khối chóp A’.BB’C’C.. Do A’.ABC là hình chóp tam
Trang 1BÀI TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Bài 1: Cho khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 có khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A 1 D bằng 2 và độ dài đường chéo của mặt bên bằng 5.
a) Hạ AK ⊥A D1 (K∈A D1 ) Chứng minh AK = 2
b) Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1
Giải:
A x B
x x
2
D C
x
K h
5
A 1 B 1
D 1 C 1
a) Chứng minh AK = 2:
AB⊥(ADD1A1) ⇒ AB⊥AK và Gt: AK⊥A1D
⇒AK là đoạn vuông góc chung của AB và A1D Vậy AK = d AB A D( , 1 )⇒AK =2
b) Tính thể tích V của khối lăng trụ ABCD.A1B1C1D1: Đặt h = AA1 là chiều cao của khối lăng trụ; x là cạnh đáy hình vuông
Gt AK = 2; A1D = 5
1 AA
D
∆ vuông tại A có AK là đường cao nên:
AK.A1D = AD.AH ⇔ 10 =x h. và
AD2 + 2 2 2 2
1 1
AA = A D ⇔x +h =25 Giải hệ:
=
2 2
⇔
Bài 2: Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 có đáy là hình bình hành và BAD· =450
Các đường chéo AC 1 và DB 1 lần lượt tạo với đáy những góc 45 0 và 60 0 Hãy tính thể tích của khối lăng trụ nếu biết chiều cao của nó bằng 2.
Giải:
D 1 A 1
C 1
B 1
2
D A
C B
Gt: (AC1, (ABCD)) = 450 = (AC1,AC) = C AC·1
(DB1, (ABCD)) = 600 = (DB1, DB) =B DB·1
1, 1 1.cot 1 2.cot 45 2
2 3 , 1 cot 2.cot 60
3
Đặt AD = BC = x ; AB = DC = y
·
4 x y 2 cos135xy x y 2 cos 45xy
·
4
2 cos 45
3 x y xy
Từ (1) và (2) 16 2 2 2 2 8
2( )
Trang 2BÀI TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
vào (2) có: 4 8 2 2 4
3 = −3 xy 2 ⇔xy=3 2
0
ABCD BCD
xy
Vậy V = SABCD CC1= 2.2 4
3 =3 (đvdt)
Bài 3: Cho khối lăng trụ ABC.A 1 B 1 C 1 có đáy ABC là tam giác vuông cân với cạnh huyền AB = 2 Cho biết mặt phẳng (AA 1 B) vuông góc với mặt phẳng (ABC), AA 1 =
3, góc ·A AB1 nhọn, góc giữa mặt phẳng (A 1 AC) và mặt phẳng (ABC) bằng 60 0 Hãy tính thể tích của khối lăng trụ.
Giải:
A 1 B 1
C 1
3 h
2
A H B
K
C
Gt: (A AB1 ) (⊥ ABC) Từ A1 dựng A1H vuông góc AB tại H thì A H1 ⊥(ABC)⇒ A H1 là chiều cao lăng trụ Đặt A1H = h
Dựng HK⊥ AC tại K (HK // BC) ∆AKH cũng vuông cân tại K 2 2
3
h
2
3 5 9
h
2 2
1
ABC
CA
2 1
AC
⇔ = Vậy V = 3
2 5 (đvdt)
Bài 4: (Dự bị B2-2006) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có A’.ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA’ = b Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và
(A’BC) Tính tanα và tính thể tích khối chóp A’.BB’C’C.
Giải:
* Tính tanα :
+ Gọi H là tâm tam giác đều ABC Do A’.ABC là hình chóp tam giác đều nên hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) trùng với H
+ Gọi M là giao điểm của AH với BC thì AM⊥BC
Mặt khác: A’B = A’C = A’A = b ⇒A M' ⊥BC
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A’BC) là: α =·AMA'
∆A’HM vuông tại H (vì A’H⊥(ABC))
tan tan AMA ' A H
MH
α
Trang 3BÀI TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
C’
A’
B’
b
A
C
a H
M
B
∆ABC đều có cạnh a nên AM = a 3
2
;
'
Vậy tan 3 2 2 : 3 2 3 2 2
a
* Tính thẻ tích V của khối chóp A’.BB’C’C:
2 2 ' ' ' '.
A B C ABC A ABC ABC ABC ABC
V 2 3 2 2
6
= (đvtt)
Bài 5: Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có chiều cao bằng h và góc·ASB=2ϕ
Hãy tính thể tích khối chóp.
Giải:
S
A
C
H
M
B
Tính VS.ABC : + Gọi H là hình chiếu của S trên (ABC)
Vì: SA = SB = SC⇒HA = HB = HC→H là tâm của tam
giác đều ABC
+ Gọi M là giao điểm của CH và AB thì M là trung điểm của AB và SM⊥AB
+ Đặt AB = 2x ⇒AM = BM = x (x > 0)
+ gt: AS· B=2ϕ⇒ASM BSM· =· =ϕ (00 < <ϕ 90 )0 + ∆ASM, M¶ = ⇒1v SM = AMcot AS· M =xcotϕ
MH = 1 1 3 1.2 3 3
x
3
x
2 2
3
3cot 1
h x
ϕ
⇒ =
−
3 2
S ABC ABC
ϕ
−
Bài 6: Khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và SA⊥(ABC), SC
= a Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất.
Giải: Tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích S.ABC lớn nhất:
Trang 4BÀI TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN S
a
A B
C
+ gt: SA⊥(ABC) &AC⊥CB⇒SC⊥CB
+ Gọi α =((SCB), (ABC))⇒ =α SCA· (00 < <α 90 )0
·
·
.sin sin , 1
os os
AC SC c SCA ac
α α
.
os a sin
S ABC ABC
3 2
1
os sin 6
S ABC
+ Xét hàm số: f( )α =cos sin , 02α α 0 < <α 900
Vì: 00 < <α 900⇒cosα > ⇒0 cosα( 3 osc α+ 2)>0
Lập bảng biến thiên hàm số f(α ) trên khoảng (0 ; 900 0) :
α 00 β 900
f’(α) P + 0 - P
f(α ) fmax
P0 0P
Ta có f(α ) lớn nhất ⇔ os 2
3
Vậy thể tích S.ABC lớn nhất ⇔ f(α ) lớn nhất ⇔ os 2
3
Bài 7: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD mà khoảng cách từ đỉnh A đến mp(SBC) bằng 2a Với giá trị nào của góc giữa mặt bên và mặt đáy của khối chóp thì thể tích của khối chóp nhỏ nhất ?
Giải: Tìm góc giữa mặt bên và mặt đáy để thể tích S.ABCD nhỏ nhất:
S
K
B
C
N M
O
A D
+ Gọi O là tâm hình vuông ABCD thì SO vuông góc với (ABCD) và SO là chiều cao của khối chóp S.ABCD
+ Gọi MN là đường trung bình của hình vuông ABCD với M∈CD và N∈AB.
+ CD⊥(SMN), trong (SMN) vẽ NK⊥SM, khi đó NK
⊥CD⇒NK⊥(SCD) Vậy NK = d(N SCD,( )) + Vì AB//CD⇒AB//(SCD)
⇒ d(A SCD,( ))= NK = 2a
Ta có: SM⊥CD và MN⊥CD
· (( ),( ))
µ
·
2 , 1
sin
Trang 5BÀI TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
os
a
c
α
α
S ABCD ABCD
Vậy V S ABCD. nhỏ nhất⇔ f( ) sinα = 2αcosα lớn nhất, với 00 < <α 900
'( ) 2cos sin sin 2sin (1 sin ) sin 2sin 3sin
3sin 2 sin 2 sin
'( ) 0 sin 0 sin arcsin
Lập bảng biến thiên hàm số f(α ) trên khoảng (0 ; 900 0):
α
00 arcsin 2
3 900
f’(α ) P + 0 - P
f(α ) fmax
P0 0P
Ta có f(α) lớn nhất ⇔ arcsin 2
3
Vậy thể tích S.ABCD nhỏ nhất ⇔ f(α ) lớn nhất ⇔ arcsin 2
3
Bài 8: Khối chóp S.ABC có SA ⊥(ABC); đáy là ∆ABC cân tại A, độ dài trung tuyến AD
= a, cạnh SB tạo với đáy một góc α và tạo với mặt (SAD) góc β Tính thể tích khối
chóp.
Giải: Tính thể tích khối chóp S.ABC:
S
A C
D
B
+ SA⊥(ABCD) nên AB là hình chiếu SB trên (ABC)
· ( ,( ))
+ BC⊥AD và BC⊥SA⇒BC⊥(SAD) nên SD là hình
chiếu của SB trên (SAD) ⇒BSD· = =β (SB SAD, ( )) + ∆SAB, µA= ⇒1v AB SB c= osα
+ ∆SDB, µD= ⇒1v BD SB= sinβ
+ ∆ADB, µD= ⇒1v AD2 = AB2 −BD2
( os sin )
os sin
a
c
−
os sin
a BD
c
β
=
−
SA = SBsin 2.sin 2
os sin
a c
α α
=
−
Trang 6BÀI TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
.
S ABC ABC
AD BC
3
1 a sin a sin 1 sin sin
3 os sin os sin 3 os sin
a a
c
−
Bài 9: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’
Giải: Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’:
S
2a
C’ D’
I
B’
A D
O a
B C
+ Trong (SBD) gọi I là giao điểm của B’D’ và SO Trong (SAC), gọi C’ là giao điểm của AI với SC thì: C’là giao điểm của (AB’D’) với SC
+ SB' SA2 SA2 SD' SB' SD' (*)
+ V S,AB’C’ + V S.AC’D’ = V S.AB’C’D’
+ V S,ABC = V S.ACD = 1
2V S.ABCD =1
2V (đặt VS.ABCD = V) ' '
.
' '
S AB C
S ABC
S AB C
Tương tự:
' '
S AC D
do SD SB
3 ' ' '
' ' ' ' 2
S AB C D
3 ' ' '
' ' 2
S AB C D
V
SB SC
Vì: ' 2 ' 22 24 2 2 42 2 2 4
SB
+ ta có: BC⊥AB&BC⊥SA⇒BC ⊥(SAB)⇒BC⊥AB' Mặt khác: SB⊥ AB'
Vậy AB' (⊥ SBC)⇒AB'⊥SC; tương tự: AD'⊥SC⇒SC⊥(AB D' ')⇒SC⊥AC'
Tam giác SAC vuông tại A và AC’ là đường cao nên:
' ' '
4 2 2 16
5 3 3 45
S AB C D
V
Bài 10: Cho khối lăng trụ ABC.A 1 B 1 C 1 có đáy ABC là tam giác vuông cân với cạnh huyền AB = 2 Cho biết mặt phẳng (AA 1 B) vuông góc với mặt phẳng (ABC), AA 1 =
Trang 7BÀI TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
3, góc ·A AB1 nhọn, góc giữa mặt phẳng (A 1 AC) và mặt phẳng (ABC) bằng 60 0 Hãy tính thể tích của khối lăng trụ.
Giải: Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A1B1C1
A 1 2 B 1
C 1
3 h
A H B
K
C
+ Gt: (A AB1 ) (⊥ ABC) Từ A1 dựng A1H⊥AB tại H
⇒ ⊥ ⇒A1H là chiều cao lăng trụ
Đặt A1H = h + Dựng HK⊥AC tại K (HK//BC) thì ∆AKH cũng vuông cân tại K
HK là hình chiếu của A1K trên (ABC) mà AC⊥HK nên AC⊥A1K
(A AC),(ABC) =A KH =60
∆A1HK vuông tại H:
1 cot 1 cot 60
3
h
∆AHK vuông cân tại K 2 2
3
h
∆A1HK vuông tại H 2 2 2
2
3 5 9
h
2
ABC
Vậy 3
2 5
V = (đvtt)
Bài 11 (DB A1-08PB) Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại đỉnh B,
BA = BC = 2a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy (ABC) là trung điểm E của AB và SE = 2a Gọi I, J lần lượt là trung điểm của EC, SC M là điểm di động trên tia đối của tia BA sao cho ECM∧ = α(α <900) và H là hình chiếu vuông góc của S trên MC Tính thể tích của khối tứ diện EHIJ theo a; α và tìm α để thể tích đó lớn nhất
Giải:
* Tính thể tích của khối tứ diện EHIJ:
+ Gọi V là thể tích khối tứ diện EHIJ Ta có:
V = 1
3S h, với S là diện tích ∆IHE và h là chiều cao của khối tứ diện
+ GT suy ra IJ// SE và IJ=1 1.2
2SE= 2 a a= ; Vì SE ⊥(ABC)⇒ ⊥IJ (IHE) Vậy h = IJ = a
∆EBC vuông tại B có EB = 1
2 AB= a; BC = 2a nên EC = BC2+BE2 = (2 )a 2+a2 =a 5
S + Vì SE ⊥(ABC) nên HE là hình chiếu của SH trên
mặt phẳng (ABC), do SH⊥CM nên EH⊥CM Vậy tam giác CHE vuông tại H và có ECH· =ECM· =α
Trang 8BÀI TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
J
C A
I
H E
B
M
· os 5 os
.sin 5 5 os sin
ECH
5 2.sin 2
4
a
α
=
Do I là trung điểm của CE nên S = 1 5 2.sin 2
2 ECH 8
a
Vậy V = 5 3.sin 2
24
* Tìm α để thể tích V của khối tứ diện EHIJ lớn
nhất:
Ta có: V = 5 3.sin 2 5 3 ( sin 2 1)
do
Vậy V lớn nhất ⇔sin 2α = ⇔1 2α =900 ⇔ =α 450
Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA a= 3 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy, gọi M là trung điểm của SD Tính theo a thể tích khối tứ diện SAMC và côsin của góc giữa hai đường thẳng SB, AC
Giải:
S
M
A H D
O
B C
* Tính thể tích của khối tứ diên SAMC:
+ Gọi V, V1, V2 lần lượt là thể tích của khối tứ diện SAMC, khối chóp S.ACD, M.ACD , ta có: V = V1 - V2
+ SA⊥(ABCD) nên SA là chiều cao của khối chóp S.ACD
Vậy V1 = 1 1 3.1 3 3
a
Gọi H là trung điểm của AD thì MH//SA nên
MH ⊥ (ABCD) và MH = 1 3
2SA a= 2
V2 = 1 1 3 1 3 3
a
Vậy V = 3 3 3 3 3 3
* Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng
SB, AC:
Ta có: MO là đường trung bình của tam giác SBD nên:
MO =1
2SB 1 2 2 1 2 2
3
2 SA AD 2 a a a
= + = + = và MO//SB nên góc giữa SB và AC là góc giữa
OM và AC
a
4 4
Trang 9BÀI TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Trong tam giác OAM có: ·
2
2 2
1 2
cos
2 2
a
AOM
a
+ −
Vậy cos( , ) cos( , ) 1
2 2